...in tasca. Matematica... area PK 21 II EDIZIONE. Equazioni esponenziali e logaritmi Geometria analitica Trigonometria

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1 PK 2 II EDIZIONE Mtemtic... re...in tsc Equzioni esponenzili e logritmi Geometri nlitic Trigonometri Funzioni, limiti, derivte e ppliczioni, integrli Serie numeriche e di funzioni Equzioni differenzili Clcolo combintorio Estrtto dell pubbliczione EDIZIONI SIMONE Gruppo Editorile Esselibri - Simone

2 Estrtto dell pubbliczione

3 Copyright 2008 Esselibri S.p.A. Vi F. Russo 33/D 8023 Npoli Tutti i diritti riservti È viett l riproduzione nche przile e con qulsisi mezzo senz l utorizzzione scritt dell editore. Per citzioni e illustrzioni di competenz ltrui, riprodotte in questo libro, l editore è disposizione degli venti diritto. L editore provvederà, ltresì, lle opportune correzioni nel cso di errori e/o omissioni seguito dell segnlzione degli interessti. Prim edizione: Febbrio 2004 Second edizione: Aprile 2008 PK2 ISBN Ristmpe Questo volume è stto stmpto presso Officin Grfic Iride Vi Prov. Arzno-Csndrino, VII trv Arzno (NA) Per informzioni, suggerimenti, proposte: info@simone.it A cur di: Grfic e copertin: Impginzione Crl Iodice Ginfrnco De Angelis Rffell Molino Estrtto dell pubbliczione

4 Presentzione Il volume è uno strumento indispensbile per gli studenti degli istituti di istruzione secondri, per chi si pprest sostenere l esme di mturità e per chi, già impegnto negli studi universitri, deve sostenere l esme di Mtemtic generle. Ciscun cpitolo è costituito d: un prim prte in cui è indicto il percorso di lettur ed è trccit un mpp concettule strutturt in modo d evidenzire le interrelzioni tr gli rgomenti trttti nel cpitolo; un prte teoric esplictiv degli rgomenti in cui sono richimti, e spesso dimostrti, i concetti, le regole e i teoremi fondmentli; numerosi esempi utili per migliorre l comprensione e sviluppre l cpcità di rgionmento; un test di verific finle che è formto, tlvolt, d esercizi guidti. Il linguggio e le formulzioni doperte sono stte semplificte il più possibile, così che il volume poss essere utilizzto come complemento del testo istituzionle per verificre e perfezionre l propri preprzione. Estrtto dell pubbliczione

5 Α α lf Β β bet Γ γ gmm Δ δ delt Ε ε epsilon Ζ ζ zet Η η et Θ θ ϑ thet ALFABETO GRECO Ι ι iot Κ κ kpp Λ λ lmbd Μ μ mi Ν ν ni Ξ ξ xi Ο ο òmicron Π π pi Ρ ρ rho Σ σ sigm Τ τ tu Υ υ ipsilon Φ ϕ φ phi Χ χ chi Ψ ψ psi Ω ω òmeg INDICE DEI SIMBOLI > mggiore < minore mggiore o ugule minore o ugule diverso d circ ugule ± più o meno infinito tende esiste per ogni pprtiene non pprtiene insieme vuoto unione tr insiemi intersezione tr insiemi sottoinsieme proprio sottoinsieme non è sottoinsieme impliczione doppi impliczione N insieme dei numeri nturli Z insieme dei numeri reltivi Q insieme dei numeri rzionli R insieme dei numeri reli n! n fttorile log( ) logritmo decimle ln( ) logritmo neperino e numero di Nepero lim limite f ( x ) derivt Π integrle sommtori produttori senα seno dell ngolo α cosα coseno dell ngolo α tnα tngente dell ngolo α cotnα cotngente dell ngolo α Estrtto dell pubbliczione

6 . Equzioni esponenzili e logritmi Di cos prleremo Prim di pprofondire il vntggio che si tre dll uso dei logritmi nell bbrevire i clcoli, in questo cpitolo ci occuperemo di potenze esponente rele ed equzioni esponenzili. Successivmente dremo le definizioni di logritmi neperini e decimli quindi, elencheremo proprietà, teoremi e operzioni con gli stessi. Prgrfi prte srnno dedicti lle equzioni logritmiche, disequzioni esponenzili, disequzioni e sistemi di equzioni logritmiche. Equzioni esponenzili Equzioni logritmiche Disequzioni esponenzili Logritmi Disequzioni logritmiche Sistemi di equzioni esponenzili Logritmi: neperini decimli Sistemi di equzioni logritmiche Proprietà Teoremi Operzioni Appliczioni dei logritmi l clcolo di espressioni numeriche. Equzioni esponenzili e logritmi 5

7 ) Potenze esponente rele. Potenze esponente rzionle Per le potenze di un numero rele positivo o nullo,, esponente rzionle vlgono i seguenti teoremi: Primo teorem Al crescere dell esponente, il vlore di un potenz: cresce, se l bse è mggiore di se l esponente è intero, si h: m > n se m > n se l esponente è un numero rzionle, si h: m n p q > se m n p > q decresce, se l bse è minore di se l esponente è intero si h: m < n se m > n. Equzioni esponenzili e logritmi Secondo teorem L potenz con bse positiv e esponente intero è: mggiore di, se l bse è mggiore di n > se >, n > 0 minore di, se l bse è minore di n < se <, n < 0 Terzo teorem Se un potenz h l bse mggiore di, esiste sempre un esponente intero positivo tle che l potenz risult mggiore di un numero rele k dto: n > k 6 Estrtto dell pubbliczione

8 Qurto teorem Se un potenz h bse positiv m minore di, esiste sempre un esponente intero positivo tle che l potenz risult minore di un numero rele dto e: n < ε.2 Potenze esponente irrzionle Si un numero rele positivo e α un numero rele definito dlle clssi contigue di numeri rzionli: { } = { } A= α, α, α,, α e A' α', α', α',, ' 2 3 n 2 3 α n l potenz: A, α A' = ( ) è un numero rele positivo, definito dlle clssi: { α α α α ' } = α ' α ' 2 α ' 3 α ' e {,,, n } A 2 3 n A =,,,,, Per le potenze d esponente irrzionle vlgono tutti i teoremi esposti per le potenze d esponente rzionle. 2) Equzioni esponenzili Si dice equzione esponenzile un equzione nell qule l incognit figur come esponente. Un equzione esponenzile è del tipo: x = b con e b numeri reli positivi e con il primo diverso d.. Equzioni esponenzili e logritmi Estrtto dell pubbliczione 7

9 Per l equzione esponenzile così definit, vle il seguente: Teorem Se è un numero rele positivo e diverso d e b è un numero rele positivo, l equzione: x = b mmette un sol soluzione, che è: positiv se sono entrmbi mggiori di o minori di ; negtiv se uno è mggiore di e l ltro è minore di indifferentemente; è ugule 0 se è b = e > 0. 3) Logritmi Si dice logritmo di un numero rele positivo b in un dt bse rele positiv divers d, l esponente cui si deve elevre per ottenere b; in simboli: x b = log. Equzioni esponenzili e logritmi in sostnz il logritmo è l soluzione dell equzione esponenzile: x = b Inoltre: essendo mggiore di zero e divers d, non esiste il logritmo di bse zero o di bse ; essendo b mggiore di zero, non esiste il logritmo di un numero negtivo o di zero. Dl teorem sulle equzioni esponenzili si deduce che: se e b sono entrmbi mggiori di o entrmbi minori di : log b > 0 8

10 se e b sono il primo mggiore di e il secondo minore di, o vicevers: log b < 0 Proprietà dei logritmi Due logritmi venti per bse l stess bse e per rgomento due numeri reciproci, sono opposti: log b = log b Due logritmi venti bsi reciproche e per rgomento lo stesso rgomento, sono opposti: log b = log b Due logritmi venti bsi reciproche e per rgomento due numeri reciproci, sono uguli: log b = log b Se in un logritmo si scmbi l bse con l rgomento, si ottiene il logritmo reciproco di quello dto: log b = log 3. Teoremi sui logritmi Teorem del prodotto Il logritmo, rispetto d un dt bse, del prodotto di due o più numeri è ugule ll somm dei logritmi, rispetto ll medesim bse, dei singoli fttori: log ( b c)= log b+ log c b. Equzioni esponenzili e logritmi 9

11 Teorem del quoziente Il logritmo, rispetto d un dt bse, del quoziente di due numeri è ugule ll differenz dei logritmi, rispetto ll medesim bse, del dividendo e del divisore: log ( b: c)= log b log c Teorem dell potenz Il logritmo, rispetto d un dt bse, di un potenz è ugule l prodotto dell esponente dell potenz per il logritmo, nell medesim bse dell bse dell potenz: m log b = mlog b Teorem del rdicle Il logritmo, rispetto d un dt bse, di un rdicle è ugule l prodotto dell frzione vente per numertore l esponente del rdicndo e per denomintore l indice del rdicle, per il logritmo, nell medesim bse, del rdicndo: log n b m = m n log b 3.2 Logritmi neperini e logritmi decimli. Equzioni esponenzili e logritmi Rispetto ll bse, i logritmi si distinguono in: neperini o nturli o iperbolici, se hnno per bse il numero irrzionle e = 2, ; decimli, se hnno per bse 0. In genere, il logritmo neperino di un numero x si indic con lnx, mentre il logritmo decimle di x con logx. Rispetto un stess bse, si dice sistem di logritmi l insieme dei logritmi di tutti i numeri reli positivi, rispetto quell bse. 0

12 Sino e b le bsi di due sistemi di logritmi, per pssre dl sistem di logritmi di bse l sistem di logritmi di bse b, si pplic l seguente formul: log x log x = b log b Proprietà dei logritmi decimli Il logritmo decimle di un potenz di 0 d esponente intero reltivo è ugule ll esponente dell potenz: log0 = ; log00 = log0 2 = 2; log000 = log0 3 = 3 Il logritmo decimle di un numero rzionle positivo, che non si potenz di 0, è un numero irrzionle. Considerto un numero rzionle positivo, mggiore o minore di, si dicono: crtteristic del logritmo decimle, il minore di due numeri interi consecutivi, fr cui è compreso il logritmo; mntiss del logritmo il numero positivo minore di che sommto ll crtteristic dà il logritmo. Primo teorem dell crtteristic L crtteristic del logritmo decimle di un numero rzionle mggiore di è quel numero che si ottiene sottrendo dl numero delle cifre dell prte inter del numero considerto. Secondo teorem dell crtteristic L crtteristic del logritmo decimle di un numero rzionle positivo minore di, è quel numero intero negtivo, le cui unità sono tnte qunti sono gli zeri che precedono l prim cifr significtiv, ossi, l prim cifr divers d zero, non escludendo lo zero dell prte inter.. Equzioni esponenzili e logritmi Estrtto dell pubbliczione

13 Si consideri, or, il teorem seguente: Teorem dell mntiss Moltiplicndo un numero rzionle per un potenz d esponente intero reltivo di 0, l mntiss del suo logritmo non cmbi. L mntiss di un logritmo si determin d pposite tvole. Cologritmo Si dice cologritmo di un numero rzionle positivo b, l opposto del suo logritmo: colog b = log b L crtteristic del cologritmo di un numero rzionle si ottiene umentndo quell del logritmo di un unità positiv e cmbindo di segno; l mntiss present delle cifre che sono i complementi nove di quelle dell mntiss del logritmo, eccetto quell dell ultim cifr significtiv per l qule si f il complemento 0. Se l crtteristic è negtiv, si pone su di ess un trttino. 3.3 Proprietà delle operzioni con i logritmi I logritmi log b = log b log b = log b. Equzioni esponenzili e logritmi log b = log b log b = log log ( b c)= log b+ log c log ( b: c)= log b log c m n m m log b = mlog b log b = log b n b 2 Estrtto dell pubbliczione

14 Grzie lle proprietà dei logritmi è possibile eseguire, in modo più semplice, operzioni ritmetiche impegntive. Con i logritmi: l moltipliczione si riconduce d ddizione; l divisione si riconduce sottrzione; l elevmento potenz si riconduce moltipliczione; l estrzione di rdice si riconduce divisione. Esempio Si clcoli l seguente potenz: x = (7,3) 4 ricorrendo i logritmi si h: log x = 4 log 7,3 = 4 0,853 = 3,424 d cui, pssndo dl logritmo l numero: x = 0 3,424 = 2.584,39 Esempio 2 Si clcoli l espressione: x ( ) 2 = ,8 ( 3,7) ricorrendo i logritmi si h: log x = ( log, log, )=,, ( )=, 578 = 0, d cui, pssndo dl logritmo l numero, si h: 4) Equzioni logritmiche x = 0 0,356 = 2,068 Un equzione si dice logritmic qundo l incognit figur nell rgomento di un logritmo.. Equzioni esponenzili e logritmi Estrtto dell pubbliczione 3

15 Esempio Si consideri l seguente equzione logritmic: Di teoremi sui logritmi, si h: d cui, dividendo mbo i membri per 3, si h: ( ) 3 = ( + ) 3 + log 3x 2 log x 2 3 3log ( 3x 2)= 3log( x+ 2)+ 3 3x 2 x+ 2 =0 eliminndo il denomintore e riducendo i termini simili si h: x = 22 7 Dimo, or, un esempio di equzione esponenzile risolt ricorrendo i logritmi. Esempio Si risolv l seguente equzione esponenzile: 2x 3x 3x 2 2x 3 4 = Trsportndo primo membro il qurto termine e l secondo membro il secondo termine, e rccogliendo fttor comune nel primo membro 3 2x e nel secondo membro 4 3x, si h:. Equzioni esponenzili e logritmi ossi: ricorrendo i logritmi, si h: d cui: ( + 3)3 2x = (4 2 + ) 4 3x 4 3 2x = 7 4 3x log 4 + 2x log 3 = log 7 + 3x log 4 log7 log4 x = 2log3 3log4 Attrverso le tvole logritmiche si ottiene un vlore pprossimto di x. 4 Estrtto dell pubbliczione

16 5) Disequzioni esponenzili Si dice disequzione esponenzile ogni disequzione in cui l incognit, o qulche espressione che contiene l incognit, compre come esponente di un o più potenze; in generle ess ssume un delle seguenti forme: x > b x < b con numero rele positivo e diverso d e b numero rele qulsisi. L soluzione di un delle suddette disequzioni si ottiene risolvendo dpprim l equzione x = b; un volt trovto il vlore x 0 per cui tle equzione è soddisftt, e supponendo b > 0, si h: x > b > l disequzione è soddisftt per ogni x > x 0 ; 0 < <, ess è soddisftt per ogni x < x 0 ; x < b > l disequzione è soddisftt per ogni x < x 0 ; per 0 < <, ess è soddisftt per ogni x > x 0. Se è b < 0, l disequzione x > b è sempre soddisftt, in qunto è sempre x > 0, ed è proprio questo il motivo per cui l disequzione x < b è, invece, impossibile. 6) Disequzioni logritmiche Si dice disequzione logritmic ogni disequzione in cui compre il logritmo dell incognit o di qulche espressione che contiene l incognit; ess ssume un delle seguenti forme: log x > b log x < b con numero rele positivo e diverso d e b numero rele qulsisi.. Equzioni esponenzili e logritmi Estrtto dell pubbliczione 5

17 L soluzione di un delle suddette disequzioni si ottiene risolvendo dpprim l equzione log x = b, un volt trovto il vlore x 0 per cui tle equzione è soddisftt, si h: log x > b per >, l disequzione è soddisftt per ogni x>x 0 ; per 0 < <, ess è soddisftt per ogni 0 < x < x 0 ; log x < b per >, l disequzione è soddisftt per ogni 0 < x < x 0 ; per 0 < <, ess è soddisftt per ogni x > x 0. 7) Sistemi di equzioni esponenzili Risolvere un sistem signific trovre quel vlore delle incognite delle equzioni dte, per cui esse sono soddisftte contempornemente. Esempio Si risolv il seguente sistem di equzioni esponenzili:. Equzioni esponenzili e logritmi per esso si h: pplicndo le proprietà delle potenze, si h: d cui il sistem: le cui soluzioni sono: x y 3 27 = 27 3x y 2 4 = 32 x 3y = 3 3x 2y = 2 x+ 3y 3 3 = = 2 3x 2y 5 x+ 3y= 3 3x+ 2y = x = ; y = Estrtto dell pubbliczione

18 8) Sistemi di equzioni logritmiche L risoluzione di un sistem di equzioni logritmiche segue lo stesso procedimento utilizzto per l risoluzione di un qulsisi sistem di equzioni; ovvimente, si rende necessrio pplicre proprietà e teoremi sui logritmi. Esempio Si risolv il seguente sistem di equzioni logritmiche: logx+ logy = 2 x+ y= 25 di teoremi sui logritmi, l prim equzione divent: log (x y) = 2 ossi: (xy) = 00 Il sistem, pertnto, divent: xy = 00 x+ y= 25 È un sistem simmetrico, l cui equzione risolvente è t 2 25t + 00 = 0, e le cui rdici sono: t = 5; 2 t = 20 Le soluzioni simmetriche del sistem sono: (5, 20) e (20, 5). Equzioni esponenzili e logritmi 7

19 Test di verific ) Indicre l soluzione, tr quelle riportte, dell equzione esponenzile: 6 x 2 = 64 ) ; b) 7 4 ; c) 2; d) impossibile; e) 4. 2) Indicre l soluzione, tr quelle riportte, dell equzione esponenzile: x = x+ 5 2 ) ; 2 b) 3; c) impossibile; d) 4; e) 3.. Equzioni esponenzili e logritmi 3) Indicre l soluzione, tr quelle riportte, dell disequzione esponenzile: x 8 2 < ) x < ; 2 b) x > 3; c) 3 < x < 3; d) x < 3; e) x > 2. 8

20 4) Indicre l soluzione, tr quelle riportte, dell disequzione esponenzile: 3 2x 0 3 x + 9 > 0 ) x > 3; b) x < 2 e x > 4; c) x > 0; d) x > 2; e) x < 0 e x > 2. 5) Applicndo l definizione di logritmo, indicre per qule vlore dell rgomento l seguente uguglinz è ver: log 4 x = 3 ) 64 b) 8; c) e) ; d) 8 ; 6) Applicndo l definizione di logritmo, indicre per qule vlore dell bse l seguente uguglinz è ver: log x 26 = 3 ) non esiste; b) e (numero di Nepero); c) 6; d) 5; e) 6. 7) Determinre il quoziente dell seguente divisione: 5,386:2 ) 3,386; b) 0,772; c) 2, 693 ; d) 3, 693 ; e) 5.. Equzioni esponenzili e logritmi 9

21 8) Indicre il vlore dell seguente equzione logritmic: log x+ 3= log ( 2x x+ 2) log ( x+ 3) 2 ) e b) 2 e + 2 ; c) 7 2 e ; d) 2e5; e) 2. 9) Indicre il vlore dell seguente disequzione logritmic: log x 2 x ( ) > ) x < 3 e x > 5; b) x < 0 e x > 2; c) x < 3 e x > 4; d) x > 2; e) x < 2 e x > 2. 0) Risolvere il seguente sistem di equzioni esponenzili: x 3 y 6 = x 6 y b : b = ;. Equzioni esponenzili e logritmi ) x = 3 3, y = 5 ; 9 b) x = 4, y = 2; c) x = 0, y = 6; d) x =, y = 6; e) x = 2, y = 6. Risposte estte ) d); 2) ); 3) b); 4) e); 5) c); 6) c); 7) d); 8) ); 9) c); 0) b). 20 Estrtto dell pubbliczione

22 2. Geometri nlitic Di cos prleremo In questo cpitolo ffronteremo l interessnte rgomento dell geometri nlitic che si propone di portre i metodi mtemtici l servizio dell geometri. A prtire d Crtesio, gli enti dell geometri sono trdotti in espressioni mtemtiche. Ad ogni punto, d ogni rett, d ogni curv, ossi tutto ciò che è suscettibile di rppresentzione grfic in un sistem di ssi crtesini, corrisponde sempre un rppresentzione lgebric un numero rele, un coppi di numeri reli, un equzione che cmbi secondo ciò che si rppresent. Ascisse dei punti di un rett Coordinte crtesine ortogonli nel pino L circonferenz Tngenti d un circonferenz Mutu posizione: di un rett e di un circonferenz di due circonferenze Distnz di due punti Coordinte del punto medio di un segmento Distnz di un punto d un rett L rett Equzione dell rett pssnte per un punto per due punti Equzione dell rett Rette rispetto ll origine degli ssi Concetto di funzione Rette prllele e perpendicolri Le coniche L ellisse Eccentricità L iperbole Iperbole equilter L prbol Equzione dell prbol simmetric: rispetto ll sse y rispetto ll sse x Tngente un ellisse Tngenti un iperbole Tngenti un prbol Mutu posizione di un rett e di un prbol 2. Geometri nlitic 2

23 ) Ascisse dei punti di un rett Rett Si dice rett di un pino un line descritt d un punto O (detto origine) che si muove su di ess. Fissto su un rett orientt r il punto O, ed un unità di misur per le lunghezze (generlmente si f riferimento d un segmento u) si può stbilire un corrispondenz fr i numeri reli ed i punti dell rett. In bse tle corrispondenz si h che: l numero 0 si f corrispondere il punto O; l numero + (dove è un intero positivo qulunque) si f corrispondere un punto A dell rett r, situto destr di O e distnte d esso di un segmento ugule d volte l unità di misur fisst; l numero si f corrispondere un punto B dell rett r, situto sinistr di O e distnte d esso di un segmento ugule d volte l unità di misur. B 0 A - O + 2. Geometri nlitic I punti così individuti, O, A e B si dicono immgini, rispettivmente dei numeri: 0, + e. Tutti i numeri reli possono essere rppresentti su un rett in questo modo. Se si vuole rppresentre un numero rzionle, bst dividere l unità di misur fisst in tnte prti uguli l numero che è l denomintore dell frzione e segnre su r, destr o sinistr dell origine O ( second che il numero si positivo o negtivo) un punto P che dist d O di un segmento OP ugule l numero che è l numertore dell frzione. 22

24 Pertnto, esiste un corrispondenz biunivoc tr i punti dell rett e l insieme dei numeri reli, ossi: d ogni punto di un rett dt corrisponde un numero, detto sciss, che misur l distnz del punto considerto d un ltro punto O, ssunto come origine. Tle sciss è positiv o negtiv secondo che il punto è situto, rispettivmente, sull semirett OX, dett semisse positivo delle scisse, o sull semirett OX ', dett semisse negtivo delle scisse; d ogni numero corrisponde un punto ed uno solo che è l immgine di quel numero. 2) Coordinte crtesine ortogonli nel pino Sino dte: un rett x orizzontle, sull qule si stt fisst l origine y O e con un frecci il verso II I positivo; un rett y, perpendicolre B P ll rett x e pssnte per l origine O, sull qule si stto fissto il verso positivo sempre con un frecci. O A x Le due rette così individute formno un sistem di ssi crtesini che dividono il pino in quttro prti dette qudrnti. Gli ssi coordinti III IV si chimno, rispettivmente, sse delle scisse, che si indic con x, sse delle ordinte, che si indic con y. Il punto O è l origine degli ssi. Fisst un unità di misur per l sse delle scisse e un per l sse delle ordinte (l unità di misur può essere l stess) e individuto un qulsisi punto P del pino, si considerno le sue proiezioni A su Ox e B su Oy. 2. Geometri nlitic Estrtto dell pubbliczione 23

25 Le misure dei due segmenti OA e OB si dicono rispettivmente sciss e ordint del punto P; entrmbe prendono il nome di coordinte di tle punto. In generle, ogni punto del pino corrisponde un coppi di numeri che sono l sciss e l ordint del punto e vicevers, ogni coppi di numeri corrisponde un punto del pino. Segno delle coordinte I qudrnte: x > 0 e y > 0 II qudrnte: x < 0 e y > 0 III qudrnte: x < 0 e y < 0 IV qudrnte: x > 0 e y < 0 Inoltre, i punti situti sull sse delle scisse (x) hnno ordint null, mentre i punti situti sull sse delle ordinte (y) hnno sciss null. Sino dti i due punti: ( ) ( ) Ax, y e Bx, y 2 2 clcolimo, or, l loro distnz e le coordinte del loro punto medio. Misur dell distnz di due punti L misur dell distnz di due punti è dt dll rdice qudrt dell somm dei qudrti delle differenze delle scisse dei due punti e delle ordinte dei due punti. 2. Geometri nlitic 24 Estrtto dell pubbliczione