CAPITOLO VII FUNZIONI TRASCENDENTI

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1 TE07_tr -fb- 5/10/007 5/10/007 VII - 1 CAPITOLO VII FUNZIONI TRASCENDENTI Pssimo or definire prim e d illustrre poi il comportmento di lcune funzioni di prticolre interesse non riconducibili lle funzioni rzionli, dette funzioni trscendenti. Tr queste ci occuperemo in prticolre delle funzioni trigonometriche, dell funzione ritmo, e dell su invers, l funzione esponenzile. 7.1 Funzioni trigonometriche. Premettimo l definizione di circonferenz trigonometric, specificndo che le misure di tutti gli ngoli srnno sempre ssunte in rdinti in modo d frle coincidere con le misure degli rchi, essendo il rggio unitrio. Si ricordi l proposito che l ngolo di un rdinte è l ngolo sotteso d un rco di circonferenz di lunghezz pri l rggio dell circonferenz stess; dunque l ngolo giro corrisponderà d un ngolo di π rdinti in qunto, come noto, sull inter circonferenz è possibile riportre π rchi di lunghezz pri l rggio. Quest semplice osservzione ci consente di impostre un proporzione dll qule ricvre l legge di conversione dell misur di un qulsisi ngolo espress in grdi, α, nell misur dello stesso ngolo, espress in rdinti: d ri- π π 180 cvimo = α = α, e ll incontrrio α = π π = 360 α L circonferenz trigonometric è semplicemente un circonferenz di centro nell origine del riferimento e rggio unitrio: psserà dunque per i punti di coordinte ( 1,0), ( 0,1 ), ( 1,0 ), (, 1) 0. L rco di cerchio che v dll intersezione dell circonferenz con il semisse positivo delle scisse l punto P bbi lunghezz (come premesso, quest srà nche l mpiezz dell ngolo l centro che sottende l rco indicto. in qunto gli ngoli sono espressi in rdinti ed il rggio è 1). Definimo seno dell ngolo, e scrivimo sen ( ), l lunghezz del segmento PP ' di figur (le prentesi che rcchiudono l rgomento non sono necessrie, e srnno omesse ogniqulvolt ciò non provochi mbiguità). Anmente dicimo coseno dell ngolo, e scrivimo cos ( ) lunghezz del segmento OP ' di figur. Si ricv immeditmente che l funzione seno è positiv per ngoli compresi nel primo e secondo qudrnte, l funzione coseno è positiv per ngoli compresi nel qurto o nel primo qudrnte. Di conseguenz, seno e coseno hnno lo stesso segno nel, l

2 TE07_tr -fb- 5/10/007 5/10/007 VII - primo qudrnte, dove sono entrmbi positivi, e nel terzo, dove sono entrmbi negtivi. Le definizioni dte portno immeditmente ll relzione fondmentle dell trigonometri, che in prtic l rissume intermente: cos + sen = 1 per : 0 π, che esplicit il legme tr funzione seno e funzione coseno; d ess bbimo inftti sen = cos = ± ± 1 1 cos sen, nelle quli l mbiguità introdott dl doppio segno viene elimint dlle considerzioni precedenti sul legme tr positività delle due funzioni e qudrnti dell circonferenz. Inftti, se l ngolo cde nel primo o nel secondo qudrnte, l funzione seno è positiv, ltrimenti è negtiv; se lo stesso ngolo cde nel qurto o nel primo qudrnte, l funzione coseno è positiv, ltrimenti è negtiv. E immedit l verific delle diseguglinze 1 sen 1 e 1 cos 1, nonché del ftto che il coseno è un funzione pri mentre il seno è un funzione dispri; se considerssimo, in luogo dell ngolo il suo opposto, il tringolo che definisce le funzioni seno e coseno verrebbe rovescito l di sotto dell sse delle scisse: dunque il cteto verticle, che rppresent il seno, cmbierebbe di segno, per cui sen( ) = sen, mentre il cteto orizzontle, che rppresent il coseno, rimrrebbe inlterto, per cui cos ( ) = cos. E immedito riconoscere che entrmbe le funzioni sono periodiche di periodo π, dovendo vlere sen ( + π ) sen = sen( + π ) per il seno, o, più in generle, sen ( k ) = sen + π, qulunque si l intero k, e nmente per il coseno,. Questo ci consente di studirle limittmente llo intervllo [ 0,π ] (o, in lterntiv, nell intervllo [ π + π ] ll'intero sse rele, cmpo di esistenz di entrmbe., ) per estendere quindi i risultti ottenuti Vedimo or di clcolre e di riportre quindi in tbell i vlori ssunti dlle funzioni seno e coseno in corrispondenz d lcuni ngoli di prticolre significto, tutti compresi nel primo qudrnte; prte vlori bnli, come quelli ottenuti in corrispondenz di = 0 o di = π /, il clcolo negli ltri csi richiede solo l considerzione di lcuni semplici tringoli rettngoli: 0 π 6 π 4 π 3 π sen

3 TE07_tr -fb- 5/10/007 5/10/007 VII - 3 cos E immedito verificre che i vlori indicti soddisfno l relzione fondmentle dell trigonometri. Vedremo successivmente come questi risultti si possno riportre negli ltri qudrnti. Prim di fr ciò, mostrimo un immedit fondmentle ppliczione ll geometri pin reltiv ll risoluzione dei tringoli, che bsterebbe d sol d indicre l importnz di qunto stimo fcendo. Si consideri il generico tringolo rettngolo di cteti, b e di ipotenus c rppresentto in figur con il cteto ppoggito, per comodità, ll sse delle scisse. Si riconosce l su similitudine con il tringolo rettngolo, e dunque è possibile scrivere l proporzione: OP ': OP = : c, ossi cos :1 = : c : dunque bbimo OP' P = c cos. In modo del tutto no possimo trovre b = c sen. Come ovvio, le relzioni precedenti rispettno il teorem di Pitgor; inftti, l somm + b = c cos + c sen = c cos + sen = c. dei qudrti dei cteti diviene ( ) Per mezzo delle funzioni seno e coseno si definiscono ltre due funzioni trigonometriche, tngente e cotngente, che, come risulterà evidente dlle definizioni, sono l un l reciproc dell ltr. Abbimo sen tn = e cos cos 1 cot = =. sen tn Dimo or un interpretzione di queste definizioni, giustificndo l tempo stesso l scelt del loro nome. Esminimo l figur lto, riconoscendo in ess l similitudine tr i due tringoli rettngoli OP' P e OUT, dll qule si ricv l proporzione OP ': P' P = OU : UT, ossi cos : sen = 1: UT. Si riconosce quindi che il segmento UT rppresent l tngente trigonometric dell ngolo, osservzione che spieg il nome dto l rpporto tr seno e coseno. Si riconosce inoltre il ftto che l funzione tngente srà positiv per ngoli compresi nel primo qudrnte, e negtiv per ngoli del qurto (l funzione è inftti dispri, in qunto rpporto di un funzione dispri con un funzione pri). Si vede inoltre come l tngente si periodic di periodo π : inftti, se ll ngolo di figur ggiungimo π, il punto P si spost nel terzo qudrnte sempre sull rett OT, e l su proiezione sull tngente indicherà ncor il punto T. L esme dell figur ci consente nche di giustificre un disuguglinz fondmentle, relti-

4 TE07_tr -fb- 5/10/007 5/10/007 VII - 4 v ll misur di un ngolo nel primo qudrnte, l suo seno ed ll su tngente: 0 sen tn. Si bdi l ftto che, l contrrio delle funzioni seno e coseno, l tngente e l cotngente non sono definite sull intero sse rele, m, come è evidente, l prim è definit solo dove cos 0, e l second solo dove sen 0. L condizione cos = 0 (d scrtre) è soddisftt nell intervllo [,π ] 0 dgli ngoli = π e = π + π ; dunque, tenendo conto dell periodicità, l equzione cos = 0 h come soluzione l insieme { R : = ( k + 1) π, k N }. Ne concludimo che il dominio D dell funzione tngente è dto d tutto R privto dell insieme precedente, cioè { R : = ( k + 1) k N } D = R \ π, Allo stesso modo, dl momento che sen = 0 port, sempre tr 0 e π, = 0 e = π sull intero sse rele ll insieme { R = k, k N } cotngente è dto d tutto R privto dell insieme precedente, cioè : π, concludimo che il dominio dell funzione { R : = k k N } D = R \ π,. Già l relzione fondmentle dell trigonometri ci vev mostrto come l conoscenz del vlore dell funzione seno fosse sufficiente determinre il vlore dell funzione coseno, e vicevers: bbimo visto inftti come ricvre dll relzione citt il coseno in funzione del seno, o vicevers il seno in funzione del coseno, fugndo nche ogni possibile un mbiguità sul segno d ttribuire lle rdici che è necessrio estrrre. Lo stesso discorso si può fre nche reltivmente lle ltre funzioni trigonometriche, nel senso che srà sempre possibile ricvre il vlore ssunto in corrispondenz d un ngolo d un qulsisi di esse prtire dll conoscenz del vlore ssunto d un ltr nello stesso ngolo. Con quest osservzione si costruisce l seguente tbell, sulle righe dell qule sono espresse le funzioni trigonometriche per mezzo di quell che intest l colonn. L mbiguità di segno presente in tutte le righe si elimin, come già ftto notre nel cso precedente di seno e coseno, considerndo il segno ssunto dll singol funzione in esme nei vri qudrnti. Preferimo lscire indicti i doppi segni piuttosto che scrivere quttro tbelle, un per ogni singolo qudrnte, in ognun delle quli si indicherebbe solmente il segno opportuno. sen cos sen tn cot /// ± 1 cos ± tn 1 + tn ± cot cos ± 1 sen /// ± tn ± cot 1 + cot tn ± sen 1 sen ± 1 cos cos /// 1 cot cot ± 1 sen sen ± cos 1 cos 1 tn ///, e

5 TE07_tr -fb- 5/10/007 5/10/007 VII - 5 Nell stesur dell tbell precedente si è ftto ricorso d un coppi di identità che mettono in relzione i vlori delle funzioni seno, coseno e tngente; e precismente tn sen = e 1 + tn cos = 1, l cui semplice verific lscimo l Lettore. 1 + tn Indichimo, senz per ltro drne dimostrzione, un coppi di formule di estrem importnz, che consentono di determinre seno e coseno di un somm di ngoli medinte le medesime funzioni clcolte per i singoli ddendi. Le formule citte sono le seguenti: sen cos Per seno e coseno di un differenz di ngoli, ( α + β ) = senα cos β + sen β cosα ( α + β ) = cosα cos β sen α sen β α β, possimo sfruttre le relzioni precedenti, con il semplice rtifizio di scrivere l differenz come somm dell opposto, α β = α + ( β ) Ricordndo che il seno è un funzione dispri, e dunque sen( α ) = sen α, ed il coseno è un funzione pri, e dunque cos ( α ) = cosα sen cos, bbimo. ( α β ) = sen( α + ( β ) ) = sen α cos( β ) + sen( β ) cosα = sen α cos β sen β cosα ( α β ) = cos( α + ( β ) ) = cosα cos( β ) sen α sen( β ) = cosα cos β sen α sen β. Con queste formule è fcile ricvre le nhe relzioni per l tngente e l cotngente dell somm (o dell differenz) di due ngoli; srà inftti sufficiente ricordre l definizione di tngente e cotngente come rpporto tr seno e coseno (e vicevers), ed pplicre le formule ppen ricvte per tli funzioni. che In prticolre, con le relzioni introdotte possimo ricvre si cos ( ) = sen( + ) = sen cos + sen cos sen cos sen = ( ) = cos( + ) = cos sen = 1 sen = cos 1. Dll second è nche possibile ricvre si il seno che il coseno di un ngolo qundo ne si conosciuto il coseno del doppio,. In questo modo srà possibile ricvre seno e coseno p.e. di un ngolo = π 1 prtire dl coseno (ben noto) di un ngolo = π 6. Inftti bbimo immeditmente cos = + ( 1 cos ) ( 1 cos ) sen =.

6 TE07_tr -fb- 5/10/007 5/10/007 VII - 6 π ( ) = ( ) = ( 3 ) 4, e sen 1 ( 3 ) = 4 Nell esempio, 1 = 1 + cos( π 6) cos + π. Possimo or giustificre un ffermzione ftt in precedenz, precismente quell reltiv ll possibilità di determinre i vlori delle funzioni trigonometriche in un qudrnte qulsisi qundo sino noti i loro vlori nel primo qudrnte. Quest osservzione spieg perché le eventuli tbelle di vlori di seno e coseno sono reltive i soli ngoli del primo qudrnte. Considerndo ngoli, per esempio, pprtenenti l secondo qudrnte, quindi con π π, posto = π + ', con 0 < ' = π < π, bbimo ( π + ' ) = sen π cos ' + cosπ sen ' = cos ' = cos( π ) sen = sen e dunque il seno di un ngolo del secondo qudrnte si ottiene come coseno dell ngolo riportto l primo qudrnte (cioè dell ngolo ottenuto togliendo π ll ngolo inizile); nmente, per l funzione coseno, ( π ) cos = sen ' = sen. Allo stesso modo possimo trovre il vlore delle funzioni trigonometriche per ngoli compresi nel terzo e qurto qudrnte in bse quelli di ngoli del primo. E nche immedit l verific che le funzioni tngente e cotngente sono periodiche di periodo π, come del resto già giustificto. Inftti, per R,, dunque sen cos ( + π ) = sen cosπ + sen π cos = sen ( + π ) = cos cosπ sen sen π = cos ( + π) ( + π) sen sen sen tn ( + π ) = = = = tn. cos cos cos Non diremo null ltro rigurdo l trigonometri pin, pur vendo ben presente che quest disciplin potrebbe essere sviluppt molto più lungo. Ci limitimo ricordre come un buon conoscenz delle poche formule or ricvte o semplicemente indicte poss iutre risolvere un clsse di problemi molto vst. 7. Funzioni inverse delle funzioni trigonometriche. Le funzioni trigonometriche, essendo periodiche, non possono essere invertibili nell intero loro dominio, in qunto viene certmente cdere l biunivocità dell corrispondenz tr vribili indipendente e dipendente, necessri per l

7 TE07_tr -fb- 5/10/007 5/10/007 VII - 7 invertibilità: sono però invertibili trtti, limittmente cioè quegli intervlli del loro dominio nei quli tle biunivocità si grntit. Se, per esempio, esminimo l ndmento dell funzione seno, vedimo che ess istituisce un corrispondenz biunivoc tr l vribile dipendente e l vribile indipendente qundo l si consideri nell intervllo [ π, + π ] 1 l vlore + 1. Il coseno invece decresce d + 1 1, nel qule ess cresce dl vlore nell intervllo [, π ] 0. Limittmente tli intervlli possimo prlre di un funzione invers del seno, dett funzione rcoseno, e di un funzione invers del coseno, dett funzione rcocoseno. Per chirire le ffermzioni precedenti, vedimo che, se si volessero considerre ngoli compresi tr 0 e π rdinti, ossi sull intero periodo, l scelt di un vlore per il seno, ovvimente tr 1 e + 1, port ll situzione dell figur, che v interprett l modo seguente. L scelt di un prticolre vlore del seno, s, riportt sull sse delle ordinte, determin su questo il segmento OS ; come si vede, questo segmento rppresent il seno dell ngolo α che sottende l rco UP, m nche il seno dell ngolo β che sottende l rco UQ : possimo scrivere si s = sen α che s = sen β. Pssndo or ll funzione invers, vremmo α = rcsen s m nche β = rcsen s, senz che questo implichi l uguglinz degli ngoli, che non sussiste. Dobbimo dunque scegliere tr queste possibilità in bse l qudrnte nel qule si vuole che cd l ngolo. E fcile vedere l relzione intercorrente tr i due ngoli, precismente meno di multipli di π. β = π α. Nturlmente entrmbi gli ngoli sono definiti Per il coseno il discorso è del tutto no, slvo il ftto che il vlore s scelto per il coseno deve venire riportto sull sse delle scisse, e i due ngoli, α e β, che ne vengono individuti sono quelli che sottendono rispettivmente gli rchi UP e UQ. Si vede llor che l relzione tr gli ngoli diviene β = α, qundo l rco UQ è pensto in verso orrio o, equivlentemente, β = π α qundo lo stesso rco è pensto in verso ntiorrio, quello positivo. Anche in questo cso ovvimente gli ngoli sono individuti meno di un fttore π. L ndmento dei grfici delle funzioni rcoseno e rcocoseno si ottengono d quelli dell funzione seno e dell funzione coseno, limittmente gli intervlli [ π, + π ] e [,+ π ] 0 rispettivmente, medinte rotzione ttorno ll digonle del primo e terzo qudrnte. Si fcci ttenzione l ftto che l tngente i grfici negli estremi degli intervlli di definizione, 1 e + 1, è verticle (dl

8 TE07_tr -fb- 5/10/007 5/10/007 VII - 8 momento che l tngente i grfici delle funzioni dirette sono orizzontli. Le funzioni rcoseno e rcocoseno sono legte dll notevole relzione rcsen = π rccos. Pssndo dll eguglinz tr ngoli precedente 1, ll eguglinz dei rispettivi seni, ottenimo d cui dunque sen ( rcsen ) = sen( π rccos ) ( rccos ) cosπ sen( rccos ) = cos( ) = sen π cos rccos = ; rcsen + rccos = π. E nche possibile definire l funzione invers dell tngente, che srà dett rcotngente, quest volt limittmente ll intervllo ( π, + π ). In questo cso però l funzione invers srà definit sull intero sse rele. Inftti nell intervllo ( π, + π ) vlori d ( π, + π ). l funzione tngente ssume tutti i + ; dunque l su invers srà definit sull intero sse rele, ssumendo vlori in Si fcci molt ttenzione non inventre e meno che mi usre inesistenti, nche se fscinose, identità per le funzioni inverse delle funzioni trigonometriche, cercndo nie con identità vlide per le funzioni dirette. Non esistono per esempio relzioni quli rcsen = 1 rccos, o rcsen rc tn =, o ltre ncor che fervide fntsie potrebbero escogitre. rccos Rotzioni di sistemi di riferimento A suo tempo bbimo insistito sul ftto che le coordinte introdotte in un insieme dipendono in modo essenzile dl riferimento in uso; in prticolre, bbimo nche visto come comportrci nel cso di un pino nel qule due sistemi di riferimento presentino tr loro un semplice trslzione. Er rimsto il cso ben diverso, e molto meno immedito, che si h per riferimenti ruotti. Considerimo dunque il generico punto P del pino che, in un primo sistem di riferimento, h coordinte (, y ), mentre, in un secondo riferimento, con origine comune l precedente m ssi ruotti di un ngolo ϑ, h coordinte ( ', y' ) queste due coppie di coordinte.. L figur precedente ci iuterà trovre il legme tr 1 Si ricordi che l eguglinz tr ngoli grntisce l eguglinz delle funzioni trigonometriche, mentre non è vero il vicevers.

9 TE07_tr -fb- 5/10/007 5/10/007 VII - 9 Per prim cos osservimo che l ngolo in P del tringolo LPH ' è ncor l ngolo ϑ, dl momento che i suoi lti incontrno novnt grdi i lti di questo (come si vede per esempio considerndo il tringolo relzioni seguenti: H ' OH ). Abbimo le ' = OL = OH ' + H ' L = OH ' + HL' y' = OM = PL = PL' LL' = PL' HH ' Per qunto rigurd l prim, dll considerzione del tringolo che HOH ', rettngolo in OH ' = OH cosϑ, e dl tringolo L' PH, rettngolo in L ', trovimo che H ', trovimo HL ' = PH sen ϑ. Dl momento che OH = e PH = KH = y, l prim relzione diviene ' = OH cosϑ + PH sen ϑ = cosϑ + y sen ϑ. Per l second, bbimo, ncor di tringoli precedenti, diviene dunque PL ' = PH cosϑ, e HH ' = OH sen ϑ. Ess y' = PL' HH ' y' = PH cosϑ OH sen ϑ = y cosϑ sen ϑ. L soluzione del nostro problem, ossi l determinzione del legme che deve intercorrere tr le coordinte del medesimo generico punto del pino, lette in sistemi di riferimento ruotti di un ngolo ϑ, letto come positivo in verso ntiorrio, è espress dlle due formule seguenti: ' = cosϑ + y' = sen ϑ + che bbimo ricvto soprttutto titolo di esercizio. y sen ϑ y cosϑ Nel cso più generle di sistemi di riferimento che presentino si trslzione che rotzione, si combinno questi risultti con quelli ottenuti l qurto cpitolo, e le relzioni ssumono l loro form più generle, divenendo ' = y' = ( 0' ) cosϑ + ( y y0' ) ( ) sen ϑ + ( y y ) 0' 0' sen ϑ cosϑ Potenze non intere. Come (funzione) potenz si intende un funzione nell qule l vribile indipendente compre come bse, e dunque un funzione del tipo α y =,

10 TE07_tr -fb- 5/10/007 5/10/007 VII - 10 con α, rele qulsisi, d esponente. E ben noto il cso in cui α è un numero intero, α N ; sppimo nche cos intendere se l esponente, intero, è negtivo: in questo cso l inter espressione ndrebbe spostt l denomintore con esponente positivo: = 1 (sempre che si 0 ). Simo nche in grdo di trttre espo- 1 nenti reciproci di numeri interi, quli : un tle espressione st significre l estrzione di rdice, dunque. Possimo quindi trttre potenze con esponente un numero rzionle, rpporto di numeri interi del tipo α = m n, con m n N, m n m 1 n n m ; inftti ( ) = =, o nmente n m n ( ) ( ) m m n = = 1, che è semplicemente un differente modo di presentre il risultto precedente. Rimrrebbe ncor il cso di un esponente rele non rzionle, che non si può mettere sotto form di frzione. Per estensione dl precedente, ccettimo nche questo cso: bsterà osservre che per qulsisi α irrzionle si potrnno trovre due numeri rzionli, prossimi d esso qunto si vuole, r 1 ed r, con r 1 < α < r, per i quli dunque l funzione potenz è definit. Il vlore, pprossimto, dell potenz per = α srà llor ssunto su volt intermedio tr r 1 ed r (si ricordi che l conoscenz estt di un numero irrzionle non è possibile, ed è rgionevole ccettre che un potenz con esponente irrzionle si su volt un numero irrzionle, d potersi trttre solmente in vi pprossimt) Funzioni esponenzili. Si dicono esponenzili quelle funzioni nelle quli l vribile indipendente compre come esponente di un numero rele detto bse: il cso più semplice srà così y =. L bse è un qulsisi numero rele mggiore di zero, con esclusione del numero uno, che priverebbe di significto l espressione. Un tle funzione è definit su tutto l sse rele, proprio in qunto si è posto > 0 : se così non fosse inftti l funzione non srebbe definit per qulsisi vlore dell che comportsse estrzione di rdici, come per esempio il vlore = 1. L funzione esponenzile è quindi sempre positiv ed ssume il vlore 1 nell origine, 0 = 1, indipendentemente dl vlore dell bse. Affermimo inoltre, senz drne dimostrzione, che l funzione esponenzile istituisce un corrispondenz biunivoc tr le vribili indipendente e dipendente: cioè dire che, se, ne segue che 1 1, e vicevers. Osservimo inoltre che l equzione = 0 non mmette soluzioni, in qunto non esisterà nes-

11 TE07_tr -fb- 5/10/007 5/10/007 VII - 11 sun vlore finito per l esponente tle che = 0. Nel cso in cui si bbi > 1, l funzione esponenzile risulterà crescente, dunque, se 1 <, nche 1 <. Sempre in questo cso, risult superiormente illimitt, e, come si us dire, per che tende d infinito nche tende d infinito, e si scrive: qundo divent sempre più piccolo, e cioè per + +. Al contrrio,,, pur rimnendo comunque sempre positiv, divent sempre più piccol, tendendo zero. Del resto, per < 0, vle =, e dunque = = 1 ; se, +, e + : di conseguenz 1 tende zero. Concludimo rissumendo le proprietà principli dell esponenzile con bse mggiore di 1, per ltro già indicte: esso è un funzione crescente, che ssume, un volt sol, tutti i vlori d 0 (ovvimente estremi esclusi). Il cso in cui si < 1 si può riportre quello precedente osservndo che, se < 1 1 > 1; posto llor p.e. 1 = b > 1 ottenimo y ( b) = b = b = = 1 1. Dunque l ndmento dell esponenzile con bse minore di uno, è quello che si otterrebbe per esponenzili con bse b = 1 > 1, condizione di cmbire in : quindi, sinistr diverge + (per ), e destr converge 0 ( + ). Ad ogni modo l unico esponenzile che voglimo ricordre, vist l su grnde importnz, è quello che h per bse il numero di Nepero (Npier) e, notorimente irrzionle, circ ugule, , o più semplicemente,, 7, come si vede mggiore di 1: un tle l esponenzile e, sottolinerne l importnz, è detto esponenzile nturle, o semplicemente esponenzile Logritmi. + Scelto un qulsisi numero R, con esclusione del cso = 1, diremo ritmo in bse di, e scriveremo y =, il numero rele y l qule si deve elevre l bse per ottenere. Il ritmo dunque è definito dll identità (inftti l bse viene elevt quel numero l qule è necessrio elevrl per ottenere, e non ne può risultre che ). L identità precedente mostr come, prità di bse, per su stess definizione il ritmo rppresenti l funzione invers dell funzione esponenzile (e vicevers, l funzione esponenzile, sempre prità di bse, rppresent l funzione invers dell funzione ritmo). Si

12 TE07_tr -fb- 5/10/007 5/10/007 VII - 1 vede immeditmente che l funzione ritmo è definit solmente per rgomenti strettmente positivi, cioè per > 0, (nessun esponente potrà inftti rendere negtivo l esponenzile se l bse è positiv!); inoltre dovrà versi, qulunque si l scelt dell bse, 1 = 0 (perché per qulsisi bse, vle l ffermzione 0 = 1 ), e = 1, perché qulunque numero si può intendere come elevto ll prim potenz. Se ci limitimo fin d subito considerre esclusivmente bsi > 1, l funzione ritmo risult crescente in tutto il suo cmpo di esistenz, nel qule ssumerà tutti i vlori compresi tr e +, cmbindo segno cvllo del punto = 1, nel qule, come visto, si nnull. Le considerzioni precedenti portno d un notevole conclusione illustrt qui di seguito. Considerndo come bse dei ritmi il numero 10, scelt che ovvimente non h bisogno di motivzioni, vedimo che un numero tle che si 100 < < 1000, deve vere un ritmo compreso tr e 3. Inftti, l stess cten di diseguglinze che vle per l vribile (dett nche ritmndo) deve vlere nche per i rispettivi ritmi, e dunque < 10 < ; dl momento però che 100 = 10, il suo ritmo è (è inftti il numero l qule occorre elevre l bse 10 per ottenere 100 ), e llo stesso modo il ritmo di 1000 è 3, l disuguglinz tr i ritmi diviene < 10 < 3. Ne deducimo che, per trovre l prte inter del ritmo di un numero qulsisi (purché positivo!), è sufficiente trovre l mssim potenz dell bse che gli si inferiore: l esponente di quest potenz rppresent l prte inter del ritmo. Se poi l bse è 10 (cos per ltro non grntit), l esponente dell mssim potenz si ottiene diminuendo di un unità il numero di cifre che compongono l prte inter del numero ssegnto: se per esempio fosse = ,00, numero che h un prte inter di sei cifre, il suo ritmo in bse 10 vrebbe come prte inter il numero 5, mentre il ritmo di , 01 vrebbe prte inter 6. Concludimo così che i ritmi in bse 10, ossi i ritmi decimli, tlvolt indicti con Log, con l loro prte inter dnno un ide dell ordine di grndezz del loro rgomento: se l prte inter di fosse 10, il numero srebbe (probbilmente) molto grnde, compreso tr 10 e 10 ; se 10 poi l prte inter del ritmo fosse 1000, il numero srebbe compreso tr 10 e 10. Qunto sopr esposto spieg perché, qundo in certi fenomeni le quntità coinvolte tendono divenire molto grndi, si preferisce trttrne i ritmi decimli llo scopo di rppresentrle in quntità rgionevoli. Il medesimo rgionmento si può pplicre nche i ritmi in bse differente d 10, m ovvimente in questo cso srebbe difficile dedurne un ordine di grndezz per il ritmndo, che è sempre pensto in bse decimle. Se inftti il ritmo fosse in bse e, non sreb-

13 TE07_tr -fb- 5/10/007 5/10/007 VII - 13 be immedito vedere qule si l su più grnde potenz minore, per esempio, di 135,4, meno di non riconoscere con immeditezz che e = 4 5 = 54,60 < 135,4 < 148,41 e, cos che ci permetterebbe di concludere che e 135, 4 è compreso tr 4 e 5, di modo che l su prte inter è 4. Elenchimo or le principli proprietà delle quli gode il ritmo, senz drne dimostrzione, rimndndo il Lettore interessto testi di specilità. L proprietà crtteristic (e forse principle) del ritmo è l seguente: ( 11 ) 1 =, + che ci permette di sostituire un somm d un prodotto. Inftti, per clcolre 1, si psserebbe i ritmi dei fttori, che ndrebbero sommti per trovre il ritmo del prodotto, dll cui conoscenz si ricverebbe il prodotto stesso. Quest proprietà è stt lungo ll bse di strumenti di clcolo, resi ormi obsoleti dll vvento dell elettronic, m molto utili suo qundo i clcoli venivno ftti con crt e mtit: evidentemente er (ed è tuttor) preferibile eseguire un somm piuttosto che un prodotto. Dll proprietà precedente discende l ltr per estensione, nche n = n per n N ; α = α per α R. Si rissume qunto sopr nell unic scrittur vlid per α, β R e per + R., 1 α β ( 1 ) = α 1 + β L ultim delle proprietà del ritmo che illustrimo è l seguente: = b +, per b R, con b 1, L ffermzione deve vlere per qulsisi > 0, quindi nche per = b : si ottiene così l relzione crtteristic = 1 = b, e cioè b b = 1 b per +, b R con, b 1, risultto che mostr qule relzione intercorr tr ritmi dello stesso numero clcolti in bsi diverse, e ci permette di conseguenz l conversione del ritmo d un bse,, d un ltr bse b, b : bbimo semplicemente

14 TE07_tr -fb- 5/10/007 5/10/007 VII - 14 b = b =, b dove il secondo pssggio è necessrio per poter scrivere il ritmo nell nuov bse esclusivmente in funzione di ritmi clcolti nell bse primitiv. Come si vede, si moltiplic il ritmo clcolto nell vecchi bse per l inverso del ritmo dell nuov bse, su volt clcolto nell vecchi bse. P.e. per pssre di ritmi in bse 10, detti ritmi decimli e reperibili fcilmente su pposite tvole, i ritmi in bse, scrivimo = (si osservi che il ritmo in bse si ottiene ppunto dl rpporto tr ritmi entrmbi in bse 10, reperibili dunque sulle medesime tvole). Quest osservzione spieg il perchè si trovino le tvole dei ritmi decimli e non quelle dei ritmi in bse (o in ltre bsi), o molti elbortori elettronici conoscno solmente i ritmi decimli, non quelli in bse nturle, o quelli in bse due, o quelli ncor in bse esdecimle. Tr le ltre possibili bsi nelle quli clcolre i ritmi ssume mssim importnz il numero di Nepero e, tnto che i ritmi in tle bse sono detti ritmi nturli, e sono indicti direttmente come ln (leggi: ritmo nturle di ). Le trsformzioni di ritmi decimli i ritmi nturli si ottengono, l solito, come e = ln = = = e Si noti come il ritmo nturle si mggiore di quello decimle (questo è inftti moltiplicto per un numero mggiore di 1), cos del tutto nturle dl momento che l nuov bse è minore dell bse precedente, e dunque le sue potenze crescono più lentmente. Ovvimente, il ritmo nturle è l funzione invers dell esponenzile (nturle), dl momento che y = y = ln e ; llo stesso modo, l esponenzile (nturle) rppresent l funzione invers del ritmo nturle.