Cenni sulla resistenza dei materiali

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1 Appunti di Elementi di Meccanica Cenni sulla resistenza dei materiali v novembre 2008

2 l b z x h x y y Figura 1: Modello di una trave Studio della trave Una parte delle strutture meccaniche può essere schematizzata, ai fini del calcolo strutturale, come una trave. Si definisce trave un corpo solido che presenta una dimensione molto maggiore rispetto alle altre due. Si definisce asse della trave una linea passante per la trave che si sviluppa lungo la sua dimensione maggiore. La definizione di trave è abbastanza generica, ma consente lo studio di una moltitudine di corpi di differente geometria. Si definisce lunghezza l della trave la lunghezza del suo asse, altezza h e larghezza b le altre due dimensioni trasversali rispetto alla lunghezza (vedi figura 1). 1 Proprietà geometriche di una sezione Prima di affrontare lo studio della trave, si riportano alcune proprietà delle sezioni che saranno utilizzate successivamente. Le sezioni sono individuate dall intersezione di un piano perpendicolare all asse della trave e la trave stessa. 2

3 Area L area A di una sezione corrisponde alla misura della superficie che questa sezione occupa nel piano che la contiene. Viene genericamente espressa in mm 2. Baricentro e assi principali Il baricentro di una sezione è un punto notevole della sezione, è il punto d incontro degli assi principali. L asse della trave passa per il baricentro della sezione. Esso giace sempre sugli eventuali assi di simmetria della sezione. Gli assi principali di una sezione sono sempre perpendicolari tra di loro e anch essi coincidono con gli assi di simmetria della sezione, se presenti. Momento d inerzia della sezione Il momento d inerzia I a di una sezione rispetto ad un asse a esprime numericamente la distribuzione della sezione rispetto all asse stesso. Nella presente trattazione si considereranno momenti d inerzia rispetto ai soli assi principali. Viene genericamente espresso in mm 4. Modulo di resistenza della sezione Il modulo di resistenza W a di una sezione rispetto ad un asse a è dato dal rapporto tra il momento d inerzia rispetto allo stesso asse e la semi-altezza (o semi-larghezza) della sezione rispetto a quell asse. Viene genericamente espresso in mm 3. Sezioni notevoli Segue un elenco di alcune sezioni notevoli e di formule per il calcolo delle proprietà introdotte. Gli assi indicati nei disegni sono assi principali. 3

4 b b h A = hb I x = bh3 12 I y = hb3 12 W x = bh2 6 W y = hb2 6 s A = hb (h 2s)(b 2s) h I x = bh3 (b 2s)(h 2s) I y = hb3 (h 2s)(b 2s) W x = bh2 (b 2s)(h 2s)2 6 6 W y = hb2 (h 2s)(b 2s)2 6 6 d A = π d2 4 I x = π d4 64 I y = π d4 64 W x = π d3 32 W y = π d3 32 d s A = π d2 π (d 2s)2 4 4 I x = π d4 π (d 2s) I y = π d4 π (d 2s) W x = π d3 π (d 2s) W y = π d3 π (d 2s)

5 N N Figura 2: Trave soggetta ad azione assiale 2 Casi di de Saint Venant De Saint Venant fu un matematico e fisico francese vissuto nel XIX secolo che studiò la trattazione matematica di diversi fenomeni che hanno tuttora grande rilevanza ingegneristica (tra questi l elasticità dei solidi e l idraulica). Formulò una serie di equazioni che consente, sotto certe ipotesi, il calcolo dello stato di sollecitazione in una trave. Nonostante i recenti sviluppi dei calcolatori e dei metodi numerici, le formule di de Saint Venant per la trave sono tuttora uno strumento indispensabile alla progettazione meccanica. Senza entrare eccessivamente nel dettaglio, si presenteranno alcuni risultati di questo studio che hanno una maggiore applicazione dal punto di vista ingegneristico. Verranno affrontati i casi dell azione assiale, della flessione retta e della torsione. 2.1 Azione assiale Si consideri una trave sollecitata alle estremità da una forza assiale N di trazione o compressione passante per l asse della trave (vedi figura 2). I diagrammi delle azioni interne nella trave sono nulli eccetto quello dell azione assiale che è costante e vale per l appunto N. Essendo l azione nella trave costante, tutte le sezioni sono ugualmente sollecitate (eccetto quelle d estremità, dove i carichi sono applicati). La sollecitazione è normale al piano contenente la sezione e costante (vedi figura 3), quindi lo sforzo σ z vale σ z = N A e viene genericamente misurato in N/mm 2. Si noti che una forza di trazione (definita positiva) causa uno sforzo positivo. A seguito di questa forza applicata si verifica anche una variazione della lunghezza della trave, che può essere quantificata ricorrendo prima al calcolo della deformazione. La relazione tra sforzo e deformazione in questo caso vale 5

6 x σ z y Figura 3: Andamento dello sforzo indotto nella sezione N N f z Figura 4: Freccia di una trave soggetta ad azione assiale σ z = Eε z dove E è il modulo di Young del materiale considerato. Il modulo di Young è espresso in N/mm 2. La deformazione a sua volta è definita come ε z = l l 0 l 0 dove l è la lunghezza della trave e l 0 ne è la lunghezza iniziale; ε z è una grandezza adimensionale. Riassumendo le formule viste si può ricavare una formula che esprime la freccia f z (variazione di lunghezza della trave rispetto alla dimensione iniziale, vedi figura 4) della trave f z = l l 0 = N EA l 0 6

7 M f M f Figura 5: Trave soggetta a flessione retta x σ z y Figura 6: Andamento dello sforzo indotto nella sezione 2.2 Flessione retta Si consideri una trave sollecitata alle estremità da una coppia M f agente nel piano yz (vedi figura 5). I diagrammi delle azioni interne nella trave sono nulli eccetto quello del momento flettente che vale per l appunto M f. Essendo l azione nella trave costante, tutte le sezioni sono ugualmente sollecitate (eccetto quelle d estremità, dove i momenti sono applicati). La sollecitazione è normale al piano contenente la sezione ed ha un andamento a farfalla. Varia linearmente e si annulla in corrispondenza di un asse principale (vedi figura 6). Lo sforzo σ z ha la seguente espressione σ z = M f I x y e viene anch esso misurato in N/mm 2. Va notato che lo sforzo σ z è positivo nel semipiano xy a y positive e negativo nell altra metà. Il momento flettente causa una flessione della trave, il cui asse si discosta dalla sua posizione iniziale di una quantità f y che varia lungo l asse e ha valore massimo in z = l (vedi figura 7). Il calcolo della 2 freccia massima porta al seguente risultato: 7

8 M f f y MAX M f Figura 7: Freccia di una trave soggetta a flessione retta M t M t Figura 8: Trave soggetta a torsione 2.3 Torsione f MAX y = M fl 2 8EI x L analisi della torsione in una trave non offre una soluzione generica; esistono però delle formule che consentono il calcolo di sforzi e deformazioni in travi con profili particolari. Verranno di seguito riportate formule per il calcolo di sezioni circolari e successivamente di sezioni chiuse in parete sottile. La distribuzione delle tensioni dovute alla torsione è più facilmente comprensibile ricorrendo ad un analogia. Tale distribuzione è simile alla distribuzione delle velocità di un liquido contenuto in un recipiente (di ugual forma del profilo) messo in rotazione a velocità costante attorno al proprio asse. Dopo una fase iniziale, il liquido è trascinato dalle pareti del contenitore e presenta una distribuzione di velocità che è proporzionale alla distanza dal centro di rotazione. Analogamente, considerando una trave soggetta a momento torcente, le tensioni generate avranno una distribuzione simile: crescenti dal baricentro verso l esterno, dove assumono valore massimo Torsione su cilindro circolare Si consideri una trave a sezione circolare sollecitata alle estremità da una coppia M t agente nel piano xy (vedi figura 8). I diagrammi delle azioni interne nella trave sono nulli eccetto quello del momento torcente che vale 8

9 τ t τt x x y y Figura 9: Andamento dello sforzo indotto nelle sezioni per l appunto M t. Essendo l azione nella trave costante, tutte le sezioni sono ugualmente sollecitate (eccetto quelle d estremità, dove i momenti sono applicati). La sollecitazione è tangenziale ad una circonferenza qualunque tracciata all interno della sezione e centrata nel baricentro. Il modulo della sollecitazione varia linearmente e si annulla in corrispondenza del baricentro (vedi figura 9). Lo sforzo τ t ha la seguente espressione τ t = M t r I p r = x 2 + y 2 dove I p è il momento polare d inerzia della sezione, dato dalla somma I x +I y. Anche lo sforzo tangenziale τ t è misurato in N/mm 2. Il momento torcente causa una rotazione delle sezioni della trave lungo l asse (vedi figura 10). Si definisce angolo unitario di torsione Θ l angolo formato tra due sezioni di distanza unitaria. L angolo Θ si calcola come Θ = M t GI p essendo G il modulo di elasticità tangenziale (unità di misura: N/mm 2 ), parametro caratteristico del materiale. Quindi l angolo relativo tra due sezioni distanti d è pari a Θd. 9

10 Θ l 2 Θl M t M t Figura 10: Deformazione di una trave soggetta a torsione x Ω y Figura 11: Area Ω Torsione su cilindro cavo Ricorrendo nuovamente all analogia idrodinamica, si può affermare che le tensioni all interno della sezione siano dirette parallelamente al bordo e assumano valore all incirca costante all interno del profilo (visto lo spessore ridotto, vedi figura 9). A questo si aggiunga l analogia alla conservazione della portata e si possono ottenere una serie di equazioni che consentono il calcolo dello stato di sollecitazione. L analogia con la portata consente di formulare τ t s = cost Il valore delle tensioni tangenziali τ t dipende quindi dallo spessore del profilo nella parte considerata della sezione. Il valore della costante vale τ t s = M t 2Ω 10

11 essendo Ω l area racchiusa dalla linea media del profilo (vedi figura 11). Il valore delle tensioni tangenziali si può quindi calcolare come τ t = M t 2sΩ Dalla precedente relazione si può evincere che il valore massimo delle tensioni si trova in corrispondenza dello spessore minimo del profilo. 2.4 Principio di sovrapposizione degli effetti I casi di de Saint Venant presentati affrontano il problema del calcolo dello stato di sollecitazione in presenza di un unico carico esterno. Si può prevedere inoltre la compresenza di più carichi agenti che di conseguenza modificano lo stato di sollecitazione. In questo caso lo stato di sollecitazione risultante è dato dalla somma degli stati di sollecitazione calcolati per ogni carico agente. Le componenti di sforzo presenti saranno tutte e sole le componenti di sforzo presenti nei singoli casi. Il modulo delle componenti di sforzo presenti in più casi sono il risultato della somma algebrica di quella dei singoli casi. Ad esempio di consideri una trave soggetta a carico assiale N e momento flettente M f. La sforzo massimo σz MAX è dato dalla somma di σ MAX z = N A + M fh 2I x e l andamento è quello rappresentato in figura. Nel caso in cui anche un momento torcente M t fosse applicato, si avrebbe uno sforzo tangenziale τ calcolabile a seconda della geometria della sezione impiegata. 11

12 3 Esempi di travi sollecitate P σ max = P l 4W x f y = P l3 48EI x q σ max = ql2 8W x f y = 5ql4 384EI x P σ max = P l W x f y = P l3 3EI x q σ max = ql2 2W x f y = P l3 8EI x 12

13 σ σ R ε Figura 12: Diagramma σ ε per materiali fragili 4 Criteri di resistenza per travi (cenni) Il calcolo dello stato di sollecitazione non è ovviamente fine a se stesso ma costituisce la prima parte nel processo di stima della resistenza di una struttura. Il principio che sta alla base di ogni criterio di resistenza è quello di fornire un valore numerico (od una serie di valori numerici) che possano essere confrontati con dei parametri tipici del materiale impiegato. I criteri di resistenza cambiano fortemente a seconda del materiale e dell utilizzo della struttura, nonché dello stato di sollecitazione. 4.1 Rottura per materiali fragili I materiali a comportamento fragile (come il vetro o la ghisa ad esempio) si rompono senza subire grandi deformazioni. Dal punto di vista della sollecitazione si verifica un superamento di un valore critico (che qui verrà indicato con σ R ) che causa la rottura (vedi figura 12). 13

14 σ σ R σ P ε Figura 13: Diagramma σ ε per l acciaio 4.2 Rottura per materiali duttili I materiali a comportamento duttile (come l acciaio) per contro subiscono deformazioni molto più accentuate prima che avvenga la rottura. Inoltre per alcuni materiali, superata un certa soglia, la deformazione è permanente. Questa condizione può da un lato precludere il corretto funzionamento della struttura, dall altro costituisce un importante indice di allarme. Il fenomeno prende il nome di snervamento e va comunque evitato. L acciaio tipicamente presenta l andamento sforzo-deformazione indicato in figura 13. Il primo tratto della curva è rettilineo, quindi lo sforzo è direttamente proporzionale alla deformazione. Al raggiungimento del valore di sollecitazione di snervamento si verificano dei fenomeni irreversibili all interno del materiale che causano deformazioni permanenti. In corrispondenza di questo valore di sollecitazione si verificano deformazioni a sollecitazione costante. Questo valore di soglia della sollecitazione, oltre il quale si verificano deformazioni permanenti, è indicato come σ P, sollecitazione di scostamento dalla proporzionalità. Aumentando ulteriormente la sollecitazione, il materiale si deforma secondo un andamento non lineare tra sforzo e deformazione sino a raggiungere il punto di rottura. La sollecitazione massima in corrispondenza della quale si ha rottura è denominato σ R. 14

15 4.3 Criterio di resistenza per le travi Per le travi esistono diversi criteri di resistenza, qui verrà riportato solamente il criterio di von Mises. Per la sua applicazione è necessario calcolare lo stato di sollecitazione per tutti i carichi e sovrapporre gli effetti nel punto più sollecitato della sezione. In corrispondenza di questo punto lo stato di sollecitazione è descritto dalla coppia ( σ, τ). Il criterio di resistenza porta al calcolo di un valore equivalente σ eq pari a σ eq = σ τ 2 Il valore equivalente così ottenuto deve essere ragionevolmente inferiore al valore ammissibile per il materiale considerato. Durante la progettazione di una struttura ci sono una serie di eventi che non sono completamente prevedibili (tra i quali l incertezza del modello, la presenza di difetti nei materiali,... ), ragione per la quale è bene prevedere una riserva di resistenza, disponibile nel caso in cui qualcosa non vada per il verso giusto. Da questa osservazione si introduce il coefficiente di sicurezza η, misura di questa riserva. Il coefficiente di sicurezza viene definito come η = σ amm σ eq dove σ amm è il valore ammesso di sollecitazione per il materiale in questione. Le normative prevedono i valori minimi di questo coefficiente di sicurezza. 5 Problematiche ulteriori L analisi presentata in questi appunti è estremamente semplificata e non si è tenuta in considerazione una serie di fenomeni che richiederebbe una trattazione approfondita. L importanza di questi fenomeni non va assolutamente trascurata, motivo per il quale se ne farà un breve accenno. 5.1 Fatica Accennando alla resistenza dei materiali si è parlato di rottura per materiali fragili e di snervamento per materiali duttili come fenomeni critici. In realtà alcuni materiali (prevalentemente metallici ma anche polimeri e ceramiche) soggetti a carichi variabili nel tempo mostrano un danneggiamento non direttamente riconducibile ai due fenomeni prima descritti. La presenza di carichi variabili nel tempo, o ciclici, porta alla rottura (apparentemente di tipo fragile, in quanto improvvisa) per livelli di sollecitazione 15

16 Figura 14: Esempio di curva di Wöhler abbondantemente al di sotto del limite di rottura fragile o di snervamento. Questo fenomeno prende il nome di fatica meccanica. Il grafico in figura 14 mostra il rapporto tra sollecitazione massima e numero di cicli ai quali si è verificata una rottura. Tanto maggiore è la sollecitazione tanto minore è il numero di cicli di carico sopportati dal materiale. Va notato che fino a 1000 cicli circa il fenomeno della fatica non si verifica; al di sopra di questa soglia la resistenza meccanica si abbatte fino a raggiungere valori pari a meno della metà rispetto al valore di rottura statica. Il grafico riportato è costruito mediante prove sperimentali e successiva analisi statistica dei risultati. La fatica è un fenomeno complesso influenzato da una molteplicità di fattori, sia meccanici che metallurgici. Esistono delle formule che consentono di stimare la vita meccanica di una struttura soggetta a carichi ciclici. Visto l approccio prettamente sperimentale nell analisi del fenomeno, la vita meccanica viene stimata in maniera probabilistica. 5.2 Instabilità elastica L instabilità elastica è un fenomeno per il quale una struttura si deforma secondo modalità differenti rispetto a quelle previste per i carichi applicati. L esempio più evidente è l instabilità di una trave dovuta ad un carico di 16

17 Figura 15: Instabilità di una trave soggetta a carico di punta Figura 16: Instabilità dei binari ferroviari compressione che supera una certa soglia e che induce flessione nella trave stessa (vedi figura 15). Si riscontra un comportamento analogo (ma con cause differenti) nella deformazione dei binari ferroviari (anche i ponti ne sono un esempio notevole) dovuta all eccessivo surriscaldamento del materiale che li costituisce. Il materiale si dilata e crea delle azioni interne di compressione che causano a loro volta la deformazione flessionale. Nelle figure 16 e 17 sono riportate delle fotografie di strutture che hanno subito tali deformazioni. In entrambi i casi si verifica un superamento di un valore del carico (e quindi della sollecitazione) che provoca il collasso della struttura. Per collasso si intende uno scostamento della struttura dalle condizioni per le quali è stata progettata. La pericolosità dell instabilità elastica risiede proprio qui: nel momento in cui la struttura diviene soggetta a carichi non previsti in sede di progetto, la sua resistenza non è garantita. È buona pratica ingegneristica quindi assicurarsi che i carichi non raggiungano quei valori critici oltre i quali la struttura può incorrere nell instabilità. 17

18 Figura 17: Instabilità di un ponte dovuta a dilatazione termica 6 Conclusione La resistenza delle strutture può essere stimata mediante l impiego di metodi di calcolo che portano alla conoscenza dello stato di sollecitazione del materiale. L analisi sperimentale fornisce i valori di sollecitazione che causano la rottura in corrispondenza di particolari condizioni, tra le quali la resistenza a carico statico o ciclico. L impiego di alcuni criteri di resistenza consente il confronto diretto tra i valori calcolati e quelli misurati sperimentalmente. L applicazione delle normative e il buon senso suggeriscono l introduzione dei coefficienti di sicurezza che garantiscono ulteriore resistenza alla struttura qualora questa si trovasse in condizioni diverse da quelle di progetto. 18