Elementi di Logica Le forme del ragionamento

Transcript

1 Elementi di Logica Le forme del ragionamento Corso di Logica e Filosofia della scienza, a.a

2 Il principale oggetto di studio della logica è il ragionamento, con particolare attenzione per il pensiero deduttivo, nel quale un ruolo centrale è svolto da nozioni come inferenza conseguenza deduzione...

3 Il punto di partenza della logica formale è la nozione tradizionale della logica, il ragionamento: il ragionamento è un susseguirsi o un fluire di affermazioni che si suppone siano legate da certe relazioni, o legami di consequenzialità, che se rispettati danno al ragionamento il carattere di ragionamento corretto, o argomento valido.» G. Lolli, Introduzione alla logica formale (1991), p. 13

4 Forme dell argomentazione (induzione/deduzione,...) Struttura dei linguaggi (sintassi/semantica, linguaggio naturale...) LOGICA Dimostrazione (fondamenti della matematica) Algoritmi & Calcolabilità (fondamenti dell informatica e delle scienze cognitive)

5 Logica (formale) e linguaggio naturale: rapporto complesso! Da un lato, infatti, la logica formale costruisce strutture artificiali (i linguaggi logici), tra i cui scopi c è anche quello di chiarire e talvolta correggere o eliminare le numerose ambiguità del linguaggio naturale Da un altro lato, tuttavia, il linguaggio naturale costituisce un termine di confronto irrinunciabile per la logica, dal momento che anche il linguaggio naturale ha una sua struttura interna cui la logica è interessata Inoltre la linguistica moderna cioè la scienza del linguaggio ha profondi contatti teorici con la logica (faremo dei cenni più avanti nel corso)

6 Enunciato (dichiarativo): espressione linguistica che rappresenta un fatto o stato di cose e che può ricevere un valore di verità ( vero o falso ). Esempi: l espressione è un enunciato, mentre le espressioni non sono enunciati. Isaac Asimov scriveva romanzi C è nessuno in casa? Vietato fumare!

7 Distinzione enunciato/proposizione Enunciato = espressione linguistica di cui ha senso chiedersi se è vera o falsa Proposizione = contenuto o senso di un enunciato «Paolo mangia la mela» 2 enunciati, 1 proposizione «La mela è mangiata da Paolo»

8 Data una simile definizione, esistono alcuni tipi generali di domande alle quali la logica si incarica di rispondere: Cosa significa che un enunciato implica un enunciato B? Ammettendo di sapere che effettivamente l enunciato A implica l enunciato B, come possiamo giustificare una simile implicazione? Nel caso di una generica implicazione A B la logica mira dunque a isolare le proprietà che ogni implicazione di questo tipo è tenuta a soddisfare, quali che siano i particolari contenuti e significati impliciti negli enunciati A e B.

9 Natura formale della logica: le analisi della logica risultano, entro certi limiti, indipendenti dal significato degli enunciati coinvolti, cioè valgono in virtù della sola forma logica degli enunciati stessi e delle relazioni che li collegano. Per esempio, nel caso di una generica implicazione A B la logica mira dunque a isolare le proprietà che ogni implicazione di questo tipo è tenuta a soddisfare, quali che siano i particolari contenuti e significati impliciti negli enunciati A e B.

10 LOGICA ENUNCIATIVA (o PROPOSIZIONALE) Elementi di base e prime definizioni informali Argomento (o argomentazione) Definizione informale: Insieme strutturato di enunciati nel quale un certo insieme di enunciati (detti premesse) sono offerte come base per giustificare la fondatezza di un altro enunciato (detto conclusione).

11 Esempi: Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo quindi Socrate è mortale Giulio non era alla festa quindi non può essere stato lui a rubarti la bicicletta

12 Gli argomenti possono essere corretti (validi) o scorretti (non-validi) Gli enunciati possono essere veri o falsi IMPORTANTE! Bisogna distinguere tra CORRETTEZZA (VALIDITÀ) o SCORRETTEZZA (NON-VALIDITÀ) di un argomento e VERITÀ o FALSITÀ di un enunciato

13 CORRETTEZZA (VALIDITÀ) di un argomento Un argomento è corretto se non può darsi il caso che le sue premesse siano vere e la sua conclusione sia falsa. Quando un argomento è corretto, diremo che la conclusione è conseguenza logica delle premesse. Attenzione! Un argomento può essere corretto anche se una o più premesse non sono vere.

14 Esempi L argomento Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo quindi Socrate è mortale è corretto (perché le premesse implicano logicamente la conclusione) e le sue premesse sono vere.

15 L argomento Tutti gli ippogrifi volano In Australia esistono gli ippogrifi quindi In Australia c è almeno un animale che vola è corretto perché le premesse implicano logicamente la conclusione, anche se almeno una premessa è falsa.

16 L argomento Tutti i cavalli sono mortali Furia è un cavallo quindi George Clooney è statunitense non è corretto perché le premesse non implicano logicamente la conclusione, anche se sia le premesse sia la conclusione sono enunciati veri.

17 Attenzione! Una successione di enunciati può essere un argomento, anche se non è immediato riconoscerla come tale. Esempio: C è bisogno di altra morfina. Abbiamo 9 feriti e solo 5 dosi di morfina.

18 Distinzione tra Argomento deduttivo / Argomento induttivo Distinzione tra Enunciati universali Enunciati particolari Enunciati singolari

19 Enunciati universali: enunciati che iniziano con espressioni come tutti, ogni, ciascuno, ecc. (enunciati che riguardano dunque un intero gruppo di individui). Es.: Tutti gli uomini sono mortali, I cani sono mammiferi Enunciati particolari: enunciati che iniziano con espressioni come alcuni, certi, qualche, un, ecc. Es.: Alcuni uomini sono biondi Enunciati singolari: enunciati il cui soggetto è uno specifico individuo. Es.: Renzo Piano è un architetto

20 Si usa dire che Argomento deduttivo: argomento dall universale al particolare (o singolare) Argomento induttivo: argomento dal particolare (o singolare) all universale Questo è vero in molti casi, ma non in tutti!

21 Esempi: L argomento Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo quindi Socrate è mortale è deduttivo ed effettivamente procede dall universale al singolare.

22 L argomento Nadal è mortale Djokovic è mortale Federer è mortale... quindi Tutti i tennisti sono mortali è induttivo ed effettivamente procede dal singolare all universale.

23 Per vedere però che l associazione Deduttivo dall universale al particolare Induttivo dal particolare all universale ammette delle eccezioni, consideriamo il seguente argomento Se Dio può ingannare, allora è malvagio Dio non è malvagio quindi Dio non può ingannare Questo argomento è deduttivo ma non procede dall universale al particolare.

24 Caratterizzazione più generale per la distinzione deduttivo/induttivo Premesse Argomento deduttivo necessario Conclusione Premesse Argomento induttivo non necessario Conclusione

25 Natura formale della logica: i due argomenti Se Dio può ingannare, allora è malvagio Dio non è malvagio quindi Dio non può ingannare Tutti gli uomini sono mortali Socrate è un uomo quindi Socrate è mortale sono esempi dei seguenti schemi di argomenti Se P allora Q Non Q quindi Non P Tutto ciò che ha F ha G m ha la proprietà F quindi m ha la proprietà G = parole logiche

26 Enunciati composti e valori di verità Nella logica enunciativa, enunciati come Isaac Asimov scriveva romanzi esprimono fatti semplici, vale a dire fatti non ulteriormente analizzabili. Enunciati di questo tipo vengono definiti atomici. È naturalmente possibile introdurre enunciati composti (o molecolari), generati a partire da un certo numero di proposizioni atomiche.

27 L enunciato Isaac Asimov scriveva romanzi e Italo Calvino era nato a Cuba rappresenta un enunciato composto, generato mediante l applicazione di una particella ( e ) ai singoli enunciati atomici Isaac Asimov scriveva romanzi Italo Calvino era nato a Cuba

28 Si definiscono connettivi quelle particelle del linguaggio che non sono provviste in sé di significato ma che permettono di formare enunciati composti a partire da enunciati atomici. Connettivi principali della logica enunciativa: - non (connettivo unario, si applica a un singolo enunciato) - e, o, se...allora (connettivi binari, si applicano a coppie di enunciati).

29 Esempi di applicazione dei connettivi a enunciati dati: Isaac Asimov scriveva romanzi non Isaac Asimov non scriveva romanzi Isaac Asimov scriveva romanzi, Italo Calvino era nato a Cuba e, o Isaac Asimov scriveva romanzi e Italo Calvino era nato a Cuba Isaac Asimov scriveva romanzi o Italo Calvino era nato a Cuba Isaac Asimov scriveva romanzi, Italo Calvino era nato a Cuba se...allora Se Isaac Asimov scriveva romanzi allora Italo Calvino era nato a Cuba

30 In simboli: Connettivi Linguaggio Linguaggio naturale formale negazione non congiunzione e disgiunzione o implicazione se...allora

31 Se rappresenta un generico connettivo, possiamo usare la seguente notazione: se A, B sono due enunciati atomici qualsiasi, il connettivo è rappresentato in forma funzionale come : {A, B} A B dove il simbolo A B rappresenta l enunciato molecolare. Esempio: se rappresenta il connettivo (congiunzione), la rappresentazione funzionale di è : {A, B} A B

32 Sulla base delle nozioni di enunciato atomico e composto e della nozione di verità, si pone allora in modo naturale il seguente problema: come si comporta la verità rispetto alla composizione di enunciati composti a partire da un certo numero di enunciati atomici? Cioè: dato : { A, B } A B A può singolarmente essere V o F B può singolarmente essere V o F Cosa succede di A B?

33 Proprietà fondamentale dei connettivi logici di base (enunciativi) I connettivi si comportano come funzioni di verità: i valori di verità degli enunciati atomici determinano univocamente il valore di verità dell enunciato composto. I connettivi della logica proposizionale si dicono verofunzionali: il valore di verità di un generico enunciato P è funzione dei valori di verità degli enunciati atomici che compongono P. In altre parole, Val di A fissato, Val di B fissato Val di A B fissato

34 Il comportamento di ogni connettivo rispetto al valore di verità di un generico enunciato è regolato da un particolare strumento teorico, detto tavola di verità. Le tavole di verità rappresentano di fatto degli algoritmi per calcolare il valore di verità di un generico enunciato.

35 TAVOLA DI VERITÀ DI Congiunzione A B V V V V F F F F V F F F

36 TAVOLA DI VERITÀ DI Disgiunzione A B V V V V V F F V V F F F

37 TAVOLA DI VERITÀ DI Implicazione A B V V V V F F F V V F V F

38 TAVOLA DI VERITÀ DI negazione A F V V F

39 TAVOLA DI VERITÀ DI ( se e solo se ) A B V V V V F F F F V F V F

40 Carattere algoritmico delle tavole di verità valore di A, valore di B Procedura meccanica valore di (A B), dove è un connettivo qualsiasi

41 Proviamo ora ad applicare le tavole di verità, risolvendo un semplice esercizio. Prima di tutto definiamo tautologia (o verità logica) un enunciato che riceve valore di verità V per qualsiasi assegnazione di valore di verità ai suoi enunciati componenti. Verifichiamo poi se un dato enunciato è una tautologia, calcolandone il valore di verità. In base alla definizione di tautologia, quell enunciato sarà una tautologia soltanto se riceverà sempre il valore di verità V, cioè se avrà tale valore quale che sia il valore di verità degli enunciati componenti.

42 Sia dunque dato un certo enunciato, per esempio (p q) ( q p) p q ( p q ) ( q p) V V V V V V F V V F V V F V F F V V F F F V F V F V V V F V V V F F F F V F V V F V V F Nella colonna del connettivo (il connettivo principale dell enunciato) troviamo sempre V. L enunciato dato riceve cioè valore di verità V per ogni assegnazione di valore di verità agli enunciati componenti, e risulta dunque una tautologia.

43 Vediamo ora la proposizione (p q) (q p) p q (p q) (q p) V V V V V V V V V V F V F F F F V V F V F V V F V F F F F F V F V F V F Sotto il connettivo principale non troviamo sempre il valore V per qualsiasi assegnazione di valore di verità agli enunciati componenti: l enunciato dato non è una tautologia.

44 È ragionevole che (p q) (q p) non sia una tautologia. Se lo fosse, questo significherebbe che data una qualsiasi implicazione noi siamo sempre legittimati a invertire il senso dell implicazione. Esempio: p = Io sono un cittadino italiano q = Io sono un cittadino europeo Se (p q) (q p) fosse una tautologia, allora assumere l implicazione Io sono un cittadino italiano Io sono un cittadino europeo giustificherebbe anche immediatamente l implicazione Io sono un cittadino europeo Io sono un cittadino italiano

45 Formalizzazione: qualche esercizio Linguaggio naturale Linguaggio enunciativo p = «piove», n = «nevica» «Piove ma non nevica» p n «Non è vero che sia piove sia nevica» «Piove se e solo se nevica» «Se piove e nevica, allora nevica» «O piove e nevica, o piove ma non nevica» (p n) p n (p n) n (p n) (p n)

46 Verso un linguaggio formale per la logica enunciativa Scopo principale nella costruzione di un linguaggio formale: evitare le ambiguità del linguaggio naturale nell indagine sulla struttura logica degli argomenti.

47 Il linguaggio artificiale più semplice di cui ci occuperemo è il linguaggio della logica enunciativa, composto dei seguenti elementi: 1. Alfabeto descrittivo: un insieme di variabili enunciative (eventualmente infinito), indicate con p, q, r, Alfabeto logico: connettivi di congiunzione ( ), disgiunzione ( ), implicazione ( ), negazione ( ) 3. Alfabeto ausiliario : simboli speciali ( ) e,

48 Una formula del linguaggio enunciativo è dunque una qualsiasi successione finita di simboli: q r, (s s), st, p r Si vede subito che non tutte queste successioni possono rappresentare effettivamente degli enunciati: come è possibile distinguere in modo adeguato tra formule che rappresentano enunciati (che chiameremo ben formate) e formule prive di significato? Mediante un particolare tipo di definizione, detta induttiva o ricorsiva.

49 Una definizione induttiva, o ricorsiva, è una definizione che caratterizza un certo insieme mediante l applicazione di certe operazioni a certi elementi di base dell insieme. Questo tipo di definizione serve a dominare con mezzi finiti un insieme che di fatto è infinito (perché il numero di formule ben formate è in linea di principio infinito).

50 Esempio: definizione ricorsiva dell insieme N dei numeri naturali, sulla base della relazione primitiva successore. BASE: 0 è un numero naturale; PASSO: Se n è un numero naturale, anche il successore di n è un numero naturale; CHIUSURA: Nient altro è un numero naturale.

51 Prima di fornire la definizione di formula ben formata, però, è necessario introdurre la nozione di meta-variabile. I simboli p, q, r,. del nostro alfabeto descrittivo funzionano come variabili nel senso che uno qualsiasi di questi simboli sta per un enunciato. Nella definizione induttiva di formula ben formata, avremo bisogno di simboli che stanno per le variabili enunciative. Chiameremo questi simboli meta-variabili (variabili di secondo grado ): simboli che stanno per altri simboli.

52 IN SINTESI Enunciato (es.: «Mario mangia la mela») Variabile enunciativa p (variabile che sta per un possibile enunciato come «Mario mangia la mela») Meta-variabile α (variabile che sta per una possibile variabile enunciativa come p)

53 Definizione RICORSIVA di formula ben formata (fbf) in un linguaggio enunciativo BASE: Ogni variabile enunciativa è una fbf. PASSO: 1) Se α è una fbf, allora anche α è una fbf. 2) Se α, β sono fbf, allora anche α β è una fbf. 3) Se α, β sono fbf, allora anche α β è una fbf. 4) Se α, β sono fbf, allora anche α β è una fbf. CHIUSURA: Nient altro è una fbf. Una sottofbf è una parte di una fbf che è anch essa una fbf.

54 Occorrenza (di un simbolo): modalità di comparizione di quel simbolo in una fbf. Prima occorrenza di p Seconda occorrenza di p (p q) ( q p) Prima occorrenza di q Seconda occorrenza di q Nota: si parla nello stesso senso di occorrenza di un connettivo.

55 Campo (di un connettivo): La più piccola fbf in cui occorre quel connettivo. Es: nella fbf (p q) ( q p) il campo della prima occorrenza di è (p q) il campo della prima occorrenza di è il campo di è l intera formula. Quando il campo di un dato connettivo è l intera formula, quel connettivo si chiama principale.

56 Calcolo logico per la logica enunciativa Verifica della correttezza di un argomento esprimibile in logica enunciativa Date le fbf α1,, αn, β, la forma generale di un argomento in logica enunciativa sarà α1,, αn/ β dove α1,, αn = premesse β = conclusione / = simbolo di inferenza («quindi»)

57 Consideriamo il seguente argomento in lingua naturale: «Se Mario ha studiato, allora Mario ha passato l esame di logica. Mario ha passato l esame di logica, quindi Mario ha studiato.» 1) Come è possibile formalizzare questo argomento? 2) In versione formalizzata, si tratta di un argomento corretto? Risulta cioè che, ogni volta che le premesse sono vere, anche la conclusione è vera?

58 Se Mario ha studiato allora Mario ha passato l esame di logica [p] [q] Mario ha passato l esame di logica [q] quindi Mario ha studiato [p] Formalizzazione ((p q) q) p

59 ((p q) q) p V V V V V V V V F F F F V V F V V V V F F F V F F F V F Conclusione: l argomento non è corretto, perché esiste almeno un caso in cui le premesse sono vere e la conclusione è falsa (la terza riga).

60 Calcolo logico per la logica enunciativa Calcolo del valore di verità delle premesse, per ogni possibile assegnazione di valori di verità degli enunciati atomici che compongono le premesse Due casi possibili: 1) In tutte le assegnazioni in cui sono vere le premesse è vera anche la conclusione argomento corretto 2) Esiste almeno un assegnazione in cui sono vere le premesse ma la conclusione è falsa argomento scorretto

61 Esempio del caso possibile 1: p q, q / p p q (p q), q / p) V V V F F V F F V F F V V F V F F V V V Ogni volta (nel nostro caso una sola volta) che le premesse risultano entrambe vere, anche la conclusione è vera: dunque l argomento è corretto.

62 Esempio del caso possibile 2: p q, p / q p q (p q) p / q) V V V F F V F F F V F V V V F F F V V V Questa volta esiste un caso in cui le premesse risultano entrambe vere ma la conclusione falsa: dunque l argomento è scorretto.

63 Argomenti e forme condizionali corrispondenti Dato un qualsiasi argomento α1,, αn/ β, definiamo forma condizionale corrispondente di questo argomento la fbf (α1 αn) β Si dimostra che Un argomento è corretto se e solo se la sua forma condizionale corrispondente è una tautologia.

64 Caso possibile 1: Argomento Forma condizionale p q, q / p [(p q) q] p corretto tautologia Caso possibile 2: Argomento Forma condizionale p q, p / q [(p q) p] q scorretto non-tautologia