Esercizio 1. min. Esercizio 2. Esercizio 3

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1 A UNIVERSIÀ DEGLI SUDI ROMA RE Ricerca Operativa Primo appello gennaio 00 Esercizio Portando il problema in forma standard si aggiungono le variabili e 4. Impostando il problema artificiale è sufficiente introdurre una variabile sul secondo vincolo (come in figura). La base iniziale è quindi B = A, A. Al primo pivot entra A ed esce A. Fine della fase, inizia la fase. Al successivo pivot entra A ed esce A, quindi entra A 4 ed esce A. Al successivo pivot entra A ed il problema risulta inferiormente illimitato. + + = = 6 condizioni di ortogonalità, si ottiene la soluzione u 0 / 9 0 / 9 che è ammissibile duale. = ( ) La soluzione = ( 0 ) data è quindi ottima. Esercizio ma u + u + u 4u + u + u u u u u + 0u + u u ; u ; u Esercizio In tabella è riportato il peso degli archi di un grafo non orientato con 9 nodi 9. rovare l albero ricoprente di peso imo, a partire dal nodo, utilizzando l algoritmo di Prim-Dijkstra. Indicare in quale ordine vengono aggiunti archi all albero ricoprente (in quale ordine vengono fissati ad i flag dei nodi del grafo). Archi (,) (,4) (,) (,4) (,) (,6) (,6) (4,) (4,7) (,6) (,7) (,8) (6,8) (6,9) (7,8) (8,9) Costi I nodi del grafo vengono fissati ad nell ordine,,6,,,4,8,7,9. Discutere i problemi di programmazione lineare in forma standard, dimostrando in particolare che se esiste soluzione ottima, esiste un vertice ottimo.

2 B UNIVERSIÀ DEGLI SUDI ROMA RE Ricerca Operativa Primo appello gennaio 00 Esercizio Portando il problema in forma standard si aggiungono. le variabili e 4. Impostando il problema artificiale è sufficiente introdurre una variabile sul secondo vincolo (come in figura). La base iniziale è quindi B = A, A. Al primo pivot entra A ed esce A ; al secondo entra A ed esce A. Fine della fase, inizia la fase. Al successivo pivot entra A ed esce A, quindi entra A 4 ed il problema risulta inferiormente illimitato. + = = 6 condizioni di ortogonalità, si ottiene la soluzione u = ( 0 / 7 / 7) che NON è ammissibile duale (viola la condizione 0 ). La soluzione Esercizio u = ( 0 ) data quindi NON è ottima. + ma u + 0u + u u u + u u + u + u 4u + u u u ; u ; u Esercizio In tabella sono riportati gli archi di un grafo con 8 nodi, e sono dati i valori di capacità degli archi ed un flusso ammissibile. A partire dal flusso dato trovare il massimo flusso inviabile dal nodo al nodo 8 con l algoritmo di Ford e Fulkerson. Archi (,) (,) (,4) (,) (,7) (4,) (4,6) (,6) (6,8) (7,6) (7,8) Capacità Flussi Il flusso iniziale entrante nel nodo 8 è pari a 4. Cercando dei cami aumentanti si ottengono i cami: 7 8 (flusso aumentante: ); INV (flusso aumentante: ); 6 8 (flusso aumentante: ). La successiva ricerca si arresta dopo aver raggiunto I nodi,,,4,,7. Il taglio di capacità ima è quindi dato dagli archi: (4,6); (,6); (7,6); (7,8). Infatti la capacità degli archi tagliati è 0, pari al flusso trovato. Discutere il problema dell albero ricoprente di peso imo, dimostrando in particolare la correttezza degli algoritmi di Prim e di Kruskal.

3 C UNIVERSIÀ DEGLI SUDI ROMA RE Ricerca Operativa Primo appello gennaio 00 Esercizio Portando il problema in forma standard si aggiungono successivo pivot entra A le variabili e 4. A questo punto è possibile utilizzare inferiormente illimitato. come base iniziale la base B = A, A 4 e procedere direttamente con la fase. Altrimenti, impostando il problema artificiale, è sufficiente introdurre una variabile (ad esempio ) sul primo vincolo, come in figura. La base iniziale è quindi B = [ A, A 4 ]. Al primo pivot entra A ed esce A. Fine della fase, inizia la fase. Al successivo pivot entra A ed esce A. Al successivo pivot entra A ed esce A 4. Al = + = 4 ed il problema risulta condizioni di ortogonalità, si ottiene la soluzione u /8 / 0 /8 che è ammissibile = ( ) duale. La soluzione = ( ) ottima. data è quindi Esercizio = 4 + ma 4u + 4u + u u u + u u + u + u 4u + u u u ; u Esercizio In tabella è riportato il peso degli archi di un grafo con 8 nodi 8. rovare l albero dei cami imi dal nodo a tutti gli altri nodi utilizzando l algoritmo di Dijkstra. Indicare in quale ordine vengono fissati ad i flag dei nodi del grafo. Evidenziare il camo imo dal nodo al nodo 8. Archi (,) (,) (,4) (,) (,7) (4,) (4,6) (,6) (6,8) (7,6) (7,8) Costi I nodi del grafo vengono fissati ad nell ordine,,4,,,7,6,8. Discutere il problema dell albero ricoprente di peso imo, dimostrando in particolare che l algoritmo di Prim- Dijkstra ha complessità O(n ).

4 D UNIVERSIÀ DEGLI SUDI ROMA RE Ricerca Operativa Primo appello gennaio 00 Esercizio Portando il problema in forma standard si aggiungono le variabili e 4. Impostando il problema artificiale è sufficiente introdurre una variabile sul primo vincolo (come in figura). La base iniziale è quindi B = A, A 4 primo pivot entra A ed esce A. Fine della fase, inizia la fase. Al successivo pivot entra A ed esce A. Al successivo pivot entra A ed esce A 4. La soluzione trovata = ( ) risulta ottima... Al = 4 = Esercizio In tabella sono riportate le 8 attività di un progetto, con durate e vincoli di precedenza tra attività. Rappresentare graficamente il progetto, calcolare il imo tempo di completamento dello stesso e lo slittamento di tutte le attività. Infine, rappresentare il diagramma di Gantt del progetto evidenziando le attività critiche e gli slittamenti delle attività non critiche. Attività A A A A 4 A A 6 A 7 A 8 Durata Predecessori - A - A A A A A 4 A A 6 A 4 A 7 Min inizio slittamento Min tempo di completamento: 0. Sono critiche le attività A, A 4,A 6,A 7,A 8. nel Gantt in figura sono indicati in grassetto gli slittamenti delle attività A, A ed A

5 Esercizio State applicando l algoritmo di Floyd e Warshall ad un grafo con nodi. Alla fine del passo ottenete le matrici in figura (quella di sinistra indica i cami imi, quella di destra i predecessori). Effettuate i passi 4 e dell algoritmo e mostrate i cami imi dal nodo al nodo 4 e dal nodo al nodo. In presenza di cicli negativi arrestate l algoritmo e mostrate un ciclo negativo PASSO PASSO Illustrare la teoria della dualità, dimostrando in particolare che valgono le condizioni di ortogonalità.

6 E UNIVERSIÀ DEGLI SUDI ROMA RE Ricerca Operativa Primo appello gennaio 00 Esercizio Portando il problema in forma standard si aggiungono le variabili e 4. Impostando il problema artificiale è sufficiente introdurre una variabile sul primo vincolo (come in figura). La base iniziale è quindi B = A, A 4. Al primo pivot entra A ed esce A. Fine della fase, inizia la fase. Al successivo pivot entra A ed esce A. Al successivo pivot entra A ed esce A 4. La soluzione trovata = ( 0 4 0) risulta ottima. + + = = 6 Esercizio In tabella sono riportate le 8 attività di un progetto, con durate e vincoli di precedenza tra attività. Rappresentare graficamente il progetto, calcolare il imo tempo di completamento dello stesso e lo slittamento di tutte le attività. Infine, rappresentare il diagramma di Gantt del progetto evidenziando le attività critiche e gli slittamenti delle attività non critiche. Attività A A A A 4 A A 6 A 7 A 8 Durata Predecessori - A A A A A 4 A 4 A A A 6 A 7 Min inizio slittamento Min tempo di completamento: 4. Sono critiche le attività A, A 4, A 6, A 8. Nel Gantt in figura sono indicati in grassetto gli slittamenti delle attività A, A, A ed A

7 Esercizio State applicando l algoritmo di Floyd e Warshall ad un grafo con nodi. Alla fine del passo ottenete le matrici in figura (quella di sinistra indica i cami imi, quella di destra i predecessori). Effettuate i passi 4 e dell algoritmo e mostrate i cami imi dal nodo al nodo 4 e dal nodo al nodo. In presenza di cicli negativi arrestate l algoritmo e mostrate un ciclo negativo PASSO PASSO Illustrare la teoria della dualità, dimostrando che i problemi di programmazione lineare godono della proprietà di dualità forte.

8 F UNIVERSIÀ DEGLI SUDI ROMA RE Ricerca Operativa Primo appello gennaio 00 Esercizio Portando il problema in forma standard si aggiungono le variabili e 4. Impostando il problema artificiale è sufficiente introdurre una variabile sul primo vincolo (come in figura). La base iniziale è quindi B = A, A 4. Al primo pivot entra A ed esce A. Fine della fase, inizia la fase. Al successivo pivot entra A ed esce A. Al successivo pivot entra A ed esce A 4. La soluzione trovata = ( 0 0) risulta ottima. + + = = condizioni di ortogonalità, si ottiene la soluzione u 0 / 7 / 7 che NON è ammissibile = ( ) Esercizio duale (viola la condizione u ). La soluzione = ( ) data quindi NON è ottima = 4 + ma u + 4u + u u u + u u + u + u 4u + u u u ; u Esercizio In tabella è riportato il peso degli archi di un grafo con 8 nodi 8. rovare l albero dei cami imi dal nodo a tutti gli altri nodi utilizzando l algoritmo di Dijkstra. Indicare in quale ordine vengono fissati ad i flag dei nodi del grafo. Evidenziare il camo imo dal nodo al nodo 8. Archi (,) (,) (,4) (,) (,6) (4,7) (,) (,7) (6,8) (7,6) (7,8) Costi I nodi del grafo vengono fissati ad nell ordine,,,,4,7,6,8. Illustrare i problemi di programmazione convessa, dimostrando in particolare che in questi problemi un punto di imo locale è punto di imo globale.

9 G UNIVERSIÀ DEGLI SUDI ROMA RE Ricerca Operativa Primo appello gennaio 00 Esercizio Portando il problema in forma standard si aggiungono le variabili e 4. Impostando il problema artificiale è sufficiente introdurre una variabile sul secondo vincolo (come in figura). La base iniziale è quindi B = A, A. Al primo pivot entra A ed esce A. Fine della fase, inizia la fase. Al successivo pivot entra A 4 ed esce A. La soluzione trovata 0 0 risulta ottima. = ( ) = = Esercizio condizioni di ortogonalità, si ottiene la coppia di equazioni: 4u + u + u = u + 0u + u = 0. Sottraendo la seconda eq. alla prima si ottiene l eq. u 9u =, che non è compatibile con i vincoli u ; u 0. Pertanto, la soluzione = ( 0 ) ottima. data NON è ma 9u + u + u 4u + u + u u u u u + 0u + u u ; u ; u Esercizio 6 In tabella sono riportati gli archi di un grafo con 8 nodi, e sono dati i valori di capacità degli archi ed un flusso ammissibile. A partire dal flusso dato trovare il massimo flusso inviabile dal nodo al nodo 8 con l algoritmo di Ford e Fulkerson. Archi (,) (,) (,4) (,) (,6) (4,7) (,) (,7) (6,8) (7,6) (7,8) Capacità Flussi Il flusso iniziale entrante nel nodo 8 è pari a. Cercando dei cami aumentanti si ottengono i cami: 6 8 (flusso aumentante: ); INV 7 8 (flusso aumentante: ); INV 7 8 (flusso aumentante: 4); (flusso aumentante: ). La successiva ricerca si arresta dopo aver raggiunto I nodi,, 6. Il taglio uscente di capacità ima è quindi dato dagli archi: (,); (,); (6,8). Infatti la capacità degli archi tagliati è 4, pari al flusso trovato. Discutere il problema del camo imo, dimostrando in particolare la correttezza dell algoritmo di Floyd-Warshall.

10 H UNIVERSIÀ DEGLI SUDI ROMA RE Ricerca Operativa Primo appello gennaio 00 Esercizio Portando il problema in forma standard si aggiungono le variabili e 4. Impostando il problema artificiale è sufficiente introdurre una variabile sul secondo vincolo (come in figura). La base iniziale è quindi B = A, A. Al primo pivot entra A ed esce A ; al secondo entra A ed esce A. Fine della fase, inizia la fase. Al successivo pivot entra A ed esce A, quindi entra A 4 ed il problema risulta inferiormente illimitato. + = = condizioni di ortogonalità, si ottiene la soluzione u / 0 / che è ammissibile duale. La = ( ) soluzione = ( 0 ) data è quindi ottima. Esercizio ma 4u + u + u u u + u u + u + u 4u + u u u ; u ; u Esercizio In tabella è riportato il peso degli archi di un grafo non orientato con 9 nodi 9. rovare l albero ricoprente di peso imo, a partire dal nodo, utilizzando l algoritmo di Prim-Dijkstra. Indicare in quale ordine vengono aggiunti archi all albero ricoprente (in quale ordine vengono fissati ad i flag dei nodi del grafo). Archi (,4) (,6) (,7) (,) (,4) (,7) (,8) (,4) (,) (,8) (,9) (4,) (4,6) (4,7) (,6) (,9) Costi I nodi del grafo vengono fissati ad nell ordine,4,, 6, 7,, 8, 9,. Discutere i problemi di flusso visti durante il corso, dimostrando in particolare il teorema di Ford e Fulkerson.