4. Distribuzioni di probabilità discrete

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1 M. Gartto - Statistica. Distribuzioi di probabilità discrt. Distribuzio biomial o di Broulli Il coctto di variabil alatoria prmtt di formular modlli utili allo studio di molti fomi alatori. U primo importat smpio di modllo probabilistico è la distribuzio di Broulli, così chiamata i oor dl matmatico svizzro Jams Broulli (-7), ch did importati cotributi l campo dlla probabilità.. Alcui sprimti cosistoo ll sguir riptutamt ua data prova. Ad smpio vogliamo cooscr la probabilità ch su guidatori frmati a u blocco stradal idossio la citura di sicurzza, oppur la probabilità ch su lampadi durio almo or. I ciascuo di qusti smpi si crca la probabilità di ottr succssi i prov o, i altr parol, succssi isuccssi. Ua squza di prov broullia costituisc u procsso di Broulli sotto l sguti ipotsi: ci soo solo du possibili risultati mutuamt sclusivi pr ogi prova, chiamati arbitrariamt succsso isuccsso ; la probabilità di succsso p è la stssa pr ogi prova; tutt l prov soo idipdti; l idipdza sigifica ch il risultato di ua prova o è ifluzato dal risultato di qualuqu altra prova; ad smpio, l vto alla trza prova si ha succsso è idipdt dall vto alla prima prova si ha succsso. Esmpio Il lacio di ua mota è ua prova broulliaa: si può cosidrar succsso l vto sc tsta isuccsso l vto sc croc. I qusto caso la probabilità di succsso val p. Nl lacio di du dadi si può cosidrar succsso ad smpio l vto la somma di puti è 7 isuccsso l vto complmtar: i qusto caso si tratta di ua prova broulliaa la probabilità di succsso è p. Sia p la probabilità di succsso i ua prova broulliaa. La variabil alatoria ch cota il umro di succssi i prov si dic variabil alatoria biomial di paramtri p; può assumr com valori gli itri comprsi fra. Si dimostra il sgut risultato. Torma La probabilità ch i prov la variabil alatoria assuma il valor, ossia ch il succsso si vrifichi volt i prov, è data dalla distribuzio di probabilità biomial o di Broulli f ( ) ) p ( p) pr,,,..., (.) La fuzio di distribuzio biomial è data da k k F ( ) ) p ( p) (.) k k Si ricordi ch!!! (Vdr ach la dfiizio di combiazioi cofficiti biomiali, Cap., pag. ) Quadri Didattici dl Dipartimto di Matmatica

2 Capitolo - Distribuzioi di probabilità discrt La distribuzio biomial si idica ach co il simbolo b( ;, p) p ( p) pr,,,..., Si ossrvi ch è il umro di isuccssi, q p la probabilità di isuccsso. La fuzio di distribuzio biomial si idica ach co il simbolo k k B ( ;, p) p ( p). k k La mdia la variaza di ua distribuzio biomial dipdoo solo da p; si dimostra la sgut proprità. Proprità S è ua variabil alatoria avt distribuzio biomial co paramtri p, allora il valor mdio è p (.) la variaza è p( p) Nl calcolo dlla probabilità co la distribuzio biomial co la fuzio di ripartizio biomial soo utili l sguti rlazioi. (.) Proprità P ( ) ) (.) P ( ) ) (.) P ( ) ) (.7) P ( ) ) ) (.) Si prsti attzio a o cofodr l probabilità P ( ) P ( ) : l caso dll distribuzioi discrt qust du probabilità o soo uguali. Esmpio Calcolar la probabilità di ottr volt tsta, ffttuado laci di ua mota. umro prov umro succssi probabilità di succsso ) p!!! Esmpio Si ffttuao laci di u dado; il succsso sia di ottr. Calcolar la probabilità di ottr volt il caso di succsso. ) p Uivrsità di Torio

3 M. Gartto - Statistica Esmpio Calcolar la probabilità ch, ffttuado quattro strazioi co rimbussolamto da u'ura cott palli biach r, vga stratta pr tr volt ua pallia biaca. La probabilità di succsso (strazio di pallia biaca) è p ) Esmpio Si ffttuao laci succssivi di ua mota; calcolar la probabilità ch pr mtà dll volt sca croc pr mtà tsta. I qusto caso si ha ) p p Esmpio Calcolar la probabilità ch ffttuado laci di du dadi si ottga la somma a volt; b almo volt. Il succsso sia di ottr com somma ; calcoliamo la probabilità di succsso. Srvdosi dl grafico riprodotto lla figura, pag. 7, si dduc facilmt ch i casi possibili soo i casi favorvoli soo ; qusti ultimi soo dati dall coppi (, ) (, ) (, ) (, ). Prtato la probabilità di succsso è p. a = = ) p b ) ) ) ) 7 7 Esmpio 7 La probabilità di laurarsi di uo studt ch si iscriv all Uivrsità è p =. Calcolar la probabilità ch su studti a ssuo si lauri; b uo si lauri; c almo uo si lauri; d tutti si laurio. Quadri Didattici dl Dipartimto di Matmatica

4 Capitolo - Distribuzioi di probabilità discrt Il succsso è ch lo studt si lauri; la variabil alatoria idica il umro di laurati. a = = p ) 777 b ) c ) ) ) 777 d ) Esmpio La ditta produttric sosti ch l % dgli impiati a palli solari istallati si è vrificata ua riduzio di u trzo dl costo dlla fattura dll rgia lttrica. Calcolar la probabilità ch qusta riduzio si vrifichi a i su istallazioi; b i almo istallazioi. a p ) b p ) 777 ) ) ) Esmpio U tst è costituito da domad a risposta multipla: ci soo rispost possibili pr ogi domada, di cui ua sola satta. Pr suprar il tst occorr rispodr sattamt ad almo domad. Rispoddo a caso all domad, qual è la probabilità di suprar il tst? La variabil alatoria idica il umro dll rispost satt. = = p = ) ) ) ) % Esmpio La probabilità ch u apparcchio subisca u crto tipo di guasto è probabilità ch su di tali apparcchi a al più si guastio; b almo si guastio; c almo si guastio. p = ; calcolar la Uivrsità di Torio

5 M. Gartto - Statistica 7 La variabil alatoria idica il umro di guasti. p p a ) ) ) ) ) ) ) 7 ) 7 7 b ) ) ) ) 7 c ) ) ) ) ) ) ) ) 7 ) 7 Esmpio Dtrmiar la probabilità ch laciado volt ua mota si vrifichi a volt T; b volt C ua volta T; c almo ua volta T; d al più ua volta C. La variabil alatoria idica il umro di tst. p a b ) ) c ) ) ) ) d al più C) ssua C) C) ) Esmpio Dtrmiar la probabilità ch i laci di u dado il umro sca a volt; b al più ua volta; c almo volt. La variabil alatoria idica il umro di volt ch sc. p ) 7 Quadri Didattici dl Dipartimto di Matmatica

6 Capitolo - Distribuzioi di probabilità discrt a ) b P ( ) ) ) c ) ) ) Esmpio Dtrmiar la probabilità ch i ua famiglia co figli ci sia a almo u maschio; b almo u maschio ua fmmia. c Su famigli co figli ciascua, quat famigli hao i mdia almo u figlio maschio? E quat famigli hao i mdia du maschi? Si suppoga ch l probabilità di ascita di u maschio di ua fmmia siao uguali. La variabil alatoria idica il umro di maschi p è la probabilità di ascita di u maschio. = p = a ) ) ) ) ) La probabilità ) ) ) ) può ach ssr calcolata più brvmt com sgu ) ) ) ) ) b almo u M ua F) = [ssu M)+ssua F)] almo u M ua F) ) ) = c Ricordiamo i risultati trovati al puto a P ( ) ). Il umro mdio di famigli co almo u maschio è N = 7 Il umro mdio di famigli co du maschi è N = 7 Esmpio S il % di chip di mmoria prodotti da ua macchia soo difttosi, dtrmiar la probabilità ch su chip sclti a caso a sia difttoso; b ssuo sia difttoso; c mo di siao difttosi. Calcolar la mdia la dviazio stadard dl umro di chip difttosi su u total di chip. 7 Uivrsità di Torio

7 M. Gartto - Statistica La variabil alatoria idica il umro di chip difttosi. = p = a ) 7 b ) c ) ) ) 7 d = p = = p = = = p( p) = = =. Esmpio Data ua distribuzio biomial co = valor di p calcolar ). =, ricavar i possibili valori di p; pr ciascu Pr la proprità, si ha p p p p p p I possibili valori di p soo p. p. Pr = p = si ha ) Pr = p = si ha ) 7 7 Esmpio La variabil alatoria ha distribuzio biomial d è tal ch Trovar i valori di p. Pr la proprità si ha Risolvdo il sistma si trova p p p p p. p p 7.. Quadri Didattici dl Dipartimto di Matmatica

8 Capitolo - Distribuzioi di probabilità discrt Distribuzio biomial = p = Distribuzio biomial = p = f() f() Figura Distribuzio biomial = p = Distribuzio biomial = p = f() f() 7 Figura Distribuzio biomial = p = Distribuzio biomial = p = f() f() - Figura 7 Esmpio Si ffttuao laci di ua mota; studiar la distribuzio di probabilità dlla variabil alatoria biomial = umro di tst T uscit i laci. Il succsso è dato dall'uscita T la probabilità di succsso è p. Calcoliamo co la formula dlla distribuzio biomial la probabilità di ottr volt l'uscita T ) Applicado la formula di ricorrza (.) si calcolao gli altri valori dll probabilità. Uivrsità di Torio

9 M. Gartto - Statistica ) ) 7 ) 7 ) ) ) 7 ) Qusti valori potrbbro ssr crcati dirttamt sull tavol, dov compar sia il valor = ch p. Il grafico dlla distribuzio di probabilità è rapprstato dal sgut istogramma (figura ); si oti la simmtria, dovuta al fatto ch p. Data la simmtria, o è cssario riptr il calcolo dgli ultimi tr valori dll probabilità P ( ), ), ), ch soo rispttivamt uguali a qulli già calcolati P ( ), ), ). f() Esmpio Si ffttuao laci di u dado. a Studiar la distribuzio di probabilità dlla variabil alatoria biomial = umro di uscit dl umro. b Studiar la distribuzio di probabilità dlla variabil alatoria biomial = umro di uscit di u umro divrso da. a Il succsso è dato dall'uscita dl umro la probabilità di succsso è p = (qusto valor o compar sull tavol). Calcoliamo co la formula dlla distribuzio biomial la probabilità di ottr volt l'uscita dl umro, ricaviamo gli altri valori dll probabilità co la formula di ricorrza (.).... ) ) ) ) ) Figura Quadri Didattici dl Dipartimto di Matmatica

10 Capitolo - Distribuzioi di probabilità discrt Il grafico dlla distribuzio di probabilità è rapprstato dal sgut istogramma; si oti l'asimmtria positiva dl grafico, la distribuzio è obliqua vrso dstra. f() b L probabilità di ottr u umro divrso da si ricavao pr simmtria dai valori ottuti al puto a: ifatti i qusto caso il succsso, l'uscita di u umro divrso da, coicid co l isuccsso dl caso prcdt, l uscita dl umro ; quidi si ha... ) 7) ) ) ) Figura Il grafico dlla distribuzio di probabilità è rapprstato dal sgut istogramma; si oti l'asimmtria gativa dl grafico, la distribuzio è obliqua vrso siistra. f() Figura. Distribuzio di Poisso Vi soo fomi i cui dtrmiati vti, co rifrimto a u crto itrvallo di tmpo o di spazio, accadoo raramt: il umro di vti ch si vrificao i qull itrvallo varia da a, o è dtrmiabil a priori. Ad smpio, il umro di automobili ch trasitao i ua strada poco frqutata i u itrvallo di tmpo di miuti sclto a caso, può ssr cosidrato u vto raro; aalogamt soo vti rari il umro di ifortui sul lavoro ch accadoo i ua azida i ua sttimaa o il umro di rrori di stampa prsti i ua pagia di u libro. Nllo studio dgli vti rari, com qulli dgli smpi citati, è fodamtal il rifrimto a uo spcifico itrvallo di tmpo o di spazio. Pr lo studio di vti rari dl tipo di qulli dscritti si utilizza la distribuzio di probabilità di Poisso, così chiamata i oor dl matmatico fracs Simo Dis Poisso (7-), ch pr primo ricavò la distribuzio; qusta distribuzio è molto usata com modllo di probabilità i Uivrsità di Torio

11 M. Gartto - Statistica biologia mdicia. La distribuzio di Poisso è usata com modllo i casi i cui gli vti o ralizzazioi di u procsso, distribuiti a caso llo spazio o l tmpo, soo di cotggi, ovvro dll variabili discrt. La distribuzio biomial è basata su u isim di ipotsi ch dfiiscoo l prov broullia; lo stsso accad pr la distribuzio di Poisso. L sguti codizioi dscrivoo il così dtto procsso di Poisso: l ralizzazioi dgli vti soo idipdti: il vrificarsi di u vto i u itrvallo di tmpo o di spazio o ha alcu fftto sulla probabilità di vrificarsi dll vto ua scoda volta llo stsso, o i u altro, itrvallo; la probabilità di ua sigola ralizzazio dll vto i u dato itrvallo è proporzioal alla lughzza dll itrvallo; i ogi part arbitrariamt piccola dll itrvallo, la probabilità ch l vto si vrifichi più di ua volta è trascurabil. Sia la variabil alatoria ch idica il umro di volt i cui si vrifica u vto raro i u dato itrvallo di tmpo o di spazio, ossia il umro di succssi; la variabil può assumr i valori,,,... Si dimostra il sgut risultato. Torma La probabilità ch la variabil alatoria assuma il valor è data dalla distribuzio di probabilità di Poisso f ( ) ) pr =,,,... (.)! dov il paramtro > idica il umro mdio di ralizzazioi dll vto ll itrvallo assgato. Ua variabil alatoria ch ammtt qusta distribuzio è dtta variabil alatoria di Poisso co paramtro. La distribuzio di Poisso vi ach idicata co il simbolo f (; ) ; la corrispodt fuzio di distribuzio di Poisso è data da F( ) ) vi ach idicata co il simbolo F (; ). Si dimostra la sgut proprità. k k! k Proprità Il valor mdio la variaza dlla distribuzio di Poisso di paramtro soo dati da (.) Ua importat diffrza tra la distribuzio di Poisso la biomial riguarda i umri di prov di succssi: pr ua distribuzio biomial il umro di prov è fiito il umro di succssi o può suprar ; pr ua distribuzio di Poisso il umro di prov è sszialmt ifiito il umro di succssi può ssr ifiitamt grad, ach s la probabilità di avr succssi divta molto piccola al crscr di. Pr il calcolo dlla distribuzio di Poisso soo utili l rlazioi lcat lla proprità, valid ach pr qusta distribuzio discrta. La distribuzio di Poisso ha molt applicazioi i vari ambiti divrsi, prché può ssr usata pr approssimar ua distribuzio biomial di paramtri p, quado il umro di prov è grad la probabilità di succsso p è piccola, ossia si tratta di u vto raro. Pr dimostrar qusto, idichiamo co ua variabil alatoria avt distribuzio biomial co paramtri p, co grad p piccola, sia p ; si ha Quadri Didattici dl Dipartimto di Matmatica

12 Capitolo - Distribuzioi di probabilità discrt Pr, si ha b( ;, p)!!! lim p...! p! p!! lim quidi lim b( ;, p)! ossia la distribuzio di Poisso è il limit pr, co p, dlla distribuzio biomial di paramtri p. Da qusto sgu ch, quado il umro di prov è grad la probabilità di succsso p è piccola, la distribuzio biomial può ssr approssimata co la distribuzio di Poisso avt mdia p (vdr.). Esmpio Dall statistich dgli ultimi ai, u'azida ha calcolato ch ogi gioro soo assti i mdia. oprai. Calcolar la probabilità ch i u gioro qualsiasi ci siao oprai assti cotmporaamt. Il umro mdio di assti gioraliri è piccolo, prciò si può usar la distribuzio di Poisso co paramtro =.; si trova. (. ) ) 7! Esmpio Ad u srvizio di guardia mdica arrivao i mdia. richist ogi ora di itrvti urgti a domicilio. a Calcolar la probabilità ch i ua stssa ora arrivio,, chiamat urgti. b Calcolar la probabilità ch i ua stssa ora arrivi u umro di chiamat comprso fra. c Calcolar la probabilità ch i ua stssa ora arrivi u umro di chiamat maggior di. a L probabilità possoo ssr calcolat co la distribuzio di Poisso, co paramtro =.; si ha ) ) )....!.!.!! p Uivrsità di Torio

13 M. Gartto - Statistica 7 b ) ) ) ). c ) ) ) ) ) ) ! Esmpio U libro di pagi coti rrori di stampa. Qual è la probabilità di trovar almo rrori su ua pagia aprta a caso? Il umro mdio di rrori su ua pagia è ; co la distribuzio di Poisso si ha ) ) ) ) ). Uso dll tavol dlla distribuzio di Poisso Poiché la distribuzio di Poisso ha molt importati applicazioi, soo dispoibili dll tavol, riportat ll'appdic A, ch foriscoo il valor dlla fuzio di distribuzio F( ; ) ) pr vari valori di, variabili fra. Pr il calcolo dlla distribuzio di probabilità f (; ) co l'uso dll tavol, è util l'idtità f ( ; ) F( ; ) F( ; ) (si ricordi la proprità (.)). Esmpio La variabil alatoria ha la distribuzio di probabilità di Poisso co valor mdio =. Calcolar l probabilità a 7) b 7) c ) d ) Co l uso dll tavol si ha a 7) ) ) 7 b 7) 7) ) 7 c ) ) 7 d ) ) ) 7 Esmpio 7 Data la variabil alatoria avt distribuzio di Poisso, trovar il valor mdio, sapdo ch a ) b ) 7. Quadri Didattici dl Dipartimto di Matmatica

14 M. Gartto - Statistica. Distribuzioi di probabilità cotiu Fra l dsità di probabilità cotiu, la più importat è la dsità di probabilità ormal, di solito dtta smplicmt distribuzio ormal o ach distribuzio di Gauss, i oor dl matmatico Carl Fridrich Gauss (777-), ch did importati cotributi allo studio di qusta distribuzio. La distribuzio è ach ota com lgg dgli rrori, i quato ssa dscriv i particolar la distribuzio dgli rrori casuali rlativi a succssiv misur di ua quatità fisica (vdr.). La distribuzio ormal è importat i statistica pr tr motivi fodamtali: divrsi fomi cotiui sguoo, almo approssimativamt, ua distribuzio ormal; la distribuzio ormal può ssr utilizzata pr approssimar umros distribuzioi di probabilità discrt; la distribuzio ormal è alla bas dll ifrza statistica, i virtù dl torma dl limit ctral, ch sarà discusso l capitolo.. Distribuzio ormal o di Gauss Dfiizio La dsità di probabilità ormal, o distribuzio ormal o di Gauss, è dfiita dalla fuzio f ( ) di paramtri, co > Si dimostra ch soo rispttivamt il valor mdio lo scarto quadratico mdio dlla variabil alatoria distribuita scodo la distribuzio ormal. L carattristich più importati dlla distribuzio ormal soo l sguti. La fuzio f () è dfiita su tutto l'ass ral assum valori smpr positivi; è simmtrica risptto alla rtta =, cioè risptto al valor mdio dlla distribuzio. La moda la mdiaa coicidoo co il valor mdio. Il valor massimo dlla fuzio vi assuto l puto di ascissa d è y ma ; qusto valor è prciò ivrsamt proporzioal a. Lo scarto quadratico mdio è ugual alla distaza di puti di flsso da, ossia i puti di flsso hao ascissa rispttivamt. La distribuzio ormal ha ua forma a campaa, il grafico di f () è dl tipo illustrato lla figura. f() (.) Figura Poiché la curva rapprsta l'adamto dlla fuzio di dsità di ua variabil alatoria, il valor di tutta l'ara sottsa da tal curva è ugual a. Quadri Didattici dl Dipartimto di Matmatica

15 Capitolo - Distribuzioi di probabilità cotiu La distribuzio ormal è compltamt idividuata dai paramtri, ossia i corrispodza di ogi valor di rima spcificata ua divrsa curva ormal appartt alla famiglia rapprstata dall quazio (.). Nlla figura si riportao i grafici dlla distribuzio ormal pr u dato valor di pr divrsi valori di : a parità di valor mdio l variazioi dlla forma carattristica a campaa dlla curva dipdoo sszialmt dal valor dllo scarto quadratico mdio, ch dà iformazioi su com i valori soo più o mo coctrati itoro alla mdia: ifatti facdo variar si ottgoo curv più o mo appiattit (vdr ach l smpio la figura ). Nlla figura si riportao ivc i grafici dlla distribuzio ormal pr u dato valor di pr divrsi valori di : i qusto caso l variazioi dl valor di comportao solo ua traslazio dlla curva. = = = f() f() = = = = = Figura Figura La fuzio di distribuzio o fuzio di ripartizio ormal è data da F( ) P t dt (.) Nlla figura si riporta il grafico dlla fuzio di distribuzio F() pr F() - - Figura. Distribuzio ormal stadardizzata Com già ossrvato, la distribuzio ormal è ua famiglia di distribuzioi i cui ogi mmbro è distito dall altro i bas ai valori di. La curva più importat dlla famiglia è la distribuzio ormal stadardizzata. Pr ricavar qusta distribuzio, data la variabil alatoria distribuita ormalmt co mdia variaza, si passa alla uova variabil alatoria Z, dtta variabil stadardizzata, podo Uivrsità di Torio

16 M. Gartto - Statistica Z. La trasformazio oprata fa i modo ch la mdia di Z sia la variaza. La distribuzio di probabilità dlla variabil ormal stadardizzata Z è data da z f ( z) z (.) La fuzio di distribuzio o di ripartizio dlla variabil ormal stadardizzata Z è data da F( z) P Z z z t dt z (.) I grafici dlla distribuzio ormal stadardizzata F(z) soo riportati ll figur. f (z) dlla rlativa fuzio di distribuzio Distribuzio ormal stadardizzata Fuzio di ripartizio ormal stadardizzata f(z) F(z) z z Figura Figura Ni grafici dlla figura 7, riproducti la distribuzio ormal stadardizzata, idichiamo l ar comprs rispttivamt tra, tra tra, pari al.7%, al.% al.7% dll'ara total, ch è. Qusto sigifica ch Z ) 7. % Z Z ) ) 7. %. 7% -<Z<) =.% -<Z<) =.% -<Z<) =.7% f(z) f(z) f(z) z z z Figura 7 Si ricordi l ossrvazio, pag. : pr l variabili alatori cotiu usar il sgo < o il sgo è idiffrt. Quadri Didattici dl Dipartimto di Matmatica

17 Capitolo - Distribuzioi di probabilità cotiu Tdo coto ch pr la variabil ormal stadardizzata lo scarto quadratico mdio è ugual a, dal primo grafico dlla figura 7 si dduc sostazialmt ch ua variabil alatoria distribuita ormalmt ha probabilità dl.% di discostarsi dalla mdia pr mo di ; aalogamt dal scodo dal trzo grafico si dduc ch ua variabil alatoria ormal ha probabilità dl.% di discostarsi dalla mdia pr mo di dl.7% pr mo di, cioè è quasi impossibil ch si discosti dalla mdia pr più di ). % ) ). %. 7%. Alcu applicazioi dlla distribuzio ormal Dopo avr itrodotto da u puto di vista matmatico la distribuzio ormal l su proprità lmtari, illustriamo alcui smpi i quali la distribuzio ormal vi utilizzata com modllo probabilistico. Curva dgli rrori casuali lla misurazio di ua gradzza fisica. La misura, afftta da rror, di ua qualuqu gradzza fisica può ssr vista com la somma dl valor satto dlla gradzza (ch sarà u umro, costat) dll rror di misurazio, ch è ua variabil alatoria, i quato misur divrs foriscoo i gral valori divrsi. La variabil alatoria = rror di misurazio ha com tipica dsità di probabilità ua curva a campaa: l rror può ssr pr ccsso o pr diftto, prciò può assumr valori positivi o gativi, i modo simmtrico; l rror sarà i gr abbastaza piccolo, quidi la curva sarà rapidamt dcrsct. Il fatto ch, tra l ifiit curv co qusta proprità, la ormal rapprsti b qusto tipo di rrori fu msso i vidza da Gauss. S gli rrori hao mdia ulla, si dic ch c è solo rror casual. Più grad è, maggior sarà l iaccuratzza dlla misura. S poi il valor mdio o è ullo, si dic ch siamo ach i prsza di u rror sistmatico ch si somma all rror casual. Più grad è, maggior è l imprcisio dlla misura. Si ossrvi ch l rror sistmatico è ua costat, mtr l rror casual è ua variabil alatoria. Distribuzio di ua carattristica quatitativa di ua popolazio, ch prsta oscillazioi casuali attoro a ua mdia. Molt gradzz atropomtrich, com la statura, il pso, cc., all itro di ua popolazio omoga (ad smpio adulti, maschi, fmmi, ) soo rapprstabili da ua distribuzio gaussiaa. Il valor mdio dlla distribuzio è il valor mdio dlla gradzza lla popolazio i sam; la variaza è ragiovolmt piccola, s la popolazio è stata sclta i modo omogo. Ach altr misur di tipo fisiologico biologico hao u comportamto dl tipo qui dscritto. Dimsio ffttiva di oggtti prodotti i sri, ch si crca di produrr i modo idtico. Ad smpio ua ditta produc cofzioi di biscotti ch dvoo avr il pso di g; il pso ffttivo può ssr rapprstato da ua variabil alatoria ormal di valor mdio = g variaza più piccola possibil. I tr tipi di smpi discussi soo simili, ma o uguali. Nl primo caso la variabilità è ll misur ch si fao di ua gradzza fissata ua volta pr tutt, ad smpio la massa di u oggtto ch vi psato tat volt; l scodo caso la variabilità è tra idividui divrsi prsti i atura, ad smpio il pso di prso divrs; l trzo caso la variabilità è tra oggtti divrsi ch vgoo prodotti co l itto di ottrli uguali (pr smpio il pso dll scatol di biscotti). I tutti i casi si itrprta la variabilità dlla gradzza, vddo il valor dlla variabil alatoria com il risultato di vari piccoli cotributi; ad smpio l rror l misurar ua lughzza è dovuto al cocorso di vari caus: iaccuratzza di chi sgu la misura, piccol variazioi dlla lughzza dll oggtto o dllo strumto di misura, dovut a variazioi di tmpratura, così via. Uivrsità di Torio

18 M. Gartto - Statistica Effttuado co u softwar statistico il calcolo dll probabilità co la distribuzio di Poisso, si trova il valor ). Esmpio Il umro di icidti dauto ch si vrificao i u gioro ad u icrocio è ua variabil alatoria co distribuzio di Poisso mdia.; calcolar la probabilità ch accadao più di icidti i u priodo di sttima. Il umro di icidti ch si vrificao i giori è ua variabil co mdia. =.. Si ha ) ) Z.. ). Z. ).7 Distribuzio uiform La distribuzio studiata llsmpio, pag. forisc u smpio di ua distribuzio discrta, dtta distribuzio uiform discrta. La distribuzio uiform ch vi itrodotta co la dfiizio sgut è laaloga l caso cotiuo dlla distribuzio uiform discrta. Dfiizio Dati du umri rali a b, co a < b, si dic ch la variabil alatoria ha distribuzio uiform co paramtri a b, s la sua dsità di probabilità è a b f ( ) b a (.) altrimti La fuzio di distribuzio uiform ha la sgut sprssio a a F( ) P a < < b (.) b a b Com smpio, si riportao lla figura i grafici di f() F() l caso a =, b =.. f() F() Figura Quadri Didattici dl Dipartimto di Matmatica

19 Capitolo - Distribuzioi di probabilità cotiu Proprità Il valor mdio la variaza dlla distribuzio uiform cotiua soo dati da a b b a (.) Ifatti si ha b b d a ( b a) b ( b a b a a b b a a a b d a a) a b b Esmpio Ua variabil alatoria è distribuita uiformmt ll'itrvallo (,). a Calcolar la probabilità < < ); b calcolar la mdia la variaza trovar la probabilità < ). La variabil ha la distribuzio uiform (figura ) f ( ) altrimti f() Figura - - La fuzio di distribuzio è (figura ) F ( ). F() - - Figura Uivrsità di Torio

20 M. Gartto - Statistica a < < ) = F ( ) F() b = P P F F 77 Esmpio I crti sprimti l'rror commsso lla dtrmiazio dlla solubilità di ua sostaza è ua variabil alatoria avt distribuzio uiform co a = b =. Trovar la probabilità ch l'rror a sia comprso fra ; b sia comprso fra. a La variabil ha la sgut distribuzio uiform (figura ) f ( ) altrimti f() - - Figura La fuzio di distribuzio è la sgut F ( ) ) ) F( ) F( ) F( ) F( ) Qusti risultati possoo ach ssr ottuti pr via gomtrica; ad smpio la probabilità ) può ssr ottuta calcolado l'ara dl rttagolo ombrggiato lla figura. Quadri Didattici dl Dipartimto di Matmatica

21 Capitolo - Distribuzioi di probabilità cotiu Esmpio La variabil alatoria è distribuita uiformmt ll'itrvallo P ( ) P ( 7), calcolar a b. La distribuzio uiform dlla variabil è la sgut (figura 7) a b f ( ) b a altrimti a, b ; sapdo ch /(b-a) f() a b Figura 7 Dai valori dll probabilità assgat si dduc subito ch dv ssr a < b > 7. La probabilità < ) è ugual all'ara dl rttagolo di bas a altzza ; aalogamt b a la probabilità < 7) è ugual all'ara dl rttagolo di bas 7 a altzza ; si otti il b a sistma ( a) b a (7 a) b a Risolvdo il sistma si ricava a b f ( ) altrimti Uivrsità di Torio