Sistemi dinamici lineari

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1 Capitolo 1. INTRODUZIONE 1.19 Sistemi dinamici lineari La funzione di stato che descrive un sistema dinamico lineare, è rappresentabile in forma matriciale nel seguente modo: Per sistemi continui: Per sistemi discreti: ẋ(t) =A(t)x(t)+B(t)u(t) x(k +1)=A(k)x(k)+B(k)u(k) Proposizione : Ogni sistema a dimensioni finite lineare e regolare è descrivibile in forma implicita per mezzo di una funzione di stato e di una funzione di uscita, e in forma esplicita per mezzo di funzione di transizione dello stato edifunzione di uscita. Caso continuo ( è istante iniziale): Forma implicita ẋ(t)=a(t)x(t)+b(t)u(t) y(t)=c(t)x(t)+d(t)u(t) x(t)=φ(t, )x( )+Φ f (t,,u( )) Forma esplicita y(t)=c(t)x(t)+d(t)u(t) dove Φ(t, ) èlamatrice di transizione dello stato, Φ(t, )x( ) èl evoluzione libera e Φ f (t,,u( )) èl evoluzione forzata. Caso discreto (h è l istante iniziale): Forma implicita x(k+1)=a(k)x(k)+b(k)u(k) y(k)=c(k)x(k)+d(k)u(k) x(k)=φ(k, h)x(h)+φ f (k, h, u( )) Forma esplicita y(k)=c(k)x(k)+d(k)u(k) dove Φ(k, h) èlamatrice di transizione dello stato, Φ(k, h)x(h) èl evoluzione libera e Φ f (k, h, u( )) èl evoluzione forzata.

2 Capitolo 1. INTRODUZIONE 1.20 Proprietà della matrice Φ(t, ) L evoluzione libera di un sistema lineare continuo è la seguente: x(t) =Φ(t, )x( ) Come ogni altra funzione di transizione dello stato, anche questa evoluzione libera deve soddisfare le proprietà di consistenza e di composizione, per cui devono valere le seguenti relazioni: Consistenza. Per ogni R si ha che: da cui necessariamente segue che: x( )=Φ(, )x( ) Φ(, )=I Composizione. Per ogni terna di valori t 3 >t 2 >t 1 e per ogni stato iniziale x 1,sevalgonolerelazioni allora si ha che x 2 = Φ(t 2,t 1 )x 1, x 3 = Φ(t 3,t 2 )x 2 x 3 = Φ(t 3,t 1 )x 1 = Φ(t 3,t 2 )x 2 = Φ(t 3,t 2 )Φ(t 2,t 1 )x 1 per cui deve valere anche la relazione Φ(t 3,t 1 )=Φ(t 3,t 2 )Φ(t 2,t 1 )

3 Capitolo 1. INTRODUZIONE 1.23 Funzione di stato: caso discreto Consideriamo il sistema lineare discreto, descritto dalla funzione di stato x(k +1)=A(k)x(k)+B(k)u(k) a partire dall istante iniziale h, fino all istante finale k: x(h +1) = A(h)x(h)+B(h)u(h) x(h +2) = A(h +1)x(h +1)+B(h +1)u(h +1) = A(h +1)[A(h)x(h)+B(h)u(h)] + B(h +1)u(h +1). = A(h +1)A(h) x(h)+b(h +1)u(h +1)+A(h +1) B(h)u(h) }{{}}{{} Φ(h+2,h) Φ(h+2,h+1). Definendo la matrice di transizione dello stato nel seguente modo: si ottiene che: Φ(k, h) = A(k 1)...A(h +1)A(h) I (Matrice identità) se k > h se k = h x(k) = Φ(k, h)x(h)+φ(k, h +1)B(h)u(h) Φ(k, k)b(k 1)u(k 1) = Φ(k, h)x(h)+ k 1 Φ(k, j +1)B(j)u(j) j=h } {{ } Φ f (k, h, u( )) cioè che la funzione di transizione dello stato x(k) x(k) =ϕ(k, h, x(h), u( )) = ψ l (k, h, x(h), 0) + ψ f (k, h, 0,u( )) può essere espressa come somma del movimento libero ψ l (k, h, x(h), 0) = Φ(k, h)x(h) eilmovimento forzato ψ f (k, h, 0,u( )) = Φ f (k, h, u( )).

4 Capitolo 1. INTRODUZIONE 1.24 Esercizio. Sia dato il seguente sistema lineare discreto tempo-variante x(k +1)= α + β x(k)+b(k)u(k) k definito per k 1. Determinare la funzione di transizione dello stato del sistema a partire dalla condizione iniziale x(1) = x 1. Nel caso generale tempo-variante, la matrice di transizione dello stato vale Φ(k, h) = (α + β k 1 )(α + β k 2 )...(α + β ) per k>h h 1 per k = h La soluzione dell equazione alle differenze è quindi la seguente: x(k) =Φ(k, 1)x 1 + k 1 i=1 Φ(k, i +1)b(i)u(i) Nel caso invece in cui si abbia β =0, la matrice di transizione si semplifica Φ(k, h) =α k h per cui la soluzione dell equazione alle differenze diventa x(k) =α k 1 x 1 + k 1 i=1 α k i 1 b(i)u(i) Se poi si considera il caso di ingresso costante u(k) =u 0 (k 1) e parametro b(k) =b costante, allora la soluzione si semplifica ulteriormente x(k) =α k 1 x 1 + k 1 i=1 α k i 1 bu 0 Il termine racchiuso tra parentesi può essere trasformato come segue k 1 i=1 per cui la soluzione diventa α k i 1 = k 2 i=0 α i = 1 αk 1 1 α x(k) =α k 1 x αk 1 1 α bu 0

5 Capitolo 1. INTRODUZIONE 1.25 Nel caso lineare tempo-invariante x(k +1)=αx(k)+bu(k) la risposta al gradino del sistema può essere calcolata anche utilizzando la tecnica delle Z-trasformate: z[x(z) x(1)] = αx(z)+bu(z) Posto x(1) = x 1 e isolando X(z) si ottiene: X(z) = z z α x 1 + Nel caso di gradino unitario in ingresso si ha che X(z) = z z α x 1 + U(z) = u 0z z 1 b z α U(z) bu 0 z (z α)(z 1) z = z α x 1 + bu 0z 1 (1 α) z 1 1 z α Antitrasformando e traslando di un periodo di campionamento si ottiene: x(k) =α k 1 x 1 + bu 0 1 α k 1 1 α

6 Capitolo 1. INTRODUZIONE 1.26 Funzione di stato: caso continuo Consideriamo il sistema lineare continuo autonomo (cioè con funzione di ingresso nulla u(t) =0) descritto dalla funzione di stato: ẋ(t) =A(t)x(t) (1) La soluzione generica x(t) del sistema (1) a partire dallo stato iniziale x( )=x 1 ( )e 1 + x 2 ( )e x n ( )e n dove e 1,..., e n sono i vettori della base canonica e 1 = , e 2 = ,..., e n = deve potersi esprimere come combinazione lineare di n soluzioni linearmente indipendenti Φ i (t, ) del sistema (1), cioè: x(t) =x 1 ( )Φ 1 (t, )+x 2 ( )Φ 2 (t, )+...+ x n ( )Φ n (t, ) Le n soluzioni Φ i (t, ) si ottengono risolvendo il sistema (1) a partire dalle n condizioni iniziali e 1,..., e n. Per ipotesi, quindi, la i-esima soluzione Φ i (t, ) soddisfa l equazione differenziale d dt Φ i(t, )=A(t)Φ i (t, ) con condizione iniziale: Φ i (, )=e i,peri =1,..., n. Le n soluzioni Φ i (t, ), dette anche movimenti liberi del sistema, non sono altro che le colonne della matrice di transizione dello stato: Φ(t, )=[Φ 1 (t, ), Φ 2 (t, ),... Φ n (t, )] x(t) =Φ(t, )x( ) La matrice Φ(t, ) soddisfa pertanto l equazione differenziale matriciale: d dt Φ(t, )=A(t)Φ(t, ) con condizione iniziale: Φ(, )=I

7 Capitolo 1. INTRODUZIONE 1.27 Soluzione della funzione di stato (Caso continuo) Consideriamo il seguente sistema lineare non autonomo: ẋ(t) =A(t)x(t)+B(t)u(t) La soluzione di questa equazione differenziale matriciale è la seguente: x(t) =Φ(t, )x( )+ t Φ(t, τ)b(τ)u(τ)dτ dove Φ(t, )x( ) rappresenta il movimento libero e t Φ(t, τ)b(τ)u(τ)dτ il movimento forzato. La verifica si ottiene facilmente per sostituzione ed utilizzando la seguente regola di derivazione di una funzione integrale: d b(t) dt f(t, τ)dτ = f(t, b(t)) d a(t) dt b(t) f(t, a(t)) d b(t) dt a(t)+ a(t) Derivando la soluzione x(t) si ottiene infatti che: ẋ(t) = d dt Φ(t, )x( )+Φ(t, t)b(t)u(t)+ t d f(t, τ)dτ dt d Φ(t, τ)b(τ)u(τ)dτ dt = A(t)Φ(t, )x( )+B(t)u(t)+ t A(t)Φ(t, τ)b(τ)u(τ)dτ = A(t) [ Φ(t, )x( )+ t ] Φ(t, τ)b(τ)u(τ)dτ } {{ } x(t) = A(t)x(t)+B(t)u(t) +B(t)u(t)

8 Capitolo 1. INTRODUZIONE 1.28 Esercizio. Si consideri il seguente sistema lineare continuo tempo-variante ẋ(t) =a(t)x(t)+b(t)u(t) Risolvere il sistema a partire dalla condizione iniziale x( )=x 0. Nel caso tempo-variante, la matrice di transizione dello stato si determina risolvendo la seguente equazione differenziale omogenea Φ(t, )=a(t)φ(t, ) a partire dalla condizione iniziale Φ(, )=1. Operando le seguenti trasformazioni Φ(t, ) Φ(t, ) = a(t) d ln Φ(t, ) = a(t) dt si ricava che ln Φ(t, )= t a(ρ)dρ Φ(t, )=e t a(ρ)dρ La soluzione dell equazione differenziale è quindi la seguente: x(t) =e t t0 a(ρ)dρ x 0 + t e t τ a(ρ)dρ b(τ)u(τ)dτ

9 Capitolo 1. INTRODUZIONE 1.29 Nel caso in cui si abbia un parametro a(t) costante, a(t) =a, la matrice di transizione si semplifica come segue Φ(t, )=e a(t ) per cui la soluzione dell equazione differenziale diventa x(t) =e a(t ) x 0 + t e a(t τ) b(τ)u(τ) dτ Nel caso di ingresso costante u(t) =u 0 eparametrob(t) =b costante, la soluzione si semplifica ulteriormente x(t) =e a(t ) x 0 + ( t e a(t τ) ) dτ bu 0 Il termine racchiuso tra parentesi può essere trasformato come segue t e a(t τ) dτ = 1 [ t e a(t τ) ] t = ea(t ) 1 0 a a per cui, in questo caso, la soluzione del problema diventa x(t) =e a(t t0) x 0 + ea(t t0) 1 bu 0 a

10 Capitolo 1. INTRODUZIONE 1.31 Sistemi lineari invarianti discreti. La condizione di invarianza per i sistemi discreti si traduce nella non dipendenza dal tempo delle matrici che descrivono la funzione di stato elafunzione di uscita del sistema x(k +1) = Ax(k)+Bu(k) y(k) = Cx(k)+Du(k) In questo caso la matrice di transizione dello stato Φ(k, h) si semplifica. Essendo la matrice A indipendente dal tempo, si ha che, per k>h: A(h) =A(h +1)=...= A(k 1) = A e quindi la matrice Φ(k, h) risulta funzione della sola differenza k h: Φ(k, h) =A(k 1)A(k 2)...A(h) =A k h Posto h =0,la funzione di transizione dello stato diventa quindi: x(k) =A k x(0) + k 1 j=0 A (k j 1) Bu(j) L evoluzione forzata può anche essere scritta nella seguente forma matriciale: k 1 j=0 A (k j 1) Bu(j) = [ B AB A 2 B... A k 1 B ] u(k 1) u(k 2) u(k 3). u(0) Nota. Nell ipotesi che la matrice A sia invertibile, il sistema risulta reversibile, cioè è sempre possibile determinare lo stato iniziale x(0) partendo dalla conoscenza dello stato x(k) all istante k e dell ingresso u( ) nell intervallo [0,k 1]: x(0) = A k x(k) A kk 1 A (k j 1) Bu(j) = j=0 = A k x(k) k 1 A ( j 1) Bu(j) j=0

11 Capitolo 1. INTRODUZIONE 1.32 Sistemi lineari invarianti continui La condizione di invarianza per i sistemi continui si traduce nella non dipendenza dal tempo delle matrici che descrivono la funzione di stato elafunzione di uscita ẋ(t) =Ax(t)+Bu(t) y(t) =Cx(t)+Du(t) Nel caso stazionario, la matrice di transizione Φ(t, ) dipende soltanto dalla differenza t : Φ(t, )=Φ(t ). Senza togliere in generalità, potremo quindi porre =0e scrivere: d dt Φ(t )=AΦ(t ) con condizione iniziale Φ(0) = I. =0 d Φ(t) =AΦ(t) dt La soluzione della precedente equazione differenziale matriciale è la serie di potenze a coefficienti matriciali: Φ(t) =I + At + A 2t2 2! Antn n! +... = e At La verifica per sostituzione è immediata se si applica il teorema di derivazione per serie: Φ(t) =A I + At + A 2t2 2! Antn n! +... = AΦ(t) In modo formale, tale serie esponenziale viene indicata con il simbolo e At, oppure exp(at): e At = n=0 (At) n n!

12 Capitolo 1. INTRODUZIONE 1.33 Per sistemi lineari stazionari la matrice di transizione dello stato è Φ(t, )=e A(t ) per cui la funzione di transizione dello stato diventa x(t) =e A(t ) x( )+ t e A(t τ) Bu(τ)dτ Nel caso in cui si scelga =0si ha: Φ(t) =e At e quindi x(t) =e At x(0) + t 0 ea(t τ) Bu(τ)dτ Nota. A differenza del caso discreto, nel caso di sistemi continui la funzione di transizione Φ(t) èsempreinvertibile. Infatti, se la Φ(t) fosse singolare, dovrebbe esistere un vettore v o, talecheφ(t)v = o, ma anche per il vettore nullo deve valere che Φ(t)o = o, ma ciò contraddice l unicità della soluzione di una equazione differenziale. Nota. Dalla invertibilità della matrice Φ(t) segue che è sempre possibile determinare lo stato iniziale x( ), noti lo stato finale x(t) e i valori assunti dalla funzione di ingresso u(t) nell intervallo di tempo considerato. x( )=e A( t) x(t) t e A( τ) Bu(τ)dτ