Def. R si dice raggio di convergenza; nel caso i) R = 0, nel caso ii)

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1 Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi : Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale. -Si cosiglia vivamate di fare gli esercizi del testo. Cap Serie di poteze, cetro, raggio di covergeza, cotiuità, derivazioe, itegrazioe, serie di Taylor. sigifica che e è stata fatta ua dimostrazioe a lezioe, simile a quella del libro, se presete. Def. Ua serie della forma = a (x c) è detta serie di poteze, elle poteze di x c, di cetro c, di coefficieti a. Ci limitiamo a serie di poteze reali, per le quali i coefficieti a, x e c soo umeri reali. Si dimostra che l isieme di covergeza di ua serie di poteze reale è u itervallo I : Teorema 7*. Per ua serie di poteze di cetro c vale ua delle segueti alterative: i) coverge solo el cetro, cioè per x = c (I= {c}) ; ii) coverge assolutamete per ogi x (, + ) (I = (, + )); iii) esiste u umero R > tale che la serie coverge assolutamete per ogi x (c R, c + R), diverge per ogi x che soddisfa x c > R; ulla si può dire sulla covergeza o meo egli estremi dell itervallo, cioè ei puti x = c R e x = c + R. Cioè può essere: I = (c R, c+r), I = [c R, c+r), I = (c R, c+r], I = [c R, c+r]. Def. R si dice raggio di covergeza; el caso i) R =, el caso ii) R = +. N.B. Il raggio R si può trovare applicado alla serie dei valori assoluti il criterio del rapporto o, se x c, della radice. x ES.. La serie ha cetro i x =, a (x) = x x la serie coverge assolutamete se x <, diverge se x >, R = ; se x = si ha covergete, per x = ( ) assolutamete covergete; quidi l isieme di covergeza è l itervallo [, ].

2 x. c =, a (x) x la serie coverge assolutamete se x <, diverge se x >, R = ; se x = si ha divergete, se x = quidi l isieme di covergeza è l itervallo [, ) Allo stesso modo si mostra che ( ) x x coverge assolutamete i (, ). ( ) sempl.covergete; coverge i (, ].!x. c =, se x a +(x) x = a (x) ( + /) x e, la serie coverge assolutamete se x < e, diverge se x > e, R = e; se x = e si ha a (x) π + quidi l isieme di covergeza è I = ( e, e). (!) x. c =, se x a +(x) x ()! a (x), la serie coverge assolutamete se x <, diverge se x >, R = ; se x = si ha a +(x) > a (x) a (x) quidi l isieme di covergeza è I = (, ). x serie geometrica di ragioe x, coverge (ass.) sse x < c =, R =, I = (, ). 3 (x ) serie geometrica di ragioe 3(x ), coverge (ass.) sse x < /3 c =, R = /3, I = ( /3, + /3). x. (cr. rad.) coverge (ass.) se x < ( + ) sex = diverge, se x = coverge. c =, R =, I = [, ). ( ) x. (cr. rad.) coverge (ass.) se x < x < / ( ) cov. sempl. e se x = si ha c =, R = /, I = [ /, /].

3 ( ) (x+) serie geometrica di ragioe (x+) coverge (ass.) sse x + / < / c = /, R = /, I = (, ). x + / < e se x + ( ) (x + ) (cr. rad.) coverge (ass.) se ( + 3) = si ha ( ) div. c = /, R =, I = ( /, / + ]. x + cov. sempl., se x + (3x + ) a + (x) 3x + = cov. x R! a (x) + c = /3, R = +, I = (, + ).!(3x + a +(x) ) = ( + ) 3x + +, a (x) c = /3, R =, I = { /3}. < = si ha 3 (x 5 ) 3. (cr. rad.) coverge (ass.) se 3(x 5 ) 3 < log x 5 < / 3 3 e se 3(x 5 ) 3 = si ha ( ) log cov. sempl., se 3(x5 ) 3 = si log div. c = 5, R = / 3 3, I = [ 5 / 3 3, 5 + / 3 3). ha [ ( ) ] x. [ ( ) ] x = x ( x) se x < / le serie covergoo etrambe, se / x < ua diverge, e l altra coverge, se x > il termie geerale o va a zero, c =, R = /, I = ( /, /). 3

4 Data ua serie di poteze = a (x c), se l itervallo di covergeza I o è ridotto al solo cetro, essa defiisce e rappreseta i I ua fuzioe somma il cui valore è dato da f(x) = = a (x c), x I; (si può ache dire che la serie costituisce lo sviluppo i serie di poteze della fuzioe f ell itoro di c). Def. Data ua fuzioe f(x) che ha derivate di ogi ordie i x = c, allora è possibile scrivere la serie f () (c) (x c) che è chiamata serie! di Taylor di f di cetro c. Se c = si usa il ome serie di MacLauri. N.B. Tuttavia data ua fuzioe g che possieda derivate di ogi ordie i u itervallo I, la fuzioe somma g () (c) (x c) può essere! diversa da g (per x c), cioè o è sempre possibile rappresetare i serie di Taylor ua fuzioe, ache quado posso scrivere la sua serie di Taylor e ache se il raggio di covergaza di tale serie è positivo. Cioè la serie di Taylor di g può o rappresetare la fuzioe g. Questo succede perchè diverse fuzioi possoo avere gli stessi valori delle derivate i u puto c, e la serie di Taylor che si costruisce, se R, rappreseterà solo ua di queste fuzioi. { e /x, se x ES. Siao f(x) =, la fuzioe ulla, e g(x) =, se x =. Si ha che f e g soo ifiitamete derivabile e ogi derivata i x = vale zero. Quidi le loro serie di MacLauri coicidoo co la serie di zeri, la quale però rappreseta solo f, o g. Proprietà della somma di ua serie di poteze se il raggio è positivo o ifiito. Sia f(x) = = a (x c), x I e il raggio di covergeza sia R > o R = +. Allora i) f è cotiua i I; ii) f è derivabile ell itervallo aperto (c R, c + R), e la derivata è la serie delle derivate, serie che ha il medesimo raggio di covergeza R f (x) = a (x c), x (c R, c + R) =

5 iii) f è itegrabile i ogi itervallo chiuso [a, b] (c R, c + R), e l itegrale defiito i [a, b] è la serie degli itegrali defiiti i [a, b]; i particolare si ha che la fuzioe itegrale è ua serie col medesimo raggio di covergeza R : x c f(t)dt = = a + (x c)+, x (c R, c + R) ha iv)* f è ifiite volte derivabile ell itervallo aperto (c R, c + R), e si a k = f (k) (c) k! per k =,,, 3,... cioè ua serie di poteze covergete i u itoro di c coicide co la serie di Taylor di cetro c della sua fuzioe somma. ES. Calcolare la somma delle serie, ove covergeti. x. x = x x = x = x d dx ( x x ) = d dx (x ) = x d dx ( x ) x, se x < ( x) ( ) ( )x. ( ) ( )x = +x ( ) ( )x = +x d ( ) dx (x ) = + x d dx (( ) x ) = + x d dx ( )+ x = + x d x dx + x = + x, se x < ( + x) + ( ) + x. c =, R = / + ( ) + x = x ( x) + ( ) + x+ = + x + x ( ) x t dt = = + x + x = + x + x x ( x ( ) t ) dt = + t dt = + x + log( + x) x 5

6 { + ( ) + x = N.B. lim log( + x) x + x + x log( + x), se x (, ), x, se x = =, cioè, verifica la cotiuità! 3 x. c =, R = /3 Poichè 3 x è ua primitiva di 3 x, da 3 x = 3 3x itegrado si ha 3 x = x 3 ( 3t) dt = log( 3x), se x [ 3, 3 ). N.B. Se x = l uguagliaza vale per la cotiuità della somma (proprietà 3 i)) Mostrare che ( + )x = ( x) x = log + x x Fare i temi d esame. 6