Q1 = /4 0 4 = Me = /2 4 = 3

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1 Soluzioni Esercizi Capitolo - versione on-line Esercizio.: Calcoliamo le densità di frequenza x i x i+1 n i N i a i l i F i /1=4 4/10 = /4=0.5 6/10 = /5=0.8 10/10 = 1 Totale 10 I quartili risultano essere Q1 = /4 0 4 Me = / = 0.65 Q3 = /4 6 = L istogramma e rappresentato nella Figura 1. Esercizio.3: Valutiamo le medie e le varianze nei due gruppi. Per la sezione C abbiamo i x i x i x C (x i x C ) Totale dove x C = 371/5 = 74., mentre σc = 430.8/5 = Per la sezione D invece i x i x i x D (x i x D ) Totale = 3 dove x D = 307/4 = 76.75, mentre σd = /4 = La media complessiva e ottenuta nel modo seguente: x n = x Cn C + x D n D n C + n D = 1 ( ) 9 =

2 Per la ottenere la varianza generale, calcoliamo per prima cosa la varianza interna ai gruppi σ W = σ C n C + σ D n D n C + n D = 1 ( ) 9 = 64.6 mentre quella tra gruppi risulta σ B = ( x C x n ) n C + ( x C x n ) n D n C + n D = 1 9 (( ) 5 + ( ) 4) = 1.61 In conclusione la varianza complessiva e data da σ = σ W + σ B = 66.3 Esercizio.4: Esplicitiamo le distribuzioni di frequenza di X e Y : x i n i N i F i x i n i x i n i Tot y i n i N i F i y i n i yi n i Tot Per disegnare il boxplot della variabile X necessitiamo dei quartili: (n + 1)/4 =.75, ma essendo F i 0.5 per la prima volta in corrispondenza della modalità 0, concludiamo che Q1 = 0, (n + 1)/ = 5.5, pertanto essendo n/ = 5 e n/ + 1 = 6, abbiamo che Me = (0 + 30)/ = 5, 3(n + 1)/4 = 8.5, ed essendo F i 0.75 in 50, si ha Q3 = 50. Analogamente per i quartili della Y si ha: Q1 = 8,

3 Me = 8, Q3 = 15. Per disegnare il baffo superiore del boxplot di X, osserviamo che Q (Q3 Q1) = 65 e quindi la linea deve essere riportata all ultimo dato disponibile cioè 60. Per il baffo inferiore abbiamo che Q3 1.5(Q3 Q1) = 5, per cui la linea è posta al livello 10. Svolgendo simili considerazioni per il boxplot della variabile Y si ottengono i boxplot riportati nella Figura. Per confrontare la variabilità dei due caratteri si utilizza il coefficiente di variazione. Pertanto calcoliamo la media e la varianza per le due variabili X e Y : x n = 1 n ȳ n = 1 n σ x = 1 n σ y = 1 n x i n i = = 31 y i n i = = 9.8 x i n i ( x n ) = I coefficienti di variazione sono pari a: (31) = 89 y i n i (ȳ n ) = (9.8) = 0.16 CV x = σ x x n = 0.55, CV y = σ y ȳ n = 0.46, da cui si evince che X presenta una maggiore variabilità rispetto ad Y. Esercizio.5: Possiamo rappresentare la distribuzione dei dati mediante un grafico a barre come si vede nella Figura 3. Per calcolare il coefficiente di variazione abbiamo bisogno della media artimetica e della varianza σ = 1 n n x = 1 n n x i n i = = 5.3 (x i ) n i ( x) = (5.3) = 1.76 Il coefficiente di variazione è quindi dato da CV = σ x 1.76 = = Esercizio.6: Calcoliamo le quantità da utilizzare per il cacolo della mediana nella seguente tabella: 3

4 4 x i n i N i F i 1 a a a a Tot. 15 Essendo n = 15 si ha n+1 = 8. Pertanto nella posizione n+1 troviamo a che rappresenta la mediana. Inoltre F i 0.5 per la prima volta nella seconda fascia di reddito. Essendo la distribuzione definita su un carattero qualitativo ordinabile non è possibile calcolare la media aritmetica. Esercizio.7: Riportiamo nella tabella seguente le quantita principali per il calcolo degli indici richiesti dall esercizio. x i x i+1 n i a i f i = n i /n l i = n i /a i punto medio x i La distribuzione e rappresentata graficamente nella Figura??. Inoltre si ha: Moda = classe 3 4 (classe con maggior densità l i ) Media = x= k x i f i = 6.6 Varianza = k (x i) f i x =58.75-(6.6) = Esercizio.9: (1) La mediana si può calcolare per i caratteri Y, Z, W e non per X perché è una variabile qualitativa nominale. Essendo il numero di osservazioni pari, 8, la mediana cade tra il valore che occupa la posizione 4 e il valore che occupa la posizione 5 nella sequenza ordinata dei dati relativa ad ogni variabile. Quindi, per il carattere Y, che è quantitativo discreto, dovremo calcolare la media aritmetica tra il valore che occupa la posizione 4 e la posizione 5: Me(Y ) = y (4) + y (5) = = 4

5 Per quanto riguarda la variabile Z, carattere qualitativo ordinale, notiamo che sia la posizione 4 sia la posizione 5 sono occupate dal valore, che è quindi la mediana di Z: 5 e Me(Z) = Per la variabile W vale lo stesso ragionamento fatto per la variabile Y e dunque: Me(W ) = w (4) + w (5) = = 8.5 () Le rappresentazioni grafiche più opportune relativamente ad ogni variabile sono le seguenti (si vedano poi le figure allegate a questa esercitazione): X: grafico a torta o a rettangoli (o bastoncini) Y : diagramma ad aste. Z: grafico a rettangoli (o bastoncini). W : istogramma. Conviene quindi raggruppare i valori della variabile in classi di intervallo, per esempio in tre classi di uguale ampiezza. Il range (o campo di variazione) dei dati è (16 1) = 15. Le tre classi di uguale ampiezza dovranno quindi avere ampiezza pari a 15 = 5; le classi ottenute sono quindi: 1 6, , Possiamo rappresentare i dati raggruppati nella seguente tabella: w i n i f i a i l i Totale (3) Per rappresentare il box-plot della variabile W abbiamo bisogno dei seguenti valori: I o quartile Q 1 : il I o quartile di W è dato dal valore in posizione 1 4 (n + 1) = =.5

6 6 Poiché non otteniamo un numero intero, calcoliamo la media tra il valore in posizione e il valore in posizione 3: Q 1 = + 3 =.5 Mediana: abbiamo già il valore della mediana, che è 8.5 III quartile: il III quartile di W è dato dal valore in posizione 3 4 (n + 1) = = 6.75 Poiché non otteniamo un numero intero, calcoliamo la media tra il valore in posizione 6 e il valore in posizione 7: Q 3 = = 1.5 Poiché Q (Q 3 Q 1 ) = (1.5.5) =.5 15 < 1 = x (1) scegliamo x (1) = 1, il minimo, come quantità in corrispondenza della quale tracciare il baffo inferiore del box-plot. Notiamo inoltre che Q (Q 3 Q 1 ) = (1.5.5) = > 16 = x (n) Dunque, tracciamo il baffo superiore in corrispondenza di x (n) = 16, il massimo.(si veda la rappresentazione del box-plot alla fine del presente documento). (4) La media di W è data dalla seguente formula: w n = 1 n n w i = = 8 La varianza di W si calcola applicando la formula: σ = 1 n wi ( w n ) n Dunque:

7 7 1 n e n w i = = 91 σ = 91 (8) = = 7

8 8 Figure Istogramma denstià di frequenza x Figure 1. Esercizio X Y Figure. Esercizio 4

9 9 Grafico a Barre Frequenze assolute x Figure 3. Esercizio 5