UNIVERSITÀ DI BOLOGNA FACOLTÀ DI ECONOMIA. Corso di Laurea in Economia e finanza OPZIONI: VALUTAZIONI E STRATEGIE OPERATIVE

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1 UNIVERSITÀ DI BOLOGNA FACOLTÀ DI ECONOMIA Corso di Laurea in Economia e finanza OPZIONI: VALUTAZIONI E STRATEGIE OPERATIVE Elaborato scritto per la prova finale Presentato da Davide Schirinzi Anno Accademico 2011/2012

2 Indice Ringraziamenti p.5 Introduzione p.7 1. Le opzioni p Cosa sono le opzioni p Valore di un opzione p Posizioni su opzioni p Opzioni esotiche p Altri derivati asimmetrici p Covered Warrants p Stock Options p Warrants p Il premio p Fattori che influenzano il prezzo di un opzione p Il prezzo del sottostante S 0 p Il prezzo di esercizio K p Vita residua del contratto T p Volatilità del sottostante σ p Tasso di interesse privo di rischio r p Stacco dei dividendi D p Limiti superiori ed inferiori del premio p Limiti superiori ed inferiori per opzioni call europee p Limiti superiori ed inferiori per opzioni put europee p Opzioni call e put americane p Opzioni in presenza di dividendi p Put-call parity p Strategie operative p Strategie operative con un opzione ed un opzione p Vendita di una call coperta p Acquisto di una call coperta p Acquisto di una put difensiva p Vendita di una put difensiva p Spreads p Bull Spread p.27 3

3 3.2.2 Bear Spread p Box Spread p Straddles p Strips e straps p Strangles p Metodi di valutazione p Modelli binomiali p Modelli binomiali ad uno stadio p Modelli binomiali a più stadi p Modello di Black-Scholes-Merton p Formule di Black-Scholes-Merton p Il modello in presenza di dividendi p.35 Bibliografia p.37 Elenco dei grafici e delle illustrazioni p.37 4

4 Ringraziamenti Ad onor del vero non avevo intenzione di scrivere i ringraziamenti, non certo perchè non avrei avuto nessuno da ringraziare in maniera particolare ma perchè sono pigro, e mi sono già stancato abbastanza a scrivere la tesi. Sono stato tuttavia obbligato a scrivere un ringraziamento in particolare, per tutti gli altri invece: nonne, zii, zie, cugini, mamme, papà, sorelle, fratelli, amici, amiche, ex fidanzate, ex coinquilini, coinquilini di ex fidanzate, coinquilini di conoscenti, amici di coinquilini, vicini di amici di coinquilini, il bambino croissant, nerd giocatori di halo, vicini di casa, dirimpettai, ex datori di lavoro, accattoni, barboni, tabaccai, animali domestici, pizzaioli, kebabbari, baristi, autisti, piloti ryanair, assistenti di volo, il bidello con gli occhialoni, professori, buttafuori, medici, dentisti, arbitri, cassiere/i del supermercato, dipendenti mps, lu ciucciu ti lu catunzi e via dicendo, vi ringrazio chi più chi meno, ma comunque tutti discretamente per aver condiviso un momento o qualcosa di più con voi, ma soprattuto ringraziatemi voi di aver arricchito in maniera permanente o di sfuggita le vostre vite perchè sono fantastico, bello ed intelligente. E aggiungerei anche simpatico e affabile. Praticamente per ultimo, ma in fondo per primo se non considerassimo il malloppone, sono obbligato a ringraziare Ska: Grazie per aver fatto l immagine 2 a p.34, non avevo proprio voglia di farla, per non perdere 2 minuti ad aprire paint ora sono costretto a passare un ora a scrivere i ringraziamenti, dunque ti ringrazio anche per aver dovuto ri-impaginare 3 volte la tesi e aver dovuto riscalare indice ed elenco dei grafici e delle illustrazioni per inserirli (i ringraziamenti nrd.), ma soprattutto grazie di restituirmi sempre i soldi che ti presto e di scacciare gli insetti e le falene dalla mia stanza. 5

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6 Introduzione Questo elaborato si prefigge l obiettivo di fornire una panoramica sul mondo delle opzioni, e più precisamente sui meccanismi che regolano le opzioni su azioni, fornendo tuttavia accenni agli altri derivati asimmetrici simili alle opzioni, per chiarire le differenze, e alle principali opzioni esotiche, specificandone le difformità contrattuali rispetto alle plain vanilla. La trattazione si articolerà in una panoramica generale dello strumento finanziario e in un discorso dettagliato sulle opzioni su azioni. La prima parte descriverà cos'è un'opzione, come e dove è scambiata, le posizioni assumibili rispetto ad essa e le differenze che presenta rispetto agli altri derivati asimmetrici e alle opzioni di tipo esotico. L'analisi dettagliata delle opzioni su azioni definirà invece tutti i fattori che influenzano il prezzo del contratto, i suoi limiti inferiori e superiori e il modo in cui questi si modificano in relazione alla possibilità di esercizio anticipato e allo stacco di dividendi del sottostante nel corso della vita residua dell opzione. Verranno inoltre trattate le più comuni strategie operative mediante opzioni e fatti alcuni cenni teorici sui metodi utilizzati per individuare il premio, considerando sia i metodi binomiali, sia il modello di Black-Scholes-Merton. 7

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8 Profitto Capitolo 1. Le opzioni 1.1 Cosa sono le opzioni Le opzioni ordinarie o plain vanilla sono dei contratti finanziari il cui valore dipende dallo strumento finanziario sul quale essi sono scritti (sottostante), che può essere un azione, un future, una valuta, un indice, o una serie di commodities che conferiscono al possessore il diritto, ma non l obbligo, di acquistare o vendere un attività reale o finanziaria ad un prezzo prefissato (strike price) entro o alla data di scadenza, dietro il pagamento di un premio (prezzo dell opzione). A differenza di altri derivati come ad esempio i futures le opzioni si definiscono derivati asimmetrici poiché, conferendo un diritto e non un obbligo, non vi è simmetria negli obblighi contrattuali delle parti. A seconda del diritto che incorporano distinguiamo le opzioni call, che permettono di acquistare un sottostante, dalle opzioni put, che permettono invece di venderlo. Inoltre, in base alla possibilità di esercitare l opzione solo alla data di scadenza oppure in qualunque momento entro la data di scadenza, possiamo distinguere invece, rispettivamente, le opzioni di tipo europeo da quelle di tipo americano. Esistono inoltre opzioni che presentano specifiche contrattuali particolari, dette esotiche. Nel corso della trattazione si assumerà tuttavia con il termine opzione, se non diversamente specificato, una di tipo ordinario o plain vanilla Prezzo sottostante Long su derivato simmetrico Opzione Call C= 5 S 0 = 20 K= 20 Grafico 1 Derivato simmetrico e opzione. Nel grafico sono rappresentati i profitti e le perdite di una posizione lunga su un derivato simmetrico e di una su un opzione call scritte sul medesimo sottostante. È immediato verificare come nel caso del contratto di opzione, a fronte del premio pagato, l acquirente elimini in caso di evento negativo la possibilità di perdite superiori al prezzo dell opzione. 9

9 In Italia le opzioni sono scambiate nel mercato IDEM con la presenza di una cassa di compensazione e garanzia che garantisca la solvibilità della transazione, i volumi di negoziazione hanno dimensioni abbastanza contenute e provengono prevalentemente ad operatori specializzati a causa di lotti minimi di negoziazione elevati e costi di transazione non trascurabili. È bene ricordare inoltre che a differenza di altri derivati, le opzioni, ove possibile, prevedono la consegna del sottostante e non un regolamento tramite cash settlement Valore di un opzione Il valore di un opzione è composto da due componenti: il valore intrinseco rappresenta il guadagno che otterremmo se esercitassimo in questo momento l opzione e quindi per una call è pari al maggiore tra 0 e la differenza tra il prezzo del sottostante e il prezzo di esercizio, ovvero max{s 0 -K ; 0}, mentre per una put è pari al maggiore tra 0 e la differenza tra il prezzo di esercizio e il prezzo del sottostante, ovvero max{k-s 0 ;0}; il valore temporale è determinato invece dal valore che l opzione potrà assumere durante la sua vita residua a seguito dei movimenti dello strumento sottostante e decresce assieme alla vita residua del contratto stesso, è influenzato prevalentemente dalla volatilità del sottostante ed alla data di scadenza risulterà essere praticamente nullo. Il prezzo dell opzione in scadenza dipenderà quasi esclusivamente dal valore intrinseco del contratto Posizioni su opzioni Sulle opzioni è possibile assumere posizioni lunghe oppure posizioni corte: le posizione lunghe sono rappresentate da colui che acquista un qualunque tipo di opzione e che quindi, a fronte del pagamento del premio a colui che ha assunto la posizione corta, diventa possessore del diritto specifico che l opzione gli conferisce. Viceversa colui che assume la posizione corta e quindi vende l opzione è chiamato writer, assumendo, a fronte del premio incassato, l obbligo di acquistare (vendere) il sottostante ad un prezzo prefissato qualora il possessore dell opzione entro o alla data di scadenza decida di esercitare il suo diritto. 10

10 Profitto Profitto Profitto Profitto Grafici 2 e 3 Acquisto e vendita opzione call. Nei grafici sottostanti sono rappresentati i profitti degli acquirenti e dei venditori di un ipotetica azione di tipo di tipo call con premio 7 e strike price 20 al variare del prezzo del sottostante: Acquisto Opzione Call Prezzo sottostante Vendita Opzione Call Prezzo sottostante Grafici 4 e 5 Acquisto e vendita opzione put. Nei grafici sottostanti sono rappresentati i profitti degli acquirenti e dei venditori di un ipotetica azione di tipo di tipo put con premio 7 e strike price 20 al variare del prezzo del sottostante: Acquisto Opzione Put Vendita Opzione Put Prezzo sottostante - 15 Prezzo sottostante Opzioni esotiche Le opzioni esotiche sono opzioni particolari che, pur incorporando un diritto di acquistare o vendere un sottostante, presentano specifiche contrattuali molto diverse dalle opzioni ordinarie o plain vanilla. La gamma di scelta è molto ampia e ogni tipologia presenta specifiche diverse, le opzioni esotiche più comunemente trattate sono: opzioni asiatiche: in cui lo strike price non è scelto anticipatamente ma si basa su una media dei prezzi del sottostante in un determinato periodo; opzioni Bermuda: una via intermedia tra opzioni di tipo europeo e americano, possono essere esercitate solo in alcune date prestabilite; 11

11 opzioni binarie: presentano solo due possibili payoff, il guadagno non è infatti determinato da un differenziale ma è una somma fissa che viene pagata al possessore qualora il sottostante superi un certo prezzo; opzioni average-rate: in scadenza, il prezzo del sottostante non è il prezzo spot ma la media aritmetica dei prezzi rilevati in un determinato periodo; opzioni su opzioni: sono opzioni scritte su altre opzioni; opzioni barriera: sono opzioni che si attivano o cessano di esistere qualora il prezzo del sottostante incontri, al rialzo o al ribasso, un prezzo prefissato; opzioni lookback: permettono al possessore di scegliere alla scadenza lo strike price più conveniente tra quelli toccati dal sottostante durante la vita del contratto. 1.2 Altri derivati asimmetrici Covered Warrants I covered warrants fondamentalmente assolvono la stessa funzione delle opzioni per l acquirente, ovvero conferiscono al possessore il diritto ma non l obbligo di acquistare o vendere un attività sottostante ad un prezzo prefissato, tuttavia differiscono dalle seconde poichè sono titoli e non contratti, i CW infatti sono titoli emessi da istituti terzi che svolgono la funzione di writers, sono cartolarizzati, e vengono scambiati direttamente sul mercato MTA nonostante il grado di leva. Sono stati creati per favorire l utilizzo di strumenti simili alle opzioni anche tra i piccoli investitori, non essendoci lotti minimi di negoziazione è infatti possibile investire somme più contenute e la liquidità è sempre garantita grazie alla presenza di market makers che sono sempre disposti a comprarli o venderli a diversi prezzi denaro e lettera, inoltre con i CW non è prevista la consegna fisica del sottostante qualora il diritto venga esercitato: Il regolamento avviene tramite cash settlement Stock Options Le stock options sono contratti nati principalmente con lo scopo di fungere da premio/retribuzione per i manager, in questi contratti l azienda sulle quali azioni il contratto è scritto funge da writer e conferiscono al possessore il diritto di acquistare azioni di nuova emissione ad un prezzo prefissato. 12

12 1.2.3 Warrants I warrants invece nascono principalmente con lo scopo di incentivare l acquisto di obbligazioni, essi infatti non vengono mai emessi ad hoc ma sono immessi nel mercato solo in sede di aumento di capitale, venendo distribuiti ai vecchi azionisti, o a seguito di un emissione obbligazionaria (obbligazioni cum warrant) conferendo al sottoscrittore delle obbligazioni la possibilità di convertirle in azioni. I warrants, essendo emessi dalla stessa società del sottostante, sono solo di tipo call, e al pari delle stock options qualora vengano esercitati conferiranno al possessore azioni di nuova emissione. 13

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14 Capitolo 2. Il premio In questo capitolo verrà trattato il prezzo di un opzione, il modo in cui alcuni fattori lo influenzano, i suoi limiti superiori e inferiori, e come esso si comporta a seconda che si tratti di opzioni put o call, americane o europee, qualora il sottostate paghi o meno dividendi durante la vita del contratto. Da ora in poi le opzioni trattate, se non diversamente specificato, saranno quelle europee scritte su azioni che non pagano dividendi. 2.1 Fattori che influenzano il prezzo di un opzione Prezzo corrente del sottostante S 0 Il prezzo del sottostante influenza positivamente il premio di un opzione call e negativamente un opzione put poichè va a modificare immediatamente il valore intrinseco del contratto. Il delta misura la sensibilità del premio dell opzione rispetto ad una variazione del prezzo del sottostante tenendo costanti gli altri fattori ed è positivo per compratori di call e venditori di put, negativo per compratori di put e venditori di call. Analiticamente è la derivata prima del prezzo dell opzione rispetto al prezzo del sottostante e per questo motivo, si può considerare costante solo per piccole variazioni del prezzo del sottostante. La sensibilità del delta rispetto al movimento del sottostante è rappresentata invece dal parametro gamma che analiticamente è la derivata seconda del premio rispetto al prezzo dell attività su cui l opzione è scritta Prezzo di esercizio K Il prezzo di esercizio o strike price è il prezzo al quale l opzione ci permette di comprare o vendere l attività su cui è scritta qualora decidessimo di esercitarla, esso influisce negativamente sul premio delle opzioni call e positivamente sul prezzo delle opzioni put poichè, al pari del prezzo corrente del sottostante S 0, va a modificare immediatamente il valore intrinseco dell opzione. A tal proposito si possono distinguere le opzioni in: in the money: qualora il prezzo di esercizio renda conveniente l esercizio dell opzione al possessore; at the money: qualora il prezzo di esercizio lasci indifferente il possessore rispetto all esercizio o meno dell opzione; out of the money: qualora il prezzo di esercizio non renda conveniente l esercizio dell opzione al possessore. 15

15 2.1.3 Vita residua T La vita residua rappresenta l intervallo tempo temporale che intercorre prima della scadenza del diritto di opzione: ovviamente un opzione con una vita residua molto lunga ha un valore maggiore, a parità degli altri fattori, di un opzione con una vita residua più corta, sia che si tratti di una put che si tratti di una call. Anche a livello intuitivo è facile comprenderne il perché: in un arco di tempo più lungo aumenta la possibilità che il prezzo del sottostante si discosti molto dal prezzo di esercizio dell opzione, e ciò rende possibili guadagni potenzialmente illimitati a fronte di una massima perdita prefissata. A tal proposito è opportuno ricordare che l opzione, conferendo semplicemente il diritto ma non l obbligo di comprare o vendere un attività, se alla data di scadenza l esercizio non è conveniente può non essere esercitata: in questo caso si subirà unicamente una perdita pari al premio pagato. Il theta di un opzione rappresenta la sensibilità del premio dell opzione rispetto al tempo tenendo costanti gli altri fattori. Analiticamente corrisponde alla derivata prima del prezzo rispetto al tempo ed è sempre negativo per opzioni ordinarie; è anche detto declino temporale e, a differenza di tutti gli altri indicatori, non dipende da una variabile stocastica poiché ovviamente lo scorrere del tempo è un evento certo Volatilità del prezzo del sottostante σ La volatilità del prezzo del sottostante esprime l incertezza rispetto ai futuri tassi di rendimento del sottostante ovvero è la deviazione standard del tasso di rendimento annuo composto continuamente. La volatilità del sottostante influenza positivamente sia le opzioni di tipo put che quelle di tipo call poiché un alta volatilità rappresenta una forte possibilità di scostamento del prezzo del sottostante dal prezzo attuale: mentre nel caso di un derivato comune questo rende possibili sia ingenti guadagni sia ingenti perdite (portando ad una compensazione degli effetti positivi e negativi della volatilità), nelle opzioni, essendo derivati asimmetrici, una volatilità alta implica, alla stregua della vita residua, possibilità di guadagno illimitate in caso di evento positivo, a fronte di una perdita massima contenuta e soprattutto prefissata in caso di evento negativo. La sensibilità del prezzo di un opzione rispetto alla deviazione standard del sottostante è espressa dalla lettera greca vega, ovvero la derivata prima del premio rispetto alla volatilità, che, alla luce di quanto spiegato sopra, è sempre positiva sia che si tratti di opzioni di tipo call che di tipo put. 16

16 Stima della deviazione standard La volatilità di un titolo può essere facilmente ricavata a partire dai suoi dati storici. Conoscendo il rendimento giornaliero dati g+1 giorni lavorativi la cui volatilità giornaliera sarà uguale a: È possibile ottenere la volatilità annua moltiplicando la volatilità giornaliera per la radice quadrata dei giorni lavorativi in un anno: Tasso di interesse privo di rischio r Il tasso di interesse privo di rischio, intenso come rendimento del mercato monetario, influenza il prezzo delle opzioni in modo non molto chiaro: teoricamente, tenendo costanti tutti gli altri fattori, un aumento dei tassi di interesse provoca un aumento del rendimento atteso dei titoli azionari e allo stesso tempo il diminuire del valore attuale dei flussi di cassa attualizzati. Questi effetti dovrebbero tradursi in un aumento del valore di un opzione call ed in una diminuzione di un opzione put, tuttavia al seguito di un aumento (riduzione) dei tassi di interesse i prezzi dei titoli azionari subiscono una riduzione (aumento), quindi l effetto complessivo di una variazione dei tassi di interesse sul valore di un opzione, considerando anche la variazione di prezzo del sottostante, può essere incerto. Il rho rappresenta la sensibilità del premio dell opzione alle variazioni del tasso di interesse privo di rischio ovvero è la derivata prima del premio rispetto al tasso r I dividendi attesi durante la vita del sottostante D Il giorno in cui l azione inizia a quotare senza dividendo il suo valore si riduce per un ammontare pari al dividendo staccato, poichè talvolta alcune aziende optano per payout-ratios alti il prezzo dell azione potrebbe subire forti variazioni e quindi ovviamente il prezzo dell opzione tiene conto di tali eventi. 17

17 Profitto 2.2 Limiti superiori ed inferiori del premio Limiti superiori e inferiori per opzioni call europee Per opzioni di tipo call europee su azioni che non pagano dividendi, il premio pagato C deve sodisfare la seguente condizione: max{s 0 - Ke -rt ; 0} C S 0 è facile verificare che qualora così non fosse sarebbero presenti opportunità di arbitraggio. Se il prezzo dell opzione fosse più alto del prezzo del sottostante (C > S 0 ) si potrebbe ottenere un profitto immediato almeno pari a C- S 0 acquistando un azione e vendendo un opzione call anche qualora lo strike price fosse Grafico 6 Acquisto azione e vendita opzione call. Acquisto azione e vendita opzione call Prezzo sottostante opzione azione Profitto C= 25 S 0 = 20 K=0 Se il prezzo dell opzione invece fosse inferiore alla differenza tra il prezzo del sottostante e lo strike price (C < S 0 -Ke -rt ) vi sarebbe un opportunità di profitto risk free vendendo allo scoperto un azione e comprando un opzione call e investendo il capitale restante al tasso r, alla data di scadenza: se K < S esercito l opzione per chiudere la posizione corta ed ottengo un profitto pari a (S 0 - C)*e rt K; se K > S non esercito l opzione e compro l azione sul mercato per chiudere la posizione corta ottenendo un profitto maggiore del precedente paria a (S 0 -C)*e rt S. 18

18 Valore Call Premio opzione call Limite Inferiore Valore Call Limite Superiore K= Prezzo Sottostante Grafico 7 Premio opzione call. Nel grafico è mostrato come varia il prezzo di una call con K=30 al variare del prezzo del sottostante, il premio si allontanerà sempre di più dal limite inferiore (valore intrinseco dell opzione) all aumentare del tasso di interesse privo di rischio, della volatilità del sottostante e della vita residua del contratto fermorestando che occuperà sempre uno spazio compreso tra i due limiti Limiti superiori e inferiori per opzioni Put Europee Per opzioni di tipo put europee su azioni che non pagano dividendi, il premio pagato P deve sodisfare la seguente condizione: max{ke -rt S 0 ; 0} P Ke -rt Una put ci permette di vendere alla data di scadenza il sottostante al prezzo K, se P > K un arbitraggista vendendo l opzione otterrebbe un profitto privo di rischio anche qualora valore del sottostante scendesse a 0. Poichè questa disuguaglianza vale al tempo T deve necessariamente valere anche oggi: il premio della Put non può essere superiore al valore attuale di K ovvero P Ke -rt poichè altrimenti un arbitraggista potrebbe ottenere un profitto privo di rischio vendendo ancora una volta l opzione e investendo il ricavato al tasso privo di rischio. Se il prezzo dell opzione put fosse invece minore di della differenza tra il valore attuale dello strike price e il prezzo del sottostante (P Ke -rt S 0 ) si potrebbe ottenere un profitto risk free prendendo a prestito denaro e comprando un opzione put e il sottostante su cui essa è scritta, alla scadenza infatti: se S < K esercito l opzione, rimborso il prestito ed ottengo un profitto pari a K - (S 0 +P)*e rt > 0; 19

19 Valore Put se S > K non esercito l opzione, vendo l azione, rimborso il presito ed ottengo un profitto ancora maggiore pari a S - (S 0 +P)*e rt > 0. Premio put europea Limite Inferiore Valore Put Limite Superiore Ke -rt = Prezzo Sottostante Grafico 8 Premio put europea. Nel grafico è mostrato come varia il prezzo di una put americana con K=30 al variare del prezzo del sottostante, il premio si allontanerà sempre di più dal limite inferiore (valore intrinseco dell opzione) al diminuire del tasso di interesse privo di rischio, della volatilità del sottostante e della vita residua del contratto fermo restando che occuperà sempre uno spazio compreso tra i due limiti Opzioni call e put americane Relativamente alle opzioni di tipo americano ancora una volta su azioni che non pagano dividendi, vi sono delle differenze nei limiti superiori e inferiori rispetto a quelle europee, a tal proposito è bene ricordare che le opzioni americane prevedono la possibilità di esercizio anticipato e intuitivamente un opzione che può essere esercitata in qualunque momento dovrebbe valere di più di una esercitabile solo alla data di scadenza, tale proposizione è vera per le opzioni di tipo put ma non per quelle di tipo call. Le opzioni call permettono di acquistare il sottostante ad un prezzo prefissato, esse quindi incorporano una componente assicurativa contro l aumento del valore del sottostante e allo stesso tempo una componente legata al valore temporale del denaro, con questo tipo di opzioni l esborso per l acquisto del sottostante è posticipato fino alla data di scadenza. Le call americane, pur offrendo la possibilità di esercizio anticipato, non andrebbero mai esercitate prima della data di scadenza in primo luogo perché il prezzo del sottostante potrebbe, teoricamente, crescere all infinito, e in secondo luogo perché esercitandole anticipatamente si perderebbe il valore temporale del diritto e si pagherebbe oggi qualcosa che si potrebbe pagare nel futuro. 20

20 Valore Put Avendo spiegato perché non è mai ottimale esercitare prima della scadenza una call, il prezzo di una americana e di una europea dovrà necessariamente essere uguale e quindi saranno uguali anche i suoi limiti superiori ed inferiori. Relativamente alle put americane invece le componenti agiscono in maniera diversa: la componente assicurativa che protegge da una caduta del prezzo del sottostante quando il prezzo dell azione è sufficientemente basso cessa di esistere; è ovvio che non c è alcuna ragione per non esercitare un opzione put quando il prezzo del sottostante è nullo; infine, relativamente al valore temporale del denaro, è più profittevole ricevere del denaro oggi che non in futuro: è possibile infatti investire quel denaro al tasso privo di rischio e guadagnare gli interessi. Essendo quindi l esercizio anticipato a volte ottimale, il prezzo di una put americana deve essere necessariamente superiore alla corrispettiva europea, il limite superiore passerà quindi da Ke -rt a K mentre il limite inferiore da max{ke -rt S 0 ;0} a max{k S 0 ;0}. Grafico 9 Premio put europea. Nel grafico sottostante è rappresentata la variazione del premio di una put europea con K=30 al variare del prezzo del sottostante, i limiti tuttavia sono quelli della corrispondente put americana. Il grafico mostra come per valori del sottostante molto bassi la put europea valga meno del valore intrinseco dell opzione stessa. 35 Premio put europea Limite Inferiore Valore Put Limite Superiore K = Prezzo Sottostante 21

21 2.2.4 Opzioni in presenza di dividendi Quando un azione paga un dividendo, il suo prezzo, il giorno dello stacco, diminuisce di un importo esattamente pari al dividendo pagato. Di conseguenza è necessario adeguare i limiti inferiori dei premi al fine di escludere opportunità di arbitraggio, aggiustandoli per il valore attuale dei dividendi De -rt : limite inferiore opzione call europee: C max{s 0 - De -rt - Ke -rt ; 0}; limite inferiore opzioni put europee: P max{de -rt + Ke -rt - S 0 ; 0}. Per quanto riguarda le opzioni di tipo americano l introduzione dei dividendi rende a volte ottimale l esercizio anticipato di opzioni call. Ad esempio subito prima dello stacco, qualora il dividendo sia copioso, essendo quindi l esercizio anticipato di opzioni call a volte ottimale al pari delle opzioni put, ne seguirà che in presenza di dividendi anche il premio della call americana dovrà essere maggiore della sua corrispettiva europea. 2.3 Put-call parity Nelle opzioni di tipo europeo scritte su azioni che non pagano dividendi, se non vi sono opportunità di arbitraggio vige una relazione tra il prezzo di una call e quello di una put scritti sul medesimo sottostante con uguale data di scadenza e stesso prezzo di esercizio. Supponiamo di avere due portafogli: 1) una call europea e un importo in denaro pari a Ke -rt, questo portafoglio alla scadenza varrà K se S t <K, poiché l opzione non verrà esercitata, oppure S t se S t >K poiché eserciteremo la call e useremo l importo in denaro per acquistare il sottostante al prezzo K; 2) una put europea ed un azione, questo portafoglio alla scadenza varrà S t se S t > K poiché l opzione non verrà esercitata essendo priva di valore, oppure K se S t < K, poiché venderemo il sottostante esercitando l opzione al prezzo di esercizio K. È evidente come al tempo T entrambi i portafogli varranno max{ S t ; K}, ne consegue che anche oggi i portafogli devono avere lo stesso valore e quindi: C + Ke -rt = P + S 0, questa relazione è nota come put-call parity. 22

22 La put-call parity non è valida per azioni di tipo americano, poiché le put americane, rendendo conveniente a volte l esercizio anticipato valgono necessariamente di più delle equivalenti put europee mentre, invece, le call americane, non essendo ottimale l esercizio anticipato, valgono esattamente quanto le corrispettive europee. Nel caso in cui il sottostante paghi dividendi durante la vita del contratto è necessario tener conto nella put-call Parity di come la perdita di valore del sottostante il giorno dello stacco si rifletta nella caduta del prezzo della call. È necessario quindi inserire nell equazione il valore attuale dei dividendi che verranno pagati De -rt, la relazione diviene dunque: C + De -rt + Ke -rt = P + S 0. 23

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24 Profitto Capitolo 3. Strategie Operative 3.1 Strategie con un azione ed un opzione Le strategie più semplici sono sicuramente quelle composte da combinazioni di una posizione su un opzione e una sull azione sottostante, dai grafici delle quattro strategie sottoelencate si evince come tali strategie ricreino esattamente i diagrammi di profitto delle possibili posizioni su opzioni, questo per via della put-call parity che, per opzioni di tipo europeo che non pagano dividendi (usate per costruire queste strategie), è data dalla relazione P + S 0 = C + Ke -rt Vendita di una Call coperta Grafico 10 Vendita call coperta. Vendita call coperta Sottostante Short Call Long Azione Call Coperta K = 40 C = 10 P = 10 S 0 = 35 La vendita di una call coperta è una strategia che replica la posizione del writer di una put, si costruisce mediante la vendita di una call e l apertura di una posizione lunga sul sottostante. 25

25 Profitto Profitto Acquisto di una call coperta Grafico 11 Acquisto call coperta. Acquisto call coperta Sottostante long Call Short Azione Call Coperta K = 40 C = 10 P = 10 S 0 = 35 L acquisto di una call coperta è una strategia che replica la posizione dell acquirente di una put, si costruisce mediante la vendita di un azione e l acquisto di una call Acquisto di una put difensiva Grafico 12 Acquisto protective put. 40 Acquisto protective put Sottostante long Put Long Azione Protective Put K = 40 C = 10 P = 10 S 0 = 35 L acquisto di una protective put è una strategia che replica la posizione dell acquirente di una call, si costruisce mediante l acquisto di una azione e di una put. 26

26 Profitto Profitto Vendita di una put difensiva Grafico 13 Vendita protective put. Vendita protective put Sottostante Short Put Short Azione Protective Put K = 40 C = 10 P = 10 S 0 = 35 La vendita di una protective put è una strategia che replica la posizione del writer di una call, si costruisce mediante la vendita di una put e l apertura di una posizione corta sul sottostante. 3.2 Spreads Bull Spread Grafico 14 Acquisto bull spread Bull spread Short Call Long Call Bull Spread Call Sottostante Kl = 20 Ks = 40 Cl = 5 Cs = 2 Il bull spread, o spread a rialzo, è uno spread costruito mediante la vendita di una call con un determinato prezzo di esercizio e l acquisto di una call con uno strike price più basso del 27

27 Profitto precedente scritte sullo stesso sottostante e con stessa data di scadenza. Mediante questa strategia si vuole assumere una posizione rialzista ma, rispetto ad una protective put, si è disposti, al fine di ridurre il rischio dell investimento, a porre un tetto massimo ai guadagni Bear Spread Grafico 15 Acquisto bear spread Bear spread Short Put Long Put Bear spread Put Sottostante Kl = 40 Ks = 20 Pl = 5 Ps = 2 Il bear spread, o spread al ribasso, è una strategia per sfruttare movimenti ribassisti del sottostante tuttavia, rispetto all acquisto di una call coperta, al fine di ridurre il rischio dell investimento si pone un tetto massimo ai profitti. Questa strategia è costruita mediante l acquisto di una put con un determinato prezzo di esercizio e la vendita di un altra put con prezzo di esercizio più basso del precedente, ovviamente le opzioni devono essere scritte sullo stesso sottostante ed avere la medesima data di scadenza. 28

28 Profitto Box Spread Grafico 16 Box spread Bear Spread Box Spread K 2 = 40 K 1 = 20 P L = 5 5 P S = 2 C L = 5 C S = Box spread Sottostante Bull Spread Il box spread è una strategia costruita mediante la combinazione di un bull spread ed un bear spread costruite con gli stessi due prezzi di esercizio, un portafoglio costruito in questo modo al tempo T varrà (K 2 K 1) (C L + P L P S C S ), dove C L, P L, P S, C S sono i prezzi delle call lunghe e corte e delle put lunghe e corte usate per costruire il bull spread ed il bear spread mentre, K 1 e K 2 sono i loro prezzi di esercizio. Essendo il valore del portafoglio certo, ne consegue che se non vi sono opportunità di arbitraggio dovrà rendere quanto il tasso di interesse privo di rischio e quindi l investimento iniziale dovrà essere uguale al valore del box spread al tempo T attualizzato al tasso r: (C L + P L P S C S ) = [(K 2 K 1) (C L + P L P S C S )]e -rt. Di conseguenza è una strategia che permette di ottenere profitto solo se vi sono opportunità di arbitraggio: ovvero è conveniente acquistare un box spread se il prezzo delle opzioni che lo compongono è basso, mentre conviene venderlo qualora tale prezzo sia alto. 3.3 Straddles Gli straddles sono strategie di investimento che consistono nell acquisto o nella vendita di un opzione put e un opzione call scritte sul medesimo titolo, con stessa data di scadenza, e pari prezzo di esercizio. Colui che compra uno straddle, otterrà profitto se il prezzo del sottostante subirà brusche variazioni sia al rialzo che al ribasso, ovvero ritiene che la volatilità reale del sottostante sia sottostimata. 29

29 Profitto Profitto Grafico 17 Acquisto straddle Acquisto straddle Straddle K = 30 - C = 5-15 P = 5 Sottostante Call Put Il venditore di uno straddle invece, ritiene che la volatilità reale del sottostante sia minore di quanto stimato nel prezzo delle opzioni, egli infatti otterrà un profitto tanto maggiore quanto meno il sottostante si discosterà dal prezzo di esercizio delle opzioni. Grafico 18 Vendita straddle Vendita straddle Sottostante K = 30 C = 5 P = 5 Short Call Short Put Straddle 3.4 Strips e Straps Gli strips e gli straps sono strategie in cui l investitore, ritenendo che la volatilità del sottostante sia sottostimata, crede che il prezzo del sottostante si scosterà molto dal prezzo di esercizio delle opzioni, tuttavia propende più per un movimento rialzista (strap) o per un movimento ribassista (strip). 30

30 Profitto Profitto Uno strip è costruito mediante l acquisto di una call e due put, ovviamente scritte sul medesimo sottostante, con lo stesso prezzo di esercizio e la medesima data di scadenza, e permette all acquirente di ottenere un profitto maggiore quando si verifica un forte movimento ribassista rispetto a quello che otterrebbe da un forte movimento rialzista. Grafico 19 Strip. 50 Strip K = 30 C = 5-20 P = 5 Sottostante Call 2 Put Strip Uno strap è invece costruito mediante l acquisto di due call e una put, ovviamente scritte sul medesimo sottostante, con lo stesso prezzo di esercizio e la medesima data di scadenza, e permette all acquirente di ottenere un profitto maggiore quando si verifica un forte movimento rialzista che non uno ribassista. Grafico 20 Strap. 50 Strap K = 30 C = 5-20 P = 5 Sottostante 2 Call Put Strap 31

31 Profitto 3.5 Strangles Gli strangles sono strategie molto simili agli streddles, esse infatti si basano sulla stessa convinzione dell investitore di una sottostima della volatilità del sottostante per la quale vi saranno in futuro forti scostamenti del prezzo dell azione. Si costruiscono acquistando una put e una call scritte sullo stesso sottostante e con medesima data di scadenza ma con prezzi di esercizio diversi: questo farà si che servano movimenti al rialzo o al ribasso più ampi per ottenere un profitto ma allo stesso tempo le perdite saranno più limitate rispetto ad uno straddle poiché il prezzo della call sarà inferiore a quello della put. A seconda del grado di rischio che si vuole assumere è possibile acquistare opzioni con prezzo di esercizio più distante al fine di ridurre la perdita massima oppure con prezzo di esercizio più vicino per ottenere profitti anche con movimenti del sottostante più contenuti. Man mano che i due prezzi di esercizio si avvicinano lo strangle diventa sempre più simile allo straddle fino a coincidere con esso per K c = K p. Grafico 21 Acquisto Strangle Acquisto strangle Call put Strangle 5 Kc= Kp=20-5 C = 2 P = 5 - Sottostante 32

32 Capitolo 4. Metodi di valutazione In questo capitolo verranno approfonditi i metodi per valutare correttamente il premio di un opzione in base ai parametri del sottostante, principalmente verranno trattati i metodi più comuni ovvero il metodo degli alberi binomiali e il modello di Black-Scholes-Merton. 4.1 Modelli binomiali Per valutare le opzioni attraverso il metodo binomiale bisogna ridurre i possibili movimenti del sottostante a due possibili esiti in ogni stadio e successivamente costruire una posizione risk free equivalente ad esempio attraverso una combinazione di azioni e un opzione che, essendo priva di rischio, dovrà rendere quanto il tasso risk free r Modello binomiale ad uno stadio Supponiamo di comprare azioni al prezzo S 0 che varranno us 0 in caso di rialzo e ds 0 in caso di ribasso (d<1; u>1) tra un periodo T e vendere un opzione call con scadenza pari al periodo incassando il premio c: alla scadenza il nostro portafoglio varrà ds 0 -C d se il prezzo dell azione sarà ds 0 (e quindi l opzione non verrà esercitata) oppure us 0 -C u se l azione varrà us 0. Per costruire un portafoglio risk free i due possibili risultati dovranno avere lo stesso valore e quindi ds 0 -C d = us 0 -C u, ciò si verificherà quando =C u -C d / us 0 - ds 0. Poiché in assenza di opportunità di arbitraggio un portafoglio non rischioso deve rendere r l investimento iniziale dovrà essere uguale al valore attuale del portafoglio al tempo T quindi: S 0 -C = ( us 0 -C u )e -rt ; risolvendo per C otteniamo il valore dell opzione call oggi. C= S 0 (1-ue -rt )+C u e -rt Il valore di una put può invece essere dedotto attraverso la put-call parity. Immagine 1 Modello binomiale ad uno stadio. 33

33 4.1.2 Modello binomiale a più stadi Ovviamente è riduttivo pensare che in un periodo di tempo che non sia brevissimo i movimenti di un sottostante possano portare a due soli possibili valori, tuttavia il modello binomiale ad uno stadio rappresenta la base per costruire modelli più complessi che rispecchino meglio la realtà dei movimenti dei sottostanti e quindi fornire una valutazione dei premi delle opzioni più adeguate. Per costruire un modello più consono alla realtà è necessario dividere il periodo T in sottoperiodi ognuno dei quali costituirà un modello binomiale ad uno stadio e risolverli uno ad uno partendo dall ultimo nodo fino ad arrivare ad oggi, all aumentare dei nodi la valutazione diviene sempre più accurata. È evidente però che al fine di ottenere valutazioni quantomeno plausibili il numero degli stadi debba essere quanto mai elevato e ciò rende il modello alquanto complesso e laborioso poiché bisognerebbe anche ricalibrare i pesi del nostro portafoglio in ogni sotto-periodo. Immagine 2 Modello binomiale a due stadi. 4.2 Il modello di Black-Scholes-Merton Il modello di Black-Scholes-Merton è un modello dinamico che ha come basi di partenza il modello binomiale, la sua dimostrazione prevede infatti un portafoglio costituito da un opzione e Δazioni, il quale è aggiustato continuamente affichè risulti essere sempre privo di rischio in ogni periodo, e può essere utilizzato per valutare correttamente opzioni calls e put europee sia che essere paghino o meno dividendi. 34

34 4.2.1 Formule di Black-Scholes-Merton Adesso verranno illustrate le formule del modello dei Black-Scholes-Merton per opzioni di tipo europeo che non pagano dividendi: Dove N(d 1 ) ed N(d 2 ) rappresentano la probabilità che una normale standardizzata assuma un valore inferiore all argomento delle parentesi. Immagine 3 N(x). Mentre: Il modello in presenza di dividendi Per correggere le formule del modello qualora il sottostante paghi dividendi è bene ricordare che, diminuendo il valore del sottostante il giorno dello stacco di un importo pari al dividendo pagato, il valore di una call scritta su un azione che paga dividendi deve diminuire rispetto ad una scritta sullo un titolo identico che però non li paga, viceversa il valore della put deve aumentare. 35

35 Se consideriamo il dividendo atteso come un evento certo esso sarà non rischioso, le formule dovranno dunque valutare le opzioni solo in base alla componente rischiosa del prezzo e della volatilità del sottostante: ad S 0 bisognerà sottrarre il valore attuale dei dividendi attesi De -rt dunque S 0D = S 0 - De -rt mentre al fine di valutare la volatilità della sola componente rischiosa è necessario approssimativamente moltiplicare σ con il rapporto tra il valore del sottostante e il valore della sua componente rischiosa ovvero σ r = σs 0 /(S 0 De -rt ). 36

36 Bibliografia AA.VV., Borsa italiana, 19 marzo 2013 Hull, John C. 2011, Options, Futures, and Other Derivatives, Boston : Pearson; ed. it. Opzioni, futures e altri derivati 2012, a cura di Emilio Barone, Milano : Pearson Italia Brealey, Richard A. e Stweart C. Meyers 2010, Principles of Corporate Finance, New York and London : McGraw-Hill; ed. it. Principi di finanza aziendale 2011, Milano : McGraw-Hill Elenco dei grafici e delle illustrazioni Grafico 1 Derivato simmetrico e opzione p.9 Grafico 2 Acquisto opzione call p.11 Grafico 3 Vendita opzione call p.11 Grafico 4 Acquisto opzione put p.11 Grafico 5 Vendita opzione put p.11 Grafico 6 Acquisto azione e vendita opzione call p.18 Grafico 7 Premio opzione call p.19 Grafico 8 Premio put europea p.20 Grafico 9 Premio put europea 2 p.21 Grafico 10 Vendita call coperta p.25 Grafico 11 Acquisto call coperta p.26 Grafico 12 Acquisto protective put p.26 Grafico 13 Vendita protective put p.27 Grafico 14 Acquisto bull spread p.27 Grafico 15 Acquisto bear spread p.28 Grafico 16 Box spread p.29 Grafico 17 Acquisto straddle p.30 Grafico 18 Vendita straddle p.30 Grafico 19 Strip p.31 Grafico 20 Strap p.31 Grafico 21 Acquisto strangle p.32 Immagine 1 Modello binomiale ad uno stadio p.33 Immagine 2 Modello binomiale a due stadi p.34 Immagine 3 N(x) p.35 37