Non si sono poste finora altre ipotesi se non che un campo elettromagnetico possa caratterizzarsi per mezzo di quattro vettori E, D, B e H, i quali

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2 Non si sono poste finora altre ipotesi se non che un campo elettromagnetico possa caratterizzarsi per mezzo di quattro vettori E, D, B e H, i quali in ogni punto ordinario soddisfino alle equazioni di Maxwell e che la distribuzione di corrente che dà luogo a questo campo sia tale da assicurare la conservazione della carica elettrica. Tra i cinque vettori E, D, B, H e J vi sono soltanto due relazioni indipendenti, le equazioni di Maxwell ai rotori, le (3.). Si è pertanto obbligati ad imporre delle ulteriori condizioni se si vuole che il sistema di equazioni che definiscono il campo elettromagnetico sia determinato.

3 A tal fine si può ragionevolmente supporre che in ogni punto ordinario, sia nello spazio vuoto che all interno della materia, il vettore D così come anche il vettore H possano essere rappresentati, nel caso più generale possibile, come funzioni tra loro indipendenti dei vettori E e B: D f E, B H f E, B ( ) ( ) (4.) Nell ambito della teoria di Maxwell dell elettromagnetismo macroscopico, i mezzi materiali vengono descritti fenomenologicamente dalle relazioni costitutive come in (4.). A seconda della particolare forma delle relazioni costitutive un mezzo può essere caratterizzato come lineare o non lineare, conduttore o non conduttore, dispersivo o non dispersivo, omogeneo o non omogeneo, isotropo, biisotropo, anisotropo o bianisotropo.

4 Le proprietà di un mezzo lineare non dipendono dall intensità dei campi, le proprietà di un mezzo omogeneo sono costanti e non variano da punto a punto, le proprietà di un mezzo dispersivo variano al variare della frequenza di lavoro. Se le proprietà fisiche del corpo nelle vicinanze di qualche punto interno sono le stesse in tutte le direzioni, il corpo è detto isotropo. In ogni punto di un mezzo isotropo D è parallelo ad E ed H è parallelo a B. Un mezzo isotropo è caratterizzato da una permittività elettrica scalare e che lega D ed E e da una permeabilità magnetica scalare μ che lega B ed H: D E Farad [] 9, con metro Nel vuoto si ha: (4.) H B 36 π μ [ ] Henry 7 μ μ μ 4 π metro Le proprietà fisiche di un mezzo anisotropo variano in modo differente lungo le diverse direzioni che si diramano dal punto di interesse. In un mezzo anisotropo lineare ogni componente di D e di H può essere espressa in un sistema di riferimento ortogonale come funzione lineare di E e di B, rispettivamente: D E H μ B dove e μ sono matrici di dimensione 3X3. (4.3)

5 Un mezzo anisotropo si dice anisotropo elettricamente se è tensore e μ è scalare. Se μ è tensore ed è scalare il mezzo si dice anisotropo magneticamente. Un mezzo anisotropo può, ovviamente, essere contemporaneamente anisotropo elettricamente e magneticamente. In generale i cristalli sono descritti da tensori permittività simmetrici. Esiste pertanto sempre una trasformazione di coordinate che trasforma il tensore permittività in un tensore diagonale. In questo sistema di coordinate, detto sistema principale, si ha: xx yy zz (4.4) I tre assi coordinati sono chiamati assi principali. Nei cristalli cubici le tre permittività sono uguali tra loro: xx yy zz e, quindi, essi sono isotropi. Nei cristalli tetragonali, esagonali e romboidali due di questi tre parametri sono uguali tra loro ed essi sono detti cristalli uniassiali. L asse principale lungo il quale si ha il comportamento anisotropo è detto asse ottico. Il tensore permittività di un cristallo uniassiale o uniassico che abbia l asse ottico diretto come l asse ẑè dato da: zz (4.5)

6 Un mezzo anisotropo uniassiale è detto uniassiale positivo se zz >. Se zz < il mezzo anisotropo uniassiale è detto uniassiale negativo. I cristalli ortorombici e monoclini hanno gli assi cristallografici tutti diversi tra loro: xx yy zz. Essi sono detti cristalli biassiali.

7 Nei mezzi isotropi o anisotropi, le relazioni costitutive legano tra loro il vettore campo elettrico con il vettore spostamento elettrico ed il vettore campo magnetico con il vettore induzione magnetica. Ciò significa che tali mezzi si polarizzano quando sono immersi in un campo elettrico e si magnetizzano quando sono immersi in un campo magnetico. Un mezzo bianisotropo è invece caratterizzato da un mutuo accoppiamento tra i campi elettrico e magnetico. Quando viene posto in un campo elettrico o magnetico, un mezzo bianisotropo si polarizza e si magnetizza allo stesso tempo. Materiali dal comportamento bianisotropo, previsti teoricamente da Dzyaloshinskii [959] e Landau [957], furono osservati sperimentalmente per la prima volta nel 96 da Astrov (ossido di cromo antiferromagnetico). Le relazioni costitutive proposte per l ossido di cromo antiferromagnetico da Dzyaloshinskii sono della seguente forma: (4.6) Indenbom [96] e Birss [963] hanno dimostrato che cinquantotto classi di cristalli magnetici possono avere comportamento bianisotropo. Rado [964] ha provato che l effetto di accoppiamento magnetoelettrico non è proprio solo dei materiali antiferromagnetici; egli dimostrò che anche l ossido di ferro e gallio ferromagnetico è un materiale bianisotropo. μ μ μ + ξ ξ ξ ξ ξ ξ + B E H B E D zz zz zz zz

8 Le relazioni costitutive (4.6) possono essere generalizzate ulteriormente. Un mezzo bianisotropo, il più generale possibile, è definito dalle seguenti relazioni costitutive: (4.7) dove è la velocità della luce nel vuoto e P, L, M e Q sono tutte matrici di dimensione 3X3 i cui elementi sono detti parametri costitutivi. Le relazioni costitutive (4.7) possono essere riscritte in forma matriciale generalizzata come di seguito: (4.8) dove C è la cosiddetta matrice costitutiva di dimensione 6X6. Si noti che per la presenza del fattore c, tutti gli elementi della matrice costitutiva hanno la stessa dimensione di ammettenza. La (4.8) esprime D ed H in funzione di E e B. Nulla impedisce di esprimere D e B in funzione di E ed H: (4.9) Per esprimere E ed H in funzione di D ed B si deve scrivere: (4.) c c ; c + + D P E L B H M E Q B s m 3 c 8 B E C B E Q M L P H D c c c H E Q M Q Q L M Q L P H E C B D EH c B D ν γ χ κ B D L P M Q P M L P P B D C H E DB c

9 Nel 948 Tellegen introdusse, in aggiunta al resistore, al capacitore, all induttore ed al trasformatore ideale, un nuovo elemento circuitale ideale, passivo: il giratore. Per realizzare questo nuovo elemento circuitale Tellegen pensò ad un mezzo che possedesse relazioni costitutive della forma: D E+ξ H; Bξ E+μH (4.) con ξ μ Un materiale caratterizzato dalle relazioni costitutive (4.) è detto anche biisotropo chirale e può essere realizzato diffondendo in un mezzo dielettrico isotropo ospite, delle microstrutture conduttrici aventi forma di elica disposte in modo casuale senza, cioè, una direzione preferenziale. In un materiale siffatto un campo elettrico variabile nel tempo, parallelo al braccio dell elica, genera un dipolo elettrico grazie all accumulo di cariche elettriche sui terminali del braccio ed un dipolo magnetico all interno del loop (legge di Faraday) sostenuto dalla corrente indotta sul materiale conduttore. Se il loop dell elica è ortogonale al braccio, i dipoli elettrico e magnetico indotti sono tra loro paralleli e paralleli al campo elettrico incidente.

10 Analogamente un campo magnetico genera un dipolo magnetico all interno del loop e delle correnti indotte sul materiale conduttore (legge di Faraday) che a loro volta creano un accumulo di cariche elettriche sui terminali del braccio e quindi un dipolo elettrico. Ancora una volta se il loop dell elica è ortogonale al braccio i dipoli elettrico e magnetico indotti sono tra loro paralleli e paralleli al campo magnetico incidente. Pertanto, i dipoli elettrico e magnetico indotti sono paralleli sia al campo elettrico che al campo magnetico incidente. I parametri costitutivi sono, perciò, degli scalari e questo giustifica la forma delle relazioni costitutive (4.). I materiali i cui parametri costitutivi sono funzione della frequenza vengono detti dispersivi. Benché strettamente parlando tutti i mezzi sono dispersivi, tuttavia spesso nella banda di frequenze di lavoro i mezzi hanno un comportamento praticamente non dispersivo. In un mezzo conduttore si suppone che in ogni suo punto interno la densità di corrente di conduzione Jc sia funzione del campo elettrico E: J c f 3( E ) (4.)

11 In un mezzo conduttore lineare la (4.) diviene: J c σ E (4.3) essendo σ il tensore conducibilità. Gli elementi del tensore conducibilità hanno tutti le dimensioni di Ω A m V m Se il mezzo conduttore oltre ad essere lineare è anche isotropo allora la relazione costitutiva assume la nota forma: J c σe (4.4) Il fattore σ è la conducibilità del mezzo ed ha dimensioni ovviamente di Ω A m V m La distinzione tra buoni e cattivi conduttori, tra conduttori e isolanti è relativa ed arbitraria. Tutte le sostanze presentano una certa conducibilità. Il campo di variazione di σ è molto grande. La conducibilità del rame, per esempio, è 7 volte maggiore di 9 quella dell acqua di mare che pure è considerata un buon conduttore, e maggiore di quella del vetro comune.

12 Una proprietà notevole dei mezzi a conducibilità non nulla è che internamente ad essi non può esistere una distribuzione di cariche libere. Questa proprietà di fondamentale importanza per le applicazioni può essere facilmente dimostrata quando il mezzo è isotropo, lineare ed omogeneo. In questo caso, infatti, ricordando l equazione di continuità, le relazioni costitutive e la legge di Gauss si ottiene: J + ρ t Jσ E σ E + ρ t E ρ ρ σ + ρ t (4.5) La soluzione dell equazione differenziale che definisce la densità volumetrica di carica elettrica: ρ σ + ρ t () e σ t, è: ρ t ρ (4.6) Il tempo τ richiesto perché la carica si riduca ad del suo valore iniziale è σ e detto tempo di rilassamento.

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14 Le equazioni di Maxwell sono equazioni differenziali, vettoriali, del primo ordine, accoppiate nelle incognite D, B, H.Delle cinque equazioni solo due sono indipendenti. Infatti, ricordando che la divergenza del rotore è sempre nulla, è facile dimostrare che la terza e quarta equazione della (.3) sono contenute nelle prime due. Anche la quinta equazione delle (.3), nota come equazione di continuità, può essere derivata direttamente dalla seconda equazione di Maxwell ai rotori, ricordando la definizione di corrente di conduzione. In definitiva, si hanno quindi due equazioni vettoriali differenziali in quattro incognite vettoriali. Di conseguenza, il problema elettromagnetico non può essere risolto facendo uso delle sole equazioni di Maxwell. Per determinare univocamente il campo elettromagnetico sono necessarie due ulteriori relazioni vettoriali tra i quattro vettori incogniti. E,

15 Queste due relazioni, quando si ha a che fare con mezzi illimitati, sono le cosiddette relazioni costitutive che in un mezzo lineare il più generale possibile assumono la forma: { D E+ ξ H; B ς E+ μ H (3.) Se il mezzo non è dispersivo in frequenza, vale a dire se i parametri costitutivi non dipendono dalla frequenza di lavoro, le relazioni costitutive si mantengono come nella (3.) anche nel dominio base: D r B r (, t) E( r, t) + ξ H( r, t) (, t) ς E( r, t) + μ H( r, t) (3.)

16 Se il mezzo è dispersivo in frequenza, le relazioni costitutive nel dominio base sono date dall antitrasformata di Fourier del prodotto di due quantità dipendenti da. Si ha, perciò per un mezzo lineare, tempo invariante: ( ) t ( ) ( ) t ( ) ( ) Dr, t r, tτ Er, τ dτ + ξ r, tτ Hr, τ dτ (3.3) ( ) t ( ) ( ) t Br, t + ( ) ( ) ς r, t τ Er, τ dτ μ r, t τ Hr, τ dτ dove il generico tensore costitutivo: { } (, t) (, t), (, t), (, t), (, t) Ar r ξ r ς r μ r per la (.) è dato da: (, t) A( r, ) A r j t d e (3.4)

17 Poiché nella (3.3) i vettori di campo sono reali, segue che nel dominio base anche i parametri costitutivi sono quantità reali. Dal fatto che i tensori costitutivi, nel dominio base, sono quantità reali, e ricordando la (3.4) segue che, per valori reali di, la parte reale dei tensori costitutivi deve essere una funzione pari della frequenza, mentre la parte immaginaria deve essere una funzione dispari della frequenza: [ A( ) ] Re[ A( ) ] [ A( ) ] Im[ A( ) ] Re (3.5) Im o, equivalentemente: A * ( ) A( )

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19 Mezzi conduttori In un mezzo lineare con perdite, la densità di corrente di conduzione J c è, per la legge di Ohm, proporzionale al campo elettrico E: (4.) J c σ E Vista la (4.), la seconda equazione di Maxwell assume la forma: H () r j D( r) + J ( r) + J ( r) f c (4.) J f () r essendo il vettore densità superficiale di corrente elettrica impressa.

20 Si può, allora, definire un nuovo tensore permittività n j + σ (4.4) che è complesso, dipende dalla frequenza di lavoro e tiene conto della conducibilità del mezzo. Quando sia che σ sono isotropi e reali, allora la costante dielettrica diviene una quantità complessa, scalare: j c + σ La costante dielettrica relativa è, di conseguenza, definita j come: + σ + j rc (4.5) Il rapporto / è detto tangente di perdita: tan δ /

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22 Per determinare la costante dielettrica effettiva di un plasma, bisogna, innanzitutto, determinare il vettore di polarizzazione P, essendo: D E P N q x E + P 9 La carica di ciascun elettrone è q ( q.6 C ) 3 m (4.7) Nella (4.7) si è, poi, assunto che N elettroni per si trovino ad una certa distanza dall origine, individuata dal vettore posizione x, a causa del campo elettrico.

23 l equazione differenziale, vettoriale, che descrive l equilibrio della forza di Newton con la forza di Lorentz è data da: ( ) E m x q j Risolvendo la (4.8), si ottiene: (4.8) E x m q (4.9a) E x P m N q q N (4.9b) E E E E E P E D + p m Nq m Nq (4.9c)

24 La permittività di un plasma magnetizzato da un campo magnetico statico B è, invece, una quantità tensoriale. Di seguito si assumerà che la densità di elettroni n, la densità di corrente J, il campo elettrico E ed il campo magnetico H, sono dati da: () n t J E B () t Nqv() t () t () t N+ Re[ ne Re[ Ee B jt jt ] + Re[ Be ] jt ] (4.)

25 n << N B dove, v è la velocità degli elettroni,, e B << L equazione differenziale, vettoriale, che descrive il moto dell elettrone all interno del plasma è: j ( E v ) mv + mν v q + B Riarrangiando i termini nella (4.), si ottiene: jν jν qe jm + v qv B jm + v+ qb v (4.) (4.3) Moltiplicando entrambi i membri della (4.3) per N q, e ricordando la definizione di J nella (4.), la (4.3) diviene: jν N q E j m + J + q B J (4.4)

26 Definiamo il tensore conducibilità del plasma magnetizzato: J M E σ E ed ottenere il tensore permittività del plasma : (4.7) H J [ σ j I] Ej E j E j σ + I (4.8) Se il campo magnetostatico di polarizzazione è diretto secondo l asse z, se cioè Β zˆ B, il tensore permittività di un plasma assume la forma:

27 z g g j j (4.9) con: U X Y U Y X Y U X U z g + ν c p m B q Y X j U (4.a) (4.b)

28 Un tensore della forma (4.9) è detto girotropico, ed ha ( ) T l interessante proprietà di essere Hermitiano: * Un materiale caratterizzato da un tensore permittività che è girotropico, è anche detto giroelettrico. Si osservi, inoltre, che nonostante alcuni parametri costitutivi siano immaginari, il mezzo in esame è privo di perdite. In questo mezzo, il plasma magnetizzato, le frequenze naturali sono a) la frequenza di plasma: p Nq m b) la frequenza di ciclotrone dell elettrone: c q B m

29 Al limite, quando la frequenza di collisione dell elettrone è zero ( ), i parametri costitutivi del plasma divengono: ν ) ( p z c c p g c p (4.)

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31 In una ferrite, il vettore di magnetizzazione M obbedisce alla seguente legge: M t g μ M H (4.) dove g è il cosiddetto rapporto giromagnetico Di seguito si assumerà che nella ferrite è presente un campo magnetostatico di grande intensità diretto secondo z, ed un campo magnetico di intensità relativamente piccola, monocromatico: H M () t () t H M zˆ + Re[ H e zˆ + Re[ M e jt ] jt ] essendo: H M << << H M (4.3)

32 In una ferrite, il vettore di magnetizzazione M obbedisce alla seguente legge: M t g μ M H (4.) dove g è il cosiddetto rapporto giromagnetico Di seguito si assumerà che nella ferrite è presente un campo magnetostatico di grande intensità diretto secondo z, ed un campo magnetico di intensità relativamente piccola, monocromatico: H M () t () t H M zˆ + Re[ H e zˆ + Re[ M e jt ] jt ] essendo: H M << << H M (4.3)

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34 Il teorema di Poynting per vettori complessi può essere applicato per derivare alcune utili condizioni di simmetria sui tensori costitutivi di un mezzo lineare, bianisotropo, senza perdite. In una regione priva di sorgenti il teorema di Poynting per vettori complessi diviene: ( * *) S j B H E D

35 Il valor medio nel periodo della divergenza del vettore di Poynting complesso è pari a: ( * * < S> Re[ j H BD E ) ] C+ C Ricordando che Re[C], e sostituendo le relazioni costitutive che legano B e D a E ed H tramite i tensori costitutivi, μ, ξ e ζ si ottiene: < S > * ( ) ( * * ) * * * j H ζ E + μ H E E + ξ H + 4 ( * * * + * ) + * ( + ) H ζ E μ H E E ξ H

36 Si può far uso dell uguaglianza: * * *T + T A α B B α A dove l apice + sta ad indicare il trasposto ed il complesso coniugato di una matrice, in modo da avere: ( ) ( ) ( ) ( ) j * * * * < S> [ E E+ H μμ H+ E ξζ H+ H ζξ E] 4 * * *T + T L uguaglianza A α B B α A si dimostra immediatamente ricordando che in genere si ha ( * *) T *T *T T A α B B α A,che i vettori a destra e a sinistra della matrice sono dal punto di vista dimensionale uno il trasposto dell altro e che complessivamente la quantità tra parentesi è uno scalare.

37 In un mezzo senza perdite, per ogni possibile valore del campo elettrico e del campo magnetico, il valor medio nel periodo del vettore di Poynting reale è nullo. La condizione < S > impone le seguenti condizioni di simmetria per i tensori costitutivi di un mezzo lineare bianisotropo: μ μ ξ ζ + + +

38 I tensori e μ sono Hermitiani. Ciascuno dei due tensori ha perciò solo sei elementi complessi, indipendenti. I tensori ξ e ζ sono l uno l Hermitiano dell altro. I due tensori ξ e ζ hanno un totale di nove elementi complessi, indipendenti. Ovviamente, le condizioni di simmetria possono essere ricavate anche per la rappresentazione D B e per la rappresentazione E B: + + κ κ P P + + ν ν Q Q + + χ γ LM

39 Si consideri, adesso, un mezzo isotropo, non dispersivo con perdite, caratterizzato, perciò, da una permittività elettrica e da una permeabilità magnetica entrambe grandezze scalari e complesse: D E B μ μ H R I con: + j μ μ R + j μ I Si ottiene: * * ( ) * * { ( R I) H H ( R I) E E } S Re[j B H E D ] Re j μ [ μ + j μ j ] ( μ ) μ I H + I E

40 Poiché in un mezzo passivo con perdite si ha dissipazione di potenza, si deve avere: S <. La condizione S < impone: I > μ > I Pertanto, un mezzo isotropo, non dispersivo, con perdite è caratterizzato dall avere una permittività elettrica ed una permeabilità magnetica, entrambe quantità scalari, complesse, con parte immaginaria positiva.

41 Si osservi che non è imposta alcuna condizione fisica sul segno della parte reale di e μ. Un mezzo senza perdite ( S ) è caratterizzato dall avere una permittività elettrica ed una permeabilità magnetica, entrambe quantità scalari e reali.

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