SISTEMI ALGEBRICI DI SECONDO GRADO 1 PROPRIETA' DELLE SOLUZIONI ED EQUAZIONE IN FORMA DI PRODOTTO., x 2. = b+ Δ 2 a

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1 SISTEMI ALGEBRICI DI SECONDO GRADO 1 PROPRIETA' DELLE SOLUZIONI ED EQUAZIONE IN FORMA DI PRODOTTO Data una generica equazione di secondo grado a x +b x+c=0 con discriminante non negativo ( Δ=b 4 a c 0 ) esistono sempre soluzioni date dalle equazioni: = b Δ a, x = b+ Δ a La somma ed il prodotto tra le due soluzioni danno, come risultato, i rapporti tra i coefficienti dell'equazione di secondo grado, come sotto riportato: x = b Δ a + x = b Δ a + b+ Δ a = b Δ b+ Δ = b a a = b a b+ Δ = ( b Δ) ( b+ Δ) = b Δ b +4 a c a 4 a 4 a =b = 4 a c 4 a 4 a = c a Nel secondo passaggio della proprietà del prodotto si è usato il prodotto notevole differenza tra due quadrati: (A B)(A+B)=A B. Inoltre l'equazione di secondo grado a x +b x+c=0 si può anche scrivere, al primo membro, con il trinomio scomposto nel prodotto di due binomi: a x +b x+c=0 a (x )(x x )=0 a 0 (x )(x x )=0 Infatti mostriamo ora, basandoci sulle due proprietà delle soluzioni dimostate sopra, che l'equazione in forma di prodotto equivale alla forma normale a x +b x+c=0 : a (x )(x x )=0 a [ x ( +x ) x+ x ] =0 a [x ( b a ) x+ c a ]=0 a x +a b a x+a c a =0 a x +b x+c=0. Esempio. 3 x 10 x+3=0 L'equazione ammette le due soluzioni: = = 1 3, x = =3. 6 Di conseguenza possiamo equivalentemente scrivere: 3 (x 1 3 )(x 3)=0. Prof. I. Savoia Sistemi algebrici di secondo grado P. 1

2 SISTEMI SOMMA-PRODOTTO I passaggi algebrici mostrano che, ad ogni equazione di secondo grado, scritta in forma normale come a x +b x+c=0, resta associato un unico sistema di due equazioni : a x +b x+c =0 +x = b a x = c a } Viceversa, ad ogni sistema in due incognite (x, y) tali che la loro somma (s) e il loro prodotto (p) siano due numeri conosciuti, resta associata una unica equazione di secondo grado tale le sue soluzioni corrispondano all'insieme delle soluzioni del sistema S=( x=, y= x ), (x=x, y = )}. Cambiano la lettera all'incognita dell'equazione associata (per evitare confusione con le altre due lettere la possiamo chiamare z) possiamo dunque scrivere: x+ y =s x y=p } z s z+p=0 equazione associata Il tipo di sistema somma-prodotto prende il nome di simmetrico in quanto le coppie di valori che costituiscono il suo insieme soluzione hanno i valori scambiati di posto poichè, per la proprietà commutativa, scambiando l'ordine degli addendi o dei fattori la somma ed il prodotto non cambiano: z 1 + z =z +z 1 =s, z 1 z 1 =z z 1 =p. Il discriminante dell'equazione associata al sistema simmetrico vale Δ=s 4p e, nel solo caso che esso non sia negativo, vi sono delle soluzioni: z 1 = s Δ, z = s+ Δ S =(x=z 1, y =z ), (x=z, y=z 1 )} Esempio. Risolvere il sistema simmetrico x+ y =11 x y=7 }. Scriviamo e poi risolviamo l'equazione di secondo grado associata al sistema: z 11 z+7=0 Δ=( 11 ) 4 7= = 9 4 >0 z= 11 ± 9 4 = 11±3 4 = z 1= z =7/ : S=(, 7 ); (7, )} Prof. I. Savoia Sistemi algebrici di secondo grado P.

3 SISTEMI SIMMETRICI I sistemi di secondo grado che equivalgono a due equazioni delle quali una riguarda la somma delle loro potenze ad esponenti interi, si possono ricondurre, mediante opportuni passaggi algebrici, a sistemi somma-prodotto, sono detti simmetrici. Per risolvere questi tipi di sistemi occorre considerare le formule dei prodotti notevoli delle somme di potenze (formule di Waring ): (x+ y ) =x + y + x y x + y =(x+ y) x y (x y ) =x + y x y x + y =(x y) + x y (x+ y ) 3 = x 3 + y 3 +3 x y+3 x y x 3 + y 3 =(x+ y) 3 3 x y (x+ y) (x y ) 3 = x 3 y 3 3 x y+3 x y x 3 + y 3 =(x y) 3 +3 x y (x y ) Esempi. x+ y=5 1] x + y =13} x+ y=5 (x+ y ) x y=13} x+ y=5 5 x y=13} x+ y=5 x y =6 } Soluzione del sistema: S=(,3) ; (3,)}. } x y=8 (x+ y) x y=65} x y=8 (x+ y ) =65+ 8=11 ] x + y =65 x y=8 } Il primo membro della prima equazione è dato dal quadrato di due numeri di segno opposto, (±11) =11, per cui il sistema equivale all'unione di due sistemi separati: x+ y =11 S1: x y=8 } S 1 (3, 4); (4,3)} x+ y= 11 S: x y=8 } S ( 3, 4) ; ( 4, 3)} Di conseguenza la soluzione del sistema è data dall'unione delle due soluzioni, ovvero è l'insieme di tutte le coppie di valori: S=(3, 4) ; (4, 3); ( 3, 4) ; ( 4, 3)}. x+ y=7 3] x 3 + y =91} x+ y=7 3 (x+ y ) 3 3 x y (x+ y )=91} x+ y = x y=91} x+ y=7 x y=1} La soluzione è pertanto : S=(3, 4) ; (4, 3)} Prof. I. Savoia Sistemi algebrici di secondo grado P. 3

4 4] x3 + y 3 =9 x y= } Per risolvere questo sistema possiamo, invece di usare la formula di Waring che imporrebbe passaggi più lunghi, semplicemente eleviamo al cubo la seconda delle due equazioni e, dopo avere rinominato le due incognite, risolviamo: x3 + y 3 =9} x 3 =u, y 3 =v x 3 y 3 =8 u+v=9 u v=8 } u=1, v=8 x=3 1=1, y= 3 8= Di conseguenza l'insieme soluzione è S=(1, ) ; (, 1)}. 4 SISTEMI RICONDUCIBILI A SISTEMI SIMMETRICI Sono sistemi che possono essere trasformati in sistemi simmetrici mediante delle opportune sostituzioni. Esempi. x y =3 1] x y=4 } x+( y)=3 x ( y )= 4}. Scriviamo l'equazione associata nella incogniota intermedia (z) da cui troviamo i valori delle due incognite (x) e (-y) con la formula risolutiva: z 3 z 4=0 z= 3± 5 = z = 1 1 z =4 Pertanto l'insieme delle soluzioni è S[(x=-1, (-y)=4) ; (x=4, (-y)=-1], ovvero l'insieme delle coppie di valori S[(-1,-4); (4,1)]. 3 x+ y =4 ] x y =18 } (3 x)+( y)=4 (3 x) ( y )=6 18=108} avendo moltiplicato per il fattore 6 la seconda equazione. Considerando ora i termini (3x) e (y) come due nuove incognite di un sistema sommprodotto possiamo scriverne e risolvere la sua equazione associata: z 4 z+108=0 z= 4± = 4±1 = z 1=6 z =18 Da cui la soluzione: S[(3x=6, y=18); (3x=18, y=6)] ovvero: S[(, 9); (6, 3)] Prof. I. Savoia Sistemi algebrici di secondo grado P. 4

5 5 SISTEMI RISOLUBILI PER SOSTITUZIONE In generale, quando i sistemi sono formati da due equazioni delle quali una di esse è di primo grado e l'altra è di secondo grado, il grado del sistema vale due poichè esso è dato dal prodotto dei due gradi. Quando il sistema non è simmetrico e non si può ricondurre ad un sistema simmetrico si può ricorrere alla tecnica della sostituzione di una delle due lettere di una delle due equazioni nell'altra equazione: la scelta di quale delle due incognite sia da sostituire dipende, caso per caso, da criteri di convenienza nei calcoli: in genere si considera una delle incognite dell'equazione di primo grado, ad esempio l'espressione della y in funzione della x. L'equazione risolvente di secondo grado che così si ottiene contiene solo una delle due incognite, ad esempio la x, i cui valori (ammesso che ve ne siano nei casi in cui è Δ 0) i cui valori vanno sostituiti nell'altra equazione in modo da ottenere anche i valori dell'altra incognita. Esempi. 1] Risolvere passo a passo il sistema di secondo grado x x y= 1 x+ y=3 }. Passo 1. Risolviamo l'incognita y nell'equazione di primo grado: x x y= 1 y=3 x }. Passo. Sostituiamo l'espressione isolata della x al posto dell'incognita y nella prima equazione ed otteniamo l'equazione risolvente di secondo grado al suo posto: x x (3 x)= 1 } y=3 x x 6 x+4 x = 1 y=3 x } 5x 6 x+1=0 y =3 x }. Δ=16>0 6± 16 = Passo 3. Risoluzione dell'equazione: 0 ==1/5 } x =1 y=3 x Passo 4. Sostituiamo i valori ottenuti nella seconda equazione ottenendo le soluzioni: =1/5, x =1 y 1 = (1/5) 3= 13/5, y = 1 3= 1} L'insieme soluzione del sistema è quindi: S=( 1 5, 13 5 ) ; (1, 1)}. Prof. I. Savoia Sistemi algebrici di secondo grado P. 5

6 ] y= x +4 x+1 x y+1=0 } y= x +4 x+1 y= x+1 } x+1= x +4 x+1 x x=0 y= x+1} x (x )=0 y= x+1 } =0, x = y= x+1 } y 1 = 0+1=1, y = +1=5} S[(0, 1); (, 5)] 3] (x+) =1+ y } y =x+1 x +4 x+4=1+ y y= x+ } x +4 x+4=1+ x+ x + x+1=0 y= x+ } ( x+1) =0 y= x+ } y= x+} x= 1 y= ( 1)+=0} S(-1;0) soluzione doppia. x y = 4 4] y=x 4} x (x 4)= 4 y=x 4 S(, -) soluzione doppia. } x 4 x+4=0 y=x 4 } (x ) =0 y= x 4 } x= y = } x x y 9=0 5] y=3 x 4 } x x (3 x 4) 9=0 y =3 x 4 } x 3 x +4 x 9=0 y =3 x 4 } x +4 x 9 y=3 x 4 } Δ=4 4( )( 9)=16 7= 56<0 S= } Sistema impossibile. 6] x x y y =0 x+ y=0 } x x y y =0 y= x } x x ( x) ( x) =0} y= x y= x} 0=0 Sistema indeterminato con infinite soluzioni tutte le coppie di numeri opposti: S(x, -x) Prof. I. Savoia Sistemi algebrici di secondo grado P. 6