Teoria dei Giochi. Anna Torre

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1 Teoria dei Giochi Anna Torre Almo Collegio Borromeo 9 marzo anna.torre@unipv.it sito web del corso:www-dimat.unipv.it/atorre/borromeo2010.html

2 TEOREMI DI ESISTENZA

3 TEOREMI DI ESISTENZA Teorema di Von Neumann. Se (X, Y, f, f) è l estensione mista di un gioco a somma zero finito, allora esiste almeno una coppia di strategie che realizzano il maxmin=minmax.

4 TEOREMI DI ESISTENZA Teorema di Von Neumann. Se (X, Y, f, f) è l estensione mista di un gioco a somma zero finito, allora esiste almeno una coppia di strategie che realizzano il maxmin=minmax. Teorema di Nash. Se (X, Y, f, g) è l estensione mista di un gioco finito, allora esiste almeno una coppia di strategie che realizzano un equilibrio di Nash.

5 TEOREMI DI ESISTENZA Teorema di Von Neumann. Se (X, Y, f, f) è l estensione mista di un gioco a somma zero finito, allora esiste almeno una coppia di strategie che realizzano il maxmin=minmax. Teorema di Nash. Se (X, Y, f, g) è l estensione mista di un gioco finito, allora esiste almeno una coppia di strategie che realizzano un equilibrio di Nash. Gli equilibri di Nash di un gioco a somma zero sono le coppie di strategie che realizzano il maxmin=minmax

6 ESEMPIO

7 ESEMPIO Vediamo questo gioco: I/II L R T -2,2 3,-3 B 3,-3-4,4

8 ESEMPIO Vediamo questo gioco: I/II L R T -2,2 3,-3 B 3,-3-4,4 Facendo i conti si vede che l equilibrio si ottiene per p = 7 12 e q = 7 12 con un guadagno atteso per I uguale a 1 12.

9 ESEMPIO Vediamo questo gioco: I/II L R T -2,2 3,-3 B 3,-3-4,4 Facendo i conti si vede che l equilibrio si ottiene per p = 7 12 e q = 7 12 con un guadagno atteso per I uguale a Quindi, questo gioco che a una analisi poco attenta sembra pari, in realtà se entrambi i giocatori giocano al meglio delle loro possibilità dà al primo giocatore un guadagno atteso positivo.

10 ESEMPIO

11 ESEMPIO q p

12 ESEMPIO q 7 12 p 1

13 ESEMPIO 1 q p 1

14 Analogamente il gioco delle cinque dita: I/II I giocatori (I e II) devono scegliere contemporaneamente e indipendentemente un numero tra 1 e 5. Se la somma dei due numeri è pari, vince II. Altrimenti vince I. Questo gioco apparentemente avvantaggia il giocatore 2 ma l equilibrio è ( 1 2, 1 2, 0, 0, 0)per il primo giocatore e ( 1 2, 1 2, 0, 0, 0) per il secondo con valore atteso 0. Questa è la la differenza tra il trovarsi di fronte al caso o di fronte a un essere intelligente che va a caso con intelligenza.

15 É RILEVANTE SCEGLIERE PER PRIMI? I/II L R T 5,5 0,6 B 6,0 1,1 É RILEVANTE SCEGLIERE PER PRIMI? I/II L R T 2,1 0,0 B 0,0 1,2 É RILEVANTE SCEGLIERE PER PRIMI? I/II L R T -1,1 1,-1 B 1,-1-1,1

16 Aumentare i Payoff migliora la situazione? I/II L R T 12,12 102,11 B 11, ,101 I/II L R T 9,9 99,10 B 10,99 100,100

17 È facile vedere se un gioco è pari? I/II L R T -2,2 3,-3 B 3,-3-4,4 I/II L R S T B Q

18 Riprendiamo il gioco del poker semplificato. Il gioco in forma strategica era: I \ \ II P S P A P K ( 1, 1) ( 1, 1) P A R K (0, 0) ( 3/2, 3/2) R A P K (0, 0) (1/2, 1/2) R A R K (1, 1) (0, 0) I payoff sono i valori attesi dei payoff con la distribuzione di probabilità assegnata. NB: la strategia R A R K prevede (per via di R K ) che il giocatore I bluffi.

19 q 1 q I \ \ II P S p R A P K (0, 0) (1/2, 1/2) 1 p R A R K (1, 1) (0, 0)

20 f(p, q) = 3 2 pq+ 1 2 p+q = ( 3 2 q+ 1 2 )p+q che ha massimo per p = 1 quando q 1 3 per p = 0 se q 1 3 e per ogni valore di p se q = 1 3 Analogamente g(p, q) = ( 3 2 p 1)q 1 2 p che ha massimo per q = 1 quando p 2 3 per q = 0 se p 2 3 e per ogni valore di q se p = 2 3 NB: la strategia R A R K prevede (per via di R K ) che il giocatore I bluffi. Si noti che la strategia ottimale per I prevede con probabilità positiva (1/3) che I adotti la strategia R A R K e quindi che, quando lui ha la carta bassa (cioè K) bluffi mediamente 1/3 delle volte. Si noti che è ottimale per I bluffare con questa frequenza, nè più spesso nè meno spesso!

21 INDUZIONE A RITROSO

22 INDUZIONE A RITROSO Se un gioco è dato in forma estesa ed è finito e a informazione perfetta, un modo per trovare equilibri di Nash in strategie pure è dato dal cosidetto metodo dell induzione a ritroso.

23 INDUZIONE A RITROSO Se un gioco è dato in forma estesa ed è finito e a informazione perfetta, un modo per trovare equilibri di Nash in strategie pure è dato dal cosidetto metodo dell induzione a ritroso. Si osservano gli ultimi nodi nei quali un giocatore è chiamato a giocare e si suppone (coerentemente con le ipotesi di razionalità e intelligenza) che in questi nodi il giocatore scelga la strategia che gli offre il payoff maggiore.

24 INDUZIONE A RITROSO Se un gioco è dato in forma estesa ed è finito e a informazione perfetta, un modo per trovare equilibri di Nash in strategie pure è dato dal cosidetto metodo dell induzione a ritroso. Si osservano gli ultimi nodi nei quali un giocatore è chiamato a giocare e si suppone (coerentemente con le ipotesi di razionalità e intelligenza) che in questi nodi il giocatore scelga la strategia che gli offre il payoff maggiore. Nei nodi precedenti, il giocatore che è chiamato a giocare sa cosa farà l ultimo giocatore in quanto egli conosce il gioco e sa che l ultimo giocatore è intelligente e razionale. Così il giocatore si comporta come se in realtà fosse l ultimo a giocare, in quanto il payoff che ottiene giocando ciascuna strategia gli è noto perché sa quali saranno le conseguenze della sua scelta.

25 INDUZIONE A RITROSO Se un gioco è dato in forma estesa ed è finito e a informazione perfetta, un modo per trovare equilibri di Nash in strategie pure è dato dal cosidetto metodo dell induzione a ritroso. Si osservano gli ultimi nodi nei quali un giocatore è chiamato a giocare e si suppone (coerentemente con le ipotesi di razionalità e intelligenza) che in questi nodi il giocatore scelga la strategia che gli offre il payoff maggiore. Nei nodi precedenti, il giocatore che è chiamato a giocare sa cosa farà l ultimo giocatore in quanto egli conosce il gioco e sa che l ultimo giocatore è intelligente e razionale. Così il giocatore si comporta come se in realtà fosse l ultimo a giocare, in quanto il payoff che ottiene giocando ciascuna strategia gli è noto perché sa quali saranno le conseguenze della sua scelta. In questo modo si proceede passo dopo passo...in conclusione nel primo nodo il giocatore che è chiamato a scegliere in base alle ipotesi di conoscenza comune della razionalità e intelligenza di tutti i

26 INDUZIONE A RITROSO Se un gioco è dato in forma estesa ed è finito e a informazione perfetta, un modo per trovare equilibri di Nash in strategie pure è dato dal cosidetto metodo dell induzione a ritroso. Si osservano gli ultimi nodi nei quali un giocatore è chiamato a giocare e si suppone (coerentemente con le ipotesi di razionalità e intelligenza) che in questi nodi il giocatore scelga la strategia che gli offre il payoff maggiore. Nei nodi precedenti, il giocatore che è chiamato a giocare sa cosa farà l ultimo giocatore in quanto egli conosce il gioco e sa che l ultimo giocatore è intelligente e razionale. Così il giocatore si comporta come se in realtà fosse l ultimo a giocare, in quanto il payoff che ottiene giocando ciascuna strategia gli è noto perché sa quali saranno le conseguenze della sua scelta. In questo modo si proceede passo dopo passo...in conclusione nel primo nodo il giocatore che è chiamato a scegliere in base alle ipotesi di conoscenza comune della razionalità e intelligenza di tutti i

27 Si potrebbe (non è particolarmennte difficile) dimostrare che le soluzioni ottenute in questo modo sono equilibri di Nash, ma non tutti gli equilibri di Nash di un gioco a informazione perfetta si possono ottenere in questo modo.

28 Si potrebbe (non è particolarmennte difficile) dimostrare che le soluzioni ottenute in questo modo sono equilibri di Nash, ma non tutti gli equilibri di Nash di un gioco a informazione perfetta si possono ottenere in questo modo. Un sottogioco G di un gioco G in forma estesa a informazione perfetta è il gioco formato da un nodo di G e da tutti i suoi successori in G.

29 Si potrebbe (non è particolarmennte difficile) dimostrare che le soluzioni ottenute in questo modo sono equilibri di Nash, ma non tutti gli equilibri di Nash di un gioco a informazione perfetta si possono ottenere in questo modo. Un sottogioco G di un gioco G in forma estesa a informazione perfetta è il gioco formato da un nodo di G e da tutti i suoi successori in G.

30 RAFFINAMENTI DELL EQUILIBRIO DI NASH Tutto ciò ci porta alla definizione di equilibrio perfetto nei sottogiochi (SPE: subgame perfect equilibrium), che è dovuto a Selten (1965).

31 RAFFINAMENTI DELL EQUILIBRIO DI NASH Tutto ciò ci porta alla definizione di equilibrio perfetto nei sottogiochi (SPE: subgame perfect equilibrium), che è dovuto a Selten (1965). Se ci limitiamo, per semplicità, ai giochi ad informazione perfetta, la condizione che imponiamo è che non solo si abbia un equilibrio, ma che tale resti anche quando restringiamo le strategie ai sottogiochi del gioco dato.

32 RAFFINAMENTI DELL EQUILIBRIO DI NASH Tutto ciò ci porta alla definizione di equilibrio perfetto nei sottogiochi (SPE: subgame perfect equilibrium), che è dovuto a Selten (1965). Se ci limitiamo, per semplicità, ai giochi ad informazione perfetta, la condizione che imponiamo è che non solo si abbia un equilibrio, ma che tale resti anche quando restringiamo le strategie ai sottogiochi del gioco dato. Per gioco ad informazione perfetta la definizione di sottogioco è semplicissima: si tratta di considerare un generico nodo e prenderlo come radice del gioco.

33 RAFFINAMENTI DELL EQUILIBRIO DI NASH Tutto ciò ci porta alla definizione di equilibrio perfetto nei sottogiochi (SPE: subgame perfect equilibrium), che è dovuto a Selten (1965). Se ci limitiamo, per semplicità, ai giochi ad informazione perfetta, la condizione che imponiamo è che non solo si abbia un equilibrio, ma che tale resti anche quando restringiamo le strategie ai sottogiochi del gioco dato. Per gioco ad informazione perfetta la definizione di sottogioco è semplicissima: si tratta di considerare un generico nodo e prenderlo come radice del gioco. Il metodo della induzione a ritroso per trovare un equilibrio di Nash in un gioco ad informazione perfetta fornisce, in realtà, un equilibrio perfetto nei sottogiochi. Si consideri il seguente gioco (in forma estesa)

34 gioca 2 L 2 T 0 R gioca 1 B

35 I\II L R T 2, 1 0, 0 B 1, 2 1, 2 Si vede immediatamente che questo gioco ha due equilibri (in strategie pure): (T, L) e (B, R): il primo è perfetto nei sottogiochi, il secondo no. Quale è il senso del nuovo equlibrio che abbiamo trovato, ovvero (B, R)? non tutti gli equilibri di Nash sono uguali.

36 E F gioca II gioca II A B C D 2 0 gioca I

37 II II II II II II S D S D S D S D S D S D I

38 IN OUT gioca S 1 C A gioca I 2 0

39 Il centipede D I C II C I C II C I C II D D D D D

40 Il risultato è inefficiente. Ed un po di capacità di vedere lontano dovrebbe portare i giocatori a non defezionare subito dal gioco.

41 Il risultato è inefficiente. Ed un po di capacità di vedere lontano dovrebbe portare i giocatori a non defezionare subito dal gioco.che ragionamento fa II quando defeziona la terza volta in cui tocca a lui giocare?.

42 Il risultato è inefficiente. Ed un po di capacità di vedere lontano dovrebbe portare i giocatori a non defezionare subito dal gioco.che ragionamento fa II quando defeziona la terza volta in cui tocca a lui giocare?. Perchè defezionare? Perchè ritiene (da induzione a ritroso) che nella mossa successiva I defezionerebbe.

43 Il risultato è inefficiente. Ed un po di capacità di vedere lontano dovrebbe portare i giocatori a non defezionare subito dal gioco.che ragionamento fa II quando defeziona la terza volta in cui tocca a lui giocare?. Perchè defezionare? Perchè ritiene (da induzione a ritroso) che nella mossa successiva I defezionerebbe. Ma se II si trova davvero a dover giocare la sua terza mossa, ciò è solo perché I ha deciso per ben tre volte di comportarsi in modo diverso da come prescrive lo SPE (ed anche II stesso, si noti!).

44 Il risultato è inefficiente. Ed un po di capacità di vedere lontano dovrebbe portare i giocatori a non defezionare subito dal gioco.che ragionamento fa II quando defeziona la terza volta in cui tocca a lui giocare?. Perchè defezionare? Perchè ritiene (da induzione a ritroso) che nella mossa successiva I defezionerebbe. Ma se II si trova davvero a dover giocare la sua terza mossa, ciò è solo perché I ha deciso per ben tre volte di comportarsi in modo diverso da come prescrive lo SPE (ed anche II stesso, si noti!). Allora II defeziona ipotizzando un comportamento futuro di razionalità da parte di I, che se fosse stato adottato in passato non avrebbe certamente portato II a dover giocare!

45 I SPE sono un cosiddetto raffinamento degli equilibri di Nash che sfrutta la forma estesa. Sono però stati proposti altri raffinamenti che utilizzano solo la forma strategi Mi limito a citare gli equilibri perfetti (introdotti da Selten nel 1975). Vediamo solo un esempio.

46 I SPE sono un cosiddetto raffinamento degli equilibri di Nash che sfrutta la forma estesa. Sono però stati proposti altri raffinamenti che utilizzano solo la forma strategi Mi limito a citare gli equilibri perfetti (introdotti da Selten nel 1975). Vediamo solo un esempio. Qui abbiamo due equilibri di Nash (in strategie pure): (T, L) e (B, R). Ma solo (T, L) è perfetto. I\II L R T 1, 1 0, 0 B 0, 0 0, 0

47 I SPE sono un cosiddetto raffinamento degli equilibri di Nash che sfrutta la forma estesa. Sono però stati proposti altri raffinamenti che utilizzano solo la forma strategi Mi limito a citare gli equilibri perfetti (introdotti da Selten nel 1975). Vediamo solo un esempio. Qui abbiamo due equilibri di Nash (in strategie pure): (T, L) e (B, R). Ma solo (T, L) è perfetto. I\II L R T 1, 1 0, 0 B 0, 0 0, 0 L idea di equilibrio perfetto è basata sul fatto che il giocatore non è in grado di evitare errori. E quindi un equilibrio dovrebbe essere, per così dire, limite di equilibri che si ottengono obbligando i giocatori ad effettuare errori.