INSIEMI NUMERICI. L insieme Q è l insieme dei numeri razionali (ovvero derivanti da rapporti tra numeri interi),

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2 INSIEMI NUMERICI L insieme N è l insieme dei numeri naturali, N = {0; 1; 2; 3; 4;... }; è un insieme infinito (ogni numero naturale ha un successivo); è un insieme ordinato, cioè è possibile introdurre una relazione d ordine (<,>). Questo insieme è chiuso alle operazioni di addizione e di moltiplicazione (elevamento a potenza) (un insieme è chiuso rispetto a un operazione quando il risultato dell operazione appartiene allo stesso insieme). L insieme Z è l insieme dei numeri interi, Z = {, 3, 2, 1,0, +1, +2, +3, }; è un insieme infinito che contiene numeri negativi, numeri positivi e lo zero. Questo insieme è chiuso rispetto alle operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione (elevamento a potenza). Considerando solamente la parte positiva si ottiene l insieme dei numeri naturali; per questo motivo possiamo affermare che N è un sottoinsieme di Z. L insieme Q è l insieme dei numeri razionali (ovvero derivanti da rapporti tra numeri interi), Q = { n dove n e m sono numeri interi e m 0}. L insieme Q è chiuso rispetto m all addizione, alla sottrazione, alla moltiplicazione e alla divisione ed ha Z come sottoinsieme. L insieme R è l insieme dei numeri reali e contiene l operazione di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione ed estrazione di radice. Questo contiene i numeri che vengono definiti irrazionali ovvero che hanno infinite cifre dopo la virgola non periodiche; questi derivano da operazione di divisione dove si divide un numero intero per una radice. In questo insieme possono essere inserite anche tutte le costanti naturali che prendono il nome di numeri trascendentali. L insieme C è l insieme dei numeri complessi. In questo insieme sono incluse tutte le operazioni algebriche viste sopra ed è possibile aggiungere anche l estrazione di radice di numeri negativi andando a definire quella che è l unità immaginaria i = 1 Centro Yep 1

3 Gli insiemi: Definizioni, proprietà e operazioni Un insieme indica un raggruppamento di elementi. In matematica si considerano insiemi solo quei raggruppamenti di oggetti per cui è possibile stabilire, secondo un criterio oggettivo, se un oggetto appartiene o meno al raggruppamento. Gli insiemi sono solitamente indicati con le lettere maiuscole A, B, X, e i loro elementi con le lettere minuscole a, b, x, Se un insieme ha un numero limitato di elementi si dice finito, altrimenti si dice infinito. Il simbolo indica l appartenenza di un elemento a un insieme; Il simbolo indica la non appartenenza di un elemento a un insieme. L insieme dei giorni della settimana è un insieme finito: A = {lunedì, martedì, mercoledì, giovedì, venerdì, sabato, domenica} L insieme dei numeri pari è un insieme infinito: B = {x N x è pari} Due insiemi A e B si dicono uguali, e si scrive A = B, se sono formati dagli stessi elementi, ovvero se ogni elemento di A appartiene a B e ogni elemento di B appartiene ad A Si dice insieme vuoto e si indica con il simbolo, un insieme privo di elementi. Dati due insiemi A e B, si dice che B è un sottoinsieme di A (oppure che B è contenuto o incluso in A) se ogni elemento di B appartiene ad A. L insieme vuoto e l insieme A sono considerati particolari esempi di sottoinsieme di A e si definiscono impropri. Tutti gli altri sono detti propri. Un insieme avente n elementi ha 2 n sottoinsiemi. Simbolo Significato Negazione A B A è contenuto in B (ovvero A è un sottoinsieme di B) A B A B A contiene B (ovvero B è un sottoinsieme di A) A B A B A è contenuto in B e A B A B A B A contiene B e A B A B Centro Yep 2

4 Insieme Sottoinsiemi impropri Sottoinsiemi propri In tutto si hanno A = {a}, {a} nessuno 2 sottoinsiemi B = {a, b}, {a, b} {a}, {b} 4 sottoinsiemi C = {a, b, c, }, {a, b, c} {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c} 8 sottoinsiemi Dato un qualsiasi insieme A, l insieme formato da tutti i suoi sottoinsiemi (propri e impropri) si chiama insieme delle parti di A e si indica con il simbolo P(A). Se un insieme ha n elementi, il suo insieme delle parti ne ha 2 n. Nel caso precedente P(A) = {, {a}} P(B) = {, {a, b}, {a}, {b}} P(C) = {, {a, b, c}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}} Centro Yep 3

5 Rappresentazione di insiemi Per elencazione Consiste nell elencare tutti gli elementi, separati da virgole e racchiusi tra parentesi graffe. Per esempio l insieme delle vocali della parola aiuola si può rappresentare con la scrittura: {a, i, o, u} Quando si rappresenta un insieme in questo modo gli elementi NON vanno ripetuti e NON importa l ordine con il quale vengono inseriti gli elementi. Non è possibile utilizzare questa rappresentazione per insiemi infiniti. Per proprietà caratteristica Se voglio descrivere un insieme che raggruppa i divisori di 10 posso utilizzare la seguente scrittura: A = {x N x divide 10} Dove la barra verticale ha il significato di tale che. La scrittura sopra va letta nel seguente modo: A è l insieme dei numeri naturali x tali che x divide 10. In questo caso l insieme N è definito insieme ambiente o insieme universo ed è quell insieme dove si vanno a prendere gli elementi necessari. Per diagrammi di Venn Oltre alla rappresentazione per elencazione e mediante proprietà caratteristica, un insieme può essere rappresentato graficamente, raffigurando i sui elementi come punti all interno di una linea chiusa. Le rappresentazioni di questo tipo vengono chiamate diagrammi di Eulero-Venn. Gli insiemi sono solitamente linee chiuse ovali; se si vuole invece rappresentare l insieme ambiente si utilizza un rettangolo. Centro Yep 4

6 Operazioni con gli insiemi L intersezione di due insiemi A e B è l insieme, indicato con A B, costituito dagli elementi che appartengono sia ad A che a B. In simboli: A B = {x x A e x B} L intersezione di due insiemi A e B può coincidere con A o B, se uno dei due insiemi è contenuto nell altro. Se due insiemi A e B non hanno elementi in comune allora la loro intersezione è l insieme vuoto e i due insiemi si dicono disgiunti. Così come lo 0 è l elemento nullo della moltiplicazione analogamente l insieme vuoto è l elemento nullo dell intersezione. L unione di due insiemi A e B è l insieme, indicato con A B, che è costituito dagli elementi che appartengono ad A o B (o a entrambi). In simboli: A B = {x x A o x B} L unione di due insiemi A e B può coincidere con A o B, se uno dei due insiemi è contenuto nell altro. Così come lo 0 è l elemento neutro dell addizione analogamente l insieme vuoto è l elemento neutro dell operazione di unione. La differenza di due insiemi A e B è l insieme, indicato con A B costituito dagli elementi di A che non appartengono a B. In simboli: A B = {x x A e x B} Acthung!!! L operazione di sottrazione di due insiemi NON è commutativa. Centro Yep 5

7 Dato un insieme B, sottoinsieme di A, si dice complementare di B rispetto ad A e si indica con il simbolo C A B oppure con il simbolo B, A l insieme A B. Dato un insieme A e una famiglia di n suoi sottoinsiemi A 1, A 2,, A n, si dice che questi formano una partizione di A se verificano le seguenti proprietà: Non sono vuoti; Sono a due a due disgiunti; La loro unione coincide con A. Proprietà principali delle operazioni fra insiemi. Proprietà di idempotenza Proprietà commutativa dell intersezione Proprietà commutativa dell unione Proprietà associativa dell intersezione Proprietà associativa dell unione Leggi di assorbimento Proprietà dell intersezione rispetto all unione Proprietà distributiva dell unione rispetto all intersezione Leggi di De Morgan A A = A A A = A A B = B A A B = B A A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C A (A B) = A A (A B) = A A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) A B = A B A B = A B Centro Yep 6

8 Il prodotto cartesiano. Per introdurre che cos è il prodotto cartesiano bisogna definire che cos è una coppia ordinata. Si chiama coppia ordinata formata da due elementi a e b, e si indica con (a, b), l insieme costituito dai due elementi a e b, presi nell ordine indicato. Dati due insiemi A e B, l insieme formato da tutte le possibili coppie ordinate (a, b), ottenute prendendo gli elementi a dall insieme A e gli elementi b dall insieme B, si chiama prodotto cartesiano (o semplicemtne prodotto) di A e B e si indica con il simbolo AXB. In simboli: A B = {(a, b) a A e b B} Ad esempio posto A = {1} e B = {2,3} è possibile determinare: A B = {(1,2), (1,3)} B A = {(2,1), (2,3)} Osservazioni: Nel prodotto cartesiano NON vale la proprietà commutativa Si può eseguire il prodotto cartesiano di un insieme con se stesso Se un insieme A ha n elementi e un insieme B ha m elementi allora il prodotto cartesiano avrà n*m elementi È possibile estendere la definizione di prodotto cartesiano a più insiemi (ad esempio A B C) Per rappresentare un prodotto cartesiano è possibile utilizzare: Una tabella a doppia entrata; Un diagramma cartesiano; Un diagramma ad albero. Centro Yep 7

9 Relazioni e Funzioni Dati due insiemi non vuoti A e B (che possono eventualmente coincidere), si dice relazione tra A e B un procedimento che permette di associare ad alcuni (o a tutti) gli elementi di A uno o più elementi di B. Per indicare che un elemento x è in relazione con un elemento y tramite una relazione R si scrive: xry; in tal caso si dice che y è immagine di x o simmetricamente che x è controimmagine di y. Data una relazione tra due insiemi A e B, si chiama dominio della relazione l insieme degli elementi di A che hanno almeno una immagine in B; si chiama immagine della relazione l insieme costituito dalle immagini di tutti gli elementi del dominio. Una relazione tra due insiemi A e B si può rappresentare: Per elencazione Mediante diagramma a frecce Mediante tabella a doppia entrata Mediante diagramma cartesiano Una relazione tra due insiemi A e B è un sottoinsieme di A B. Proprietà Riflessiva: una relazione, definita in un insieme A, si dice riflessiva se ogni elemento di A risulta in relazione con se stesso. Antiriflessiva: una relazione, definita in un insieme A, si dice antiriflessiva se ogni elemento di A non è in relazione con sé stesso. Simmetrica: una relazione definita in un insieme A, si dice simmetrica quando, comunque scelti due elementi x, y A, accade che, se x è in relazione con y, allora anche y è in relazione con x. Antisimmetrica: una relazione in un insieme A si dice antisimmetrica quando, comunque scelti due elementi distinti x, y A, se x è in relazione con y allora y non è in relazione con x. Transitività: si dice che una relazione definita in un insieme A è transitiva, quando, comunque scelti tre elementi x, y, z A, accade che, se x è in relazione con y e y è in relazione con z allora anche x è in relazione con z. Una relazione, definita in un insieme, si dice di equivalenza quando è riflessiva, simmetrica e transitiva. Centro Yep 8

10 Dato un insieme A, in cui è definita una relazione di equivalenza R, si dice classe di equivalenza di un elemento a A, e si indica con [a], il sottoinsieme di A formato da tutti gli elementi di A che sono in relazione con a tramite R. Dato un insieme A, in cui è definita una relazione di equivalenza R, si chiama insieme quoziente l insieme formato da tutte le classi di equivalenza in A dalla relazione R. L insieme quoziente si indica con A/R. Una relazione, definita in un insieme, si chiama d ordine quando è antisimmetrica e transitiva. Se la relazione è anche riflessiva diremo che è di ordine largo, se è antiriflessiva diremo che è di ordine stretto. Consideriamo una relazione d ordine in un insieme A; se, comunque scelti due elementi distinti di A, essi sono confrontabili, si dice che la relazione è di ordine totale. Se una relazione non è d ordine totale, cioè se esiste almeno una coppia di elementi non confrontabili, viene detta di ordine parziale. Siano A e B due insiemi; si dice funzione da A a B una relazione che associa a ogni elemento di A un solo elemento di B. Una funzione f: A B si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di almeno un elemento di A. Una funzione f: A B si dice iniettiva se ogni elemento di B è immagine di al più un elemento di A. Una funzione f: A B che è sia iniettiva che suriettiva si dice biiettiva (o corrispondenza biunivoca o corrispondenza uno a uno). Una funzione f è biiettiva se e sono se ogni elemento di B è immagine di un unico elemento di A. Una funzione f si dice invertibile se e solo se è iniettiva: in tal caso si chiama funzione inversa di f, e si indica con il simbolo f 1, la funzione che associa a ciascun elemento dell immagine di f la sua (unica) controimmagine. Date due funzioni f: A B e g: B C, si dice funzione composta di f e g, e si indica con il simbolo g f (che si legge g composto f ), la funzione da A a C così definita: (g f)(x) = g(f(x)) Centro Yep 9

11 Ordinamento e confronto Minimo comune multiplo Il minimo comune multiplo (m.c.m.) tra due o più numeri è il più piccolo tra i multipli comuni a tutti i numeri dati. Per calcolare il minimo comune multiplo tra due o più numeri non eccessivamente grandi, si scompongono in fattori primi i numeri e si moltiplicano i fattori comuni e non comuni, presi una sola volta e con il massimo esponente. M. c. m. (12,15) = 60 I multipli di 12 sono 12,24,36,48,60,... mentre i multipli di 15 sono 15,30,45,60... ; da questo se ne deduce che il minimo tra tutti questi è 60. M. c. m. (18,20) = = e 20 = Il m. c. m. è dato da = 180. Massimo comune divisore Il massimo comune divisore (M.C.D.) di due o più numeri interi è il più grande numero naturale tra i divisori comuni a tutti i numeri dati. Per calcolare il massimo comune divisore tra due o più numeri, non eccessivamente grandi, si scompongono in fattori primi i numeri e si moltiplicano i fattori comuni, una sola volta, con il minimo esponente. MCD(12,16) = 4 Infatti i divisori di 12 sono 1,2,3,4,6,12. I divisori di 16 sono 1,2,4,8,16. I divisori in comune sono 1,2,4. Il più grande dei divisori comuni è 4. MCD(3,4) = 1. MCD(7,0) = 7. MCD(150,120) = 30 Infatti, 150 = ; 120 = I fattori comuni con il minimo esponente sono 2,3,5. Centro Yep 10

12 Le quattro operazioni Definizioni e proprietà L Addizione è l operazione che ci permette di associare a due numeri detti addendi un terzo numero detto somma a cui si giunge contando successivamente al primo tanti numeri consecutivi quante sono le unità del secondo. a + b = c Dove a, b sono chiamati addendi e c somma. Proprietà: Commutativa: a + b = b + a Associativa: a + (b + c) = (a + b) + c Dissociativa: a + b) = a + (c + d) se b = c + d L elemento neutro dell addizione è lo 0. La sottrazione è l operazione che ci permette di associare a due numeri detti rispettivamente minuendo e sottraendo un terzo numero detto differenza o resto. La sottrazione è l operazione inversa dell addizione. a b = c Dove a è detto minuendo, b sottraendo e c differenza. Se b > a otteniamo un numero negativo (e quindi l operazione non può essere applicata all insieme dei numeri naturali). Proprietà: Invariantiva: a b = (a ± c) (b ± c) L elemento neutro della sottrazione è lo 0. La moltiplicazione è l operazione aritmetica che permette di associare a due numeri, detti fattori un terzo numero detto prodotto a cui si giunge addizionando al primo tanti addendi uguali al primo tante volte quante sono le unità del secondo. a b = c Dove a, b sono definiti fattori e c prodotto. Acthung!!! Il simbolo della moltiplicazione può essere indicato anche con un asterisco o può essere addirittura omesso (a b = a b = ab) Proprietà: Commutativa:a b = b a Associativa: a (b c) = (a b) c Distributiva: a (b + c) = a b + a c L elemento neutro della moltiplicazione è l 1. Centro Yep 11

13 La divisione è l operazione che permette di associare a due numeri detti rispettivamente dividendo e divisore un terzo numero detto quoziente che moltiplicato per il divisore ci dà come risultato il dividendo. a: b = c Dove a è detto dividendo, b divisore e c quoziente. La divisione è l operazione inversa della moltiplicazione. Se b è sottomultiplo di a, c è un numero intero. Se questo non accade possiamo dividere la parte intera da quella decimale che viene chiamata resto. Proprietà: Invariantiva: a b = a c b c = a/c b/c Distributiva: (a + b): c = (a: c) + (b: c) L elemento neutro della divisione è l 1. Centro Yep 12

14 Elevamento a potenza Si definisce potenza n-esima di base a e di esponente n il prodotto della base moltiplicato n volte per la stessa cioè a n = a a a a a con base a numero reale e n numero naturale. La definizione di a n si può generalizzare come a α nel caso in cui l esponente sia un numero razionale oppure un numero reale in entrambi i casi: Se α > 0 allora la base a deve essere 0 Se α < 0 allora la base a deve essere > 0 Proprietà: a 0 = 1 a 0 0 n = 0 n = indeterminata a m a n = a m+n a m : a n = a m n (a m ) n = a m n a n b n = (a b) n a n : b n = (a: b) n = ( a n b ) a n = ( 1 n a ) ( a n b ) = ( b n a ) a m n n = a m a m n = 1 n a m Centro Yep 13

15 Frazioni Una frazione è un oggetto matematico che indica il rapporto di due numeri interi. I due numeri interi vengono separati da un trattino, detto linea di frazione, che può essere orizzontale, come in questi esempi: 1, 3, 5 oppure diagonale come ½, ¾, ⅝ Il denominatore deve essere sempre diverso da zero: non è infatti possibile effettuare una divisione per zero. Definizioni: Frazione propria: frazione in cui il numeratore è minore del denominatore; Frazione impropria: frazione in cui il numeratore è maggiore del denominatore; Frazione apparente: frazione in cui il numeratore è multiplo del denominatore; Frazioni equivalenti: frazioni che hanno lo stesso valore; Frazione irriducibile: frazione in cui il numeratore e il denominatore sono primi tra loro. Frazione inversa: frazione ottenuta da quella di partenza scambiando il numeratore e il denominatore. Proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo il numeratore e il denominatore di una frazione per uno stesso numero diverso da 0, si ottiene una frazione equivalente a quella data. Riduzione di una frazione al minimo comune denominatore: Vogliamo ridurre al minimo comune denominatore le frazioni 1 6 e Si trova il m.c.m. tra i denominatori cioè: m. c. m. (6; 15) = 30. A ciascuna frazione assegniamo come denominatore il m.c.m. trovato e come numeratore il prodotto del numeratore e del quoziente ottenuto tra il m.c.m. e il denominatore 1 1 (30: 6) = = (30: 15) = = Centro Yep 14

16 Operazioni tra frazioni Addizione e sottrazione di frazioni: si riducono le frazioni allo stesso denominatore, poi si scrive una frazione che ha come denominatore il denominatore comune e come numeratore la somma o la differenza dei numeratori. Moltiplicazione di frazioni: dopo aver fatto tutte le possibili semplificazioni tra i numeratori e i denominatori, si scrive una frazione che ha come numeratore il prodotto dei numeratori e come denominatore il prodotto dei denominatori. Divisione di frazioni: si moltiplica la prima frazione per l inverso della seconda. Potenza di una frazione: si elevano a potenza il numeratore e il denominatore. Centro Yep 15

17 Frazioni generatrici Numeri decimali Dividendo il numeratore per il denominatore di una frazione si possono ottenere: Un numero decimale limitato, cioè con un numero finito di cifre decimali; Un numero decimale periodico, cioè con una o più cifre decimali che si ripetono all infinito. Un numero decimale illimitato con infinite cifre decimali che non si ripetono. Questo è il caso di un numero irrazionale che è definito come un numero che NON può essere scritto come rapporto di due numeri interi (caso di radici o di costanti fisiche). Vediamo come trasformare un numero decimale in una frazione: Frazione generatrice di un numero decimale finito: un numero decimale finito è formato da una parte intera (quella prima della virgola) e da una parte decimale (quella dopo la virgola) con un numero finito di cifre. Ad esempio in 3,21 la parte intera è 3 e la parte decimale è 21. Al numeratore si scrive il numero dato senza virgola al denominatore si scrive il numero 1 seguito da tanti zeri quante sono le cifre decimali del numero dato. 2,45 = = Frazione generatrice di un numero periodico semplice: un numero periodico semplice è formato da una parte intera (quella prima della virgola) e da un periodo (la parte dopo la virgola) le cui cifre si ripetono con regolarità. Ad esempio in 12, 34 la parte intera è 12 e il periodo è 34. Al numeratore si scrive il numero dato senza virgola e si sottrae la parte non periodica. Al denominatore si scrivono tanti nove quante sono le cifre del periodo. 2, 4 = = , 37 = = Frazione generatrice di un numero periodico misto: un numero periodico misto è formato da una parte intera (quella prima della virgola) e da una parte decimale (quella dopo la virgola) composta da un antiperiodo e da un periodo le cui cifre si ripetono con regolarità. Ad esempio in 2.45 la parte intera è 2 l antiperiodo è 4 e il periodo è 5. Al numeratore si scrive il numero dato senza virgola e si sottrae la parte non periodica. Al denominatore si scrivono tanti nove quante sono le cifre del periodo seguiti da tanti zeri quante sono le cifre dell antiperiodo = = = = Centro Yep 16

18 Chi viene prima? Regole per la soluzione di espressioni numeriche Le operazioni tra parantesi hanno la precedenza! Prima si risolvono le parentesi tonde, poi quelle quadre e poi quelle graffe. Moltiplicazioni e divisioni hanno precedenza rispetto ad addizioni e sottrazioni. Qual è l ordine di esecuzione di più operazioni di seguito? Più moltiplicazioni e divisioni di seguito si eseguono nell ordine in cui si trovano; Più addizioni e sottrazioni di seguito si eseguono nell ordine in cui si trovano; Cosa faccio in presenza di potenze? In presenza di potenze, è indispensabile controllare bene se è possibile l applicazione delle proprietà delle potenze allo scopo di evitare calcoli faticosi e inutili. Come si tolgono le parentesi? Se una parentesi è preceduta dal segno + si toglie la parentesi e si scrivono i numeri in essa contenuta con il proprio segno; Se una parentesi è preceduta dal segno si toglie la parentesi e si scrivono i numeri in essa contenuta con il segno cambiato. Come si effettuano le operazioni di moltiplicazione, divisione ed elevamento a potenza in Z? Moltiplicazione Se i due numeri sono concordi, il prodotto è un numero positivo avente come modulo il prodotto dei moduli; Se i due numeri sono discordi, il prodotto è un numero negativo avente come modulo il prodotto dei moduli. Divisione Se i due numeri sono concordi, il quoziente è un numero positivo avente come modulo il quoziente dei moduli; Se i due numeri sono discordi, il quoziente è un numero negativo avente come modulo il quoziente dei moduli. Potenza: la potenza di un numero intero relativo è numero intero relativo avente come modulo la potenza del modulo della base e segno: Negativo se la base è negativa e l esponente è dispari; Positivo in tutti gli altri casi. Acthung!!! Il modulo di un numero è il numero stesso senza segno. Centro Yep 17

19 Il calcolo letterale Monomi, polinomi ed espressioni Chiamiamo espressione algebrica ogni scrittura in cui compaiono numeri e lettere (ed eventuale parentesi), legati tra loro da simboli di operazione. Monomi: definizioni e generalità Un monomio è un espressione algebrica nella quale: Compaiono soltanto operazioni di moltiplicazione ed elevamento a potenza; Gli esponenti delle variabili sono numeri naturali. Un monomio è in forma canonica se il coefficiente è unico e le lettere della parte letterale compaiono una sola volta (generalmente in ordine alfabetico). Monomi simili: monomi che hanno la stessa parte letterale. Monomi uguali: monomi che hanno lo stesso coefficiente e la stessa parte letterale. Monomi opposti: monomi che hanno coefficiente opposto e stessa parte letterale. Grado di un monomio Dato un monomio non nullo, si dice grado (o grado complessivo) del monomio la somma degli esponenti di tutte le lettere che vi compaiono. Dato un monomio non nullo, si dice grado del monomio rispetto a una lettera l esponente con cui compare quella lettera nel monomio ridotto in forma normale. Centro Yep 18

20 Le operazioni con i monomi La somma algebrica di due o più monomi simili è un monomio simile a essi, avente come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti dei monomi da sommare. Il prodotto di due monomi è il monomio il cui coefficiente è il prodotto dei coefficienti dei monomi dati e la cui parte letterale si ottiene sommando gli esponenti delle lettere uguali. Per calcolare la potenza n-esima di un monomio, occorre elevare alla potenza n-esima il suo coefficiente e moltiplicare per n gli esponenti dei fattori della sua parte letterale. Dati due monomi A e B, con B 0, si dice che A (dividendo) è divisibile per B (divisore) se esiste un terzo monomio Q (quoziente di A e B) tale che: A = QB Se un monomio A è divisibile per un monomio B, il quoziente tra A e B è un monomio il cui coefficiente è uguale al quoziente tra il coefficiente di A e quello di B e la cui parte letterale si ottiene sottraendo gli esponenti delle lettere uguali. Achtung!!! Un monomio A è divisibile per un monomio B se e solo se ogni lettera che compare in B compare anche in A, con esponente maggiore o uguale. Si dice massimo comune divisore fra due o più monomi (non nulli) ogni monomio di grado massimo che sia divisore di tutti i monomi dati. Si dice minimo comune multiplo fra due o più monomi (non nulli) ogni monomio di grado minimo che sia multiplo di tutti i monomi dati. Centro Yep 19

21 Polinomi: definizioni e generalità Si chiama polinomio ogni espressione algebrica che può essere scritta come somma algebrica di monomi. Dato un polinomio non nullo, ridotto in forma normale, si dice: Grado del polinomio rispetto a una certa lettera il massimo esponente con cui la lettera compare nel polinomio; Grado complessivo (o semplicemente grado) del polinomio il maggiore fra i gradi dei suoi termini. Un polinomio in cui tutti i termini hanno lo stesso grado si dice omogeneo. Un polinomio, ridotto in forma normale, si dice ordinato secondo le potenze crescenti (o decrescenti) di una certa lettera se, letto da sinistra verso destra, gli esponenti di quella lettera crescono (o decrescono). Un polinomio si dice completo rispetto a una certa lettera se vi compaiono tutte le potenze di quella lettera, da quella di grado massimo a quella di grado 0. Achtung!!! Si definisce termine noto il monomio del polinomio, se esiste, di grado zero Due polinomi, ridotti in forma normale, si dicono uguali se i termini del primo polinomio sono rispettivamente uguali ai termini del secondo, a meno dell ordine in cui sono scritti. Due polinomi, ridotti in forma normale, si dicono opposti se i termini del primo polinomio sono rispettivamente opposti ai termini del secondo, a meno dell ordine in cui sono scritti. Centro Yep 20

22 Operazioni con i polinomi La somma algebrica di due o più polinomi è un polinomio ottenuto dai polinomi addendi, eventualmente cambiati di segno, dopo aver ridotto i termini simili. Il prodotto di un polinomio per un monomio si esegue applicando la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all addizione (a + b) c = ac + bc cioè moltiplicando ogni termine del polinomio per il monomio. Il prodotto di due o più polinomi si esegue moltiplicando ogni termine del primo polinomio per tutti i termini del secondo e quindi sommare i prodotti simili ottenuti. La divisione di un polinomio per un monomio si esegue, quando è possibile applicando la proprietà distributiva della divisione rispetto alla somma: (a + b): c = (a: c) + (b: c); il risultato è un polinomio costituito dai quozienti tra i termini del polinomio stesso e il monomio dato. Prodotti notevoli Somma per differenza (a + b)(a b) = a 2 b 2 Quadrato di binomio (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 Cubo di binomio (a ± b) 3 = a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± 3b 3 Quadrato di trinomio (a ± b ± c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 ± 2ab ± 2bc ± 2ac Potenza n-esima di binomio (a ± b) n Per trovare i coefficienti da associare ai singoli termini del polinomio si utilizza il triangolo di Tartaglia: Centro Yep 21

23 La divisione di polinomi Dati due polinomi in una sola variabile A(x) e B(x), A(x) di grado n e B(x) di grado p con n p, B(x) diverso dal polinomio nullo, esistono due polinomi Q(x) e R(x) per cui si ha: A(x) = B(x)Q(x) + R(x) Dove Q(x) di grado q = n p si chiama quoziente, R(x) di grado r < p si chiama resto. Achtung!!! Se R(x) = 0 allora si dice che A(x) è divisibile per B(x). La divisione di un polinomio per un binomio (x c) Teorema del resto: il resto di una divisione tra un polinomio A(x) e un binomio B(x) = (x c) è uguale al valore che il polinomio assume per x = c, cioè R = A(c). Teorema di Ruffini: un polinomio A(x) è divisibile per un binomio B(x) = (x c) se e solo se A(c) = 0. Esempio Si vuole dividere il polinomio x 3 8 per il monomio x 2. Il primo passo è quello di disporre tutti i termini nella tabella di divisione: il dividendo andrà a sinistra e il divisore andrà a destra. Tutti i termini mancanti del polinomio del dividendo vengono rimpiazzati con degli zeri. A questo punto si procede come segue: Si divide il termine di grado maggiore del divisore con il termine di grado maggiore del dividendo e si riscrive sotto il divisore. Si moltiplica il termine trovato per il polinomio x-2 cambiandolo di segno e si va a mettere sotto il dividendo. A questo punto si sommano i termini con lo stesso grado ottenendo un nuovo dividendo. A questo punto si ripete il procedimento visto. Centro Yep 22

24 Alla fine otteniamo il quoziente della divisione e in fondo alla colonna del divisore troviamo il resto (che può essere 0 oppure un polinomio). Il procedimento completo è schematizzato nella prossima figura: Centro Yep 23

25 Scomposizioni di polinomi Scomporre un polinomio significa esprimerlo significa esprimerlo come prodotto di più fattori irriducibili, cioè non ulteriormente scomponibili. Achtung!!! Per scomporre un polinomio non esiste un unica procedura: bisogna analizzare la tipologia del polinomio e scegliere il metodo più adeguato. Raccoglimento totale ab + ac = a(b + c) Raccoglimento parziale Differenza di quadrati ab + ac + nb + nc = a(b + c) + n(b + c) = (a + n)(b + c) a 2 b 2 = (a + b)(a b) Differenza di cubi a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ) Somma di cubi a 3 + b 3 = (a + b)(a 2 ab + b 2 ) Trinomio notevole ax 2 + sx + p = (x + m)(x + n) con a = 1 s = m + n p = m n Trinomio notevole ax 2 + sx + p = ax 2 + mx + nx + p con a 1 s = m + n p = m n Acthung!!! per la scomposizione successiva si procede con un raccoglimento parziale Quadrato di binomio a 2 ± 2ab + b 2 = (a ± b) 2 Cubo di binomio a 3 ± 3a 2 b + 3ab 2 ± 3b 3 = (a ± b) 3 Quadrato di trinomio a 2 + b 2 + c 2 ± 2ab ± 2bc ± 2ac = (a ± b ± c) 2 Centro Yep 24

26 La scomposizione di polinomi mediante il teorema di Ruffini Si vuole scomporre il polinomio x 3 x + 6. Per la scomposizione si fanno i seguenti passi: Si individuano i divisore del termine noto (+6) Tra tutti i divisori del termine noto si cerca quello che annulla il polinomio. A questo punto si inseriscono i termini nell apposita tabella. Il divisore che annulla il polinomio và in basso a sinistra. I termini del polinomio da scomporre vengono messi ordinati in alto come mostrato in figura. Se non è presente un grado del polinomio si mette lo 0. Si riscrive in basso il primo coefficiente del polinomio. Si moltiplica il primo coefficiente del polinomio per il divisore e si scrive il risultato nella seconda colonna. Si sommano il termine del polinomio e il termine ottenuto nel passaggio precedente. Centro Yep 25

27 L operazione si ripete fino a che non si finisce la tabella. Per vedere se la scomposizione è fatta bene l ultimo termine in basso a destra deve essere 0. I termini nell ultima riga rappresentano in modo ordinato i nuovi coefficienti del polinomio. Essendo partiti da un polinomio di 3 grado otterremo un polinomio di 2 grado. A questo punto per la definizione di divisione abbiamo: Dividendo = Quoziente: Divisore Il divisore sarà il polinomio di primo grado dove si è andati a cambiare di segno il divisore trovato in precedenza. Centro Yep 26

28 Frazioni algebriche Si dice frazione algebrica ogni espressione algebrica della forma A B polinomi e B è diverso dal polinomio nullo. dove A e B sono due Achtung!!! Il dominio o campo di esistenza di una frazione algebrica è l insieme dei valori per cui la frazione algebrica ha significato, cioè i valori che rendono il denominatore della frazione diverso da zero. Achtung!!! L insieme numerico in cui stiamo lavorando è Q Definizioni e proprietà Due frazioni algebriche A e C si dicono equivalenti, e si scrive A = C, quando assumono lo B D B D stesso valore numerico per ogni valore attribuito alle variabili esclusi quelli che annullano il denominatore di una delle due frazioni. Achtung!!! Due frazioni algebriche A e C sono equivalenti se e solo se il polinomio A D è B D uguale al polinomio B C Proprietà invariantiva: moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore di una frazione algebrica per una stessa espressione diversa da 0, si ottiene una frazione equivalente alla data. Semplificazione Dopo aver scomposto in fattori sia il numeratore sia il denominatore, si dividono entrambi per i fattori comuni, ottenendo una frazione irriducibile. Riduzione di più frazioni algebriche allo stesso denominatore Si scompongono in fattori i denominatori; Si determina il m.c.m. tra i denominatori e si pongono le condizioni di esistenza; A ciascuna frazione si assegna come denominatore il m.c.m. trovato e come numeratore il prodotto del numeratore e del quoziente ottenuto tra il m.c.m. e il denominatore. Centro Yep 27

29 Le operazioni con le frazioni algebriche La somma algebrica di due o più frazioni algebriche aventi lo stesso denominatore è la frazione algebrica che ha per denominatore, il denominatore comune e per numeratore la somma algebrica dei numeratori. Se i denominatori sono diversi, è possibile sommare frazioni algebriche facendo una riduzione al minimo comune denominatore. Il prodotto di due frazioni algebriche è la frazione algebrica che ha per numeratore il prodotto dei numeratori e per denominatore il prodotto dei denominatori. In pratica i passi da seguire sono i seguenti: Si scompongono i numeratori e i denominatori delle frazioni da moltiplicare; Si effettuano eventuali semplificazioni ( in croce o tra i numeratori e i denominatori delle frazioni algebriche stesse); Si calcola il prodotto dei numeratori e il prodotto dei denominatori. La potenza con un dato esponente intero positivo o nullo di una frazione algebrica è la frazione algebrica che per numeratore e per denominatore rispettivamente il numeratore e il denominatore della frazione algebrica originaria elevati a quella potenza. Si dice reciproca o inversa di una frazione algebrica, la frazione algebrica che, moltiplicata per quella data, dà come risultato 1. La potenza con un dato esponente intero negativo di una frazione algebrica è uguale alla potenza con esponente opposto della frazione algebrica reciproca. In simboli: ( A n B ) = ( B n A ) con n N {0} Il quoziente di due frazioni algebriche, di cui la seconda non nulla, è la frazione algebrica che si ottiene moltiplicando la prima per la reciproca della seconda. Centro Yep 28

30 Equazioni Definizione generale Si chiama equazione ogni uguaglianza tra due espressioni, contente una o più lettere. Le incognite sono le lettere di cui non è noto il valore numerico; la risoluzione di un equazione consiste proprio nella ricerca dei numeri che, sostituiti al posto delle incognite, la trasformano in un uguaglianza vera. I parametri sono lettere da considerare come costanti, cioè lettere che rappresentano un valore che si suppone noto, ma che non è specificato per conferire al problema maggiore generalità. Una identità è una uguaglianza tra due espressioni, contente una o più lettere, verificata in corrispondenza di ogni valore reale attribuito alle lettere, con l esclusione di quelli che fanno eventualmente perdere significato alle due espressioni. Due equazioni nelle stesse incognite si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni. Un equazione può essere: Determinata se ha un numero finito di soluzioni; Indeterminata, se ha un numero infinito di soluzioni (è un identità) Impossibile se non ha soluzioni. Principi di equivalenza 1 Principio: Aggiungendo o sottraendo a entrambi i membri di un equazione un numero o una espressione algebrica definita per tutti i valori delle variabili che vi compaiono, si ottiene un equazione equivalente a quella data. 2 Principio: Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di un equazione per un numero diverso da zero o per una espressione algebrica e non nulla per tutti i valori delle variabili che vi compaiono, si ottiene un equazione equivalente a quella data. Conseguenze dei principi di equivalenza: Si può spostare un termine che compare come addendo, da un membro all altro di un equazione pur di cambiargli segno (regola del trasporto). Se un certo come addendo sia in uno sia nell altro membro di un equazione, può essere soppresso. Se tutti i termini di un equazione hanno in comune un fattore non nullo si possono dividere i due membri per quel fattore. Si possono cambiare i segni di tutti i termini di un equazione. Si può trasformare un equazione a coefficienti frazionari in una equivalente a coefficienti interi. Data un equazione nell incognita x, si dice grado dell equazione il grado del polinomio A(x), una volta che l equazione sia stata scritta nella forma normale A(x) = 0. Centro Yep 29

31 Altri tipi di equazioni Equazione numerica frazionaria. È un equazione dove l incognita compare anche al denominatore e che, oltre all incognita, contiene solo numeri. Per risolvere un equazione numerica frazionaria, si deve tenere presente che: Essa si può trasformare con opportuni accorgimenti in un equazione intera equivalente; Si deve prestare attenzione al dominio dell equazione: infatti si dovranno escludere da esso i valori che annullano i denominatori dell equazione rendendola priva di significato; Una volta trovata la soluzione, essa va confrontata con il dominio dell equazione per accertarsi che vi appartenga; in caso contrario, la soluzione non è accettabile. Equazione letterale intera È un equazione intera in cui, oltre all incognita, compaiono altre lettere, dette parametri. Al variare di tali parametri, l equazione può avere soluzioni differenti Per risolvere si deve tenere presente che: Essa si può trasformare con opportuni accorgimenti in un equazione intera equivalente; Si deve ridurre l equazione in forma normale cioè nella forma Ax = B dove x è l incognita mentre A e B sono espressioni che non contengono l incognita. A questo punto, dobbiamo discutere l equazione e si possono presentare i seguenti casi: Se A è diverso da 0 l equazione è determinata e ha come soluzione x = B/A; Se A = 0 non è possibile applicare il secondo principio di equivalenza, visto che la divisione per zero non è possibile. Si ottiene 0x = B e si possono presentare due casi: o Se B = 0 l equazione è indeterminata o Se B è diverso da 0 l equazione è impossibile Centro Yep 30

32 Sistemi lineari Un sistema è un insieme di due o più equazioni che devono essere vere contemporaneamente. Il grado di un sistema è il prodotto dei gradi delle singole equazioni. Se le equazioni che compongono il sistema sono di primo grado il sistema si dice lineare. La soluzione di un sistema è l insieme di tutti quei valori che, attribuiti alle incognite, rendono vere tutte le equazioni del sistema. Achtung!!! Quando il sistema ha due equazioni e due incognite, la soluzione del sistema è una coppia ordinata che soddisfa entrambe le equazioni. Achtung!!! L insieme S delle soluzioni del sistema è l intersezione degli insiemi soluzione delle singole equaizoni. Un sistema può essere: Determinato se ha un numero finito di soluzione Indeterminato se ha un numero infinito di soluzioni; Impossibile se non ha soluzioni. Sistema di primo grado in forma normale: è un sistema lineare che, nel caso di due equazioni a due incognite, è scritto nella forma: ax + by = c { a x + b y = c I metodi di risoluzione Metodo di sostituzione. Scriviamo il sistema in forma normale; Si ricava una delle due incognite da una delle due equazioni; Si sostituisce l incognita ricavata nell altra equazione; Si risolve la seconda equazione nell unica incognita rimasta; Si risostituisce nella prima. Centro Yep 31

33 Metodo del confronto: Si scrive il sistema in forma normale; Si ricava la stessa incognita da entrambe le equazioni; Si eguagliano le incognite trovate; il nuovo sistema sarà composto da questa equazione più una seconda scelta a caso dalle due; Si risolve l equazione in una sola incognita; Si sostituisce nella seconda equazione. Metodo di riduzione: Si scrive il sistema in forma normale; Questo metodo si basa sulla somma o sulla sottrazione delle equazioni presenti nel sistema per cercare di ridurre le incognite; infatti ogniqualvolta nelle equazioni di un sistema, i termini in una delle due incognite sono opposti (uguali), si può ottenere un equazione risolvente in una sola incognita sommando (sottraendo) membro a membro le due equazioni; Per fare in modo che nelle due equazioni del sistema compaiano due termini uguali o opposti può essere necessario moltiplicare i due membri delle equazioni per fattori opportuni; Una volta determinato il valore di una delle due incognite, sommando o sottraendo membro a membro le due equazioni di un sistema, per determinare il valore dell altra incognita si può ricorrere al metodo di sostituzione oppure applicare ancora il metodo di riduzione. Metodo di Cramer In generale dato il sistema lineare ax + by = c { a x + b y = c Se ab a b 0 il sistema è determinato e ha come soluzione: x = cb c b ab a b y = ac a c ab a b Se ab a b = 0 e cb c b 0 oppure ac a c 0, il sistema è impossibile; Se ab a b = 0 e cb c b = 0 oppure ac a c = 0, il sistema è indeterminato. Centro Yep 32

34 Per utilizzare il metodo di Cramer dobbiamo introdurre alcune notazioni. Il seguente schema viene detto matrice dei coefficienti del sistema: a b [ a b ] Gli elementi a, b si dicono elementi sulla diagonale principale e gli elementi a, b elementi sulla diagonale secondaria. Si definisce determinante di una matrice a due righe e due colonne il numero ottenuto calcolando il prodotto degli elementi sulla diagonale principale e sottraendo da esso il prodotto degli elementi sulla diagonale secondaria; per indicare il determinante di una matrice si indicano gli elementi della matrice fra due linee verticale. Quindi dato il sistema lineare visto sopra è possibile definire tre determinanti: 1. Il determinante della matrice dei coefficienti del sistema, che si chiama determinante del sistema e si indica con la lettera D D = [ a b a b ] = ab a b 2. Il determinante ottenuto da quello del sistema, sostituendo, al posto della prima colonna, i termini noti c e c ; tale determinante si chiama determinante relativo all incognita x e si indica con il simbolo D x D x = [ c b c b ] = cb c b 3. Il determinante ottenuto da quello del sistema, sostiutendo, al posto della seconda colonna, i termini noti c e c ; tale determinante si chiama determinante relativo all incognita y e si indica con il simbolo D y D y = [ a c a c ] = ac a c Quindi dato il sistema lineare: se D 0, il sistema è determinato e ha come soluzione: x = D x y = D y D D Se D = 0 e D x 0 o D y 0 allora il sistema è impossibile Se D = D x = D y = 0 allora il sistema è indeterminato. Il criterio dei rapporti Dato un sistema lineare scritto nella sua forma normale dove a, b, c 0 valgono i seguenti fatti: se a b a b il sistema è determinato se a = b e b c il sistema è impossibile a b b c se a = b = c a b c il sistema è indeterminato Centro Yep 33

35 Disequazioni Una disequazione è una disuguaglianza tra due espressioni algebriche A(x) e B(x) nella variabile x, chiamate membri della disequazione, vera per particolari valori attribuiti alla variabile x (incognita). Sinteticamente una disequazione si indica con una delle seguenti scritture: A(x) > B(x) A(x) B(x) A(x) < B(x) A(x) B(x) Per le disequazioni valgono tutte le definizioni di carattere generale già date per le equazioni. Per quanto riguarda i principi di equivalenza, il primo resta inalterato il secondo invece deve essere rivisto. Infatti, moltiplicando o dividendo entrambi i membri della disequazione per una quantità positiva, si ottiene una disequazione equivalente a quella di partenza; se, invece, si moltiplicano o si dividono entrambi i membri della disequazione per una quantità negativa, si ottiene una disequazione che ha verso opposto rispetto a quello di partenza. Le disequazioni numeriche frazionarie È una disequazione in cui l incognita compare anche al denominatore e che, oltre all incognita, contiene solo numeri. Per risolvere: Dobbiamo ridurre la disequazione a una frazione a primo membro e zero a secondo membro, cioè nella forma A(x) > 0 ; A(x) 0 ; A(x) < 0 ; A(x) 0 B(x) B(x) B(x) B(x) Si pone il numeratore (N) >0 (nel caso ci fosse un o allora si pone anche esso 0). Si pone il denominatore (D)>0 sempre. Si costruisce il grafico dei SEGNI rappresentando con dei + gli intervalli in cui il segno è positivo e con dei gli intervalli in cui è negativo; applicando le regole dei segni determiniamo quando la frazione ha segno globale concorde rispetto al segno davanti alla frazione iniziale; Achtung!!! Ricorda che per il dominio va sempre posto il denominatore diverso da 0. Sistema di disequazioni È un insieme di disequazioni nella stessa incognita, che devono essere verificate contemporaneamente. Per risolvere: Si risolve una disequazione per volta; Le soluzioni vengono messe in un grafico apposito; per ogni soluzione si fa una linea continua nell intervallo dove la soluzione esiste. La soluzione globale è rappresentata dalla parte comune data dall intersezione delle linee. Centro Yep 34

36 Radicali n Si definisce radice aritmetica n-esima di a e si indica con a quel numero b tale che b n = a con a e b numeri reali 0 e con n numero intero > 0. Il simbolo n prende il nome di indice della radice, a radicando e m esponente del radicando. 0 a 1 a = a = non ha significato m a n e b mn a n e mn b m n a n n n a b = ab m b n n a: b nm = a m b n n = a n n = a b b n ( a) m n = a m m n a mn = a n a m+n n α a n a b n = a n b n = a m a n n ± β a n = a a m n = (α ± β) a Centro Yep 35

37 Razionalizzazione Se al denominatore di una frazione compaiono uno o più radicali allora esso è un numero irrazionale. La razionalizzazione è un operazione che consente di eliminare i radicali al denominatore rendendolo così un numero razionale 1 caso 2 caso 3 caso 4 caso 5 caso x = x a a x n = x n a n m a m n a m n a n m a = x a a a = x a b = x(a b) a+ b a b a 2 b n x an m x a b = x( a b) a+ b a b a b 3 x 3 3 a2 3 3 ab+ b 2 3 a+ b a = ab+ b 2 a 3 x( a2 3 3 ab b 2 ) a 3 +b 3 Radicale doppio È formato da una radice quadrata il cui radicando è formato dalla somma di un monomio e di un altra radice quadrata cioè: a ± b La formula che risolve questo tipo di radice funziona solo se a 2 b è un quadrato perfetto: a ± b = a + a2 b 2 ± a a2 b 2 Dalla radice aritmetica alla radice algebrica n Si definisce radice algebrica n-esima di a e si indica con a quel numero b tale che b n = a con a e b numeri reali qualsiasi e con n numero intero > 0. L esigenza di ampliare la definizione di radice aritmetica a quella di radice algebrica nasce dalla necessità di risolvere equazioni di secondo grado o di grado superiore al secondo del tipo x n = a x 2 = 1 x = ±1 x 3 = 1 x = 1 x 2 = 9 no soluzioni (a) 2 = a Centro Yep 36

38 Equazioni di secondo grado Un equazione di secondo grado (in una sola incognita) è un equazione in cui l esponente del monomio di grado massimo è pari a 2; in generale un equazione di 2 grado ha la forma ax 2 + bx + c = 0 a, b, c R L incognita x può essere sia Reale che Complessa Casi particolari: Equazione pura (b=0) ax 2 + c = 0 x 1,2 = ± c a Equazione spuria (c=0) ax 2 + bx = 0 x 1 = 0 x 2 = b a Equazione monomia (b=0, c=0) ax 2 = 0 x 1 = x 2 = 0 Formula generale Equazione completa ax 2 + bx + c = 0 La x 1,2 = b ± b2 4ac 2a Se b è un numero pari si può utilizzare la cosiddetta formula ridotta: x 1,2 = b 2 ± b2 4 ac a Centro Yep 37

39 Discriminante e suo significato: Si chiama discriminante la quantità = b 2 4ac Il suo segno permette di stabilire il numero e le caratteristiche delle soluzioni di un equazione di secondo grado: se > 0 2 soluzioni reali distinte se = 0 2 soluzioni reali coincidenti se < 0: se x C 2 soluzioni complesse coniugate se < 0: se x R nessuna soluzione Proprietà delle soluzioni Siano x 1, x 2 le soluzioni dell equazione ax 2 + bx + c = 0 ; allora: x 1 + x 2 = b a = s (somma delle soluzioni) x 1 x 2 = c a = p (prodotto delle soluzioni) Nel caso generale: x 2 sx + p = 0 ax 2 + bx + c = a(x x 1 )(x x 2 ) Regola di Cartesio Permette di trovare il segno delle soluzioni di un equazione di secondo grado. Si può applicare solo se 0: Si osservano i segni di a, b, c; Ad ogni permanenza di segno corrisponde una soluzione negativa; Ad ogni variazione di segno corrisponde una soluzione positiva. Ad esempio x 2 + 5x 6 = 0 ha una permanenza (+1 e +5) quindi una soluzione negativa ed una variazione (+5 e -6) quindi una soluzione positiva. Centro Yep 38

40 Equazioni parametriche Condizioni Una radice è nulla: x 1 = 0 Una radice è uguale a n x 1 = n La somma delle radici è uguale a n x 1 + x 2 = n Il prodotto delle radici è uguale a n x 1 x 2 = n Cosa fare Sostituire zero alla x x = 0 Sostituire n alla x x = n Si pone la somma uguale a n b a = n Si pone il prodotto uguale a n c a = n Le radici sono opposte: x 1 = x 2 x 1 + x 2 = 0 b a = 0 b = 0 Le radici sono reciproche: x 1 = 1 x 2 x 1 x 2 = 1 Le radici sono antireciproche: c a = 1 x 1 = 1 x 2 x 1 x 2 = 1 Le radici sono concordi: x 1 x 2 > 0 Le radici sono discordi: x 1 x 2 < 0 c a = 1 c a > 0 c a < 0 Centro Yep 39

41 Le radici sono coincidenti: x 1 = x 2 = 0 Le radici sono reali: x 1, x 2 R Le radici sono reali distinte: x 1 x 2 R Le radici sono immaginarie: x 1, x 2 C 0 > 0 < 0 La somma dei reciproci delle radici è uguale a n: 1 x x 2 = n b c = n La somma dei quadrati delle radici è uguale a n x x 2 2 = n ( b a ) 2 2c a = n La somma dei quadrati dei reciproci è uguale a n 1 x x 2 2 = n ( b a ) 2 2c a = n (c a ) 2 La somma dei cubi è uguale a n x x 2 3 = n La somma dei cubi dei reciproci è uguale a n ( b a ) 3 3c a ( b a ) = n 1 x x 2 3 = n ( b a ) 3 3c a ( b a ) = n (c a ) 3 Una radice è multipla dell altra rispetto ad un fattore n x 1 = nx 2 x 1 + x 2 = b a x 1 = nx 2 { x 1 x 2 = c a Centro Yep 40

42 Disequazioni: a > 0 ax 2 + bx + c > 0 ax 2 + bx + c < 0 > 0 L equazione associata ha due soluzioni reali e distinte: x 1 x 2 Valori esterni Valori interni = 0 L equazione associata ha due soluzioni reali e coincidenti: x 1 = x 2 Tutti i numeri tranne x = b 2a Nessuna soluzione < 0 L equazione associata ha due soluzioni complesse: x 1 x 2 Nessuna soluzione Centro Yep 41

43 a 0 ax 2 + bx + c 0 ax 2 + bx + c 0 > 0 L equazione associata ha due soluzioni reali e distinte: x 1 x 2 Valori esterni con estremi compresi Valori interni con estremi compresi = 0 L equazione associata ha due soluzioni reali e coincidenti: x 1 = x 2 Solo x = b 2a < 0 L equazione associata ha due soluzioni complesse: x 1 x 2 Nessuna soluzione Centro Yep 42

44 Sistemi di grado superiore al primo Un sistema di secondo grado è formato da un equazione di secondo grado e da una o più equazioni di primo grado. L insieme soluzione di un sistema di secondo grado è costituito dalle coppie del prodotto cartesiano R x R. Un sistema di secondo grado può essere: Determinato, se ha due soluzioni reali o coincidenti; Indeterminato, se ha un numero infinito di soluzioni; Impossibile se non ha soluzioni. Per risolvere un sistema di secondo grado normalmente si utilizza il metodo di sostituzione, in particolare: Si ricava una delle due incognite dall equazione di primo grado; Si sostituisce l espressione dell incognita ricavata nell equazione di secondo grado; Si risolve l equazione di secondo grado in una sola incognita ottenuta dopo la sostituzione; Si sostituisce ciascuno dei valori trovati al posto dell incognita corrispondente e si trovano le coppie soluzione. Un sistema simmetrico è un sistema che, scritto nella forma canonica, risulta: x + y = s { xy = p Con s e p numeri reali. La risoluzione di un sistema simmetrico si riconduce alla ricerca di due numeri conoscendo la loro somma e il loro prodotto. Se la coppia (a, b) è soluzione del sistema simmetrico, anche la coppia (b, a) è soluzione del sistema. I due valori a e b sono le soluzioni dell equazione t 2 st + p = 0 detta equazione associata: in essa la variabile t è una variabile ausiliaria. Le eventuali soluzioni dell equazione associata forniscono le soluzioni del sistema. Centro Yep 43

45 Equazioni binomie Formate da un termine di grado n ed un termine noto: ax n + b = 0 Se n è pari: n x = ± b a Se n è dispari: n x = b a Equazioni biquadratiche Formate da un termine di 4, uno di 2 e un termine noto: ax 4 + bx 2 + c = 0 Si pone x 2 = t; per cui si ottiene at 2 + bt + c = 0 da cui si ricava t 1, t 2 : x 2 1,2 = t 1 x 2 3,4 = t 2 Achtung!!! un equazione di questo tipo ammette 4 soluzioni reali, 2 soluzioni reali oppure 0 soluzioni reali. Equazioni trinomie Formate da un termine di grado 2n uno di grado n e un termine noto: ax 2n + bx n + c = 0 Si pone x n = t; per cui si ottiene at 2 + bt + c = 0 da cui si ricava t 1, t 2 e si procede come sopra. Per le disequazioni si passa all equazione associata e si risolve come visto sopra per le equazioni di secondo grado. Centro Yep 44

46 Equazioni irrazionali: A = B A, B sono polinomi { A 0 A = B 2 A = n A = n 2 A = n nessuna soluzione A = 0 A = 0 A 0 A = B { B 0 A = B A 0 A + B = C { B 0 ( A + B) 2 = C 2 3 A = B A = B 3 Centro Yep 45

47 Equazioni con valore assoluto: Il valore assoluto di x è uguale a x se x è maggiore di zero; -x se x è minore di zero x { x 0 x { x < 0 x Proprietà: x x se x 0 = { x se x < 0 f(x) se f(x) 0 f(x) = { f(x) se f(x) < 0 x = x x 2 = x 2 xy x + y x R x R x, y R xy = x y x y = x y x, y R x, y R con y 0 x = y x = ±y x, y R A = B { A 0 A = B { A < 0 A = B A = n A = n A = n A = n nessuna soluzione A = 0 A = 0 A + B = C { A 0 B 0 { A < 0 B 0 { A 0 B < 0 { A < 0 B < 0 A + B = C A + B = C A B = C A B = C Centro Yep 46

48 Centro Yep 47

49 Disequazioni irrazionali A > B { A 0 B < 0 { B 0 A > B 2 A B { A 0 B < 0 { B 0 A B 2 A 0 A < B { B > 0 A < B 2 A 0 A B { B 0 A B 2 A > n A > n 2 A n A n 2 A < n { A 0 A < n 2 A n { A 0 A n 2 A > n x D A n x D A < n nessuna soluzione A n nessuna soluzione A > 0 A > 0 A 0 A > 0 A < 0 nessuna soluzione A 0 A = 0 Centro Yep 48

50 A 0 A > B { B 0 A > B A 0 A B { B 0 A B A 0 A < B { B 0 A < B A 0 A B { B 0 A B 3 A 3 B A B 3 A B A B 3 3 A B 6 A 3 6 B 2 Centro Yep 49

51 Disequazioni con valore assoluto A > B { A 0 A > B { A < 0 A > B A B { A 0 A B { A < 0 A B A < B { A 0 A < B { A < 0 A < B A B { A 0 A B { A < 0 A B A > n A < n A > n A n A n A n A A < n < n { A > n A n A n { A n A > n x R A n x R A < n nessuna soluzione A n nessuna soluzione A > 0 A 0 A 0 x R A < 0 nessuna soluzione A 0 x = 0 Per le disequazioni con più di un valore assoluto si fanno i vari casi come visto nella sezione delle equazioni. Centro Yep 50

52 Postulati e definizioni di geometria piana I cinque postulati di Euclide: 1. Tra due punti qualsiasi passa una e una sola retta. 2. Una linea retta si può prolungare indefinitamente. 3. Dato un punto e una lunghezza è possibile descrivere un cerchio. 4. Tutti gli angoli retti sono uguali. 5. Due rette tagliate da una trasversale si incontreranno in un punto posto dalla parte in cui la trasversale forma due angoli interni la cui somma è minore di un angolo piatto. (definizione equivalente: per un punto esterno ad una retta passa una e una sola retta parallela alla retta data). Esempio del 5 postulato di Euclide scritto nella forma classica Segmento: il segmento è quella parte di retta compresa da due suoi punti dette estremi Due segmenti sono consecutivi se hanno un estremo in comune Due segmenti sono adiacenti se sono consecutivi e giacciono sulla stessa retta. Centro Yep 51

53 Il punto medio di un segmento è quel punto che divide il segmento in due parti uguali. Il punto medio di un segmento è unico. La semiretta è ciascuna delle due parti in cui una retta è divisa da un suo punto detto origine della semiretta. Il semipiano è ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da una sua retta detta origine del semipiano. L angolo è ciascuna delle due parti in cui un piano è diviso da due semirette aventi la stessa origine. Le due semirette si chiamano lati dell angolo. L origine comune delle due semirette si chiama vertice dell angolo. Centro Yep 52

54 Un angolo si dice concavo se contiene i prolungamenti dei lati. Un angolo si dice convesso se non contiene i prolungamenti dei lati. Due angoli sono consecutivi se hanno un vertice e un lato in comune. Due angoli sono adiacenti se sono consecutivi e i lati non comuni sono semirette opposte. Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell uno sono i prolungamenti dell altro. La bisettrice di un angolo è la semiretta che divide l angolo in due parti congruenti. Un angolo si dice piatto se i suoi lati sono semirette opposte. Un angolo si dice retto se è metà di un angolo piatto. Un angolo giro è la parte concava dell angolo che ha per lati due semirette coincidenti. Un angolo nullo è la parte convessa dell angolo che ha per lati due semirette coincidenti. Un angolo si dice acuto se è minore di un angolo retto. Un angolo si dice ottuso se è maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto. Centro Yep 53

55 Due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto. Due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto. Due angoli sono esplementari se la loro somma è un angolo giro. Due rette sono perpendicolari se incontrandosi formano quattro angoli retti. Due rette che appartengono allo stesso piano sono parallele se sono coincidenti oppure se non hanno alcun punto in comune. L asse di un segmento è la retta perpendicolare al segmento passante per il punto medio. Centro Yep 54

56 La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta. La distanza tra due rette parallele è la distanza di un qualsiasi punto di una di esse dall altra retta. La proiezione di un punto su una retta è il punto d intersezione tra la retta perpendicolare condotta dal punto alla retta e la retta stessa. La proiezione di un segmento su una retta è il segmento sulla retta che ha per estremi le proiezioni degli estremi del segmento dato. Due retta tagliate da una trasversale formano le seguenti coppie di angoli: alterni interni (4,6) (3,5) alterni esterni (1,7) (2,8) corrispondenti (1,5) (2,6) (3,7) (4,8) coniugati interni (4,5) (3,6) coniugati esterni (1,8) (2,7) Centro Yep 55

57 Una poligonale (o spezzata) è una figura formata da più segmenti ordinatamente consecutivi, appartenenti allo stesso piano. Una poligonale è aperta se si distingue un primo ed un ultimo punto. Una poligonale è chiusa se l ultimo punto coincide con il primo punto. Una poligonale è intrecciata quando almeno due lati consecutivi si intersecano. Un poligono è la parte di piano racchiusa da una poligonale chiusa non intrecciata. Un poligono è convesso se un qualunque segmento che unisce due suoi punti è contenuto interamente nella figura. Un poligono è concavo se esiste almeno un segmento che unisce due suoi punti che non è contenuto interamente nella figura. Un poligono è regolare se ha lati e angoli congruenti. Centro Yep 56

58 Un angolo interno di un poligono convesso è l angolo convesso formato da due lati consecutivi del poligono. Un angolo esterno di un poligono convesso è l angolo adiacente ad un angolo interno del poligono. Il perimetro di un poligono è la somma di tutti i suoi lati. Due poligoni che hanno i perimetri congruenti sono detti isoperimetrici. Una diagonale di un poligono è un qualsiasi segmento che unisce due vertici non consecutivi del poligono. Una corda di un poligono è un qualsiasi segmento che unisce due punti del poligono appartenenti a lati diversi. Centro Yep 57

59 Un triangolo è un poligono formato da tre lati. Un triangolo si dice isoscele se ha due lati congruenti. I lati congruenti si chiamano lati del triangolo. Il lato disuguale si chiama base del triangolo. Gli angoli adiacenti alla base si chiamano angoli alla base. L angolo compreso tra i due lati congruenti si chiama angolo al vertice. Un triangolo si dice scaleno se ha i tre lati disuguali. Un triangolo si dice equilatero se ha i tre lati congruenti. Un triangolo si dice rettangolo se ha un angolo retto. Un triangolo si dice acutangolo se ha i tre angoli acuti. Un triangolo si dice ottusangolo se ha un angolo ottuso. Nel triangolo rettangolo i lati che formano l angolo retto si chiamano cateti, il lato maggiore, opposto all angolo retto si chiama ipotenusa. Centro Yep 58

60 L altezza relativa ad un lato di un triangolo è il segmento perpendicolare al lato, condotto dal vertice opposto al lato stesso. Il triangolo ha tre altezza. Se il triangolo è acutangolo le altezza sono tutte interne. Se il triangolo è rettangolo due altezza coincidono con i cateti. Se il triangolo è ottusangolo due altezza sono esterne al triangolo. La bisettrice relativa al un angolo di un triangolo è il segmento di bisettrice dell angolo considerato. Il triangolo ha tre bisettrici. La mediana relativa al lato di un triangolo è il segmento di estremi il punto medio del lato ed il vertice opposto al lato. Il triangolo ha tre mediane. L asse di un lato di un triangolo è la retta perpendicolare al lato passante per il punto medio del lato. L ortocentro è il punto di incontro delle altezze di un triangolo. Nel triangolo rettangolo l ortocentro coincide con il vertice dell angolo retto. Centro Yep 59

61 L incentro è il punto di incontro delle bisettrici degli angoli interni di un triangolo. L incentro è il centro della circonferenza inscritta al triangolo. Il baricentro è il punto di incontro delle mediane di un triangolo. Il circocentro è il punto di incontro degli assi dei lati di un triangolo. Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo. Il circocentro può essere anche esterno al triangolo. Nel triangolo rettangolo il circocentro coincide col punto medio dell ipotenusa. Centro Yep 60

62 L excentro è il punto di incontro delle bisettrici di due angoli esterni del triangolo. Ogni triangolo ha tre excentri. Il trapezio è un quadrilatero con due lati paralleli. I due lati paralleli si chiamano basi del trapezio. Il parallelogramma è un quadrilatero con i lati a due a due paralleli. Il rettangolo è un parallelogramma con quattro angoli retti. Il rombo è un parallelogramma con quattro lati congruenti. Il quadrato è un parallelogramma con gli angoli e i lati congruenti. Il quadrato è un poligono regolare. Centro Yep 61

63 Un luogo geometrico è l insieme di tutti e soli i punti del piano che godono di una stessa proprietà. La proprietà è detta proprietà caratteristica del luogo geometrico. La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto centro. La distanza di un punto dalla circonferenza al centro si chiama raggio. Il cerchio è la figura formata dai punti della circonferenza e dai punti interni ad essa. Una corda di una circonferenza è il segmento che unisce due punti qualsiasi della circonferenza. La corda che passa per il centro si chiama diametro. Centro Yep 62

64 Un angolo al centro di una circonferenza o di un cerchio è un qualsiasi angolo con il vertice nel centro della circonferenza. Un angolo alla circonferenza è un angolo con il vertice sulla circonferenza e i lati o entrambi secanti alla circonferenza o uno secante e l altro tangente. Il settore circolare è ciascuna delle due parti di cerchio delimitate da un angolo al centro. Un arco di circonferenza è ciascuna delle parti in cui una circonferenza è divisa da due suoi punti. Una corona circolare è la parte di cerchio compresa tra due circonferenze concentriche. Centro Yep 63

65 Il segmento circolare ad una base è ciascuna delle due parti in cui un cerchio rimane diviso da una sua corda. L altezza del segmento circolare ad una base è il segmento sull asse della corda compreso tra la circonferenza e il punto medio della corda. Il segmento circolare a due basi è la parte di cerchio delimitata da due corde parallele. L altezza del segmento circolare a due base è la distanza tra le due corde. Una retta si dice secante ad una circonferenza se ha due punti in comune con la circonferenza. Una retta si dice tangente ad una circonferenza se ha un solo punto in comune con la circonferenza. La retta tangente è perpendicolare al raggio nel suo punto di tangenza. Una retta si dice esterna ad una circonferenza se non ha punti in comune con la circonferenza. Centro Yep 64

66 Un poligono si dice inscritto in una circonferenza se tutti i suoi vertici sono sulla circonferenza. Un poligono si dice circoscritto ad una circonferenza se tutti i suoi lati sono tangenti alla circonferenza. Due poligoni sono simili se hanno gli angoli ordinatamente congruenti e i lati da essi formati in proporzione. Due figure sono equivalenti se hanno la stessa estensione. Due o più grandezze sono omogenee se è possibile confrontarle tra loro, cioè se è possibile stabilire tra loro una relazione di uguaglianza o di disuguaglianza. Due o più grandezze omogenee sono commensurabili se hanno una grandezza sottomultipla in comune. Due grandezze omogenee sono incommensurabili se non hanno una grandezza sottomultipla in comune (un esempio classico sono il lato di un quadrato e la sua diagonale). Centro Yep 65

67 Le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca sono direttamente proporzionali se il rapporto tra due qualunque grandezze di una classe è uguale al rapporto tra le grandezze corrispondenti dell altra classe. Le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca sono inversamente proporzionali se il rapporto tra due qualunque grandezze di una classe è uguale al rapporto inverso tra le grandezze corrispondenti dell altra classe. La parte aurea o sezione aurea di un segmento è la parte di segmento media proporzionale tra il segmento o la parte rimanetne. Se l è la lunghezza del segmento ed a la sua sezione aurea, la proporzione si scrive come: l: a = a: (l a) Che risolta in a dà: a = l La circonferenza rettificata è l unico segmento che sia minore del perimetro di ogni poligono regolare circoscritto ad essa e maggiore del perimetro di ogni poligono regolare inscritto in essa. Centro Yep 66

68 Teoremi di congruenza fra angoli: Teoremi di geometria piana Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo allora sono congruenti. (se due angoli sono complementari di due angoli congruenti allora sono congruenti). Se due angoli sono supplementari di uno stesso angolo allora sono congruenti. (s edue angoli sono supplementari di due angoli congruenti allora sono congruenti). Se due angoli sono esplementari di uno stesso angolo allora sono congruenti (se due angoli sono esplementari di due angoli congruenti allora sono congruenti). Gli angoli opposti al vertice sono congruenti. Teoremi di congruenza di triangoli: Teoremi sui triangoli Se due triangoli hanno due lati e l angolo tra essi compreso congruenti allora sono congruenti. Se due triangoli hanno due angoli e il lato tra essi compreso congruenti allora sono congruenti. Se due triangoli hanno i tre lati congruenti allora sono congruenti. Se un triangolo è isoscele allora gli angoli adiacenti alla base sono congruenti. (se un triangolo ha due angoli congruenti allora è isoscele). Se un triangolo è isocele allora la bisettrice dell angolo al vertice è mediana e altezza relativa alla base. Se un triangolo è equilatero allora gli angoli sono tutti congruenti. (se un triangolo ha tutti gli angoli congruenti allora è un triangolo equilatero). Se un triangolo è equilatero allora le tre mediane coincidono con le tre bisettrici, con le tre altezze e con i tre assi. Centro Yep 67

69 Se due triangoli hanno due angoli e un lato congruenti allora sono congruenti. Teoremi di congruenza di triangoli rettangoli Se due triangoli rettangoli hanno i due cateti congruenti allora sono congruenti. Se due triangoli rettangoli hanno un ceteto e l angolo acuto opposto congruenti allora sono congruenti. Se due triangoli rettangoli hanno una cateto e l angolo acuto adiacente congruenti allora sono congruenti. Se due triangoli rettangoli hanno l ipotenusa e un angolo acuto congruenti allora sono congruenti. Se due triangoli rettangoli hanno l ipotenusa e un cateto congruenti allora sono congruenti. In ogni triangolo rettangolo la mediana relativa all ipotenusa è congruente alla metà dell ipotenusa stessa. Se in un triangolo la mediana relativa al lato maggiore è congruente alla metà di questo allora il triangolo è rettangolo. Teoremi sugli angoli di un triangolo: In un triangolo la somma degli angoli interni è congruente a un angolo piatto. In un triangolo ogni angolo esterno è maggiore di ciascun angolo interno non adiacente ad esso (la somma di due angoli di un triangolo è minore di un angolo piatto). In un triangolo ogni angolo esterno è congruente alla somma degli angoli interni non adiacenti ad esso. Se un triangolo ha due lati disuguali allora al lato maggiore si oppone l angolo maggiore. Se un triangolo ha due angoli disuguali allora all angolo maggiore si oppone il lato maggiore. In un triangolo ogni lato è minore della somma degli altri due ed è maggiore della differenza degli altri due. Se due triangoli hanno due lati congreunti e gli angoli compresi disuguali allora dei terzi lati è maggiore quello opposto all ngolo minore. Centro Yep 68

70 Gli assi dei tre lati di un triangolo passano per un punto detto circocentro. Il circocentro è il centro della circonferenza circoscritta al triangolo ed è equidistante dai vertici del triangolo. Le bisettrici degli angoli interni di un triangolo passano per uno stesso punto detto incentro. L incentro è il centro della circonferenza inscitta al triangolo ed è equidistante dai lati del triangolo. Le mediane dei lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto baricentro. Il baricentro divide ciascuna mediana in due parti tale che quella contenete il vertice è doppia dell altra. Le altezze relative ai lati di un triangolo passano per uno stesso punto detto ortocentro. In un triangolo equilatero i punti notevoli coincidono. In ogni triangolo la distanza del baricentro da un lato è congruente alla terza parte dell altezza relativa allo stesso lato. Centro Yep 69

71 Teoremi di congruenza di poligoni: Se due poligono con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di due lati consecutivi e dell angolo compreso allora essi sono congruenti. Se due pligono con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati compresi ad eccezione di due angoli e del lato compreso allora essi sono congruenti. Se due poligono con lo stesso numero di lati hanno congruenti tutti i lati e gli angoli compresi ad eccezione di tre angoli consecutivi allora essi sono congruenti. In un poligono ogni lato è minore della somma di tutti gli altri lati. Se un poligono convesso è inscritto in un altro poligono allora il suo perimetri è minore del perimetro del poligono circoscritto. Se due rette incidenti formano un angolo retto allora esse sono perpendicolari. Da un punto esterno ad una retta passa una e una sola perpendicolare alla retta stessa. Il teorema vale anche nel caso in cui il punto appartiene alla retta. La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto allla retta. La distanza di un punto da una retta è il segmento minore tra tutti i isegmenti condotti dal punto alla retta. Se due rette sono perpendicolari ad una stessa retta allora esse sono parallele tra loro. Se due retta sono parallele allora una terza retta perpendicolare alla prima è anche perpendicolare alla seconda. Due rette parallele tagliate da una trasversale formano angoli alterni interni ed alterni esterni congruenti, angoli corrispondenti congruenti, angoli coniugati esterni supplementari. Se due rette sono parallele ad una terza retta allora esse sono parallele tra loro. Se due rette sono paralle allora i punti di una retta hanno uguale distanza dall altra retta. Centro Yep 70

72 In un parallelogramma: I triangoli in cui esso viene diviso da una diagonale sono congruenti; I lati opposti sono a due a due congruenti; Gli angoli opposti sono a due a due congruenti; Le diagonali si incrontrano nel loro punto medio; Gli angoli adiacenti a ciascun lato sono supplementari. In un rettangolo le diagonali sono congruenti. In un rombo le diagonali sono perpendicolari tra loro e bisettrici degli angoli interni. Se un trapezio è isoscele allora gli angoli adiacenti alle base sono congruenti e le diagonali sono congruenti. Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta hanno proiezioni congruenti allora essi sono congruenti. Se due segmenti obliqui condotti da un punto ad una retta hanno proiezioni non congruenti allora è meggiore il segmento avente proiezione maggiore. La proiezione di un segmento su una retta è minore o oguale del segmento stesso. Se un fascio di rette parallele è tagliato da due trasversali allora a segmenti congruenti su una trasversale corrispondono segmenti congruenti sull altra trasversale. Se dal punto medio di un lato di un triangolo si conduce la parallela ad un secondo lato allora questa incontra il terzo lato nel suo punto medio. Se una corda di un triangolo ha per estremi i punti medi di due lati allora essa è parallela al terzo lato ed uguale alla sua metà. Centro Yep 71

73 Teoremi sulla circonferenza: Se una retta è tangente in un punto ad una circonferenza allora è perpendicolare al raggio in quel punto. Se due corde di una stessa circonferenza o di due corconferenze congruenti, sono congruenti allora sono equidistanti dal centro. Se due corde di una stessa circonferenza o di due circonferenze congruenti sono disuguali allora la corda maggiore ha la distanza minore dal centro. Se due angoli al centro di una stessa cinrconferenza o di due circonferenze congruenti sono congruenti allora gli archi e le corde corrispondenti sono congruenti. Se la distanza di una retta dal centro di una circonferenza è minore uguale o maggiore del raggio allora la retta ha in comune con la circonferenza rispettivamente due punti (secante), un punto (tangente) oppure nessun punto (esterna). Se due circonferenze hanno i punti dell una esterni all altra allora la distanza tra i centri è maggiore della somma dei raggi. Se due circonferenze hanno un punto in comune e i punti dell una esterna all altra allora la distanza tra i centri è congruente alla somma dei raggi. Se due circonferenze hanno due punti in comune allora la distanza tra i centri è minore della somma dei raggi e maggiore della differenza dei raggi. Se due circonferenze hanno un punto in comune e i punti dell una interni all altra allora la distanza tra i centri è congruente alla differenza dei raggi. Se due circonferenze hanno i punti dell una interna all altra allora la distanza dei centri è minore della differenza dei raggi. Centro Yep 72

74 In una circonferenza, un diametro è maggiore di qualunque corda. Se un diametro di una circonferenza è perpendicolare ad una corda allora il diamentro la dimezza. L asse di una corda passa per il centro della circonferenza. Per tre punti non allineati passa una ed una sola circonferenza. Se due angoli alla circonferenza insistono sullo stesso arco o sulla stessa corda allora sono congruenti. Se due angoli alla circonferenza insistono su archi o su corde contruenti allora sono congruenti. Se un angolo alla cinconferenza insiste su una semicirconferenza allora è retto. Se da un punto esterno ad una circonferenza si tracciano le tangenti ad essa allora i segmenti compresi tra il punto esterno e i punti di tangenza alla circonferenza sono congruenti. In ogni circonferenza un angolo alla circonferenza è congruente alla metà dell angolo al centro che insiste sullo stesso arco o sulla stessa corda. Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora gli angoli opposti sono supplementari. Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora un suo angolo esterno è congruente all angolo interno opposto al suo adiacente. Se un quadrilatero ha due angolo opposti retti allora è inscrivibile in una circonferenza. Se un quadrilatero è circoscritto ad una circonferenza allora la somma di due lati opposti è congruente alla somma degli altri due lati. Centro Yep 73

75 L asse di un segmento è il luogo geometrico dei punti equidistanti dagli estremi del segmento. La bisettrice di un angolo è il luogo geoemtrico dei punti equidistanti dai lati dell angolo. Se in un trapezio isoscele la somma delle basi è congruente al doppio del lato obliquo allora il trapezio è circoscrivibile ad una circonferenza. Ogni quadrilatero equilatero cioè i lati congruenti è circoscivibile ad una circonferenza. Se un poligono è regolare allora si può inscrivere e circoscrivere con due circonferenze concentriche. Se si divide una circonferenza in tre o più archi congruenti allora il poligono ottenuto congiungendo successivamente i punti di divisione e il poligono ottenuto conducendo le tangenti alla circonferenza negli stessi punti sono poligoni regolari. Il lato di un esagono regolare è congruente al raggio della circonferenza circoscritta ad esso. Centro Yep 74

76 Teorema di Eulero In ogni triangolo il circocentro C, il baricentro G e l ortocentro O sono allineati cioè giacciono sulla stessa retta detta retta di Eulero. La distanza tra il baricentro e l ortocentro è doppia della distanza tra il baricentro e il circocentro. Corollario La distanza del circocentro da un lato è congruente alla metà del segmento che congiunge l ortocentro con il vertice opposto a tale lato. L equivalenza e la similitudine Se due parallelogrammi hanno le basi e le altezze congruenti allora essi sono equivalenti. Se due parallelogrammi sono equivalenti e hanno le basi congruenti allora essi hanno anche le altezze congruenti. Se due parallelogrammi sono equivalenti ed hanno le altezze congruenti allora essi hanno anche le basi congruenti. Se un triangolo ha la stessa altezza di un parallelogramma e la base congruente al doppio di quella del parallelogramma allora il triangolo e il parallelogramma sono equivalenti. Se due triangoli hanno le basi e le altezze congruenti allora sono equivalenti. Se un triangolo ha la stessa altezza di un trapezio e la base congruente alla somma delle basi del trapezio allora il triangolo e il trapezio sono equivalenti. Se un poligono è circoscritto ad una circonferenza allora è equivalente ad un triangolo che ha la base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente al raggio della circonferenza. Se un poligono è regolare allora è equivalente ad un triangolo avente la base congruente al perimetro del poligono e altezza congruente all apotema del poligono (l apotema è il raggio della circonferenza inscritta nel poligono). Se un trapezio rettangolo è circoscrivibile ad una circonferenza allora esso è equivalente ad un rettangolo avente i lati congruenti alle basi del trapezio. Un triangolo rettangolo è equivalente al rettangolo i cui lati sono congruenti ai due segmenti in cui l ipotenusa è divisa dal punto di contatto con la circonferenza inscritta nel triangolo rettangolo. Centro Yep 75

77 Il Teorema di Euclide In un triangolo rettangolo il quadrato costruito su un cateto è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni la proiezione del cateto sull ipotenusa e l ipotenusa stessa. In un triangolo rettangolo il quadrato costruito sull altezza relativa all ipotenusa è equivalente al rettangolo che ha per dimensioni le proiezioni dei cateti sull ipotenusa. Centro Yep 76

78 Il teorema di Pitagora In un triangolo il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. Centro Yep 77

79 Grandezze omogenee e proporzionali Il lato del quadrato e la sua diagonale sono grandezze incommensurabili. Il rapporto tra il lato del quadrato e la sua diagonale è un numero irrazionale cioè un numero decimale con infinite cifre diverse dopo la virgola. Se il rapporto di due grandezze omogenee è un numero razionale allora le due grandezze sono commensurabili. Condizione necessaria e sufficiente affinchè quattro grandezze a due a due omogenee siano in proporzione è che lo siano le loro misure. Assegnate tre grandezze se le prime due sono omogenee tra loro allora esiste ed è unica la quarta grandezza omogenea con la terza che è quarta proporzionale dopo le tre. Condizione necessaria e sufficiente affinchè le grandezze di due classi in corrispondenza biunivoca siano direttamente proporzionali è che a grandezze uguali in una classe corrispondono grandezze uguali dell altra e che alla somma di due o più grandezze qualsiasi di una classe corrisponde la somma di grandezze corrispondenti all altra classe. I rettangoli aventi altezze congruenti sono proporzionali alle rispettive basi. Gli archi di uno stesso cerchio o di cerchi congruenti sono proporzionali ai rispettivi angoli al centr. Se quattro segmenti sono in proporzione allora il rettangolo che ha per lati i segmenti estremi della proporzione è equivalente al rettangolo che ha per lati i segmenti medi della proporzione. Se quattro segmenti sono in proporzione allora i quadrati costruiti su di essi sono in proporzione. Centro Yep 78

80 Teorema di Talete Dato un fascio di rette parallele tagliato da due trasversali i segmenti determinati su una trasversale sono proporzionali ai corrispondenti segmenti sull altra trasversale. Conseguenze al teorema di Talete La bisettrice dell angolo interno di un triangolo divide il lato opposto in parti proporzionali agli altri due lati. Se la bisettrice di un angolo esterno di un triangolo incontra il prolungamento del lato opposto in un punto allora le distanze di questo punto dagli estremi di quel lato sono proporzionali agli altri due lati. Se una retta è parallela ad un lato di un triangolo allora sulle rette degli altri due lati si determinano i segmenti proporzionali. Se un quadrilatero è inscritto in una circonferenza allora il prodotto delle misure delle diagonali è congruente alla somma dei prodotti delle misure dei lati opposti. (Tolomeo) Centro Yep 79

81 Teoremi di similitudine Se una retta passante per un lato di un triangolo è condotta parallelamente ad un altro suo lato allora la retta determina un triangolo simile al triangolo iniziale. Se due triangoli hanno gli angoli congruenti allora essi sono simili. Se due triangoli hanno due angoli congruenti allora essi sono simili. Se due triangoli hanno due lati in proporzione e gli angoli tra essi compresi congruenti allora essi sono simili. Se due triangoli hanno i tre lati ordinatamente in proporzione allora essi sono simili. In un triangolo rettangolo un cateto è medio proporzionale tra la proiezione del cateto sull ipotenusa e l ipotenusa stessa (Euclide I). In un triangolo rettangolo l altezza relativa all ipotenusa è media proporzionale tra le proiezioni dei cateti sull ipotenusa (Euclide II). Se due triangoli sono simili allora le basi stanno tra loro come rispettive altezze. Se due triangoli (poligoni) sono simili allora i perimetri stanno tra loro come due lati omologhi. Se due triangoli (poligoni) sono simili allora le aree stanno tra loro come i quadrati di due lati omologhi. Se due poligoni sono regolari e hanno lo stesso numero di lati allora essi sono simili. In un triangolo il prodotto delle misure di due lati è congruenti al quadrato della misura della bisettrice dell angolo da essi formato aumentato del prodotto delle misure dei segmenti in cui tale bisettrice divide il terzo lato. Centro Yep 80

82 Se due corde di una stessa circonferenza si intersecano in un punto allora i segmenti formati su una stessa corda sono medi e i segmenti formati sull altra corda sono estremi di una stessa proporzione. Se da un punto esterno ad una circonferenza si conduce una tangente e una secante allora il segmento di tangenza è medio proporzionale tra l intera secante e la sua parte esterna. Il lato del decagono regolare inscritto in una circonferenza è congruente alla sezione aurea del raggio. Il lato del pentagono regolare è congruente all ipotenusa di un triangolo rettangolo avente per cateti il raggio della circonferenza inscritta e la sezione aurea del lato del pentagono stesso. Centro Yep 81

83 Rette, piani e figure nello spazio Postulati e teoremi Gli assiomi fondamentali: Esiste ed è unico il piano passante per tre punti non allineati. In ogni piano valgono tutti gli ordinari assiomi della geometria euclidea. Se un piano contiene due punti distinti, allora la retta che passa per essi appartiene a quel piano. Dato un piano α, l insieme dei punti dello spazio non appartenenti ad α resta diviso da α in due regioni disgiunte e convesse tali che: a. Se due punti A e B appartengono a regioni diverse, allora il segmento AB ha in comune con il piano α uno e un solo punto P. b. Se due punti C e D appartengono alla stessa regione, allora il segmento CD non incontra il piano α in alcun punto. Conseguenze degli assiomi e definizioni generali: Esiste ed è unico il piano passante per una retta r e per un punto P non appartenente a essa. Esiste ed è unico il piano passante per due rette r ed s incidenti. L unione del piano α e di una delle due parti in cui esso divide lo spazio si chiama semispazio avente per origine il piano α. Due semispazi distinti aventi la medesima origine si dicono opposti. Centro Yep 82

84 Posizioni reciproche di due rette nello spazio Due rette nello spazio possono essere: Coplanari: ossia appartenere allo stesso piano; in tal caso possono essere incidenti, parallele distinte o parallele coincidenti. Non essere complanari; in tal caso vengono dette sghembe e sono prive di punti di intersezione. Posizioni reciproche di un retta e di un piano Una retta e un piano nello spazio possono: Non avere punti in comune; Avere in comune uno e un solo punto, e in tal caso si dicono incidenti o secanti; Avere in comune almeno due punti; in tal caso la retta DEVE appartenere al piano. Teorema di intersezione di due piani Se due piani distinti hanno un punto P in comune, allora la loro intersezione è una retta passane per P. Posizioni reciproche fra due piani Due piani nello spazio possono: Non avere punti in comune; Avere in comune almeno un punto; in tal caso per il teorema precedente, i due piani hanno in comune tutti e soli i punti di una retta; i due piani sono quindi secanti o perpendicolari. Achtung!!! Due piani che non hanno punti in comune oppure che coincidono si dicono paralleli. Centro Yep 83

85 Figure nello spazio Chiamiamo figura nello spazio ogni sottoinsieme di punto dello spazio. Si parla di figura solida (o semplicemente solido) quando i punti della figura non sono coplanari. Concetto di congruenza nello spazio. Un isometria è una funzione biiettiva tra i punti dello spazio che conserva le distanze Si dice che due figure solide sono congruenti se e solo se si corrispondono in un isometria. Perpendicolarità Una retta incidente a un piano in un punto P si dice perpendicolare al piano se è perpendicolare a tutte le rette del piano che passano per P. Il punto P viene detto piede della perpendicolare. T1: Se una retta r è perpendicolare in un suo punto P a due rette di un piano, allora la retta r è perpendicolare al piano. T2: Dato un piano e un punto P, esiste una e una sola retta perpendicolare al piano passante per P. T3: Data una retta e un punto P, esiste un unico piano perpendicolare alla retta e passante per P. Dato un segmento, si dice piano assiale del segmento il piano passante per il punto medio del segmento e perpendicolare alla retta che contiene il segmento. Teorema delle tre perpendicolari. Se P è un generico punto non appartenente a un piano α, H è il piede della perpendicolare condotta da P al piano α e K è il piede della perpendicolare condotta da H a una retta r di α, allora la retta PK è perpendicolare a r. Nelle ipotesi del teorema delle tre perpendicolari, la retta r è perpendicolari al piano che contiene le due rette PH e PK. Centro Yep 84

86 Diedri e perpendicolarità di due piani Si chiama angolo diedro (o semplicemente diedro) ciascuna delle due parti in cui lo spazio è diviso da due semipiani aventi la stessa origine, inclusi i semipiani stessi. I semipiani che delimitano il diedro si chiamano facce del diedro e ne costituiscono il contorno; la retta comune alle due facce si chiama spigolo del diedro. Si chiama sezione normale di un dietro l angolo che si ottiene intersecando il diedro con un paino perpendicolare allo spigolo. T4: Due sezioni normali di uno stesso diedro sono congruenti; due diedri sono congruenti se e solo se hanno sezioni normali congruenti. Si dice ampiezza di un diedro l ampiezza di una sua sezione normale. Si dice semipiano bisettore di un diedro il semipiano che ha come origine lo spigolo del diedro e che lo divide in due diedri congruenti. Due piani incidenti sono perpendicolari quando formano quattro diedri retti. T5: se un piano β contiene una retta r perpendicolare α, allora il piano β è perpendicolare al piano α. T6: Dato un piano α e una retta r non perpendicolare ad α, esiste ed è unico il piano passante per r e perpendicolare α. Centro Yep 85

87 Parallelismo nello spazio Due rette nello spazio si dicono parallele quando sono coplanari e non hanno punti di intersezione oppure quando coincidono. T7 (transitività): Siano r,s, e t tre rette nello spazio tali che r è parallela a s ed s è parallela a t. Allora r è parallela a t. Una retta e un piano si dicono paralleli quando non hanno punti in comune oppure quando la retta appartiene al piano. T8: Se una retta r è parallela a una retta s contenuta nel piano α, allora la retta r è parallela al piano α. T9: Sia r una retta parallela a un piano α. Allora ogni piano β contenente r e incidente α ha in comune con α una retta parallela a r. Due piani si dicono paralleli quando coincidono o non hanno punti di intersezione. T10: Siano α e β due piani distinti. Se due rette secanti r ed s di un piano α sono parallele al piano β, allora i due piani α e β sono paralleli. T11: Se un piano γ interseca due piani paralleli e distinti α e β, le due rette intersezione di γ con α e β sono parallele. T12: Dato un piano e un punto P non appartenete a esso, esiste sempre un unico piano passante per P e parallelo a quello dato. Centro Yep 86

88 Il teorema di Talete nello spazio Un fascio di piani paralleli determina su due trasversali due classi di segmenti proporzionali. Teoremi che legano parallelismo e perpendicolarità T13: Se due rette nello spazio sono perpendicolari allo stesso piano, le due rette sono parallele tra loro. T14: Se due rette sono parallele, ogni piano che è perpendicolare all una è perpendicolare anche all altra. T15: Se due piani sono perpendicolari alla stessa retta, sono paralleli tra loro. T16: Se due piani sono paralleli, ogni retta perpendicolare all uno è perpendicolare anche all altro. Centro Yep 87

89 Proiezioni distanze e angoli Si chiama distanza di un punto da un piano la distanza tra il punto stesso e la sua proiezione sul piano. Data una retta parallela a un piano, si chiama distanza della retta dal piano la distanza di un punto qualsiasi della retta dal piano. Dati due piani paralleli, si definisce distanza tra di essi la distanza di un punto qualsiasi di un piano all altro. Date due rette sghembe, si dice distanza tra le due rette la distanza tra i due punti di intersezione delle rette con l unica retta perpendicolare a entrambe. Si dice proiezione di una retta su un piano la figura costituita dalle proiezioni di tutti i punti della retta sul piano. Data una retta incidente e non perpendicolare a un piano, si dice angolo che la retta forma con il piano l angolo acuto formato dalal retta con la sua proiezione sul piano. Date due rette sghembe r ed s, si dice angolo formato dalle due rette r ed s l angolo acuto o retto formato da due rette r e s, incidenti e rispettivamente parallele a r e s. Centro Yep 88

90 Prismi, parallelepipedi e piramidi Dato un poligono convesso e una retta r incidente al suo piano, si dice prisma indefinito la figura formata dalle rette parallele a r, passanti per tutti i punti del poligono dato, incolusi quelli del suo contorno. Si dice prisma (definito) la parte di un prisma indefinito compresa tra una coppia di piani paralleli che intersecano tutti gli spigoli di quest ultimo. T17: Le basi di un prisma sono poligoni congruenti e le sue facce laterali sono parallelogrammi. Si chiama parallelepipedo un prisma le cui basi sono parallelogrammi. Un parallelepipedo retto, le cui basi sono rettangoli, si chiama parallelepipedo rettangolo. T18: Le quattro diagonali di un parallelepipedo si intersecano nel loro punto medio. T19: Le diagonali di un parallelepipedo rettangolo sono congruenti. d = a 2 + b 2 + c 2 Il cubo è un particolare parallelepipedo rettangolo, avente tutti gli spigoli congruenti. d = l 3 Dato un poligono convesso e un punto V non appartente al piano del poligono, si chiama angoloide di vertice V la figura formata da tutte le semirette di origine V la figura formata da tutte le semirette di origine V che passano per i punti del poligono dato, inclusi quelli appartenenti al suo contorno. T20: In un angoloide ogni faccia è minore della somma delle rimanenti. In un angoloide la somma di tutte le facce è minore di un angolo giro. Centro Yep 89

91 Si chiama piramide la parte di un angoloide compresa tra il vertice dell angoloide e un piano che interseca tutti gli spigoli dell angoloide. Il poligono che si ottiene dall intersezione del piano con l angoloide è detto base della piramide e ogni suo lato è detto spigolo di base. Il punto V è detto vertice della piramide e la distanza tra V e il piano della base è detta altezza della piramide. Una piramide a base triangolare si chiama tetraedro. Una piramide si dice retta se la base è un poligono circoscrivibile a una circonferenza e il centro di tale circonferenza coincide con il piede dell altezza della piramide. Una piramide si dice regolare se è retta e la base è un poligono regolare. T21: In una piramide retta i segmenti che congiungono il vertice della piramide con i punti di contatto dei lati della base con la circonferenza inscritta in quest ultima sono altezze delle facce laterali della piramide e sono tutti congruenti tra loro. Data una piramide retta, ciascuna delle altezze delle facce laterali relative agli spigoli di base viene detta apotema della piramide. Achtung!!! Nel caso di una piramide NON retta non è possibile parlare di apotema ma solo di altezze delle facce laterali poichè queste ultime non sono tutte congruenti. T22: in una piramide regolare gli spigoli laterali sono tutti tra loro congruenti e le facce laterali sono triangoli isosceli congruenti. Centro Yep 90

92 Solidi di rotazione Si dice cilindro circolare retto (o semplicemente cilindro) il solido generato da un rettangolo nella rotazione completa intorno a un suo lato. Un cilindro si dice equilatero quando la sua altezza è congruente al diametro della base. Si dice cono circolare retto (o semplicemente cono) il solido generato dalla rotazione completa di un triangolo rettanglo intorno a uno dei suoi cateti. Un cono il cui apotema è congruente al diamtero della base si dice equilatero. Si dice sfera il solido generato dalla rotazione completa di un semicerchio interno al suo diametro. Si dice superficie sferica la superficie generata dalla rotazione completa di una semicirconferenza intorno al suo diametro. Si dicono calotta sferica e segmento sferico a una base rispettivamente ciascuna delle due parti in cui una superficie sferica e una sfera restano divise da un piano a esse secante. Si dicono zona sferica e segmento sferico a due basi rispettivamente le parti di superficie sferica e di sfera compresa tra due piani paralleli a esse secanti. Dato un diedro avente come origine una retta passante per il centro di una sfera, si dicono fuso sferico e spicchio sferico rispettivamente le intersezioni della superficie sferica e della sfera con il diedro. Si dice settore sferico il solido generato dalla rotazione completa di un settore circolare intorno a una retta che è asse di simmetria del settore oppure passa per il centro del settore e non ha altri punti in comune con esso. Centro Yep 91

93 Poliedri e poliedri regolari Si chiama poliedro un solido delimitato da una superfice formata da un numero finito di poligoni convessi situati in piani diversi e disposti in modo che ciascun lato sia comune a esattamente due di essi. Si chiama poliendro convesso un poliedro tale che, comunque si scelga una sua faccia, è interamente contenuto in uno dei due semispazi aventi come origine il piano che contiene la faccia. Un poliedro si dice regolare quando è convesso e inoltre: a. Tutte le facce sono poligoni regolari; b. Tutte le facce sono congruenti; c. In ogni vertice concorrono lo stesso numero di facce. La relazione di Eulero Siano F,S e V, rispettivamente, i numeri delle facce, degli spigoli e dei vertici di un poliedro convesso. Allora vale la relazione: F + V = S + 2 Achtung!!! La relazione di Eulero NON vale in generale per poliedri non convessi. Achtung!!! La condizione di convessità di un poliedro è sufficiente ma non necessaria per garantire la validità della relazione di Eulero. Proprietà dei poliedri regolari Un poligono regolare ha tutti gli angoli congruenti. Analogamente un poliedro regolare ha tutti gli angoloidi che si formano in corrispondenza dei vertici congruenti e tutti gli angoli diedri formati da due facce con uno spigolo in comune congruenti. Un poligono regolare è sempre inscrivibile e circoscrivibile a una circonferenza. Analogamente, un poliedro regolare possiede sempre una sfera circoscritta (che passa per tutti i vertici) e una inscritta (tangente a ciascuna faccia); le due sfere hanno lo stesso centro che viene detto centro del poliedro. Congiungendo i punti medi dei lati di un poligono regolare si ottiene ancora un poligono regolare. Analogamente, se consideriamo i baricentri delle facce di un poliedro regolare, questi risultano a loro volta i vertici di un poliedro regolare, detto duale di quello originario. Centro Yep 92

94 Trasformazione geometrica nello spazio Si chiama trasformazione (geometrica) ogni funzione biunivoca che associa a ciascun punto dello spazio un altro punto dello spazio. Traslazione Dato un vettore v si chiama traslazione di vettore v la trasformazione che associa a ogni punto P dello spazio il punto P tale che il segmento orientato PP ha lo stesso verso, la stessa direzione e lo stesso modulo di v. Simmetria rispetto a un punto Dato un punto O, si chiama simmetria centrale rispetto al punto O la trasformazione che associa: a. Al punto O il punto O stesso; b. A ogni punto P dello spazio diverso da O il punto P tale che il punto medio di PP è O. Simmetria rispetto a una retta Data una retta r nello spazio, si chiama simmetria (ortogonale) rispetto alla retta r, detta asse della simmetria la trasformazione che associa: a. A ogni punto della retta r il punto stesso; b. A ogni punto P dello spazio non appartenente a r il punto P, appartenete alla perpendicolare alla retta r passante per P, tale che il punto medio M di PP appartenente a r. Simmetria rispetto a un piano Dato un piano α, si chiama simmetria (ortogonale) rispetto al piano α la trasformazione che associa: a. A ogni punto del piano α il punto stesso; b. A ogni punto P dello spazio non appartenente ad α il punto P appartenente alla perpendicolare al piano α passante per P, tale che il punto medio M di Ppì appartiene ad α. Rotazione Si dice rotazione di asse la retta r e ampiezza α la trasformazione che ad ogni punto P dello spazio associa il punto P, corrispondente di P nella rotazione che avviene sul piano passante P e perpendicolare a r, avente centro nel punto O di intersezione di r con tale piano e ampiezza α. Centro Yep 93

95 Due figure solide congruenti (cioè corrispondenti in un isometria) si dicono direttamente congruenti se esiste un isometria diretta in cui si corrispondono, si dicono inversamente congruenti in caso contrario. Omotetia nello spazio Si chiama omotetia di centro O e rapporto di omotetia k, con k numero reale diverso da zero, la trasformazione che lascia fisso O e trasforma ogni punto P dello spazio diverso da O nel punto P tale che: a. se k > 0, P appartiene alla semiretta OP b. se k < 0, P appartiene alla semiretta opposta a OP c. OP = k OP T23: (sezioni parallele) la sezione di una piramide di vertice V con un piano parallelo alla sua base è un poligono simile alla base, di rapporto di similitudine uguale al rapporto tra le distanze di V dal piano che individua la sezione e dal piano di base. La sezione di un cono di vertice V con un piano parallelo alla sua base è un cerchio tale che il rapporto tra il suo raggio e il raggio del cerchio di base è uguale al rapporto tra le distanze di V dal piano che individua la sezione e dal piano di base. In un parallelepipedo il punto d incontro delle diagonali è centro di simmetria. Ogni piramide non ha centro di simmetria. Centro Yep 94

96 Il principio di Cavalieri Se due solidi possono essere disposti rispetto ad un piano α in modo che ogni piano parallelo ad α che interseca uno dei due solidi intersechi anche l altro e individui su di essi sezioni equivalenti, allora anche i due solidi sono equivalenti. Achtung!!! Il principio di Cavalieri consente di ricondurre un problema nello spazio, quello dell equivalenza di due solidi, a un problema nel piano: quello dell equivalenza delle loro sezioni. Achtung!!! Puoi renderti conto che il principio di Cavalieri è una condizione sufficiente ma non necessaria per l equivalenza considerando i due solidi. T24: Due prismi aventi base equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti. T25: Un cilindro e un prisma aventi basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti. T26: Un cono e una piramide aventi basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti. T27: Due piramidi aventi basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti. Centro Yep 95

97 Aree Il triangolo L area di un triangolo qualsiasi si esprime in funzione della base b e dell altezza h come prodotto della base per l altezza diviso due, secondo la formula: A = b h 2 Achtung!!! Nei triangoli rettangoli l area si esprime in funzione dei cateti. La formula di Erone: In un triangolo qualsiasi, l area si esprime in funzione delle lunghezze dei lati a, b, c e del semiperimetro p secondo la formula: A = p(p a)(p b)(p c) Achtung!!! La formula di Erone è un caso particolare della formula di Brahamagupta usata per il calcolo dell area di un quadrilatero inscrivibile in una circonferenza di cui siano note le lunghezze dei suoi lati. Se a, b, c, d sono i lati del quadrilatero e p il suo semiperimetro, allora la sua area si esprime come: A = (p a)(p b)(p c)(p d) Per d = 0 il quadrilatero degenera in un triangolo e la formula diventa quella di Erone. Il raggio r della circonferenza inscritta in un triangolo qualsiasi si esprime come il rapporto dell area A del triangolo e del suo semiperimetro p secondo la relazione: r = A p Il raggio R della circonferenza circoscritta ad un triangolo qualsiasi si esprime come il rapporto tra il prodotto dei lati a, b, c fratto quattro volte l area A del triangolo secondo la relazione: R = abc 4A Centro Yep 96

98 Metodo geometrico L area del triangolo ABC, note le coordinate cartesiane dei vertici A,B,C si può ottenere nel seguente modo: si calcola l area del rettangolo ADEF circoscritto al triangolo ABC dall area del rettangolo si sottraggono le aree dei tre triangoli rettangolo ADB,BEC,CFA A ABC = A ADEF A ADB A BEC A CFA In trigonometria l area di un triangolo è uguale al prodotto di due lati per il seno dell angolo tra essi compreso diviso due: bc sin(α) A = 2 Centro Yep 97

99 Aree delle principali figure piane Triangolo Quadrato Rettangolo A = bh 2 A = l 2 A = bh Parallelogramma Rombo Trapezio A = bh A = Dd 2 (B + b)h A = 2 Cerchio Settore circolare Segmento circolare ad una base A = πr 2 A = πr2 α 360 A = A settorecircolare A triangoloaob Centro Yep 98

100 In generale l area di un qualsiasi poligono regolare è descritta dal prodotto del semiperimetro per l apotema dove quest ultimo è il segmento che dal centro cade perpendicolarmente ad un lato: A = pa L apotema di un poligono regolare coincide con il raggio della circonferenza inscritta al poligono. L apotema si può calcolare moltiplicando la lunghezza di un lato per un numero fisso f. a = lf Poligono Numero fisso Poligono Numero fisso Poligono Numero fisso Triangolo Esagono Ennagono equilatero Quadrato 0.5 Ettagono Decagono Pentagono Ottagono Dodegagono Centro Yep 99

101 Volumi e superfici Cubo Parallelepipedo rettangolo Prisma retto V = l 3 V = abc V = A B h S B = l 2 S B = 2ab S B = 2A B S L = 4l 2 S L = 2(a + b)c S L = perimetro di base h Piramide retta a base regolare Piramide retta Tronco di piramide V = A B h 3 V = A B h 3 V = 1 3 h(a B + A b + A B A b ) S B = A B S B = A B S B = A B + A b S L = perimetro di base a 2 S L = somma aree facce laterali S L = somma aree facce laterali Centro Yep 100

102 Cilindro Cilindro equilatero (h = 2r) Cono V = πr 2 h V = 2πr 3 V = πr2 h 3 S B = 2πr 2 S B = 2πr 2 S B = πr 2 S L = 2πrh S L = 4πr 2 S L = πra Cono equilatero Tronco di cono Sfera V = πr2 h 3 V = 1 3 πh(r2 + r 2 + Rr) V = 4 3 πr3 S B = πr 2 S B = π(r 2 + r 2 ) S = 4πr 2 S L = 2πr 2 S L = π(r + R)a Segmento sferico ad 1 base Segmento sferico a 2 basi Spicchio sferico V = h 2 πr π (h 2 ) 3 V = πh 2 (r r 2 2 ) π (h 2 ) 3 V = α 270 πr3 = 2 3 πr3 α rad S = 2πrh S = 2πrh V = α 90 πr2 = 2πr 2 α rad Centro Yep 101

103 I teorema di Guldino: La superficie generata da una linea (o da un poligono) in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua lunghezza (o perimetro). II teorema di Guldino: Il volume generato da una superficie in rotazione intorno ad un asse è uguale al prodotto della circonferenza descritta dal suo baricentro per la sua superficie. I solidi platonici sono quei solidi le cui facce, tutte uguali tra loro, sono formate da poligoni regolari e tali che in ogni vertice concorrono lo stesso numero di spigoli. Sono solo 5 Tetraedro S = l 2 3 V = 1 12 l3 2 Esaedro S = 6l 2 V = l 3 Ottaedro S = 2l 2 3 V = 1 3 l3 2 Dodecaedro S = 5l 2 3 V = 5 12 l3 (3 + 5) Icosaedro S = 3s V = 1 4 s3 ( ) Centro Yep 102

104 Geometria analitica Il piano cartesiano Distanza tra due punti AB = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 AB = y 2 y 1 se hanno stessa ascissa AB = x 2 x 1 se hanno stessa ordinata Cordinate del punto medio x M = x 1 + x 2 2 y M = y 1 + y 2 2 Coordinate del baricentro x G = x 1 + x 2 + x 3 3 y G = y 1 + y 2 + y 3 3 Centro Yep 103

105 Retta Equazione implicita della retta Equazione esplicita della retta Equazione segmentaria della retta ax + by + c = 0 y = mx + q x p + y q = 1 m è il coefficiente angolare della retta; questo ci dà informazioni sull angolo che la retta forma con l asse x. Se m > 0 il grafico di y = mx forma con l asse x un angolo acuto la cui ampiezza è via via maggiore al crecere di m. Se m < 0 il grafico di y = mx forma con l asse x un angolo ottuso la cui ampiezza è via via maggiore al crescere di m. q è l intersezione della retta con l asse y Coefficiente angolare della retta passante per due punti: m AB = y 2 y 1 x 2 x 1 Equazione della retta passante per due punti: y y 1 y 2 y 1 = x x 1 x 2 x 1 Equazione della retta passante per un punto e conoscendo il coefficiente angolare: y y 0 = m(x x 0 ) Centro Yep 104

106 Condizioni di parallelismo tra due rette r ed s m r = m s Condizione di perpendicolarità tra due rette r ed s m r = 1 m s Punto x 0 di intersezione tra due rette: Per trovare l intersezione tra due rette si fa un sistema tra le due. Come ogni sistema lineare abbiamo tre possibili condizioni: Se il sistema è risolvibile abbiamo un punto di intersezione e le rette si dicono incidenti; Se il sistema è impossibile non abbiamo punti di intersezione e le rette sono parallele e non coincidenti; Se il sistema è indeterminato abbiamo infinite soluzioni e quindi le rette sono coincidenti. Distanza di un punto da una retta: d = ax 0 + by 0 + c a 2 + b 2 d = y 0 mx 0 q m Equazioni delle bisettrice degli angoli formati da due rette r,s a 1 x + b 1 y + c 1 a b 1 2 Tangente dell angolo α formato da due rette r ed s = ± a 2x + b 2 y + c 2 a b 2 2 tgα = m r m s 1 + m r m s Centro Yep 105

107 Fascio proprio Nel piano cartesiano, l equazione: y y 0 = m(x x 0 ) Rappresenta, al variare del parametro m nell insieme dei numeri reali, il fascio proprio di rette di centro P(x 0, y 0 ), con esclusione della retta x = x 0 Fascio improprio Nel piano cartesiano, l equazione y = mx + k Al viariare del parametro k nell insieme dei numeri reali rappresenta il fascio improrpio avente come retta base la retta di equazione y = mx Fascio generato da due rette Date due rette r ed s di equazioni r: ax + by + c = 0 ed s: a x + b y + c = 0, si chiama fascio generato dalle rette r ed s l insieme costituito dalla retta s e da tutte le rette di equazione: ax + by + c + k(a x + b y + c ) = 0 Al variare di k nell insieme dei numeri reali. Le rette r ed s sono dette generatrici del fascio. La prima generatrice del fascio, la retta r, si ottiene in corrispondenza di k=0. La seconda generatrice del fascio, la retta s, non si ottiene per alcun valore di k. Tuttavia questa generatrice è l unica retta del fascio che non è rappresentata dall equazione in corrispondenza di alcun valore di k. Per individuare il centro del fascio si fa un intersezione fra le due generatrici. Centro Yep 106

108 La parabola La parabola è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso detto fuoco e da una retta d detta direttrice Parabola con asse di simmetria parallelo all asse y Parabola con asse di simmetria parallelo all asse x Equazione completa y = ax 2 + bx + c x = ay 2 + by + c Coordinate del vertice Coordinate del fuoco Equazione dell asse Equazione della direttrice Equazione della retta tangente alla parabola in un suo punto detta formula di sdoppiamento Coefficiente angolare della retta tangente a una parabola in un suo punto y 0 + y 2 V ( b 2a ; 4a ) F ( b 2a ; 1 4a ) x = b 2a y = 1 4a = ax 0 x + b(x 0 + x) 2 + c x 0 + x 2 V ( 4a ; b 2a ) F (1 4a ; b 2a ) m = 2ax 0 + b m = y = b 2a x = 1 4a = ay 0 y + b(y 0 + y) 2 1 2ay 0 + b + c Centro Yep 107

109 Area del segmento parabolico Il teorema di Archimede L area di un segmento parabolico di base AB è 2/3 dell area del rettangolo AA B B essendo A e B le proiezioni di A e B sulla retta tangente alla parabola e parallela alla retta AB. Data una parabola con asse parallelo all asse y è possibile trovare l area del segmento parabolico utilizzando la seguente formula: S = 1 6 a x B x A 3 Analoga formula per una parabola con asse parallelo all asse x: S = 1 6 a y B y A 3 Significato grafico del coefficiente a e del coefficiente c La parabola y = ax 2 è una parabola con vertice nell origine e asse concidente con y. Da questa si possono notare alcuni fatti importanti: Se a > 0, il grafico della parabola corrispondente è contenuto nel semipiano delle ordinate non negative; si dice in questo caso che la concavità è rivolta verso l alto. Se invece a < 0 il grafico della parabola è contenuto nel semipiano delle ordinate negative; in questo casio si dice che la parabola ha concavità rivolta verso il basso. Il vertice di una qualsiasi parabola è il punto di ordinata minima se a > 0 oppure di ordinata massima se a < 0. Il coefficiente a influenza l apertura della parabola. Sia nel caso in cui a > 0, sia nel caso a < 0, al crescere del valore assoluto di a si ottengono parabole più strette. Achtung!!! Una parabola passa per l origine se e solo se c = 0. Il termine c infatti rappresenta una traslazione lungo l asse delle y. Centro Yep 108

110 Posizione reciproca di una retta e una parabola Per trovare le intersezioni si fa un sistema tra la retta e la parabola: { y = ax2 + bx + c y = mx + q Come si vede il sistema è di grado 2 e quindi abbiamo due soluzioni. Inserendo per sostituzione la y della retta nella y della circonferenza otteniamo: mx + q = ax 2 + bx + c Ottenendo un equazione di secondo grado. Di questa si va a studiare il : Se < 0 la retta è esterna alla parabola Se = 0 la retta è tangente alla parabola Se > 0 la retta è secante alla parabola Fascio generato da due parabole Date due parabole γ e γ, di equazioni y = ax 2 + bx + c e y = a x 2 + b x + c si dice fascio di parabole generato da γ e γ l insieme costituito dalla parabola γ e da tutte le parabole che si ottengono dall equazione: y ax 2 bx c + k(y ax 2 bx c) = 0 Al variare di k in R. Le due parabole γ e γ sono dette generatrici del fascio. La prima parabola, γ, si ottiene in corrispondenza di k=0; la seconda generatrice del fascio non si ottiene invece in corrispondenza di alcun valore di k e perciò, nella definizione è stata considerata a parte. Gli eventuali punti di intersezione delle due generatrici sono chiamati punti base del fascio. Centro Yep 109

111 La circonferenza La circonferenza è il luogo geometrico dei punti del piano equidistanti da un punto fisso C detto centro Equazione completa x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 Coordinate del centro C(x c, y c ) { x c = a/2 y c = b/2 Relazione del raggio Equazione della circonferenza conoscendo il centro e il raggio Equazione della retta tangente alla circonferenza in un suo punto P detta formula di sdoppiamento Equazione dell asse radicale di due circonferenze Posizione reciproca di una retta e una circonferenza r = x c 2 + y c 2 c (x x c ) 2 + (y y c ) 2 = r 2 x 0 x + y 0 y + a x 0 + x 2 + b y 0 + y 2 + c = 0 (a 1 a 2 )x + (b 1 b 2 )y + c 1 c 2 = 0 Per trovare le intersezioni si fa un sistema tra la retta e la circonferenza: { x2 + y 2 + ax + by + c = 0 y = mx + q Come si vede il sistema è di grado 2 e quindi abbiamo due soluzioni. Inserendo per sostituzione la y della retta nella y della circonferenza otteniamo: x 2 + (mx + q) 2 + ax + b(mx + q) + c = 0 Centro Yep 110

112 Ottenendo un equazione di secondo grado. Di questa si va a studiare il : Se < 0 la retta è esterna alla circonferenza Se = 0 la retta è tangente alla circonferenza Se > 0 la retta è secante alla circonferenza Posizioni reciproche di due circonferenze Fascio generato da due circonferenze Date due circonferenze γ e γ, di equazioni x 2 + y 2 + ax + by + c = 0 e x 2 + y 2 + a x + b y + c = 0 si dice fascio di circonferenze generato da γ e γ l insieme costituito dalla circonferenza γ e da tutte le circonferenze che si ottengono dall equazione: x 2 + y 2 + ax + by + c + k(x 2 + y 2 + a x + b y + c ) = 0 Al variare di k in R. Le due circonferenze γ e γ sono dette generatrici del fascio. La prima circonferenza, γ, si ottiene in corrispondenza di k=0; la seconda generatrice del fascio non si ottiene invece in corrispondenza di alcun valore di k e perciò, nella definizione è stata considerata a parte. Gli eventuali punti di intersezione delle due generatrici sono chiamati punti base del fascio. L asse radicale delle due generatrici ( se esiste) viene detto asse radicale del fascio e si può considerare una circonferenza degenere del fascio di raggio infinitamente grande. l equazione dell asse radicale si può ottenere dall equazione del fascio attribuendo a k il valore -1. Centro Yep 111

113 L Ellisse L ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la somma delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante. Ellisse con i fuochi sull asse x Ellisse con i fuochi sull asse y Equazione in forma canonica x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 a > b x 2 a 2 + y2 b 2 = 1 Lunghezza asse maggiore 2a 2b a < b Lunghezza asse minore 2b 2a Distanza focale 2c 2c Relazione tra i parametri c 2 = a 2 b 2 c 2 = b 2 a 2 Coordinate dei fuochi F 1 ( c; 0) F 2 (c; 0) F 1 (0; c) F 2 (0; c) Eccentricità e = c a 0 < e < 1 e = c b 0 < e < 1 Equazione della retta tangente all ellisse nel punto P detta formula di sdoppiamento b 2 x 0 x + a 2 y 0 y = a 2 b 2 b 2 x 0 x + a 2 y 0 y = a 2 b 2 Centro Yep 112

114 L ellisse si traslata se gli assi XY del sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani xy. Il centro dell ellisse sarà nella forma: C(x c, y c ) L equazione completa diventa: (x x c ) 2 a 2 + (y y c) 2 b 2 = 1 Per il calcolo dell area dell ellisse si utilizza la seguente formula: A = πab La lunghezza dell ellisse si calcola come sviluppo in serie di un integrale curvilineo: un buon valore approssimato è dato dalla seguente formula: l = π [3(a + b) (3a + b)(a + 3b)] Centro Yep 113

115 L Iperbole L iperbole è il luogo geometrico dei punti del piano tali che la differenza in valore assoluto delle distanze da due punti fissi detti fuochi è costante. Equazione in forma canonica Iperbole con i fuochi sull asse x Iperbole con i fuochi sull asse y x 2 a 2 y2 b 2 = 1 x 2 a 2 y2 b 2 = 1 Lunghezza asse trasverso 2a 2b Lunghezza asse non trasverso 2b 2a Distanza focale 2c 2c Relazione tra i parametri c 2 = a 2 + b 2 c 2 = b 2 + a 2 Coordinate dei fuochi F 1 ( c; 0) F 2 (c; 0) F 1 (0; c) F 2 (0; c) Eccentricità e = c a e > 1 e = c b e > 1 Equazione della retta tangente all ellisse nel punto P detta formula di sdoppiamento b 2 x 0 x a 2 y 0 y = a 2 b 2 b 2 x 0 x a 2 y 0 y = a 2 b 2 L iperbole si dice traslata se gli assi XY del sistema di riferimento sono paralleli agli assi cartesiani xy. Il centro dell ellisse sarà nella forma: C(x c, y c ) L equazione completa diventa: (x x c ) 2 a 2 (y y c) 2 b 2 = 1 Centro Yep 114

116 Iperbole equilatera a=b; gli asintoti sono le bisettrici dei quattro quadranti Equazione x 2 y 2 = a 2 x 2 y 2 = a 2 Relazione tra i parametri c 2 = 2a 2 c 2 = 2a 2 Coordinate dei fuochi F 1 ( c; 0) F 2 (c; 0) F 1 (0; c) F 2 (0; c) Iperbole equilatera ruotata di 45 : xy = k Coordinate dei fuochi se k > 0 F 1 ( 2k; 2k) F 2 ( 2k; 2k) se k < 0 F 1 ( 2k; 2k) F 2 ( 2k; 2k) Centro Yep 115

117 Iperbole equilatera ruotata e traslata (funzione omografica) ax + b y = c 0 ad bc 0 cx + d Coordinate del centro: Equazioni degli asintoti: C ( d c ; a c ) x = d c y = a c Centro Yep 116

118 Proprietà comuni a tutte le coniche e risoluzioni di esercizi Condizione di appartenenza di un punto ad una retta r o ad una conica: per verificare se un dato punto P 0 (x 0, y 0 ) appartiene ad una retta r oppure ad una conica: Si sostituiscono le coordinate di P 0 in r o in una conica; Si sviluppano i calcoli. Se si ottiene un identità il punto appartiene alla retta o alla conica. Posizione di una retta rispetto ad una conica. Per verificare se una retta è secante tangente o esterna ad una conica bisogna: Ricavare la y dell equazione della retta e sostituirla nell equazione della conica; Sviluppare i calcoli ed ordinare l equazione rispetto alla x; Dell equazione di II grado così ottenuta calcolare il = b 2 4ac o Se > 0 la retta è secante alla conica. Si hanno 2 intersezione reali e distinte cioè 2 punti in comune; o Se = 0 la retta è tangente alla conica. Si hanno 2 intersezioni reali e coincidenti cioè 1 punto in comune; o Se < 0 la retta è esterna alla conica. Non si ha nessuna intersezione reale cioè nessun punto in comune. Ricerca delle equazioni delle rette tangengti ad una conica. Tangenti da un punto esterno P 0 (x 0 ; y 0 ) Si scrivere l equazione del fascio di rette proprio di centro P 0 (x 0 ; y 0 ): y y 0 = m(x x 0 ) Si ricava la y dall equazione del fascio di rette; Si sostituisce la y trovata nell equazione della conica; Si sviluppani i calcoli e si ordina rispetto alla x ottenendo un equazione di II grado in x Si ricava il e lo si impone uguale a 0 ottenendo un equazione di II grado nell incognita m Si risolve l equazione in m ottendo m 1 ed m 2 Si sostituiscono uno alla volta i valori di m trovati nell equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni delle due rette tangenti. Centro Yep 117

119 Tangenti parallele ad una retta di coefficiente angolare m Si scrive l equazione del fascio di rette improprio di coefficiente angolare m assegnato: y = mx + q Si sostituisce la y trovata nell equazione della conica; Si sviluppano i calcoli e si ordina rispetto alla x ottenendo un equazione di II grado in x Si ricava il e lo si impone uguale a 0 ottenendo un equazione di I o di II grado nell incognita q; Si risolve l equazione ottenendo q Si sostituiscono uno alla volta i valori trovati nell equazione iniziale del fascio ottenendo le equazioni delle due rette tangenti. Centro Yep 118

120 Lunghezza di un segmento: La geometria analitica nello spazio Punto medio: (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2 ( x 1 + x 2 2 ; y 1 + y 2 2 ; z 1 + z 2 ) 2 Componenti del vettore AB con A(x 1, y 1, z 1 ) e B(x 2, y 2. z 2 ) AB (x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ) Equazione del piano per il punto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) e di vettore normale n (a, b, c, ) a(x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 Equazione della retta per il punto P 0 (x 0, y 0, z 0 ) e di vettore direzione v(a, b, c, ) x = x 0 + at Forma parametrica { y = y 0 + bt z = z 0 + ct Forma cartesiana x x 0 a = y y 0 b = z z 0 c Condizioni di parallelismo e perpendicolarità Tra due piani di equazione ax + by + cz + d = 0 a x + b y + c z + d = 0 Tra due rette di vettori direzione v (l, m, n) v (l, m, n ) Tra un piano di equazione ax + by + cz + d = 0 e una retta di vettore direzione v (l, m, n) Condizioni di parallelismo a a = b b = c c se a, b, c 0 l l = m m = n n se l, m, n 0 la + mb + nc = 0 Condizioni di perpendicolarità aa + bb + cc = 0 ll + mm + nn = 0 l a = m b = n c se a, b, c 0 Centro Yep 119

121 Distanza di un punto P(x 0, y 0, z 0 ) da un piano di eqauzione ax + by + cz + d = 0 Equazione della superficie sferica ax 0 + by 0 + cz 0 + d a 2 + b 2 + c 2 (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 + (z z 0 ) 2 = r 2 dove C(x 0, y 0, z 0 )è il centro ed r è il raggio Forma normale: l equazione x 2 + y 2 + z 2 + ax + by + cz + d = 0 rappresenta una superficie sferica a condizione che risulti a 2 + b 2 + c 2 4d 0. In tal caso il centro C e il raggio r della superficie sferica sono assegnati dalle formule: C ( a 2 ; b 2 ; c 2 ) r = ( a 2 2 ) + ( b 2 2 ) + ( c 2 2 ) d Centro Yep 120

122 Angoli: misure e conversioni Il grado sessagesimale è la 360^a parte dell angolo giro. Nelle calcolatrici scientifiche questo sistema di misura è indicato con il simbolo DEG o D. Il radiante è l angolo il cui arco è uguale al raggio. Un radiante vale circa Nelle calcolatrici scientifiche questo sistema di misura è indicato con il simbolo RAD o R. Il grado centesimale è la 400^a parte dell angolo giro. Nelle calcolatrici scientifiche questo sistema di misura è indicato con il simbolo GRAD o G. Conversioni Da gradi sessagesimali a radianti: Da radianti a gradi sessagesimali: si sostituisce π con 180 si semplifica Da gradi centesimali a sessagesimali: 180 : π = α : x rad 180 : 200 = α : α c Conversione da gradi sessagesimali decimali a gradi primi e secondi Data la misura sotto forma di gradi decimali, si separa la parte intera dalla parte decimale; Si moltiplica la parte decimale per 60; La misura così ottenuta si separa ancora in parte intera e parte decimale, la parte intera rappresenta i primi; La parte decimale si moltiplica per 60, il risultato rappresenta i secondi. Si procede all inverso se si vuole passare da gradi, primi e secondi in gradi sessagesimali decimali facendo delle divisioni piuttosto che delle moltiplicazioni. Centro Yep 121

123 Funzioni goniometriche Per definire le principali funzioni goniometriche è necessario definire quella che è la circonferenza goniometrica ovvero una circonferenza di centro l origine degli assi certesiani e raggio 1. Le principali funzioni goniometriche sono: Seno sin α = PQ OP = PQ 1 = PQ Nel I e nel II quadrante la funzione è positiva; nel III e nel IV quadrante la funzione è negativa. Coseno cos α = PR OP = PR 1 = PR Nel I e nel IV quadrante la funzione è positiva; nel II e nel II quadrante la funzione è negativa. Achtung!!! I segni negativi o positivi delle funzioni sono dati da dove si trova effettivamente il punto sulla circonferenza. Basta infatti osservare le proiezioni del punto sugli assi cartesiani per valutare la positività o la negatività delle funzioni. Achtung!!! Le funzioni seno e coseno sono funzioni periodiche, ovvero che dopo un certo tratto o tempo si ripetono allo stesso modo. Se noi pensiamo di ruotare il punto P attorno alla circonferenza partendo da 0 allora quando il punto fà una rotazione di 360 (angolo giro) la funzione seno e coseno ripartono con gli stessi valori di partenza. Infatti il periodo di queste funzioni è 360 (2π). Centro Yep 122

124 Tangente tan α = TS OP = TS 1 = TS Nel I e nel III quadrante la funzione è positiva; nel II e nel IV quadrante la funzione è negativa. Achtung!!! La funzione non è definita per angoli di π + kπ con k numero intero appartenente 2 a Z. In questi punti (come verrà visto successivamente) la funzione presenta degli asintoti verticali e il valore della funzione tende a ±. Achtung!!! Come si apprezza dal grafico della circonferenza goniometrica la funzione tangente è data dal valore della y trovata tra l intersezione del prolungamento del raggio OP creato dall angolo α e dalla retta x = 1. Achtung!!! La funzione tangente è periodica come la funzione seno e coseno ma il suo periodo è 180 (π). Centro Yep 123

125 Cotangente cot α = CA OP = CA 1 = CA = tan 1 α = 1 tan α Secante Cosecante sec α = OS OP = OS = cos 1 α = 1 cos α csc α = OS OP = OS = sin 1 α = 1 sin α Achtung!!! Le funzioni secante e cosecante sono periodiche di 2π, la funzione cotangente è periodica di π Achtung!!! Le funzioni secante cosecante e cotangente hanno delle limitazioni nel dominio (e quindi dobbiamo applicare delle condizioni di esistenza). Infatti csc α è definita per α 0 + kπ sec α è definita per α π 2 + kπ cot α è definita per α 0 + kπ Achtung!!!. Le funzioni secante, cosecante e cotangente NON sono presenti sulle calcolatrici!!! (a meno di calcolatrici programmabili professionali). I tasti tan 1, cos 1 e sin 1, sono le FUNZIONI INVERSE. Infatti le funzioni seno, coseno, tangente, secante, cosecante e cotangente prendono in input un angolo e restituiscono una lunghezza; quelle che si trovano sulla calcolatrice invece prendono in input una lunghezza e restituiscono un angolo e si chiamano rispettivamente arcoseno, arcocoseno e arcotangente. Per calcolare la secante, la cosecante e la cotangente basta cliccare 1 e dividere per la funzione goniometrica elementare che si vuole. Centro Yep 124

126 Le 5 relazioni fondamentali: sin 2 α + cos 2 α = 1 tan α = ctg α = sin α cos α cos α sin α csc α = 1 sin α sec α = 1 cos α sin α = ± 1 cos 2 α tan α sin α = ± 1 + tan 2 α cos α = ± 1 sin 2 α 1 cos α = ± 1 + tan 2 α 1 sin α = ± 1 + cot 2 α cot α cos α = ± 1 + cot 2 α sin α tan α = ± 1 sin 2 α cot α = ± 1 sin2 α sin α tan α = ± 1 cos2 α cos α cos α cot α = ± 1 cos 2 α tan α = 1 cot α cot α = 1 tan α Achtung!!! Il segno + o va preso a seconda del segno della funzione nel quadrante in cui si trova l angolo. Centro Yep 125

127 Tabella angoli noti e circonferenza goniometrica Centro Yep 126