Linee guida da seguire per lo svolgimento dello studio di funzione Studiare la seguente funzione: Insieme di definizione: f(x) < 0

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1 Linee guida da seguire per lo svolgimento dello studio di funzione Studiare la seguente funzione: Insieme di definizione: f(x) > 0 f(x) = 0 f(x) < 0 Limiti significativi per f: Equazione degli asintoti del grafico di f: f (x) = f (x) > 0... f (x) = 0... f (x) < 0... Punti angolosi o cuspidali per il grafico di f:... Punti di minimo o di massimo relativo per f:... Punti di minimo o di massimo assoluti per f:... f (x) = f (x) > 0... f (x) = 0... f (x) < 0... Punti di flesso per f:... f è biunivoca (iniettiva)?:... Indicare l insieme dei valori di f:... Grafico della funzione:

2 Esercizi sullo Studio di Funzione Studiare la seguente funzione: x f(x) = ln Soluzione ( ) x 3x+1 Insieme di definizione: Per determinare il dominio occorre imporre le seguenti condizioni: ( ) x > 0 3x+1 3x+1 0 Superflua Per risolvere la disequazione fratta, occorre studiare il segno del numeratore, denominatore e successivamente della frazione: Si riporta la soluzione grafica: x > 0 x > ; 3x+1 > 0 x > 1 3. x >0 3x+1>0 1/3 + + Quindi il dominio é D :], 1 3 [ ],+ [ Positivitá. f(x) > 0 ln ( ) ( ) x x > 0 e ln( x 3x+1) > e 0 > 1 x 3 3x+1 3x+1 3x+1 > 0 Per risolvere la disequazione fratta, occorre studiare il segno del numeratore, denominatore e successivamente della frazione: Si riporta la soluzione grafica: x 3 > 0 x < 3 ; 3x+1 > 0 x > 1 3 x 3>0 3x+1>0 3/ + 1/3 f(x) > 0 x ] 3, 1 3 [

3 f(x) < 0 x ], 3 [ ],+ [ ( ) ( ) x x f(x) = 0 ln = 0 = 1 x 3 3x+1 3x+1 3x+1 = 0 x 3 = 0 x = 3 Limiti significativi ( ) per f: x ln ; trattandosi di una funzione composta calcoliamo prima di tutto: x + ( 3x+1 ) x =. Risolviamo tale forma indeterminata nel seguente modo: x + 3x+1 ( ) x x ( ) 1 x = x + 3x+1 x + x ( ) = 1 ( ) 1. Infine lny = ln x y 1 3 ( ) ( ) 3 x 1 ln = ln ; x + 3x+1 3 In modo analogo: ( x ln x + 3x+1 ) x + x 1 3 x 1 3 ( x 3x+1 ( x ln 3x+1 ( ) x 3x+1 x ln ( ) x = ln 3x+1 ( ) 1. 3 ) ; trattandosi di una funzione composta calcoliamo prima di tutto: ( ) x = 0. Infine lny =. ln = y 0 + x + 3x Poiché 3x+1 a sinistra di 1 3 y + ) ; trattandosi di una funzione composta calcoliamo prima di tutto: = 5 3. Per risolvere tale forma occorre studiare il segno del denominatore a sinistra di 0 ( x lny = +. ln x 1 3x+1 3 Equazione degli asintoti del grafico di f: é negativo, allora: x ) 1 3 = +. ( ) x = 5 3 3x+1 0 = 5 = +. Infine: 3 Le rette x = e x = 1 3 sono asintoti verticali; la retta y = ln( 1 3) é un asintoto orizzontale a destra e a sinistra. f (x) = ( 1 x ) (3x+1) 3(x ) = (3x+1) 3x+1 7 3x 5x x D f (x) > 0 x D f (x) = 0 MAI f (x) < 0 MAI Punti angolosi o cuspidali per il grafico di f: Non son presenti; Punti di minimo o di massimo relativo per f: Non sono presenti; Punti di minimo o di massimo assoluti per f: Non sono presenti f (x) = 7(6x 5) (3x 5x ) = 35 4x (3x 5x ) x D f (x) > x (3x > 0. Si tratta di una disequazione fratta in cui il denominore é positivo. 5x )

4 Quindi 35 4x > 0 x < 5. Considerando il dominio della funzione avremo: 6 f (x) > 0 x ], 1 3 [ f (x) < 0 x ],+ [ f (x) = 0 MAI (Il punto x = 5 6 D). Punti di flesso per f: Non sono presenti. f è biunivoca (iniettiva)?: SI Indicare l insieme dei valori di f: ],ln( 1 3 )[ ]ln(1 3 ),+ [ Grafico della funzione: 3/ 1/3 ln(1/3)

5 Studiare la seguente funzione: x f(x) = arctan Soluzione ( ) x+1 x Insieme di definizione: Occorre imporre la condizione x 0. Quindi il dominio risulta: D = R {} ( ) ( ( )) ( ) x+1 x+1 x+1 Positivitá: f(x) > 0 arctan > 0 tan arctan > tan0 > 0. x ( ) x x x+1 Studiamo la disequazione fratta > 0. Occorre analizzare il segno del numeratore, denominatore x e successivamente il segno della frazione: x+1 > 0 x ] 1,+ [; x > 0 x ],[; f(x) > 0 x ] 1,[ f(x) < 0 x ], 1[ ],+ [ Inoltre: f(x) = 0 ( x+1 x) = 0 x+1 = 0 x = 1 Limiti significativi ( per) f: x+1 arctan ; trattandosi di una funzione composta, calcoliamo prima di tutto: x + x x+1 x + x = x ( ) 1+ 1 x (N.B. 1 ) = 0 x + x ( = 1; 1) x ( ) x+1 Poiché arctany = arctan 1 = Π allora y 1 4 arctan = Π x + x 4 ( ) x+1 arctan ; trattandosi di una funzione composta, calcoliamo prima di tutto: x x x ( ) 1+ 1 x (N.B. 1 ) = 0 x+1 x x = x x ( = 1; 1) x Poiché arctany = arctan 1 = Π y 1 4 ( x+1 arctan x allora x arctan ( ) x+1 = Π x 4 ) ; Calcoliamo il ite a destra e a sinistra: x ( ) x+1 x +arctan x destra( di. Poiché ) x > 0 x <, allora a destra di il denominatore é negativo. x+1 x + x x ( ) x+1 x = arctan 3 ; per risolvere tale forma occorre analizzare il segno del denomiatore a 0 = 3 = ; 0 arctany = Π y ; = 3 = + ; 0 arctany = +Π + y + ;

6 Quindi possiamo concludere che non esiste arctan x diversi. Equazione degli asintoti del grafico di f: ( ) x+1 x poiché i iti a destra e a sinistra sono La retta y = Π 4 é un asintoto orizzontale a destra e a sinistra; f (x) = 1 1+ ( x+1 x ) 1( x) ( 1)(x+1) ( x) = 3 x x+5 x D f (x) > 0 3 > 0. Si tratta di una disequazione fratta. Il numeratore e il denomitarore ( < 0) x x+5 sono sempre positivi. f (x) > 0 x D f (x) < 0 MAI; f (x) = 0 3 = 0 3 = 0 MAI. x x+5 Punti angolosi o cuspidali per il grafico di f: Non sono presenti; Punti di minimo o di massimo relativo per f: Non sono presenti; Punti di minimo o di massimo assoluti per f: Non sono presenti; (N.B.: Occorre analizzare il grafico della funzione.) f (x) = 3(4x ) (x x+5) = 6 1x (x x+5) x D f (x) > 0 6 1x (x x+5). Si tratta di una disequazione fratta. Occorre analizzare il segno del numeratore, denominatore e successivamente della frazione. Poiché il denominatore é sempre positivo ( < 0), allora f (x) > 0 6 1x > 0 x < 1. f (x) > 0 x ], 1 [ f (x) < 0 x ] 1,[ ],+ [ f (x) = 0 6 1x (x x+5) = 0 6 1x = 0 x = 1. Punti di flesso per f : x = 1. f è biunivoca (iniettiva)?: SI Indicare l insieme dei valori di f: ] [ ] Π, Π 4 Π, [ Π 4 Grafico della funzione: π/ 1 1/ π/4 π/

7 ( ) x Studiare la seguente funzione: x f(x) = ln Soluzione Insieme di definizione: Occorre imporre le seguenti condizioni: Studiamo la disequazione fratta x > 0: x > 0 x R {0}; > 0 x < 4 x ],4[ Si riporta la soluzione grafica. x > 0; 0 (Superflua)

8 x >0 > Quindi il dominio risulta: D : ],4[ {0} ( ) ( Positivitá: f(x) > 0 ln > 0 e ln x x ) ( > e 0 x ) ( > 1 x ) 1 > 0 x +x 4 > 0 Studiamo la disequazione fratta x +x 4 > 0. Occorre analizzare il segno del numeratore, del denominatore e successivamente il segno della disequazione: x +x 4 > 0 x ], 1 17 [ ] 1+ 17,+ [; > 0 x < 4 x ],4[ Si riporta la soluzione grafica. x +x 4>0 >0 ( 1 sqrt(17)/ 0 ( 1+sqrt(17)/ f(x) > 0 x f(x) < 0 x Inoltre: ] [ ], [ 17,4 ] 1 [ ] [ 17,0 0, f(x) = 0 x +x 4 = 0 x +x 4 = 0 x = 1 17 ; x = Limiti significativi ( ) per f: x ln ; Trattandosi di una funzione composta, calcoliamo prima di tutto: x ( ) ( ) x x x = x x x( 4 1) = x 1 = x = + (NB 4 ) = 0 x x ( ) x Poiché lny = + allora ln = + y + x ( ) x x 4 ln ; Calcoliamo: ( ) x = 16 ; per risolvere tale forma occorre analizzare il segno del denomintare a sinistra di 4. x 4 0 Poiché > 0 x < 4, allora a sinistra di 4 il denominatore é positivo.

9 ( ) x x 4 ( x ln x 0 ( ) x x 0 = 16 = + ; Poiché 0 + ) ; Calcoliamo: = 0 4 y + = 0; Poiché y 0 +lny = allora ln x 0 Equazione degli asintoti del grafico di f: Le rette x = 0 e x = 4 sono asintoti verticali. ( ) x lny = + allora x 4 ln = + ( ) x = f (x) = 1 ( x ) x() x ( 1) = 8 x () x() x D f (x) > 0 8 x > 0. Si tratta di una disequazione fratta. Occorre studiare il segno del numeratore, x() denominatore e successivemente della frazione: 8 x > 0 x ],8[; x > 0 x ]0,+ [; > 0 x ],4[ Si riporta la soluzione grafica. 8 x>0 8 >0 x> f (x) > 0 x ]0,4[; f (x) < 0 x ],0[; f (x) = 0 8 x > 0 8 x = 0 x = 8. Ma x = 8 D, quindi x() f (x) non si annulla. Punti angolosi o cuspidali per il grafico di f: Non sono presenti; Punti di minimo o di massimo relativo per f: Non sono presenti; (NB: x = 0 non é un punto di minimo relativo poiché non appartiene al dominio.) Punti di minimo o di massimo assoluti per f: Non sono presenti; (NB: occorre analizzare il grafico della funzione.) f (x) = 1(4x x ) (8 x)() x () = x +16x 3 x () x D f (x) > 0 x +16x 3 > 0. Si tratta di una disequazione fratta. Poiché il denomitare é positivo x () nel dominio, per deteminare il segno della frazione studiamo solo il numeratore: x +16x 3 > 0 x ]8 4,8+4 [; Poiché 8+4 > 4, allora:

10 f (x) > 0 x ]8 4,4[; f (x) < 0 x ],0[ ]0,8 4 [; f (x) = 0 x +16x 3 x () = 0 x +16x 3 = 0 x = 8 4 ; Ovviamente il punto x = 8+4 non si considera poiché non appartiene al dominio. Punti di flesso per f : x = 8 4. f è biunivoca (iniettiva)?: NO Indicare l insieme dei valori di f: R Grafico della funzione: ( 1 sqrt(17))/ 0 ( 1+sqrt(17))/ 8 4*sqrt() 4

11 Studiare la seguente funzione: x f(x) = ln ( e x +e x 6 ) Soluzione Insieme di definizione. Occorre imporre la condizione che e x +e x 6 > 0. Per risolvere tale disequazione, possiamo porre e x = y, e quindi: e x +e x 6 > 0 y +y 6 > 0 e quindi y > y < 3. Ritornando alla variabile x otteniamo: y > e x > ln(e x ) > ln() x > ln(); y < 3 e x < 3 MAI VERIFICATA Quindi il dominio risulta: D =] ln(), + [. Positivitá: f(x) > 0 ln(e x +e x 6) > 0 e ln(ex +e x 6) > e 0 e x +e x 6 > 1 Per risolvere tale disequazione, possiamo porre e x = y, e quindi: e x +e x 6 > 1 y +y 7 > 0 e quindi y < 1 9 y > 1+ 9 ; Ritornado alla variabile x otteniamo: ( y > 1+ 9 e x x > ln ) 9 ; y < 1 9 e x < 1 9 MAI VERIFICATA ] ( 1+ f(x) > 0 x ln ) 9 ] ( f(x) < 0 x ln(),ln [,+ )[ 1+ 9 f(x) = 0 ln(e x +e x 6) > 0 e x +e x 6 = 1. Per risolvere tale equazione, possiamo porre e x = y, e quindi: e x +e x 6 = 1 y +y 7 = 0 e quindi y = 1± 9. Ritornado alla variabile x otteniamo: ( y = 1+ 9 e x x = ln ) 9 ; y = 1 9 e x = 1 9 MAI VERIFICATA ( f(x) = 0 x = ln 1+ ) 9 Limiti significativi per f: x + ln(ex +e x 6); trattandosi di una funzione composta, calcoliamo prima di tutto: x + (ex +e x 6) = +. Poiché lny = + allora y + x + ln(ex +e x 6) = +

12 x ln() +ln(ex +e x 6); trattandosi di una funzione composta, calcoliamo prima di tutto: +e x 6) = e ln +e ln 6 = e ln4 +e ln 6 = 4+ 6 = 0. x ln() +(ex Poiché y 0 +lny =, allora +e x 6) =. x ln() +ln(ex Equazione degli asintoti del grafico di f: La retta x = ln() é un asintoto verticale. f (x) = ex +e x (e x +e x 6) x D. ex +e x f (x) > 0 > 0. Si tratta di una disequazione fratta. Occorre analizzare il segno del (e x +e x 6) numeratore, denominatore e successivamente della frazione. e x +e x > 0 x D; (e x +e x 6) > 0 x D f (x) > 0 x D f (x) < 0 MAI VERIFICATA; f (x) = 0 ex +e x = 0 (e x +e x 6) ex +e x = 0 MAI VERIFICATA. Punti angolosi o cuspidali per il grafico di f: Non sono presenti; Punti di minimo o di massimo relativo per f: Non sono presenti; Punti di minimo o di massimo assoluti per f:... f (x) = (ex +e x ) (e x +e x 6) (e x +e x ) (e x +e x ) (e x +e x 6) = e3x 4e x 6e x (e x +e x 6) f (x) > 0 e3x 4e x 6e x (e x +e x 6) > 0 ex (e x 4e x 6) (e x +e x 6). Si tratta di una disequazione fratta. Possiamo osservare che e x > 0 x R, (e x +e x 6) > 0 x D. f (x) > 0 (e x 4e x 6) > 0. Ponendo e x = y si ottiene: (e x 4e x 6) > 0 y 4y 6 > 0 e quindi: y > y < y > y < Ritornando alla variabile x otteniamo: y > e x > x > ln(1+5 6); y < e x < MAI VERA; f (x) > 0 x ]ln(1+5 6),+ [; f (x) < 0 x ]ln(),ln(1+5 6)[

13 f (x) = 0 x = ln(1+5 6) Punti di flesso per f: x = ln(1 5 6); x = ln(1+5 6) f è biunivoca (iniettiva)?: SI Indicare l insieme dei valori di f: R. Grafico della funzione: ln() ln(( 1+sqrt(9))/ ) ln(1+5*sqrt(6))

14 Studiare la seguente funzione: x f(x) = xe 1 x 4 Insieme di definizione 1 : Occorre imporre che x 4 0 e quindi il dominio é R {4} f(x) > 0 x ]0,+ [; f(x) = 0 x = 0 f(x) < 0 x ],0[ Limiti significativi per f: xe 1 1 x 4 = + e + = + e 0 = + 1 = + ; x + xe 1 1 x 4 = e = e 0 = 1 = ; x 1 1 x 4 +xe x 4 = 4 e 0 + = 4 e + = 4 + = + ; 1 1 x 4 xe x 4 = 4 e 0 = 4 e = 4 0 = 0; Equazione degli asintoti del grafico di f: La retta x = 4 é un asintoto verticale. ( ) f (x) = e 1 xe 1 x 4 x 4 (x 4) = e 1 x x 4 1 = e 1 (x 4) x 4 ( x 9x+16 (x 4) ) ; x R {4} f (x) > 0 x ], 9 17 [ ] 9+ 17,+ [ f (x) = 0 x = 9± 17 f (x) < 0 x ] 9 17, [ Punti angolosi o cuspidali per il grafico di f: Non sono presenti; Punti di minimo o di massimo relativo per f: x = 9 17 < punto di massimo relativo; x = punto di minimo relativo; Punti di minimo o di massimo assoluti per f: Non sono presenti; f (x) = e 1 x 4 ( ) 9x 3 (x 4) 4 f (x) > 0 x ] 3 9,+ [; f (x) = 0 x = 3 9 ; f (x) < 0 x ], 3 9 [; Punti di flesso per f: x = 3 9 f è biunivoca (iniettiva)?: NO Indicare l insieme dei valori di f: ], 9 17 e 1 17 ] [ e 1+ 17,+ [ 1 Bozza Soluzione - Mat.Gen (MZ)-Villani Giovanni

15 Grafico della funzione: f(x) = xe 1 x 4 0

16 Studiare la seguente funzione: x f(x) = e x 1 x Soluzione Insieme di definizione: Per determinare il dominio occorre imporre che x 0, ossia x. Quindi D = x R {} Positivitá: f(x) > 0 e x 1 x > 0. Si tratta di una disequazione fratta. Occorre studiare il segno del numeratore, denomitaore e succssivmante il segno della frazione: e x 1 > 0 x D; x > 0 x > f(x) > 0 x ],+ [ f(x) < 0 x ],[ f(x) = 0 e x 1 x = 0 e x 1 = 0 (MAI VERA) Limiti significativi per f: e x 1 x + x = +. Per risolvere tale forma indeterminata possiamo applicare de l Hopital: + e x 1 x + x = e x 1 x + x = e x 1 = + ; x + 1 e x 1 x x x = +. Per risolvere tale forma indeterminata possiamo applicare de l Hopital: e x 1 x = e x 1 x x = e x 1 1 = x 1 e x 1 x + x = e. Per risolvere tale forma occorre studiare il segno deo denomiatore a destra di. Poiché 0 e x 1 x > 0 x >, allora: x + x = e 0 = +. + e x 1 x x = e. Per risolvere tale forma occorre studiare il segno deo denomiatore a sinistra di. Poiché 0 e x 1 x > 0 x >, allora: x x = e 0 =. Equazione degli asintoti del grafico di f: La retta x = é asintoto verticale.

17 f (x) = e x 1 x ( ) x (x ) e x 1 1 = e x 1 x (x ) 1, x D {0} (x ) (x ) x Per semplicitá possiamo analizzare la derivata prima nel seguete modo: f (x) = e x 1 (x 3) (x ) se x > 0 e x 1 (1 x) se x < 0 (x ) ex 1 (x 3) > 0 x > 3. Poiché tale risultato vale per x > 0, allora f (x) > 0 nell intervallo ]3,+ [, (x ) f (x) < 0 nell intervallo ]0,3[,f (x) = 0 se x = 3. e x 1 (1 x) > 0 x < 1. Poiché tale risultato vale per x < 0, allora f (x) > 0 nell intevallo ],0[. (x ) Ovviamente il punto x = 1 non puó essere comsiderato come punto che annulla la derivata prima. f (x) > 0 x ],0[ ]3,+ [; f (x) = 0 x = 3 f (x) < 0 ]0,[ ],3[ Punti angolosi o cuspidali per il grafico di f: Calcoliamo la deritava destra e sinistra nel punto x = 0: f +(0) = x 0 +f (x) = 3e 1 R; f 4 (0) = x 0 f (x) = e 1 R; 4 Quindi il punto x = 0 é un punto angoloso. Punti di minimo o di massimo relativo per f: x = 0 punto di massimo relativo; x = 3 punto di minimo relativo. Punti di minimo o di massimo assoluti per f: Non sono presenti; Derivata Seconda. Nel caso in cui x > 0 avremo: f (x) = (ex 1 (x 3)+e x 1 )(x ) (x )e x 1 (x 3) (x ) 4 = ex 1 (x 6x+10) (x ) 3 ; Nel caso in cui x < 0 avremo: f (x) = (e x 1 1 (1 x)+e x 1 1)(x ) (x )e x 1 (1 x) (x ) 4 = e x 1 (x x+) (x ) 3. Poiché x 6x+10 > 0 x R( < 0);x x+ > 0 x R( < 0), avremo: f (x) > 0 x ],+ [ f (x) = 0 (MAI) f (x) < 0 x ],[ Punti di flesso per f: Non sono presenti; f è biunivoca (iniettiva)?: NO; Indicare l insieme dei valori di f: ], 1 e ] [e,+ [

18 Grafico della funzione: e 1/(e) 0 3

19 Studiare la seguente funzione: x f(x) = ln x 4 Soluzione Insieme di definizione: Occorre imporre che x 4 > 0. Poiché il valore assoluto é sempre positivo, occorre einare i punti che annullano il valore assoluto: x 4 > 0 x 4 0 x ± D = R {±} Positivitá f(x) > 0 ln x 4 > 0 e ln x 4 > e 0 x 4 > 1 x 4 > 1 x 4 < 1. Risulta che: x 4 > 1 x > 5 x ], 5[ ] 5,+ [ x 4 < 1 x < 3 x ] 3, 3[ f(x) > 0 x ], 5[ ] 3, 3[ ] 5,+ [; f(x) < 0 x ] 5, [ ], 3[ ] 3,[ ], 5[; f(x) = 0 ln x 4 > 0 x 4 = 1 x 4 = 1 x 4 = 1 x = 5 x = 3 Da cui: x = 5 x = ± 5; x = 3 x = ± 3. f(x) = 0 x = ± 3; x = 5 Limiti significativi per f: x + ln x 4. Si tratta del ite di una funzione composta. x + x 4 = + ; lny = +. Segue che: e y + x + ln x 4 = +. x ln x 4. Si tratta del ite di una funzione composta. x x 4 = + ; lny = +. Segue che: e y + x ln x 4 = +. ln x 4. Si tratta del ite di una funzione composta. x

20 x x 4 = 0; y 0 +lny =. Segue che: x ln x 4 =. x ln x 4. Si tratta del ite di una funzione composta. x x 4 = 0; y 0 +lny =. Segue che: x ln x 4 =. Equazione degli asintoti del grafico di f: Le rette x = ; x = sono asintoti verticali. f (x) = 1 x 4 x 4 x x = x 4 x 4 x D. f (x) > 0 x > 0. Si tratta di una disequazione fratta: occorre studiare il segno del numeratore, x 4 denomitare e successivamente della disequazione. x > 0 x ]0,+ [ x 4 > 0 x ], [ ],+ [ f (x) > 0 x ],0[ ],+ [; f (x) < 0 x ], [ ]0,[; f (x) = 0 x x 4 = 0 x = 0 x = 0 Si riporta la soluzione grafica: x>0 x 4> Punti angolosi o cuspidali per il grafico di f: Non sono presenti; Punti di minimo o di massimo relativo per f : x = 0 (Punto di massimo relativo); Punti di minimo o di massimo assoluti per f: Non sono presenti. f (x) = (x 4) x x (x 4) = x 8 (x 4) x D f (x) > 0 x 8 (x 4) > 0. Si tratta di una disequazione fratta in cui il denomitare é sempre negativo e il numeratore é sempre positivo nel dominio. f (x) > 0 (MAI VERIFICATA); f (x) < 0 x D;

21 f (x) = 0 x 8 = 0 x = 4 (MAI VERIFICATA) Punti di flesso per f:(non sono presenti); f è biunivoca (iniettiva)?: NO Indicare l insieme dei valori di f:... Grafico della funzione: ln(4) sqrt(5) sqrt(3) 0 sqrt(3) sqrt(5)

22 Determinare Dominio e Positivitá delle seguenti funzioni: Sia: x f(x) = ln x 1 x 4 Soluzione Insieme di Definizione: Per determinare il dominio occorre imporre le seguenti condizioni e risolvere il sistema: { x 1 > 0 x 4 0 { x R {1} x ± D = R {1,±} Il valore assoluto x 1 é sempre maggiore di zero. Poiché x 1 = 0 x 1 = 0 x = 1, allora: x 1 > 0 x R {1}. Inoltre x 4 0 quando x ±. Positivitá: f(x) > 0 ln x 1 x 4 > 0 Si tratta di una diseguazione fratta. Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. ln x 1 > 0 e ln x 1 > e 0 x 1 > 1 x 1 > 1 x 1 < 1 x > x < 0 x 4 > 0 x < x > Inoltre la funzione si annulla quando il numeratore si annulla: f(x) = 0 ln x 1 = 0 x 1 = 1 x 1 = 1 x 1 = 1 x = ;x = 0 Ovvimente il punto x = é da escludere in quanto non appertiene al dominio. Graficamente si ha: ln x 1 >0 x 4> Quindi riepilogando: f(x) > 0 x ], [ ]0,1[ ]1,[ ],+ [ f(x) < 0 x ],0[ f(x) = 0 x = 0

23 Sia: x f(x) = arctan Soluzione Insieme di Definizione x+4 x x 6 Per determinare il dominio occorre imporre le seguenti condizioni e risolvere il sistema: { { x+4 0 x x 6 0 x 4 x 3;x D = [ 4,+ [ {,3} Positivitá: f(x) > 0 arctan ( x+4 x x 6 > 0 tan arctan ) x+4 > tan(0) x x 6 x+4 x x 6 > 0 Si tratta di una diseguazione fratta. Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. (x+4) > 0 (x+4) > 0 x > 4 Inoltre Graficamente si ha: x x 6 > 0 x < x > 3 x+4 f(x) = 0 arctan x x 6 = 0 tan ( arctan x+4 x x 6 = 0 x+4 = 0 x = 4 ) x+4 = tan(0) x x 6 sqrt(x+4)>0 4 x x 6> Quindi riepilogando: f(x) > 0 x ] 4, [ ]3,+ [ f(x) < 0 x ],3[ f(x) = 0 x = 4

24 Sia: x f(x) = x x 8 ln x+10 Soluzione Insieme di definizione: Per determinare il dominio della funzione occorre imporre le seguenti condizioni: x x 8 0 x+10 > 0 ln x+10 0 D =], ] { 9, 10, 11} [4,+ [ Positivitá x ], ] [4,+ [ x R { 10} x R { 9, 11} x x 8 > 0. Studiamo il segno del numeratore e del denomitare: ln x+10 x x 8 > 0 x x 8 > 0 x ], [ ]4,+ [ ln x+10 > 0 x+10 > 1 x+10 > 1 x+10 < 1 x ], 11[ ] 9,+ [ f(x) > 0 x ], 11[ ] 9, [ ]4,+ [ f(x) = 0 x = ;x = 4 f(x) < 0 x ] 11, 10[ ] 10, 9[ Sia: x f(x) = ln x+1 x x 8 Soluzione Insieme di definizione: Per determinare il dominio della funzione occorre imporre le seguenti condizioni: ln x+1 0 x+1 > 0 x x 8 0 x ], 1] [0,+ [ { x R 1 } x R {,4}

25 D =], 1] { } [0,+ [ {4} Positivitá ln x+1 > 0. Studiamo il segno del numeratore e del denomitare: x x 8 ln x+1 > 0 ln x+1 > 0 x+1 > 1 x ], 1[ ]0,+ [ x x 8 > 0 x ], [ ]4,+ [ f(x) > 0 x, ], [ ]4,+ [ f(x) = 0 x = 1;x = 0 f(x) < 0 x ], 1[ ]0,4[