9 Simulazione di prova d Esame di Stato

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1 9 Simulzione di prov d Esme di Stto Problem 1 Risolvi uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si rticol il questionrio Si f l funzione rele di equzione y =( )e.. Studire e trccire il grfico di f. b. Determinre fr le sue primitive l F () tle che F (0) = 1. c. Studire l funzione F trovt l punto precedente e trccirne un grfico sovrpponendolo quello reltivo ll funzione f. d. Determinre il punto d intersezione fr le due funzioni con un metodo di pprossimzione numeric studito con l precisione di e. Clcolre l re dell regione di pino delimitt dlle due curve e compres fr il punto d intersezione clcolto precedentemente e l sse delle ordinte, utilizzndo un metodo di clcolo numerico.. Dominio R. Intersezioni sse : ( 1) = 0 =0, = ±. Intersezione sse y: =0 y =0. Simmetri: funzione dispri. Segno: l esponenzile è sempre positivo; ponimo >0 e dllo studio del segno si deduce che f() > 0 per <<0 e per >. > 0 0 LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO 1 > Asintoti: non ci sono sintoti verticli; c è sintoto orizzontle (dt l simmetri clcolimo solo il limite + ) [ ] H= 6 1 lim + ( )e H = lim = lim = + e + e 1 = lim + e (4 +) =0. Derivt prim: y () = e ( ). Il dominio coincide con quello dell funzione. Studimo il segno dell derivt prim e l nnullimo per ricvre i punti stzionri. 1

2 y () > 0 se < 0. È un equzione biqudrtic le cui soluzioni sono = +1 ; = +1 ; = 1 ; = +1 ; lo studio dei segni è riportto in figur f () f () +1 m D quest si deduce che l funzione è crescente negli intervlli +1 << +1 e 1 << +1, present mssimi per = +1 e per = +1,e minimi negli ltri due punti. Derivt second: y () =e ( ). Studimo il segno dell derivt second e l nnullimo per ricvre i punti di flesso. I punti di flesso sono =0 e = 7+1 ; = 7+1 ; = 7 1 ; = 7+1. Lo studio dei segni è riportto in figur. D quest si deduce che l funzione h concvità rivolt verso l lto negli intervlli 7+1 << 7+1, 0 << 7 1 e > M m M LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO f () f () Il grfico è riportto in figur. f f f f f y y =( )e 1 O 1

3 b. Clcolimo le primitive integrndo l funzione: ( )e d. Per risolvere l integrle occorre osservre che e = f ()e f(), il cui integrle è immedito e vle e. Allor ( )e d = e d + 1 e d. Il secondo integrle vle, per qunto detto prim, 1 e. Il primo integrle si risolve per prti: e d. Posto f () =e, d cui f() = e,e g() =, d cui g () =, si ricv e d = e e d = e e. In conclusione: ( )e d = 1 e e e + c = e (1 + ) + c. Poiché F (0) = 1, si ricv c =0. L primitiv cerct è llor F (0) = e (1 + ). c. Dominio R. Nessun intersezione con l sse. Intersezione sse y: =0 y = 1. Simmetrie: l funzione è pri. Segno: l funzione è sempre negtiv. Asintoti: non ci sono sintoti verticli. Dt l simmetri clcolimo il limite +. lim (1 + ) e = lim + (1 + ) [ ] [ ] H= 4 = lim = =0, + e + e d cui si deduce l esistenz dell sintoto obliquo. Clcolimo l derivt prim. Ess coincide con l funzione f(), d cui si deduce che F () è crescente qundo l f() è positiv ( ). I punti st- <<0 e per > zionri coincidono con i punti di intersezione dell f() ( =0e = ± ) e in prticolre =0è punto di mssimo, mentre gli ltri sono punti di minimo, come si deduce dll figur. Clcolimo l derivt second. Ess coincide con l f (), d cui si deduce che F () h concvità rivolt verso l lto negli intervlli +1 << +1 e 1 << +1 e present flessi per = +1, = +1, = 1 e = +1. LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO

4 In figur sono riportti i due grfici. d. Dl grfico si deduce che il punto d intersezione è compreso nell intervllo << 1. Considerimo l equzione dt dll differenz delle due funzioni: ( )e + (1 + ) e =0. Applicndo il metodo dicotomico si ottiene l seguente tbell. b 1 y 1 O 1 m = + b 1,5 y = 1+ e y =( )e L rdice dell equzione, e quindi l coordint del punto d intersezione, è un vlore compreso nell intervllo 1,1875 << 1,15. f () f () < 0 f (b) f (b) > 0 f (m) 0,6 1,5 1 1,5 f () < 0 f (b) > 0 0,1 1,5 1 1,15 f () < 0 f (b) > 0 0,01 1,5 1,15 1,1875 f () < 0 f (b) > 0 0,06 LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO e. Usimo il metodo dei trpezi. Dividimo l intervllo in 5 prti di mpiezz = b = 0,. L re è dt dll differenz delle due funzioni; pertnto il clcolo verrà effettuto pplicndolo ll funzione h() =( )e + (1 + ) 5 e. Costruimo l seguente tbell. estremo vlore 1, ,9 0,69 0,46 0, b 0 H() 0 0, 0,6 0,8 0,7 0,5 Applicndo l formul dei trpezi ottenimo l re: [ H() A = + H(X 1 )+H(X )+H(X )+H(X 4 )+ H(b) ] =0,6. 4

5 Problem Fissto un sistem crtesino Oy si consideri l curv γ di equzione y = Trccire il grfico e determinre il suo centro di simmetri. b. Trslre γ in modo d fr coincidere il suo centro di simmetri con l origine degli ssi e determinre l equzione dell curv ϕ così ottenut trccindone il grfico. c. Detto A il punto del primo qudrnte in cui ϕ si intersec con un rett generic r di equzione y = m (m >0), condurre d esso l perpendicolre p OA e chimre B il punto in cui p intersec l sse delle ordinte. Determinre l equzione α del luogo geometrico dei punti descritto dl bricentro del tringolo OAB l vrire dell rett r. d. Studire l funzione α e trccirne il grfico. e. Condott l rett y = 6, clcolre l re dell superficie chius limitt dll rett e dll curv α dopo ver determinto i punti d intersezione con un metodo di pprossimzione numeric.. L curv è un iperbole omogrfic di centro ( ; 1) il cui grfico è riportto in figur. = y LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO 5 y = O b. Trslimo utilizzndo un vettore V (; 1) le cui equzioni di trslzione sono: { = + y = y 1 { = Applichimo ll funzione le trsformzioni inverse: y = y +1 L funzione diviene y = 9,il cui grfico è riportto in figur. 10 y y = 9 10 O

6 c. Determinimo il punto A intersecndo il fscio di rette y = m con l iperbole: { y = m y = 9 ( Sviluppndo i clcoli si ottengono le coordinte di A: A ; ) m. Clcolimo il f- m scio di rette pssnti per A di coefficiente ngolre 1. Esso risult m y m = 1 ( ). Per determinre le coordinte di B, intersechimo il fscio di rette con l sse delle ordinte, imponendo =0. Si ricv B 0; (1 + ) m ) m m ( m. m Clcolimo infine le coordinte del bricentro. X G = X O + X A + X B Y G = Y O + Y A + Y B X G = m = 1 m Y G = m + (1 + m ) m m = m +1 m m. Ricvimo dll prim espressione il prmetro m = e sostituimolo nell second. Ottenimo così il luogo geometrico desiderto: 1 y = 4 +1 = d. Dominio: R {0}. Intersezioni: non intersec gli ssi. Simmetrie: è un funzione dispri. Segno: il numertore è sempre positivo, per cui l funzione è positiv per >0. Asintoti: h un sintoto verticle in =0. Inftti: 4 + lim = ± 0 ± LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO Asintoti orizzontli o obliqui (dt l simmetri bst studire il limite + ): 4 + lim = ±. + Non h pertnto sintoto orizzontle. Visto che l differenz di grdo del polinomio l numertore rispetto quell del denomintore è, non ci srà nemmeno sintoto obliquo. Derivt prim: y = 4. Studimo il segno e i punti stzionri. L derivt prim si nnull per = ± 4. 6

7 Dll figur si ricvno gli intervlli in cui l funzione cresce o decresce, il mssimo ) ( ) ( 4 ; e il minimo ; f () f () 4 Derivt second: y = (4 +) L derivt second non si nnull mi ed è positiv per >0, intervllo in cui l funzione volge concvità verso l lto. In figur è rppresentto il grfico dell funzione. 4 M 1 y O 4 0 y = m LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO e. Clcolimo i punti d intersezione con il metodo dicotomico pplicto ll funzione h() = 4 + 6, che equivle cercre gli zeri dell equzione 4 + 6=0. Dl grfico precedente si deduce che i punti d intersezione di h() con l sse delle scisse hnno scisse α 1 ed α tli che O <α 1 < 4, α > 4. 0,1 b 0,9 m = + b 0,5 h() h() > 0 h(b) h(b) < 0 h(m) 1,875 0,1 0,5 0, h() > 0 h(b) < 0 0,7 0, 0,5 0,4 h() > 0 h(b) < 0 0,9 0, 0,4 0,5 h() > 0 h(b) < 0 0,4 7

8 In conclusione l sciss cerct è compres nell intervllo 0, <<0,5. In conclusione l sciss cerct è compres nell intervllo 1,6875 <<1,75. Possimo llor clcolre l re: β ] β d = [6 4 α 4 ln,86, α dove α e β sono i due vlori pprossimti. Questionrio 1 b m = + b 1,5 1 Scrivere l funzione f() che rppresent l distribuzione gussin stndrdizzt e rppresentrne il grfico. Clcolre l probbilità che l vribile csule stndrdizzt ssum vlori compresi fr 1 e, spendo che l corrispondente funzione di riprtizione F () ssume i vlori F (1) = 0,8414 e F () = 0,9775. h() h() < 0 h(b) h(b) > 0 h(m) 1, 1,5 1,75 h() < 0 h(b) > 0 0,5 1,5 1,75 1,65 h() < 0 h(b) > 0 0,47 1,65 1,75 1,6875 h() < 0 h(b) > 0 0,01 LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO L funzione di distribuzione gussin stndrdizzt, cioè quell per cui il vlore medio vle 0 e lo scrto qudrtico medio σ =1, è espress dll equzione: f() = 1 e. π Il grfico è mostrto in figur. 0,4 y f () = 1 π e O 8

9 L probbilità che l vribile ssum vlori compresi fr due estremi e b è dt d F (b) F (), dove F è l funzione di riprtizione. Poiché uno dei due estremi è negtivo, sfruttndo l simmetri dell gussin l probbilità cerct è P ( 1 ) = F () (1 F (1)) = = F () + F (1) 1=0, ,8414 1=0, Si consideri l funzione rele f definit d f() = Clcolre gli sintoti e determinre il vettore di trslzione che pplicto ll f trsform l funzione in un funzione dispri e scriverne l equzione. L funzione, il cui dominio è tutto R { 4}, h un sintoto verticle in = 4 e uno obliquo. Inftti: 4 lim 4 8+ =. Per determinre l sintoto obliquo clcolimo i seguenti limiti: 4 lim = che esclude l sintoto orizzontle. 8+ lim lim 4 (8 + ) = 1 che rppresent il coefficiente ngolre dell sintoto obliquo =vlore del termine noto. In conclusione, l sintoto obliquo vle: LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO y = 1 +. I due sintoti si intersecno in un punto di coordinte P ( 4; 4). Trslimo llor tle punto nell origine pplicndo un vettore v(4; 4) le cui equzioni di trslzione sono: { { = +4 = 4. Applichimo ll funzione le trsformzioni inverse: y = y 4 y = y +4. Sostituendo ottenimo y +4= 4 ( 4) 8+( 4) y = +1,che si verific fcilmente essere un funzione dispri. Si consideri un pirmide rett bse qudrt di vertice V e l si intersechi con un pino prllelo ll bse, ottenendo un pirmide α e un tronco di pirmide β. Determinre il rpporto fr le ltezze dei due solidi (α e β) nel cso in cui il volume dell pirmide così ottenut è 1 7 di quello del tronco di pirmide. 9

10 Poiché V α = 1 7 V β, llor V α = 1 8 V,dove V è il volume dell pirmide inizile. Poiché il pino secnte è prllelo ll bse, le due pirmidi sono simili e quindi le misure dei lti, ltezze ecc. delle due pirmidi sono in proporzione fr loro secondo l rdice cubic del rpporto dei loro volumi. Quindi h α = 1 8 h,dove h α è l ltezz dell pirmide seziont e h quell inizile. In conclusione h α = 1 h. Poiché l ltezz del tronco di pirmide è dt dll differenz h h α, il rpporto fr l ltezz dell pirmide seziont e quell del tronco di pirmide è unitrio. 4 Si consideri un ellisse riferit l centro e gli ssi di simmetri vente i fuochi di coordinte (±1; 0) ed eccentricità 1 e un rettngolo, interno ll ellisse, con i lti prlleli gli ssi di simmetri e pssnte per i due fuochi. Determinre l probbilità che un punto P,posto internmente ll ellissoide ottenuto dll rotzione dell ellisse ttorno ll sse delle scisse, si esterno l cilindro ottenuto per rotzione del rettngolo sempre ttorno ll sse delle scisse. Detto V e il volume dell ellissoide e V c quello del cilindro, l probbilità srà dt dll espressione: P = V e V c. Occorre innnzi tutto ricvre l equzione dell ellisse di V e centro O. Avendo fuochi di coordinte (±1; 0) ed eccentricità 1, si possono ricvre i LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO prmetri e b. Inftti: c =1 e = 1 = c e quindi =. b = c =. L equzione dell ellisse è llor: 4 + y =1. Un volt esplicitt 1 l equzione dell ellisse: y =, clcolimo il volume dell ellissoide con l formul dei volumi di rotzione medinte l integrle 4 1 [ V e = π d = 1 ] 4 4 π =8π. Clcolimo or i lti del rettngolo. Poiché esso è prllelo gli ssi di simmetri dell ellisse e pss per i fuochi, i vertici del rettngolo si otterrnno intersecndo l ellisse con le rette di equzioni = ± y =1 = ±1 10

11 Sostituendo si ottiene y = ± (. I vertici del rettngolo hnno coordinte ±1; ± ) e i lti misurno e. Il cilindro llor h rggio r = e ltezz h =. Il volume del cilindro è dto d: V c = πr h = 9 4 π = 9 π. L probbilità llor vle: P = V ( e V c 8 9 = ) π = 7 V e 8π Si f l funzione rele definit d ln( +1) f() = +1. Dopo ver dimostrto che l funzione h un solo punto estremnte, ricvrne le coordinte e stbilire se si trtt di un mssimo o di un minimo. Il dominio dell funzione è dto dll intervllo > 1. Nel dominio l funzione è continu e pertnto clcolimo l derivt prim: y ln( +1)+( +) = ( +1). L funzione è derivbile nel dominio, per cui nnullimo l su derivt prim e ne studimo il segno. Ricvimo ln( + 1) +( + ) = 0. Studimo grficmente l funzione, osservndo che l equzione è formt d un funzione logritmic (Y = ln( + 1)) trslt di un vettore ( 1; 0) e d un prbol con concvità rivolt verso il bsso (y = ). Trccimo i grfici. LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO y y = y =ln( +1) O Osservimo che l unico punto d intersezione è nell origine. Inoltre, poiché l derivt prim è dt dll differenz fr l funzione logritmic e l prbol, l funzione srà crescente per >0 e decrescente per <0. Di conseguenz l estremnte trovto è un minimo di coordinte (0; 0), come si verific immeditmente sostituendo = 0 nell f. 11

12 6 Sono dti due punti A e O tli che AO = ; dl punto O, preso come centro, descrivere un circonferenz di rggio vribile, e dl punto A condurre le due tngenti quest circonferenz. Trovre, fr i tringoli isosceli formti dlle due tngenti e dll cord che congiunge i punti di conttto, quello di re mssim. Dll figur si osserv che OB = con 0 <. Applicndo il Primo teorem di Euclide si ottiene: OH AO = OB d cui OH =. Allor AH = AO OH =. Dl Secondo teorem di Euclide ricvimo: BH = AH OH, d cui ( ) BH = =. A L re dei tringoli isosceli srà espress: A = BH AH =. Derivndo si ottiene: A = ( 4 ). L derivt prim si nnull per = ± e per = ±, di cui si ccettno solo i vlori positivi. Dllo studio del segno dell derivt prim si deduce che l derivt prim è positiv per <<, come riportto in figur, d cui si deduce che l re dei tringoli isosceli è mssim qundo il rggio dell circonferenz vle, cioè qundo il tringolo è equiltero. B H O LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO f () + f () M 1

13 7 Spendo che l funzione f() = +ln( +1)+ è invertibile nell intervllo [ 1 ; ] 1, llor, indicndo con g l funzione invers, clcolre l g (). Intersecndo l funzione f() con l rett y = si ottiene l equzione +ln( +1)=0,che si nnull per =0. Allor il punto dell funzione di ordint h sciss 0. Per il teorem dell funzione invers g (y 0 )= 1. Di conseguenz g () = 1 f. Derivndo l funzione f() si ottiene: (0) f () = d cui f (0) =. Allor g () = 1 f (0) = 1. f ( 0 ) 8 Si consideri un pentgono ABCDE regolre inscritto in un circonferenz di rggio unitrio. Condott d A l digonle AC e d B l digonle BE, dimostrre che BE è tglit d AC in due prti che stnno fr loro secondo l relzione ure. Dll figur si osserv che, detto D il punto d intersezione delle due digonli AC e BE, i tringoli BCD e BCE sono simili, inftti BĈA = BÊC perché ngoli che insistono su rchi congruenti. CE = BE perché digonli del pentgono regolre. LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO C B E A D D B C A E M nche BD C è isoscele. Inftti BĈA = AĈE = EĈD perché ngoli che insistono su rchi congruenti e vlgono ciscuno 108 =6. Allor C D E vle 108 in qunto è dto d 180 AĈE CÊB. Allor B D C, supplementre di C D E,vle 7. Di conseguenz nche C BE vle 7 e quindi il tringolo BCD è isoscele e perciò i tringoli BCD BC e BCE sono simili. Allor vle l proporzione: BD = BE BC. M BC = CD = D E (in qunto nche CD E è isoscele di bse CE) e quindi sostituendo si ottiene D E BD = BE D,che è proprio l relzione ure. E 1

14 9 Si consideri l equzione sen =0. Utilizzndo un metodo di clcolo numerico delle rdici, ricvre un vlore pprossimto di π ll second cifr decimle. Applichimo il metodo di clcolo dicotomico considerndo l funzione f() =sen e prendendo come estremi dell intervllo i vlori = e b = 4. Costruimo l tbell. Abbimo ricvto un intervllo di cui sono certe le prime due cifre decimli. Possimo concludere che il vlore pprossimto di π è, Preso un sistem crtesino Oy si consideri l prbol di equzione y =. Si pong sull sse delle ordinte un filo metllico in cui scorr un corrente di intensità di 1A. Ricordndo che il cmpo mgnetico prodotto d un filo rettilineo in un punto distnz è dto dll legge di Biot-Svrt B = i π b 4 m = + b,5 ed è perpendicolre l pino y, si clcoli il flusso del cmpo mgnetico che ttrvers l superficie chius limitt dll prbol, dll sse delle scisse e dlle rette di equzioni =1 e =. (Nell soluzione si lscino indicte le costnti µ 0 e π senz sostituirne i vlori.) f () f () > 0 f (b) f (b) < 0 f (m) 0,5,5,5 f () > 0 f (b) < 0 0,108,5,15 f () > 0 f (b) < 0 0,016,15,5,1875 f () > 0 f (b) < 0 0,046,15,15,1406,1406,1406,1875,1565,1565,1511,14585,1565,1406,1511,14585 f () > 0 f () > 0 f () > 0 f () > 0 f (b) < 0 f (b) < 0 f (b) < 0 f (b) < 0 0,015 0,001 0,01 0,004 LOESCHER EDITORE PAGINA LIBERAMENTE FOTOCOPIABILE A USO DIDATTICO Il vettore B prodotto dl filo percorso d corrente non è costnte in tutti i punti dell superficie, m solo sulle rette prllele ll sse y. Perciò per clcolre il flusso occorre clcolre gli infiniti flussi infinitesimi che ttrversno le superfici rettngolri di ltezz f() e bse d e quindi sommrli. Questo signific clcolre il seguente integrle: b (B) = B() f()d, dove f() è l equzione dell prbol e gli estremi e b sono quelli dti dl testo ( =1e b =). Sostituendo si ottiene: b (B) = B() f()d = µ 0 [ π 1 d = µ0 ] = µ 0 π 1 4π. 14

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