Analisi statistica delle serie temporali e spaziali

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1 Analisi statistica delle serie temporali e spaziali 3 marzo 2003

2 2 (A.A ; Corso di 30 ore di lezioni e 18 di esercitazioni) 5 crediti Corso di Laurea in Statistica e Informatica per la Gestione e l Analisi dei Dati 3 anno, nuovo ordinamento Obbligatoria per i percorsi B e C Valido anche come modulo per il corso di Statistica Matematica per il 4 anno Corso di Laurea in Scienze Statistiche ed Economiche. Marcello Chiodi Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche Silvio Vianelli Università degli studi di Palermo Viale delle Scienze, Palermo-Italy chiodi@unipa.it;

3 0.1. ARTICOLAZIONE DEL CORSO: Articolazione del corso: corso di lezioni teoriche e corso di esercitazioni ed esame di casi pratici mediante software statistico. E utile organizzare all interno del corso delle piccole verifiche (con modalità da concordare) che agevolano lo studente nella preparazione finale 0.2 Requisiti di base (consigliati) per la frequenza del corso: Statistica 1; Statistica 2; Statistica 3; Analisi 1; algebra; Calcolo delle Probabilità; Laboratorio statistico informatico Finalità del Corso Fare maturare nello studente il concetto che le serie temporali e le serie spaziali (di cui comunque ci si occuperà in maniera più limitata) sono strutturalmente diverse da serie statistiche in varia misura riconducibili a campioni casuali (semplici e non) in contesti sperimentali o osservazionali

4 4 Acquisire alcuni strumenti di base nell analisi descrittiva delle serie. Inquadrare quando possibile l analisi delle serie temporali e spaziali come studio di una realizzazione di un processo stocastico Introdurre a tecniche di analisi avanzate Modalità di svolgimento dell esame: L esame è costituito da una prova pratica (da svolgersi di norma con l ausilio di un computer) e da una prova orale. 0.4 Materiale didattico e programma dettagliato Parte del materiale didattico impiegato (lucidi, figure, esempi, etc.) è distribuito agli studenti durante lo svolgimento del corso, ma non può costituire la fonte unica della preparazione dello studente. Gli studenti interessati ad avere una copia del materiale e del programma dettagliato possono rivolgersi al Prof. Chiodi, o cercare sulle pagine web:

5 0.5. AVVERTENZA 5 in nessun caso questi appunti esauriscono da soli la preparazione richiesta dal corso. Gli studenti sono comunque invitati ad approfondire gli argomenti del corso sui testi che ritengono più adeguati, eventualmente consultando il docente. Il Prof. Chiodi é contattabile negli orari di ricevimento ed anche: tel. xx ; ; chiodi@unipa.it 0.5 Avvertenza In questo corso in generale non viene dato particolare risalto agli aspetti propriamente computazionali. Si darà di solito solo qualche cenno insieme con qualche indicazione sul software utilizzabile. Il corso di esercitazioni, sebbene non direttamente finalizzato allo studio di casi completi di studio, ma prevalentemente a delle esemplificazioni su dati reali, viene svolto in buona parte su PC. Il corso di esercitazioni va considerato a tutti gli effetti parte integrante comunque del presente corso.

6 6 0.6 impostazione del corso Il corso è basato su una impostazione orientata ai dati (data-oriented) Verrà posta molta enfasi sugli aspetti esplorativi e descrittivi Le tecniche inferenziali saranno accennate solo per alcuni problemi fondamentali

7 Indice 0.1 Articolazione del corso: Requisiti di base (consigliati) per la frequenza del corso: Finalità del Corso Modalità di svolgimento dell esame: Materiale didattico e programma dettagliato Avvertenza impostazione del corso Esempi introduttivi su casi reali premessa Serie dei valori dell indice della borsa di New York Serie dei numeri del lotto Serie delle temperature Serie delle quantità di luce Serie multivariata Serie dati sul vento Conteggi di servizi sanitari giornalieri Dati longitudinali antropometrici

8 8 INDICE 1.10 Rilevazioni continue Serie economiche e finanziarie multivariate indici di 8 borse Alcuni spunti di discussione sui problemi esposti Cenni sui Processi Stocastici Processi stocastici discreti e continui Processi stocastici a parametro discreto e continuo Processi stazionari Processi ergodici Alcuni particolari processi stocastici Teorema di Wold Processi di punto cenni Conteggi Processo di Poisson SERIE TEMPORALI E SPAZIALI Serie Spaziali o Territoriali analisi descrittive ordinarie Serie puntuali Serie integrali Serie territoriali Griglie regolari Regioni irregolari Distanza fra regioni

9 INDICE 9 4 Scomposizione di serie Componenti deterministiche e stocastiche Trend Trend lineare Trend non lineare Punti di svolta (breakpoints) componenti stagionali Componenti moltiplicative Componenti additive Perequazioni Medie mobili lisciamento esponenziale Trasformazioni Differenziazione di serie Serie caotiche Serie stazionarie Autocorrelazione seriale Autocorrelazione parziale Correlogramma semplice Correlogramma parziale Stima dei parametri di un modello lineare con errori AR(1) Modelli ARMA definizione dei modelli correlogramma

10 10 INDICE 6.3 identificazione dei modelli la stima dei parametri Tecniche di previsione 67 8 Cenni sull analisi spettrale spettro di un processo stima della densità spettrale periodogramma

11 Capitolo 1 Esempi introduttivi su casi reali 1.1 premessa I dati che seguono derivano da esperienze reali o da databases pubblici e sono funzionali all introduzione al corso, e in parte costituiscono una selezione dei problemi reali che in parte sono affrontabili con le metodologie e le tecniche studiate in questo corso. verosimilmente solo alcuni aspetti dei casi citati sono affrontabili usando solo le tecniche illustrate in questo corso Lo scopo fondamentale è quello di far prendere confidenza con situazioni vere e sottolinearne le diversità rispetto alle situazioni affrontate negli altri corsi di statistica. 11

12 12 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI In realtà non si tratta di argomenti o casi di studio veri e propri, o almeno non verranno trattati come tali nel corso.

13 1.1. PREMESSA 13 I dati impiegati in questa sezione ed in altri momenti del corso hanno un difetto fondamentale: sono dati reali! Per questa ragione difficilmente troveremo modelli (parametrici e non) che si adattano perfettamente ai dati o serie di residui empirici senza comportamenti sospetti I dati veri hanno molti inconvenienti: difficilmente costituiscono un campione casuale semplice (non lo saranno comunque nel nostro corso!) non sono quasi mai completi sono spesso eterogenei (ossia provengono da popolazioni diverse) hanno un grado di precisione delle misurazioni differente non necessariamente provengono veramente da modelli noti (normali, esponenziali, etc.) Per introdurre ed esemplificare realizzazioni di particolari processi, si faranno in seguito anche esempi con dati simulati

14 14 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI 1.2 Serie dei valori dell indice della borsa di New York Nel grafico 1.1 è riportata la serie delle osservazioni giornaliere dal 1966 al 2000 dell indice generale della borsa di New York. I valori sono (esempio nella tavola 1.1).

15 1.2. SERIE DEI VALORI DELL INDICE DELLA BORSA DI NEW YORK15 Figura 1.1: Serie dei valori dell indice della borsa di New York, dal 1966 al 2000 vai a indice figure Osservazioni: 1. I dati sono relativi a rilevazioni giornaliere, con esclusione dei sabati, domeniche e delle festività nelle quali la borsa è chiusa 2. Dal momento quindi che le osservazioni non corrispondono ad intervalli eguali di tempo, nel rappresentare i dati, in ascissa ho riportato le date effettive delle rilevazioni. 3. I punti sono stati congiunti

16 16 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI 4. Si tratta di oltre 8700 osservazioni, per cui è impossibile apprezzare sul grafico i valori singoli di giorni particolari Tuttavia i valori minimi e massimi si possono apprezzare Si può anche avere un idea sulla forma generale del grafico (o tendenza generale) 5. La scala di misurazione è quella originaria

17 1.2. SERIE DEI VALORI DELL INDICE DELLA BORSA DI NEW YORK17 t Data X t /01/ , /01/ , /01/ , /01/ , /01/ , /01/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , /02/ , Tabella 1.1: Alcuni valori della serie dell indice della borsa di New York, dal 1966 al 2000

18 18 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI Figura 1.2: Serie dei valori dell indice della borsa di New York, particolare di due mesi di osservazioni (50 valori) vai a indice figure

19 1.2. SERIE DEI VALORI DELL INDICE DELLA BORSA DI NEW YORK19 Figura 1.3: Serie dei valori dell indice della borsa di New York, particolare di due mesi di osservazioni (50 valori) vai a indice figure Nel grafico 1.2 è riportato un particolare della stessa serie avendo lasciato inalterata la scala delle ordinate Non si riesce ad apprezzare nessun tipo di tendenza nè di forma d altra parte in scala del grafico 1.1 corrisponde ad un ampiezza di circa 1/200 dell asse delle x (meno

20 20 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI di un millimetro con l attuale dimensione di stampa della pagina) Si può anche avere un idea sulla forma generale del grafico (o tendenza generale) Nel grafico 1.3 è riportato lo stesso particolare della serie avendo modificato la scala delle ordinate. Adesso si riesce ad apprezzare il fenomeno nei due mesi considerati. Non è detto che l andamento in questa piccola finestra temporale sia simile a quello degli altri periodi o addirittura all intero periodo. Presumibilmente si impiegheranno tecniche differenti secondo che si sia interessati al lungo periodo o al breve periodo Considerando la serie originaria completa è presumibile che possano essere interessanti serie derivate (o trasformate) da quelle originarie, che per ora non verranno comunque presentate E possibile comunque avere delle serie relative a singole quotazioni di titoli.

21 1.3. SERIE DEI NUMERI DEL LOTTO Serie dei numeri del lotto

22 22 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI Figura 1.4: Serie dei numeri del lotto (primi estratti) su una ruota dal 1871 vai a indice figure

23 1.3. SERIE DEI NUMERI DEL LOTTO 23 Figura 1.5: Serie dei numeri del lotto (primi estratti) su una ruota dal 1871 vai a indice figure Nella tavola 1.2 e nel grafico 1.4 sono riportati i numeri primi estratti su una ruota del lotto dal Nel grafico 1.5 è riportata l analoga serie per un periodo di 3 anni. I dati sono relativi a 1 o 2 rilevazioni a settimana (secondo gli anni). In ascissa non ho riportato le date effettive delle rilevazioni. in effetti le date non si susseguono ad intrevalli sempre uguali, tuttavia per questo fenomeno è irrilevante in effetti che due estrazioni si siano distanziate di 7 giorni o di 7 mesi!

24 24 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI I punti sono stati congiunti la scala verticale è univoca: i primi novanta numeri interi. Si può avere un idea sulla forma generale del grafico (o tendenza generale)? Sono presenti numerose (troppe? )oscillazioni Ha senso parlare di tendenza in questo caso? Ha senso parlare in questo caso comunque di sistematicità di comportamento? è forse meglio parlare di casualità. La nozione di caualità che emerge considerando questo fenomeno, allo stato attuale dello svolgimento del programma di questo corso, scaturisce dalla nostra conoscenza del fenomeno più che dall osservazione della serie o del grafico l estrazione di un numero del lotto è casuale perchè sappiamo che è così, non perchè ce ne accorgiamo dai risultati! (a meno di non impiegare test di casualità ancora non introdotti)

25 1.3. SERIE DEI NUMERI DEL LOTTO 25 t X t i x Tabella 1.2: Alcuni valori della serie dei primi estratti del lotto

26 26 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI 1.4 Serie delle temperature Nella figura 1.6 sono rappresentati i valori delle temperature rilevate a Palermo nel 1998, presso una centralina del CNR, ad intervalli orari. Nella tavola 1.3 sono riportati i valori di una giornata.

27 1.4. SERIE DELLE TEMPERATURE 27 Figura 1.6: Serie delle temperature rilevate a Palermo nel 1998 con cadenza oraria vai a indice figure 1. Ovviamente possiamo avere informazioni differenti dalla serie dei minimi e dei massimi giornalieri (ricavabili sempre dagli stessi dati) 2. Alcune osservazioni sono mancanti (perchè il sensore in quel momento non era collegato) 3. Che senso può avere parlare di tendenza in questo caso? 4. e se avessimo una serie di cento anni?

28 28 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI 5. Forse è meglio parlare di cicli? e che tipo di ciclo? Nella figura 1.7 sono rappresentati i valori relativi a soli quattro giorni, avendo opportunamente cambiato la scala delle temperature in ordinata

29 1.4. SERIE DELLE TEMPERATURE 29 Figura 1.7: Serie di 4 giorni di temperature rilevate a Palermo nel 1998 con cadenza oraria vai a indice figure

30 30 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI Figura 1.8: Serie delle temperature minime, medie e massime a Palermo nel 1998 (365 rilevazioni giornaliere, ricavate dai dati della serie oraria 1.6) vai a indice figure Che cosa può indicare di diverso il grafico con i minimi e i massimi giornalieri rispetto a quello con le rilevazioni orarie? Avere più osservazioni (ossia osservazioni più frequenti dallo stesso sensore!) può servire? Si rifletta sull eventuale utilità di avere rilevazioni della temperatura per ogni secondo!

31 1.4. SERIE DELLE TEMPERATURE 31 Avere invece più osservazioni per ogni istante (ossia osservazioni relative a più sensori!) a cosa potrebbe servire? Potendo scegliere, avere una osservazione ogni dieci minuti da un sensore o due osservazioni simultanee ogni venti minuti da due sensori è la stessa cosa? Una simile alternativa è pensabile nell esempio dei valori dell indice della borsa?

32 32 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI t Data e orario Temperatura /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ , /07/ ,11

33 1.5. SERIE DELLE QUANTITÀ DI LUCE Serie delle quantità di luce

34 34 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI Figura 1.9: Serie della radiazione globale: valori orari del 1998 vai a indice figure

35 1.5. SERIE DELLE QUANTITÀ DI LUCE 35 Figura 1.10: Serie della radiazione globale valori orari di 4 giorni vai a indice figure Nella figura sono riportati i valori dell irradiamento globale del 1998 rilevato a Palermo, presso una centralina del CNR, ad intervalli orari. 1. Ovviamente dal tramonto all alba i valori sono nulli 2. Alcune osservazioni sono mancanti (perchè il sensore in quel momento non era collegato) 3. Che senso può avere parlare di tendenza in questo

36 36 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI i t Data e orario radiazione luminosa /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/ /07/

37 1.5. SERIE DELLE QUANTITÀ DI LUCE 37 caso? Forse è meglio parlare di cicli? e che tipo di ciclo?

38 38 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI 1.6 Serie multivariata In effetti gli esempi precedenti riguardano un sottoinsieme di dati tratto da un database di rilevazioni (multivariate) relative ad istanti di tempo successivi in un arco di alcuni anni. I dati della tavola 1.5 possono essere analizzati come un normale insieme di dati multivariato? di che tipo sono le varie variabili?

39 1.6. SERIE MULTIVARIATA 39 i DATE TIME TMP1 TMP2 V.VENT ILLUM RAD1 RAD2 UMID D.VE 1 24-Sep ,90 22,80 1, ,00 0,18 0,20 79, Sep ,00 22,95 0, ,00 0,16 0,18 78, Sep ,05 22,95 0, ,00 0,37 0,42 78, Sep ,40 23,30 0, ,00 0,53 0,60 76, Sep ,70 23,65 1, ,00 0,30 0,34 73, Sep ,65 23,60 0, ,00 0,12 0,14 73, Sep ,50 23,45 0, ,00 0,09 0,10 74, Sep ,45 23,40 0, ,00 0,06 0,07 75, Sep ,40 23,35 0, ,00 0,04 0,04 75, Sep ,35 23,30 0,59 300,00 0,01 0,01 76, Sep ,20 23,15 0,66 100,00 0,01 0,00 77, Sep ,10 23,05 0,22 100,00 0,00 0,00 78, Sep ,20 23,15 0,61 0,00 0,00 0,00 78, Sep ,30 23,20 0,32 0,00 0,00 0,00 77, Sep ,95 22,90 0,74 0,00 0,00 0,00 80, Sep ,85 22,80 0,40 0,00 0,00 0,00 80, Sep ,75 22,70 0,56 0,00 0,00 0,00 81, Sep ,70 22,65 0,76 0,00 0,00 0,00 80, Sep ,65 22,60 0,82 0,00 0,00 0,00 80, Sep ,55 22,50 0,91 0,00 0,00 0,00 80, Sep ,50 22,45 0,53 0,00 0,00 0,00 81, Sep ,45 22,40 0,87 0,00 0,00 0,00 81, Sep ,35 22,30 0,65 0,00 0,00 0,00 82, Sep ,30 22,25 0,79 0,00 0,00 0,00 83, Sep ,30 22,25 0,56 0,00 0,00 0,00 83, Sep ,25 22,20 0,62 0,00 0,00 0,00 83, Sep ,10 22,05 0,55 0,00 0,00 0,00 84,50 Tabella 1.5: Serie multivariata dati meteorologici

40 40 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI 1.7 Serie dati sul vento La tavola 1.5 riporta anchele rilevazioni sulla velocità (in km/h e sulla direzione del vento rilevate ogni dieci minuti nell arco di alcuni anni a Palermo. Per la direzione del vento è stata impiegata una scala a sedici termini secondo la rosa dei venti (0=Nord,1=Nord-Nord-Est,...,15=Nord- Ovest-Nord) Per la serie delle velocità è riportata la serie dei valori nel grafico 1.11 la serie delle direzioni è relativa ad una variabile ciclica (dati direzionali) e quindi difficilmente potrà essere paragonata alle altre qui descritte pur trattandosi di dati meteorologici relativi allo stesso luogo ed allo stesso intervallo di tempo, difficilmente gli andamenti delle velocità del venti saranno analoghi per esempio a quelli delle temperature eventuali comportamenti ciclici relativi ad altre variabili non saranno del tutto confrontabili con questo.

41 1.7. SERIE DATI SUL VENTO 41 vai a indice figure Figura 1.11: Serie della velocità del vento

42 42 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI 1.8 Conteggi di servizi sanitari giornalieri Un esempio di natura completamente diverso riguarda i dati della tavola 1.6, in cui è riportato il numero di prestazioni (di tipo radiologico tradizionale) erogate giornalmente da un reparto ospedaliero di radiologia, in funzione del reparto di provenienza del paziente, suddivisi per semplicità in due sole categorie: pazienti provenienti dal pronto soccorso e pazienti provenienti da altri reparti.

43 1.8. CONTEGGI DI SERVIZI SANITARI GIORNALIERI 43 data asl palermo ortopedia pronto soccors pneumologia totale reparto 01/01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /01/ /02/ /02/

44 44 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI Figura 1.12: Serie servizi radiologici di un reparto nell arco di due anni vai a indice figure è presumibile (e si vede dal grafico 1.12) che il numero di prestazioni erogate sia dipendente dal giorno della settimana. si può anche pensare che tale dipendenza sia diversa per la serie dei pazienti provenienti dal pronto soccorso e per quella dei pazienti provenienti da altri reparti. (in effetti possiamo pensare che si tratti di un processo di conteggio che scaturisce dall avere contato gli istanti di un processo di punto che cadono in un intervallo giornaliero).

45 1.9. DATI LONGITUDINALI ANTROPOMETRICI Dati longitudinali antropometrici

46 46 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI Figura 1.13: Serie della crescita di peso di un bambino nell arco di quattro anni vai a indice figure

47 1.10. RILEVAZIONI CONTINUE 47 Figura 1.14: Serie della crescita delle altezze di 5 bambini nell arco di quattro anni vai a indice figure 1.10 Rilevazioni continue 1.11 Serie economiche e finanziarie multivariate indici di 8 borse

48 48 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI Figura 1.15: grafico a matrice delle coppie di variabili:valori giornalieri di 8 indici di 8 borse vai a indice figure

49 1.11. SERIE ECONOMICHE E FINANZIARIE MULTIVARIATE 49 Figura 1.16: grafico a matrice delle coppie di variabili trasformate:valori giornalieri dei rendimenti relativi degli 8 indici di 8 borse vai a indice figure

50 50 CAPITOLO 1. ESEMPI INTRODUTTIVI SU CASI REALI 1.12 Alcuni spunti di discussione sui problemi esposti I dati in qualche modo dipendono dal tempo (o dallo spazio) (o da entrambe le cose) questa dipendenza può essere esplicitata come è stata espressa la regressione? è lo stesso guardare una serie in dettaglio o nel suo complesso? parlare di tendenza generale è legato o no all ampiezza della serie? l aumento di temperatura nei mesi primaverili ed estivi è una tendenza generale? l aumento di temperatura nelle prime ore del giorno è una tendenza generale? esistono dei cicli? in qualcuno dei problemi esposti la dipendenza temporale poteva essere trascurata? (ossia l ordine di rilevazione era irrilevante?)

51 Capitolo 2 Cenni sui Processi Stocastici 2.1 Processi stocastici discreti e continui Per potere introdurre alcune delle tecniche di analisi di serie temporali (o spaziali) occorre estendere opportunamente i modelli probabilistici elementari, per contemplare la possibilità di una dipendenza fra le componenti e l ordinamento attraverso il tempo. 51

52 52 CAPITOLO 2. CENNI SUI PROCESSI STOCASTICI In effetti, come si è visto anche dagli esempi, le situazioni che intendiamo studiare non si prestano ad essere rappresentate dai modelli fin qui utilizzati per la descrizione delle osservazioni: quasi impossibile pensare, negli esempi visti, che le osservazioni {x 1, x 2,..., x t,..., x n } costituiscano un campione (casuale o no) di una stessa variabile casuale X, perchè questo in ogni caso implicherebbe la nozione di scambiabilità o comunque di indifferenza rispetto al tempo, ed inoltre presupporrebbe una ripetibilità che è quasi impossibile ipotizzare. Probabilmente solo i numeri del lotto possono essere considerati come un campione (per giunta bernoulliano) estratto da una popolazione fissata: infatti è proprio per questo che giudichiamo inesistente la dipendenza dal tempo per quel fenomeno Esempio con riferimento all esempio delle quotazioni dell indice della borsa di New York, la quotazione x t relativa al t-esimo giorno non è più osservabile, è irripetibile perchè non è pensabile riottenere un altro valore x t1 nelle stesse condizioni (non controllabili e spesso neanche misurabili) presenti nel giorno t-esimo.

53 2.1. PROCESSI STOCASTICI DISCRETI E CONTINUI 53 Esempio Una situazione leggermente diversa, si può avere in un ambito non osservazionale, ma sperimentale, nel caso della rilevazione delle temperature: si può pensare ad una stazione di rilevazione con due o più sensori (i sensori sono molto vicini, diversamente dovremmo pensare anche alla disposizione spaziale). In questo caso avremo due (o più) serie di temperature: {x 1, x 2,..., x t,..., x n } {y 1, y 2,..., y t,..., y n } Adesso all istante t-esimo abbiamo effettivamente un campione casuale semplice di 2 osservazioni {x t, y t } relativo ad una variabile casuale X t. Nell esempio precedente si è indicata la variabile aleatoria relativa al tempo t con X t. Possiamo estendere questa notazione a tutti gli istanti temporali e pensare che, almeno in linea teorica, ad ogni istante corrisponda una diversa variabile aleatoria. Pertanto il modello teorico è completo considerando la collezione di tutte le variabili aleatorie relative ai vari istanti di tempo (processo stocastico). Analogamente possiamo considerare una collezione di variabili aleatorie relative a diverse collocazioni spaziali (utile per modellizzare osservazioni relative a luoghi diversi), o relative a collocazioni spaziali e a tempi differenti.

54 54 CAPITOLO 2. CENNI SUI PROCESSI STOCASTICI Definiamo Processo stocastico X, l insieme di variabili aleatorie X t, con t I T Analogamente possiamo considerare una collezione di variabili aleatorie relative a diverse collocazioni spaziali (utile per modellizzare osservazioni relative a luoghi diversi), o relative a collocazioni spaziali e a tempi differenti. 2.2 Processi stocastici a parametro discreto e continuo I casi più comuni ed utili nelle applicazioni di insiemi t I T sono: Processi a parametro continuo (indicati con X(t)) t R Processi a parametro discreto (indicati con X t ) t Z Se consideriamo anche insiemi s I S ad esempio del tipo s R 2 in cui s è una coppia di coordinate geografiche nel piano, possiamo formalizzare anche processi spaziali. Manterrò comunque in generale la notazione ad un indice, passando a quella a due nei pochi casi in cui ci occuperemo di processi spaziali. Evidentemente i processi si possono caratterizzare anche per il tipo di variabile X t (discreta o continua, secondo la terminologia ordinaria): Processi continui se X t è una v.a. continua Processi discreti se X t è una v.a. discreta

55 2.3. PROCESSI STAZIONARI 55 Evidentemente un processo a parametro continuo X(t) sarà comunque osservato in un insieme discreto di istanti In questo corso ci occuperemo prevalentemente di processi continui a parametro discreto 2.3 Processi stazionari 2.4 Processi ergodici Alcuni particolari processi stocastici 2.5 Teorema di Wold 2.6 Processi di punto cenni 2.7 Conteggi Processo di Poisson

56 56 CAPITOLO 2. CENNI SUI PROCESSI STOCASTICI

57 Capitolo 3 SERIE TEMPORALI E SPAZIALI 3.1 Serie Spaziali o Territoriali 3.2 analisi descrittive ordinarie istogrammi, rappresentazioni grafiche, distribuzioni di frequenza, etc Serie puntuali {x 1, x 2,..., x t,..., x n } 57

58 58 CAPITOLO 3. SERIE TEMPORALI E SPAZIALI Serie multivariata: x 11 x x 1j... x 1k x 21 x x 2j... x 2k X = x t1 x t2... x tj... x tk x n1 x n2... x nj... x nk Serie multivariata: X = x 11 x x 1k x 21 x x 2k x n1 x n2... x nk Serie integrali 3.3 Serie territoriali Griglie regolari Regioni irregolari Distanza fra regioni

59 59

60 60 CAPITOLO 4. SCOMPOSIZIONE DI SERIE Capitolo 4 Scomposizione di serie 4.1 Componenti deterministiche e stocastiche 4.2 Trend Trend lineare Trend non lineare Punti di svolta (breakpoints) 4.3 componenti stagionali Componenti moltiplicative Componenti additive 4.4 Perequazioni Medie mobili lisciamento esponenziale 4.5 Trasformazioni Differenziazione di serie 4.6 Serie caotiche

61 Capitolo 5 Serie stazionarie 5.1 Autocorrelazione seriale Supponiamo di volere spiegare la variabilità di una serie mediante i soli valori della serie stessa in tempi precedenti; è opportuno ipotizzare che il processo stocastico che ha generato la serie sia stazionario, per cui la serie non ha certamente componenti di trend. Possiamo, prima di ipotizzare particolari processi stocastici che possono avere generato la serie, adottare un approccio analogo alla regressione lineare, cercando la relazione di regressione che fa dipendere X t da X t 1. In pratica impostiamo un modello di regressione nel quale la serie originaria svolge il ruolo della variabile di risposta, mentre la svolge il ruolo di regressore o variabile esplicativa. 61

62 62 CAPITOLO 5. SERIE STAZIONARIE serie originaria serie arretr x 2 x 3. x t x t+1. x n Come sempre nelle tecniche di regressione, non è detto che esista una vera e propria relazione causale fra i valori successivi di X; piuttosto si ipotizza che possibilmente i fattori (non osservabili) che al tempo t 1 hanno provocato l osservazione x t 1, al tempo t non siano variati di molto o comunque abbiano mantenuto al loro influenza su x t. Evidentemente l approccio qui descritto presuppone serie equiintervallate

63 5.1. AUTOCORRELAZIONE SERIALE 63 Si può proseguire il ragionamento pensando che X t sia influenzato non solo dalla precedente determinazione X t 1 ma anche da X t 2 e dalle precedenti osservazioni fino a X t k. serie originaria serie X t 1 x k+1 x k+2. x t x t+1. x n Per avere un indicazione sul tipo di autocorrelazione presente in una serie si può considerare la rappresentazione grafica di una serie con se stessa sfalsata di un posto (o di più posti),ossia l insieme costituito dai punti di coordinate x t, x t 1

64 64 CAPITOLO 5. SERIE STAZIONARIE Autocorrelazione parziale Correlogramma semplice Correlogramma parziale 5.2 Stima dei parametri di un modello lineare con errori AR(1)

65 Capitolo 6 Modelli ARMA 6.1 definizione dei modelli 6.2 correlogramma 6.3 identificazione dei modelli 6.4 la stima dei parametri 65

66 66 CAPITOLO 6. MODELLI ARMA

67 Capitolo 7 Tecniche di previsione 67

68 68 CAPITOLO 7. TECNICHE DI PREVISIONE

69 Capitolo 8 Cenni sull analisi spettrale spettro di un processo stima della densità spettrale periodogramma 69

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