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3 Orlando Allocca Regolatori standard

4 Copyright MMXII ARACNE editrice S.r.l. via Raffaele Garofalo, 133/A B Roma (06) ISBN I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica, di riproduzione e di adattamento anche parziale, con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi. Non sono assolutamente consentite le fotocopie senza il permesso scritto dell Editore. I edizione: giugno 2012

5 Indice 9 Capitolo I Introduzione 11 Capitolo II Terminologia 13 Capitolo III Sistemi reazionati. Principi di funzionamento 19 Capitolo IV Controllori PID 4.1. Le azioni principali di un regolatore standard: P, I, D, Capitolo V Le azioni P, I, D nel dominio della pulsazione ω 5.1. L azione P, L azione I, L azione D, Capitolo VI Le azioni: PI, PD 6.1. L azione PI, L azione PD, Capitolo VII La struttura e le proprietà di un PID ideale 41 Capitolo VIII Metodi di Ziegler Nichols 8.1. La prima soluzione, La seconda soluzione, 42. 5

6 6 Regolatori standard 45 Capitolo IX Realizzazione dei regolatori PID 9.1. Gestione dei ritardi nella catena d andata, Integral Wind Up, Capitolo X PID digitali La conversione A/D, La conversione D/A, Discretizzazione di un PID, Progetto di un regolatore digitale, Capitolo XI Conversione analogico-digitale Campionamento, Campionamento con impulsi ideali, Campionamento con impulsi reali, Bibliografia

7 Elenco delle figure 1.1 Sistema a reazione nel dominio di Laplace. L organo di controllo sulla catena d andata è costituito dal PID Schema di funzionamento di un servomeccanismo di posizione Funzione d errore e azione di tipo P nel dominio del tempo Funzione d errore e azioni di tipo P e D nel dominio del tempo Diagrammi di Bode di k p P(jω) nel caso (5.1) Diagrammi di Bode di k p P(jω) nel caso (5.2) k i 5.3 Effetto di su P( j ω) jω k i 5.4 Effetto di su P( j ω) jω 5.5 Estinto il fenomeno transitorio, y(t) si discosta dal valore di regime, per poi ritornarvi, in un tempo di recupero Azione derivativa ideale su P( j ω) Azione derivativa reale su P( j ω) Diagrammi di Bode dell azione di tipo PI Effetto dell azione PI su P( j ω) Diagrammi di Bode dell azione di tipo PD Effetto dell azione PD su P( j ω) Aumentando il guadagno k p, con un gradino unitario in ingresso, il sistema compensato risponde sempre meglio, riducendo l offset Confronto tra l uscita y(t) e y(t) d

8 8 Regolatori standard 8.1 L uscita ad anello chiuso instaura al crescere di k p un moto pseudo-periodico dal quale si può conoscere T Metodo delle aree per il calcolo dei parametri di un regolatore Classico schema a blocchi di un PID Schema di un PID con derivazione dell uscita Differenza di comportamento di u(t) nel caso di PID con derivata sull uscita in evidenza il ritardo st nell anello Schema di controllo equivalente allo schema di Smith Modello predittore di Smith Risposte in uscita ad un gradino, con un ritardo nell anello di t = 1.5 sec. Fissato P(s) e realizzato il PID, a parità di strutture in uso, si vede che la risposta di Smith è meno pronta nel caso in cui il ritardo è fuori anello, ma anche meno distorta Saturazione sulla catena diretta Regolazione standard con dispositivo anti wind up Schema a blocchi di una funzione di trasferimento discretizzata P(z) Azione PI in frequenza al variare dei suoi parametri Andamento di modulo e fase di G(iω)/(iω) prima dell intervento dello zero Confronto tra un azione PI tempo continuo e una tempo discreto, ottenuta dalla discretizzazione dell equazione (10.4) X(f ) è uno spettro di banda 2B rigorosamentee limitata Replicazione di X(f ) a frequenze multiple di F C Diminuendo la frequenza le repliche di X(f ) tendono a sovrapporsi Ricostruzione di X(f ) grazie ad un sistema passa basso ideale, che filtra la sua componente centrata in f=0 con banda B < F C

9 Capitolo I Introduzione Questa dispensa poggia le basi nella teoria dei Controlli Automatici. È incentrata sullo studio dei PID, regolatori standard che usano tre azioni combinate: proporzionale all errore e(t) commesso nel confronto di r(t) con y(t) d, ingresso e uscita desiderata del sistema reazionato; proporzionale all integrale dell errore; proporzionale alla derivata dell errore. Figura 1.1: Sistema a reazione nel dominio di Laplace. L organo di controllo sulla catena d andata è costituito dal PID. Un PID s impiega nelle industrie, dove le caratteristiche dei sistemi da controllare possono variare entro ampi limiti, si realizza con molte tecnologie (elettriche, meccaniche, ecc.), è apprezzato per la semplicità ed efficacia nella regolazione di ampie gamme di processi. Hanno successo perché sono una soluzione non facilmente superabile nel rapporto efficacia costo. La loro efficienza è garantita da tecniche di taratura semplici, applicabili anche con modelli d impianti poco noti e dall uso in schemi di controllo articolati, con miglioramento delle prestazioni. Nei paragrafi seguenti si presenta la loro struttura di base, evidenziando alcuni metodi analitici di sintesi. Orlando Allocca 9

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11 Capitolo II Terminologia In riferimento allo schema di figura 1 si definiscono le seguenti entità: R(s) è la trasformata di Laplace dell ingresso r(t); Y(s) è l uscita; P(s) è la funzione di trasferimento dell impianto da controllare; PID è il regolatore di controllo nella sua forma più generale; U(s) è il segnale di controllo; H(s) è la funzione di trasferimento del trasduttore; Y(s) d è l uscita desiderata, proporzionale tramite k d a R(s); e (t) = y(t) d y(t) è l errore assoluto sull uscita e E(s) la sua trasformata; e(t) r = R (s) Y(s)/k d è l errore relativo sull uscita; G(s) = C(s)P(s) è la funzione di trasferimento della catena diretta e C(s) quella dell organo di controllo; F(s) = G(s)H(s) è la funzione di trasferimento d anello; W(s) = G(s)/1 + F(s) è la funzione di trasferimento a ciclo chiuso; ω t è la pulsazione di attraversamento di F(jω); ω π è la pulsazione per la quale arg F(jω) = -180 ; m a e m ϕ sono il margine di ampiezza e di fase di F(jω). 11

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