Trasformata di Laplace ESEMPI DI MODELLIZZAZIONE

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1 Traformata di Laplace ESEMPI DI MODELLIZZAZIONE

2 Introduzione La traformata di Laplace i utilizza nel momento in cui è tata individuata la funzione di traferimento La F.d.T è una equazione differenziale nel tempo abbatanza difficile Si ricorre alla traformata di Laplace per paare dal dominio del tempo al dominio delle frequenze Il dominio non è nel campo reale ma nel campo compleo =α+jω

3 Procedimento Per conocere una F.d.t. nel dominio t i procede econdo i eguenti punti:. Si traformano le variabili di ingreo dal dominio t al dominio 2. Si traformano le relazioni ingreo-ucita nel dominio 3. Si determina la funzione di ucita in 4. Si antitraforma la funzione di ucita dal dominio al dominio t

4 Ripota dei itemi continui nel dominio del tempo La ripota di un itema nel dominio del tempo a un egnale dipende ia dalla funzione di traferimento che dal egnale teo In genere, l analii di un itema i fa analizzando la ripota a un gradino unitario come egnale di input per t > t u() t = grad() t = 0 per t < t 0 0 Come i vedrà in eguito grad() t =

5 Sitema di ordine zero È un itema enza memoria; è rappreentato da una funzione di traferimento puramente algebrica anche nel dominio del tempo È una rete puramente reitiva La funzione di traferimento è una cotante Y() G () = = U() gt () = k k Se il egnale di ingreo è un gradino unitario, la ripota arà: U() = k Y() = Come eempio i riporta un partitore di tenione

6 Ripota ad un gradino unitario Vin=grad(t) R R2 Vout Vin=grad(t) t0 t Vout=grad(t) V out = R R2 + R 2 V in t0 t

7 Sitema del primo ordine Il itema è del primo ordine e in eo è preente un olo componente in grado di immagazzinare energia o materia o informazione Nel dominio del tempo, il itema è decritto da una equazione differenziale del primo ordine La funzione di traferimento Y() k G () = = U() + a La ripota al gradino unitario Nel dominio del tempo Y() = t k τ yt ( ) = ( e ) a k ( + a)

8 Eempio di un itema elettrico del primo ordine V2 0/5V MHz R k Se i prende l ucita u C conviene fare quete quete otituzioni C 0.uF v = v + v i r c Q i = t Q Q = CVc Ri = RC t vc vi( t) = RC + vc( t) τ=rc cotante di t tempo v L vi t RC vc t vi vc v t vo () vc()( τ + ) = vi() f... dt = = G() = v () + τ c ( ) = + ( ) = ( ) = τ ( ) + ( ) i Se l ingreo è un gradino k/ v ( ) c = k ( τ + )

9 Eempio di un itema del primo ordine V2 0/5V MHz R k C 0.uF Se i prende l ucita u R conviene fare quete quete otituzioni È compleo calcolare laf.d.t Anche in queto cao i fa la traformata di Laplace vout = Ri Q vi = Ri + Vc = Ri + = Ri + idt C t C vout C = v + RC i vi () = Ri() + i C vout i = vi () = vout + R v C R out

10 Ripota ad un gradino unitario

11 Sitemi di econdo ordine Si definice itema di econdo ordine, quel itema con due cotanti di tempo Un eempio molto emplice è un circuito RLC Anche in queto cao, i analizza il itema tramite un ingreo a gradino Anche in queto cao i può crivere: Vi(t)=Vr+Vc+Vl Si analizza il itema direttamente nel dominio delle frequenze v () = v + v + v i R L c v () = Ri + Li + i C

12 Sitema del II ordine R Supponiamo di voler prendere l ucita ul condenatore Vi() L C Vc = C = = 2 V i R + + L LC + RC + C = 2 R LC + + L LC La funzione di traferimento diventa: ( ) G = ω 2 n ξωn + ωn Se i fanno le eguenti poizioni: ωn = LC R 2ζωn = L

13 Ripota al gradino

14 Ripota al gradino di un itema del econdo ordine Tp Td = tempo di ritardo tempo per raggiungere il 50% del egnale T = tempo di alita tempo per raggiungere il 90% del egnale Ta = tempo di aetamento S = ovraelongazione maima S% = 00e T p = ω n πξ ξ 2 π 2 ξ

15 Proprietà e traformazioni Dominio nel tempo Dominio di Laplace f(t) F() a f(t) a F() δ(t) (impule) a (tep) a/ at (ramp) a/ 2 t n Teorema del valor finale Teorema del valore iniziale Teorema della tralazione n!/(n+) in(ωt) ω/(ω ) co(ωt) /(ω ) e ( at) / (+a) n at t e ( n )! ( + a) n in h (ωt) ω/ 2 -ω 2 co h(ωt) /( 2 -ω 2 ) lim ft ( ) = lim F ( ) t 0 lim f ( t) = lim F( ) + t 0 T ( ) = () L f t T e F Dominio nel tempo d f(t)/d t d 2 (t)/dt 2 ( ) e at co ωt e t 0 at f () t dt in ( ωt) F(t-θ) Dominio di Laplace 2 F F()-f(0) df () t ( ) F(0) t dt F()/ ( + a) ( ) a + ω ω ( ) a +ω e -θ F() = 0

16 Semplice eempio Qin portata in ingreo h d Schema equivalente Qout Portata in ucita Qin CL Q RL Qout Q=Qout- Qin

17 Semplice eempio La relazione ingreo-ucita nel dominio del tempo h τ τ + h = Qin t A τ è l cotante di tempo, A l area del erbatoio (vedi file rappreentazione ) Nel dominio delle frequenze Qinτ τ H() + H() = A H() = Qin τ A + τ antitraformat a t Q ( ) in τ τ ht = ( e ) A Derivata prima di una variabile Cotante nel tempo

18 Semplice eempio Il itema è prettamente Meccanico. Eo è formato da una maa M, una molla di cotante elatica K e uno uno morzatore di cotante b Se il itema è ollecitato da una forza F, può eere decritto dalla eguente equazione... F kx b x = m x Se i fa un analogia con un itema elettrico allora: F=v, k=/c, M=L, b=r

19 In concluione Le componenti circuitali nel dominio del tempo e delle frequenze Dominio del tempo R C L Dominio delle frequenze R /C L

20 Funzioni di traferimento di uo più comune δ () t k k t 2 k kt 2 at e + a k at ke + a ( at e ) ( + a) a k k at ( e ) ( + a) a t τ e ( + τ ) t k τ k e ( + τ ) t t τ τ τ τ2 ( + τ ) e e + τ + τ2 τ τ2 τ τ2 ( )( )