Rudimenti di topologia sugli spazi normati

Transcript

1 Rudimenti di topologia sugli spazi normati 0 settembre 0 In queste dispense introdurremo il concetto di topologia sugli spazi normati, con particolare interesse per gli spazi vettorialir n. Questa introduzione è particolarmente utile per definire i limiti e la continuità per funzioni a più variabili. Con il simbolor + denoteremo l insieme{x R: x 0}. Spazi normati Definizione. Sia X uno spazio vettoriale sur. Una norma su X è una funzione tale che. x =0se e solo se x=0. : X R +. λx = λ x per ogni λ R e per ogni x X. 3. (Disuguaglianza triangolare) x+y x + y per ogni x,y X. Definizione. La coppia (X, ), dove X è uno spazio vettoriale X su R e è una norma su X, si dice uno spazio normato. Esempio.3 La funzione valore assoluto surèuna norma sur; di conseguenza la coppia(r, ) è uno spazio normato. Proposizione.4 La funzione : R n R + (x,...,x n ) x + +x n (.) è una norma su R n. Tale norma si dice norma Euclidea.

2 Dimostrazione. Chiaramente si ha che (x,...,x n ) 0 per ogni (x,...,x n ) R n. Dimostriamo che le tre richieste della definizione di norma valgono.. Si noti che (0,...,0) = 0. Supponiamo ora che (x,...,x n ) = 0. Di conseguenza x + +x n = 0 e quindi x i = 0 per ogni i {,...,n}.. Siano λ R e(x,...,x n ) R n. Vale λ(x,...,x n ) = (λx,...,λx n ) = (λx ) + +(λx n ) = λ x + +x n = λ (x,...,x n ). 3. Si noti che (x,...,x n ) =((x,...,x n ) (x,...,x n )) per ogni(x,...,x n ) R n, dove il simbolo denota il prodotto scalare dir n. Per una definizione di prodotto scalare si veda ad esempio [, Pagg. 0 e seguenti]. Per ogni (x,...,x n ),(y,...,y n ) R n vale la seguente disuguaglianza di Schwarz (x,...,x n ) (y,...,y n ) x + +x n y + +x n. Pertanto, se(x,...,x n ),(y,...,y n ) R n, allora (x,...,x n )+(y,...,y n ) = (x + y,...,x n + y n ) = (x + y,...,x n + y n ) (x + y,...,x n + y n ) = (x,...,x n ) (x,...,x n )+(y,...,y n ) (y,...,y n ) +(x,...,x n ) (y,...,y n ) = (x,...,x n ) + (y,...,y n ) + (x,...,x n ) (y,...,y n ) (x,...,x n ) + (y,...,y n ) + x + +x n y + +x n = ( (x,...,x n ) + (y,...,y n ) ). La dimostrazione è conclusa.

3 Esercizio Dimostrare che la funzione : R n R (x,...,x n ) max{ x,..., x n } (.) è una norma su R n. Esercizio Dimostrare che la funzione : R n R (x,...,x n ) x + + x n (.3) è una norma su R n. Topologia In questa sezione la coppia(x, ) denoterà uno spazio metrico. Definizione. Dati x o X e r> 0, l insieme B(x o,r)=b r (x o )={x X : x x o <r} (.4) si dice palla (o boccia) di X centrata in x o e raggio r. Esempio. Se X = R e è la norma Euclidea, allora B(x o,r) coincide con l intervallo]x o r,x o + r[. Esempio.3 Se X =R e è la norma Euclidea, allora B((x o,y o ),r)= { (x,y) R : (x x o ) +(y y o ) < r }. Per una rappresentazione grafica si veda la Figura. Esempio.4 Se X =R e è la norma definita in (.), allora B((x o,y o ),r)=]x o r,x o + r[ ]y o r,y o + r[. Per una rappresentazione grafica si veda la Figura. 3

4 y x Figura : Rappresentazione grafica della palla centrata in(0, 0) e raggio rispetto alla norma Euclidea. y x Figura : Rappresentazione grafica della palla centrata in(0, 0) e raggio rispetto alla norma. 4

5 y x Figura 3: Rappresentazione grafica della palla centrata in(0, 0) e raggio rispetto alla norma. Esempio.5 Se X =R e è la norma definita in (.3), allora B((x o,y o ),r)= { (x,y) R : x x o + y y o <r }. Per una rappresentazione grafica si veda la Figura 3. Definizione.6 Sia x o X. Un sottoinsieme U di X si dice un intorno di x o se esiste r>0 tale che B(x o,r) U. Definizione.7 Un sottoinsieme A di X si dice aperto se per ogni x A esiste r=r x > 0 tale che B(x,r) A. Un sottoinsieme C di X si dice chiuso se X\C è aperto. Esercizio 3 Dimostrare che un sottoinsieme A di X è aperto se e solo se A è un intorno di ogni suo punto. Definizione.8 Sia B X. Un punto x o B si dice interno a B se B è un intorno di x o. L insieme B={x B: x interno a B} si dice l interno di B. 5

6 Definizione.9 Sia B X. Un punto x o X si dice di chiusura o di aderenza per B se, per ogni r>0, B B(x o,r) /0. L insieme si dice la chiusura di B. B={x X : x di chiusura per B} Definizione.0 Sia B X. Un punto x o X si dice di accumulazione per B se per ogni r> 0 esiste y tale che y B B(x o,r). Definizione. Sia B X. accumulazione per B. Un punto x o B si dice isolato se x o non è di Definizione. Sia B X. Un punto x o X si dice di frontiera per B se x o è di chiusura sia per B che per X\ B. L insieme si dice la frontiera di B. B={x X : x di frontiera per B} Esercizio 4 Sia A α una famiglia di insiemi aperti di X. Provare che α A α è un insieme aperto. Esercizio 5 Siano A e A insiemi aperti di X. Provare che A A è un insieme aperto. Esercizio 6 Sia B X. Provare che. B è un insieme aperto;. B B; 3. B è il più grande insieme aperto contenuto in B. Esercizio 7 Sia X = R dotato della norma Euclidea. Si consideri, per ogni n N\{0}, l insieme aperto A n = ] 0,+ n[. Provare che n N\{0} A n non è un insieme aperto. Esercizio 8 Sia C α una famiglia di insiemi chiusi di X. Provare che α C α è un insieme chiuso. 6

7 Esercizio 9 Siano C e C insiemi chiusi di X. Provare che C C è un insieme chiuso. Esercizio 0 Sia B X. Provare che. B è un insieme chiuso;. B B; 3. B è il più piccolo insieme chiuso contenente B. Esercizio Sia B X. Provare che x B è isolato se e solo se esiste r>0tale che B(x,r) B={x}. Esercizio Sia B X. Provare che B=B X\ B. Esercizio 3 Sia X =R dotato della norma Euclidea e sia I =[0,] [,3[ ]4,5[ {6} ([7,8] Q). Determinare gli insiemi I, I, I, I, I, I, I. Riferimenti bibliografici [] V. Barutello, M. Conti, D. L. Ferrario, S. Terracini, G. Verzini, Analisi Matematica, Volume, Apogeo, Milano, 008. [] G. De Marco, Analisi Due/, Decibel Zanichelli, Padova, 99. [3] G. Prodi, Analisi Matematica, Bollati Boringhieri, Torino, 970. [4] W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, third edition, McGraw-Hill,