MATHEU Identificazione, Motivazione e Supporto dei Talenti Matematici nelle Scuole Europee MANUALE. Volume 2

Transcript

1 MATHEU Idetificzioe, Motivzioe e Supporto dei Tleti Mtemtici elle Scuole Europee MANUALE Volume Editor Gregory Mkrides, INTERCOLLEGE, Cyprus Pubblicto d MATH.EU Project ISBN

2 MATHEU Idetificzioe, Motivzioe e Supporto dei Tleti Mtemtici elle Scuole Europee MANUALE Volume (Livello ) Editor Gregory Mkrides, INTERCOLLEGE, Cyprus Pubblicto d MATH.EU Project ISBN Questo progetto é stto relizzto co il supporto dell Commissioe Europe ll itero dell struttur del Progrmm Socrtes. L iformzioe espress riflette solo i puti di vist dei pter del progetto MATHEU. L Commissioe Europe o può essere resposbile per utilizzo ftto d quest iformzioe.

3

4 Pter del Progetto MATHEU INTERCOLLEGE / School of Eductio Coorditig Istitutio, CYPRUS Gregory Mkrides Emilios Solomou Michlios Zembyls Eres Svv Ele Michel Istitute of Mthemtics Acdemy of Scieces, BULGARIA Petr Kederov Sv Grozdev Uiversity of Cyprus, CYPRUS Athsios Ggtsis Costs Christou Chrles Uiversity, CZECH REPUBLIC Jrmil Novot Mrie Hofmov Jroslv Zhouf Uiversity of Duisburg, GERMANY Werer Hussm Uiversity of Crete, GREECE Michlis Lmbrou Uiversity of Plermo, ITALY Filippo Spgolo North Uiversity of Bi Mre, ROMANIA Vsile Beride Uiversity of Miskolc, HUNGARY Péter Körtesi Jeő Szigeti Collbortori del Progetto MATHEU Bulgri Uio of Mthemticis Svetoslv Bilchev Romi Mth Society Mirce Becheu Europe Mth Society Toy Grdier, Mi Teicher MASSEE Emili Velikov Cyprus Mth Society Eres Philippou Uio of Mthemticis of Cyprus Mrios Atoides Czech Mthemticl Society Jroslv Svrcek, Vclv Sykor Helleic Mth Society Costtios Slris Itli Mth Society Frco Fvilli Hugri Mthemticl Society Peter Mdrz

5 4

6 Idice Pgi Pricipio di Dirichlet 7 Giochi Mtemtici 4 9 Geometri 0 4 Diseguglize Ivriti 7 86 Teori dei Numeri Poliomi e Equzioi 0 6 Successioi Aritmetiche, Geometriche e Armoiche 7 9 5

7 6

8 LIVELLO Il Pricipio di DIRICHLET Sv Grozdev Se vuoi mettere piccole biglie elle tsche del tuo ptlocio, sez dubbio risulterà che delle biglie sro lmeo i u stess tsc. Ioltre, se sistemi 4 piccole sctole i cssetti dell scrivi, o c'è modo di otteere cssetti co, l mssimo, u sctol i oguo di loro. Co certezz uo dei cssetti coterrà lmeo sctole. Se distribuimo 5 pppglli o 5 coigli i 4 gbbie, il proprietrio srà sicuro di vere u gbbi co pppglli o coigli. Queste ovvie osservzioi soo ll bse di u regol fodmetle, i.e. di u pricipio, che fferm: se m oggetti soo distribuiti i gruppi e m >, llor lmeo due degli oggetti è ello stesso gruppo. Questo pricipio viee chimto diversmete i pesi differeti. Per esempio i Frci è oto come il pricipio dei cssetti, i Ighilterr come "il pricipio dell piccioi, metre i Bulgri e i Russi come il pricipio di Dirichlet. Il pricipio è coesso l ome del grde mtemtico tedesco Gustv Lejeue Dirichlet ( ). Il merito di Dirichlet o è ello scoprire il ftto ble m ell'pplicrlo per risolvere umerosi iteressti problemi ell Teori dei Numeri. Dirichlet turlmete o stbilì come distribuire pppglli o coigli elle gbbie o sctole i cssetti. Userò il "liguggio dei cssetti", il pricipio di Dirichlet stbilisce l'esistez di u cssetto co certe proprietà. E u'sserzioe di esistez. Comuque il pricipio o propoe di trovre u lgoritmo co proprietà desiderte e di coseguez è di crttere ocostruttivo. Vle dire, l dimostrzioe costruttiv dell esistez che si vvici l rgiometo é sempre più covicete. Sembr che quest si l rgioe priciple per le impreviste umerose ppliczioi del pricipio di Dirichlet. I problemi segueti soo dedicti tli ppliczioi. Problem. Ci soo 67 lui i u scuol. Fi vedere che lmeo due di loro celebro i loro iversri di compleo i uo stesso gioro. Soluzioe: Deot ogi gioro dell'o come u cssetto. Ci soo llor 65 o 66 giori i u o che dipedoo dl mese bisestile, quidi il umero di tutti i cssetti è l mssimo 66. Metti ogi luo el cssetto l qule corrispode il suo compleo. Or l soluzioe del Problem segue direttmete dl pricipio di Dirichlet. Problem. Si s dll tomi che il umero di tutti i cpelli dell test di u uomo è meo di Dimostrre che ell città di Sofi vi sio lmeo due persoe co lo stesso umero di cpelli sulle loro teste. Soluzioe: Si cosiderio cssetti umerti d Si mett ogi residete di Sofi i u cssetto co u umero coicidete col umero dei suoi cpelli. Siccome tutti i resideti di Sofi soo più dei cssetti, segue dl pricipio di Dirichlet che lmeo due resideti soo i uo stesso cssetto. Di coseguez ho umeri uguli di cpelli sulle loro teste. Quest sserzioe é vlid per ogi ltr cpitle del modo co u umero di resideti o miori di Problem. U studete deve risolvere 9 Problemi per settim. Spiegre perché lmeo u gioro l settim questo studete o dovrebbe risolvere meo di Problemi. Soluzioe: Noi giustppoimo u cssetto d ogi gioro dell settim. Il umero totle di cssetti è 7. Scegli u cssetto. I esso dovrebbero essere messi i Problemi che lo 7

9 studete h risolto durte il gioro che corrispodoo l cssetto sotto cosiderto. Si procede logmete co gli ltri cssetti pplicdo il pricipio di Dirichlet. Questo è sufficiete per l spiegzioe. Il risultto è lo stesso se i Problemi soo 8, 0 o più. Problem 4. Sio dti 4 umeri turli. Provre che lmeo di loro ho stesso resto modulo. Soluzioe: Tutti i possibili resti moduli soo 0, e. Si cosideri cssetti che corrispodoo resti diversi. Si metto i 4 umeri turli i cssetti che dipedoo di loro resti. Quidi l'ffermzioe segue dl pricipio di Dirichlet. Problem 5. Sio dti 5 umeri turli. Si provi che lmeo u delle differeze tr di loro è divisibile per 4. Soluzioe: I possibili resti moduli 4 soo 0, e. Come el Problem precedete cosiderimo 4 cssetti che corrispodoo resti diversi. Segue dl pricipio di Dirichlet che lmeo umeri sio i uo stesso cssetto. Alcui dei resti di questi umeri moduli 4 soo gli stessi, llor l loro differez è divisibile per 4 e questo risolve il Problem. Il teorem seguete potrebbe essere provto logmete l suddetto Problem: Teorem. Se è u umero turle, llor per + umeri turli rbitrri se e può scegliere due tle che l loro differez è divisibile per. Problem 6. Si, b e c iteri. Provre che il prodotto bc(b + )(c + )(c + b) é divisibile per 6. Soluzioe: Gli ultimi tre fttori del prodotto cosiderti soo formti d tutte le possibili coppie dei tre umeri iteri. Almeo due dei tre umeri iteri ho l stess prità e perciò u delle somme è pri, i.e. il prodotto è divisibile per. Or uo lmeo uo dei tre umeri iteri è divisibile per, i questo cso il prodotto è divisibile che per, o i due umeri ho rispettivmete resti e moduli e l loro somm è divisibile per. Problem 7. Sei coppie di clssi sto prtecipdo d u competizioe "colpisci il bersglio". Mostrre che lmeo due di loro ho lo stesso umero di colpi se il umero totle di colpi è ugule 4. Soluzioe: Mettimo tutte le coppie di clssi che ho 0 colpi i u cssetto co etichett 0; mettimo tutti le coppie di clssi che ho colpo i u cssetto co etichett e così vi, mettimo tutti le coppie di clssi che ho 4 colpi i u cssetto co etichett 4. Se tutte le sei clsse coiugi cdoo i 6 diversi cssetti, il umero totle di colpi o è meo di = 5. Questo cotrddice l codizioe che il umero dei colpi è ugule 4. Due coppie di clssi ho lmeo di coseguez lo stesso umero di colpi. Problem 8. Sette persoe sto fcedo compere simultemete i u egozio. Provre che lmeo due di loro ho lo stesso umero di coosceti degli ltri. Soluzioe: Per prim cos si oti che ogi cooscete è simmetrico, i.e. se A é cooscete di B, llor B è cooscete di A. I Mtemtic quest proprietà è chimt riflessiv. Ogi perso h 0,,, 4 5 o 6 coosceti fr gli ltri el egozio. M se c'è u perso co 0 coosceti, i.e. se c'è u perso che o coosce essuo fr quellli che che sto fcedo compere, llor secodo l proprietà riflessiv essuo dovrebbe essere co 6 coosceti el egozio. Dipededo dl umero di coosceti tutte le persoe potrebbero essere divise i 6 gruppi, i.e. loro potrebbero essere distribuiti i 6 cssetti. Due csi soo possibili. Nel primo cso 0 persoe cdoo el primo gruppo, perso cde el secodo gruppo, persoe el terzo gruppo, persoe el qurto gruppo, 4 persoe el quito gruppo e 5 persoe el sesto gruppo. Nel secodo cso perso cde el primo gruppo, persoe cdoo el secodo gruppo, persoe el terzo gruppo, 4 persoe el qurto gruppo, 5 persoe el quito gruppo e 6 persoe el sesto gruppo. I mbo i csi i gruppi 8

10 soo 6, metre il umero delle persoe coosciute è 7. Così, l'ffermzioe segue dl pricipio di Dirichlet. I questo problem oi simo d'ccordo che se due persoe o ho coosceti, llor ho lo stesso umero di coosceti. Applicdo l'ide dell soluzioe si potrebbe provre che Sofi (o i u'ltr cpitle el modo) ci soo lmeo resideti co lo stesso umero di coosceti fr gli ltri resideti di Sofi. Il suddetto problem è u cso prticolre del cosìddetto "Problem del cooscete" che fferm: Per ciscu gruppo di persoe esistoo lmeo due di loro co lo stesso umero di coosceti el gruppo. Problem 9. Sedici squdre sto giocdo i u toreo di footbll uo cotro uo. Provre che dopo ogi mtch vi soo lmeo due squdre che ho giocto lo stesso umero di mtch. Soluzioe: Alogmete l problem precedete è sufficiete otre che se c'è u squdr co 0 mtch giocti, llor o c'è squdr co 5 mtch giocti. Segue che si potrebbe cosiderre 5 cssetti che dipedoo dl umero dei mtch giocti. Dopo di che è sufficiete per pplicre il pricipio di Dirichlet. Come el Problem precedete il umero delle squdre che prtecipo o è sigifictivo. Problem 0. Sio dte 5x 5 qudrti che soo divisi i 5 qudrti uitri. I u modo rbitrrio 6 puti soo mrcti sul qudrto. Provre che lmeo cdoo i qudrti uitri. Soluzioe: I questo problem il qudrto uitrio é come u cssetto. Se i ogi cssetto vi è l mssimo u puto, llor tutti i puti soo l più x 5 = 5. M il umero dei puti è 6 e 6> 5. Così, l'ffermzioe segue dl pricipio di Dirichlet. Problem. Ciqut puti soo mrcti su di u qudrto di lto 7 cm. Provre che lmeo puti potrebbero essere coperti d u qudrto di lto cm Soluzioe: Si divid il qudrto iizile i 49 qudrti di lto cm. Deducimo, come el problem precedete, che lmeo puti cdoo su di u qudrto di lto cm. Tle qudrto copre i puti. Problem. Cetouo puti soo situti i u qudrto di lto 0 cm. Provre che esistoo puti tle che l distz tr loro è meo che cm. Soluzioe: Si dovrebbe cosiderre che i puti più distti di u qudrto soo le estremità dell su digole. Le estremità defiiscoo isieme co l'ltro vertice, u trigolo isoscele co i lti uguli l lto del qudrto. Segue che l lughezz dell digole è miore dell lughezz rddoppit del lto del qudrto. Dlle estremità dell digole vi soo i puti più distti del qudrto, llor l distz tr coppie di puti del qudrto soo che miori dell lughezz rddoppit del lto. Ioltre, come el Problem precedete oi dividimo il qudrto i 00 più piccoli qudrti co lto cm oguo. Or i cssetti soo questi 00 più piccoli qudrti e dl pricipio di Dirichlet segue che lmeo puti cdoo i uo di loro. Si cosiderio di tli puti. Come già è stto otto, l distz tr loro è miore dell lughezz rddoppit del piccolo qudrto, i.e. è miore di cm. Problem. Vi soo 7 puti i u qudrto cosistete di 6 qudrti uitri. Provre che 4 qudrti uitri formo u qudrto che cotiee lmeo puti o qudrti uitri formo qudrti ed oguo di loro cosistete di 4 qudrti uitri e cotiee puti. Soluzioe: Si divid il qudrto iizile i 4 qudrti di tipo x. Questi 4 qudrti servoo come cssetti. Secodo il pricipio di Dirichlet uo di loro o cotiee meo di puti. Se i puti soo più di, llor simo posto. Si il umero dei puti ugule. I rimeti 5 puti soo situti egli ltri qudrti di tipo x. Secodo il pricipio di Dirichlet uo di loro o cotiee di uovo meo di puti. Se i puti soo più di, llor simo posto. 9

11 Altrimeti i puti soo precismete. I tle modo si ottegoo qudrti di tipo x ed oguo di loro cotiee puti. I puti rimeti soo e loro soo situti i qudrti del tipo x. Si pplichi il pricipio di Dirichlet per l terz volt. Segue che lmeo u qudrto o cotiee meo di puti. Se i puti soo, llor simo posto. Se i puti soo, llor si ottie u terzo qudrto di tipo x co puti. Problem 4. Si dto u qudrto x co 9 qudrti uità. Uo dei umeri, 0 o è scritto su oguo dei qudrti uità. Provre che fr le somme delle righe, coloe e digoli ce e sio due uguli. Soluzioe: Il umero delle righe è ugule, il umero delle coloe è che ugule e le digoli soo. Così il umero di tutte le somme è ugule 8. D'ltro cto il umero delle possibili somme dei tre umeri, 0 e è 7. Tutte le possibili somme soo:,, 0, o. Si cosiderio 7 cssetti che corrispodoo d oguo delle 7 somme. Segue dl pricipio di Dirichlet che lmeo delle 8 somme dlle righe, coloe e digoli soo uguli. Problem 5. U ghiottoe mgiò 0 dolci d u sctol di dolciumi co geeri di dolci. Trovre il più grde vlore possibile di per essere sicuro che il ghiottoe h mgito lmeo dolci dello stesso geere. Soluzioe: Se il ghiottoe h mgito l mssimo dolci dello stesso geere, llor il umero totle dei dolci mgiti è x = 9 l mssimo. Quest è u cotrddizioe perché 9 <0. Di coseguez >, ed il possibile vlore è = 4. I cssetti i questo cso soo i geeri diversi di dolci, i.e. essi soo. Mettedo 0 dolci i cssetti oi otteimo lmeo u cssetto co o meo di 4 dolci. Nell soluzioe dell'ultimo Problem si us l form più geerle che segue dl pricipio di Dirichlet: se m soggetti soo distribuiti i gruppi di e m> k, dove k è u turle, llor lmeo k + soggetti cdoo i uo dei gruppi. Per completezz proveremo quest form più geerle del pricipio di Dirichlet che se l prov é semplice come il pricipio stesso. L prov è piuttosto istruttiv perché co u rgiometo simile molto spesso è ust per il cotrrio. Così, si ssum che l mssimo k soggetti ppioo i ogi gruppo. Allor, il umero di tutti i soggetti è ugule k che cotrddice l codizioe che i soggetti eccedoo k. Adesso simo posto! Si cosideri u ltro istruttivo dettglio. È coesso co u determizioe precis del umero k. iftti è bbstz per dividere il umero m dei soggetti dl umero dei gruppi. Nell mggior prte dei csi il quoziete è u frzioe m è sufficiete per predere il più piccolo umero itero che è più grde del quoziete. Il umero k è ugule questo più piccolo umero. Così, se 7 coigli dovessero essere distribuiti i gbbie, dovrebbero essere divisi 7 i e 7 7 dovrebbero essere otteuti. Il più piccolo umero itero che è più grrde di è ugule. I questo cso il di pricipio di Dirichlet dice che ci soo lmeo coigli i u delle gbbie. Problem 6. Vi soo 5 lui che studio i u clsse. Provre che lmeo di loro soo ti ello stesso mese. Soluzioe: Si cosideri cssetti, i.e. tti quti soo i mesi i u o. Si mett gli lui ei cssetti secodo i mesi delle loro dte di scit. Allor, m = 5>. e segue dl pricipio di Dirichlet che ci soo lmeo + = lui i uo dei cssetti (i questo cso = e k = ). Problem 7. Qurt studeti sto risolvedo 6 problemi i u gr i u due giori dell Olimpide di mtemtic. Provre che lmeo 6 di loro ho risolto lo stesso umero di Problemi. 0

12 Soluzioe: Si cosiderio 7 cssetti. Si metto gli studeti che o ho risolto lcu problem el primo, si metto quelli co problem risolto el secodo, co problemi risolti el terzo, e così vi, quelli co 6 problemi risolti el settimo. Abbimo m = 40> 7x5 = 5 e segue dl pricipio di Dirichlet che lmeo 6 studeti cdoo i uo dei cssetti. Problem 8. I u qurtiere risiedoo persoe. L somm degli i che corrispodoo lle loro età è ugule 8. Provre che scegliedo 00 resideti del qurtiere si vrebbe che che l somm dei loro i o è miore di 00. Soluzioe: Si clssifichio tutti i resideti per età e si predo i primi 00 più zii. Il più giove di loro o è più giove dei resideti rimeti. Proveremo che l somm degli i dei primi 00 più zii o è miore di 00. D x00 = 00, segue che il più giove dei primi 00 é sotto i i. Lo stesso è vlido per i rimeti resideti fuori di primi 00. Allor l'età totle dei resideti è miore di x=7 i. Di coseguez l'età di tutti i resideti o è miore di 7+00=8 i e quest è u cotrddizioe. Si oti che l somm totle di 00 si è relizzt qudo l'età dei primi 00 più zii é di i estti. Problem 9. Sio dte 6 cse ed ogi coppi di cse è coess d u percorso che o è sfltto o pvimetto. Provre che lmeo cse soo coesse l'u l'ltr d percorsi dello stesso geere. Soluzioe: Si deoti l cs co le lettere A, B, C, D, E ed F. I percorsi di quli si iizi co A soo 5 e segue dl pricipio di Dirichlet che lmeo di loro soo dello stesso geere, sfltto per esempio. Si ssum che questi percorsi soo fr A e B, A e C, A e D. I percorsi soo deotti rispettivmete d AB, AC ed AD, i.e. useremo i omi delle loro estremità. Si cosideri il cso qudo il percorso BC è pvimetto. Altrimeti i percorsi che coettoo le tre cse A, B e C soo tutti sfltti e tutto é posto. Alogmete si cosideri il cso qudo i percorsi BD e CD soo che pvimetti. M llor le cse B, C e D soo coesse d percorsi pvimetti e tutto é posto. U form equivlete del suddetto problem è l seguete: Dti 6 puti i u pio, o ci soo di essi collieri. I segmeti che coettoo i puti soo colorti i blu o rosso. Provre che esiste u trigolo moocromtico (questo vuol dire che tutti i vertici del trigolo soo co lo stesso colore) co vertici fr i puti dti. Problem 0. Sio dti 7 puti i u pio, essu gruppo di è colliere. I segmeti che coettoo i puti soo colorti i blu, rosso o verde. Provre che esiste u trigolo moocromtico co i vertici fr i puti dti. Soluzioe: Si pred uo dei puti e lo si deot co A. Si cosiderio i 6 segmeti che comicio d A. Segue dl pricipio di Dirichlet che lmeo 6 di questi segmeti moocromtici soo, blu per esempio (se ci soo l più 5 segmeti di ogi colore, llor tutti i segmeti soo l più x 5 = 5, che cotrddice il umero 6 dto). Ioltre, si cosiderio le 6 estremità dei 6 segmeti che soo diversi d A. Se uo dei segmeti che li coettoo è blu, tr i puti B e C per esempio, llor il trigolo ABC è blu e tutto è posto. Or si cosideri il cso qudo tutti i segmeti che coettoo i 6 puti soo rossi o verdi. Quest è l codizioe del problem precedete e l'esistez di u trigolo moocromtico segue d esso. Problem. 9 mosche soo su di u prto erboso rettgolre co dimesioi m x m. È possibile uccidere lmeo simultemete mosche co u solo colpo usdo u pl co dimesioi 5 cm x 5 cm? Soluzioe: L rispost è positiv. È bbstz per dividere il prto i 96 qudrti co dimesioi 5 cm x 5 cm. Il pricipio di Dirichlet implic che lmeo mosche soo i u qudrto. Or l pl dovrebbe colpire precismete tle qudrto.

13 Problem. Soo segti 80 puti i u qudrto di lto 0 cm. Provre che esiste u qudrto di cm, che cotiee lmeo 4 puti o di qudrti di lto cm, che cotegoo puti oguo. Soluzioe: I questo cso i cssetti soo tutti i 400 qudrti uitri (i.e. qudrti co lto cm) ei quli può essere diviso il qudrto dto. Segue dl pricipio di Dirichlet che uo di loro cotiee lmeo puti. Se i puti soo più di, llor simo posto. Si suppog che i puti soo precismete. Allor i rimeti 799 puti soo situti sugli ltri 99 qudrti uitri. Ioltre dl pricipio di Dirichlet segue che uo dei 99 qudrti cotiee lmeo puti. Se i puti soo più di, llor simo posto. Altrimeti i puti soo precismete, metre otteedo così u secodo qudrto di lto cm che cotiee puti. È chiro di problemi cosiderti che u dettglio di bse per le soluzioi è l determizioe dei cssetti. L'ppliczioe del pricipio di Dirichlet dà u possibilità di vlutre l distribuzioe dei "soggetti" ei cssetti. C'è u'ltr clsse di Problemi che potrebbero essere risolt d u rgiometo simile l pricipio di Dirichlet. I "Cssetti" potrebbero essere usti elle loro soluzioi, m quest volt soo limitti, i.e. u umero limitto di soggetti potrebbe essere messo ei cssetti. Cotrrimete l pricipio di Dirichlet le stime o coceroo le distribuzioi dei soggetti m il umero dei cssetti usti. Nel seguito soo proposti lcui di questi Problemi. Problem. Ci soo 5 scrivie i u clsse co sedie ogu. Vetidue studeti soo preseti i u lezioe mtemtic. Provre che gli studeti siedoo lmeo i coppi i 7 scrivie. Soluzioe: Le scrivie soo cssetti che soo occupti e o é permesso sedere i u scrivi o più di studeti. Se ogi scrivi è occupt solmete d uo studete, llor i rimeti 7 studeti ( 5 = 7) dovrebbe sedere i 7 scrivie, metre otteimo così 7 scrivie co studeti i coppi. Problem 4. I vertici di u poligoo regolre di veti lti (0 goo regolre) soo colorti i blu o rosso. Il umero del vertici rosso è ugule 9, metre il umero dei blu è ugule. Provre che lmeo vertici blu soo dimetrlmete opposti. Soluzioe: I cssetti sro i dimetri del cerchio circoscritto l 0 goo regolre. Ogi dimetro coette vertici opposti. Tutti i cssetti soo limitti oguo di loro cotiee l più puti che soo le estremità del dimetro corrispodete. Il loro umero è ugule 0. Si cosiderio i cssetti co lmeo u vertice rosso. Il loro umero è l mssimo ugule 9. Siccome tutti i cssetti soo 0, llor esiste u cssetto sez u vertice rosso. Le estremità del dimetro corrispodete soo blu e questo coclude l prov. Problem 5. Trovre il vlore dell frzioe se cifre diverse corrispodoo lettere diverse e cifre uguli corrispodo d u stess letter: D I R I C H L E T. P R I N C I P L E Soluzioe: Tutte le 0 possibili cifre soo cssetti che soo limitti o più di u letter dovrebbe essere mess i u cssetto. Siccome le lettere diverse soo 0 ell frzioe, segue che u di loro corrispode llo zero. D'ltro cto lo zero o dovrebbe dre l deomitore, ciò implic che è presete l umertore e così il vlore dell frzioe è ugule 0.

14

15 Sezioe. SCHERZI MATEMATICI Giochi Mtemtici Svetoslv Bilchev, Emiliy Velikov Nei segueti giochi mtemtici scherzi mtemtici il risultto file dipede solmete dlle codizioi iizili del gioco m o dlle strtegie dei gioctori... Problem. Due gioctori ruppero più volte u cioccolto co dimesioe mx. Per trsportrlo oguo dei gioctori ruppe solmete il pezzo del cioccolto lugo u delle sue liee cocve. Perde il gioctore che o h più mosse. Soluzioe. Il puto priciple è che co ogi moss il umero dei pezzi umet di uo. All'iizio oi bbimo solmete uo pezzo di cioccolto. M ll fie oi dobbimo otteere mx piccoli pezzi. D desso, il gioco cotiuerà solo co (mx ) mosse. Se l'ultim moss è u umero pri, i.e. mx è u umero dispri il vicitore è il secodo gioctore. Se mx è che u umero pri il vicitore è il primo gioctore... Problem. I umeri,,,..., 00 soo scritti sull lvg. Due gioctori ccello di seguito due umeri e b. Dopo che scrivoo il umero + b fio che rimg u sol umero ll lvg. Il primo gioctore è il vicitore se l'ultimo umero è u umero pri. Nell'ltro cso il vicitore è il secodo gioctore. Soluzioe. È importte idicre che il umero geerle di mosse è 99 ed ogi moss decresce di l somm di tutti i umeri. All'iizio del gioco l somm di tutti i umeri: = 5050 è u umero pri. Sio ll fie del gioco rimrrà il umero = 495 (u umero dispri). Il secodo gioctore é desso il vicitore... Problem. I umeri,,,..., 005 soo scritti ll lvg. Due gioctori ccello di seguito due umeri e b. Dopo che scrivoo il umero b fio che rimg u sol umero ll lvg. Il primo gioctore è il vicitore se l'ultimo umero è u umero pri. Nell'ltro cso il vicitore è il secodo gioctore. Soluzioe. All'iizio del gioco è ecessrio che si idichi l somm di tutti i umeri = è u umero dispri. È fcile clcolre che dopo che ogi moss quest somm rime u umero dispri. E' quidi sufficete cosiderre due csi quello dove e b ho l stess o differete prità. Quidi, l'ultimo umero rimete è u umero dispri ed il secodo gioctore è sempre il vicitore..4. Problem. Due gioctori sto giocdo il seguete gioco. L prim moss del primo gioctore è dividere u pil di 5 pietre i due pile. Allor il primo gioctore scrive giù il prodotto dei umeri delle pietre per otteere due pile. Quidi il secodo gioctore f l stess moss così d otteere tre prti, e così fio che si ottegoo5 pile di pietre. i) Si A k l somm dei qudrti dei umeri delle pietre i ogi pil qudo le pietre soo divise i k pile. Provre che A k > A k + ; ii) Ifie viee clcolt l somm S dei prodotti otteuti. Il primo gioctore è vicitore se l somm S è u umero pri. Nell'ltro cso il vicitore è il secodo gioctore. 4

16 Soluzioe. i) Si suppog che l k esimo psso u pil di pile di x e y pietre rispettivmete. Allor ( x + y ) ( x + y ) = 0 x + y pietre é divis i due A k A k + = xy >, i.e. A k > A k + ; ii) Abbimo già visto che dopo ogi divisioe il umero A k decresce dl prodotto rddoppito del umero delle pietre elle due uove pile. Quidi S = ( A A k ) = [ 5 ( )] = ( 5 5 ) = 05, i.e. l somm S è sempre ugule ll costte 05. Allor il secodo gioctore sempre il vicitore, tutto dipede dll prim moss del primo gioctore e dl modo di dividere le pile. Sezioe. SIMMETRIA Adesso cosiderimo giochi mtemtici ei quli si vice se si us l'ide di simmetri... Problem. Il cmpo di gioco é u rettgolo co dimesioi ( ) i qudrti ( ), che é diviso, é u umero turle. Due gioctori coloro uo o più qudrti o colorti o due vicii o colorti (verticle o orizzotle). Soluzioe. Se è u umero dispri il vicitore è il primo gioctore per il primo l su moss è dipigere i due qudrti cetrli che dividoo il cmpo di gioco i due prti uguli. Dopo che h ftto le mosse simmetriche lle mosse del secodo gioctore. Qudo è u umero pri il vicitore è il secodo gioctore deve fre mosse simmetriche lle mosse del primo gioctore co riferimeto l cetro del cmpo d gioco... Problem. Due gioctori dipigoo u delle tre figure rettgolo ( ) qudrti ( ), ( ) di u grde qudrto di dimesioi ( 0 ) o 0. E impossibile colorre due volte l stess figur. Il vicitore è il gioctore che dipige l'ultim cell del grde qudrto. Soluzioe. Il vicitore è il primo gioctore co l strtegi seguete: L su prim moss é dipigere u qudrto ( ) il cui cetro coicide col cetro del grde qudrto. Dopo di che ripete simmetricmete ogi moss del secodo gioctore... Problem. Due gioctori ho l possibilità di fre delle mosse su di u foglio rettgolre di crt ( 00 ). Per prim moss è possibile colorre uo o precchi celle d u qudrto. È impossibile dipigere u cell due volte. Il perdete è il gioctore che o h ulteriore moss. Soluzioe. Il vicitore è il primo gioctore se ussse l seguete strtegi di simmetri: Deve dipigere il qudrto i modo tle che il cetro coicid co il cetro del rettgolo e che l simmetri é l stess dell simmetri del rettgolo. Dopo di che segue il gioco simmetrico. L strtegi simmetric del gioco o é obbligtori per lcui rgiometi geometrici..4. Problem. Si dto u prllelepipido rettgolo di dimesioi: 5

17 i) ii) 4 4 iii) 4 ed é formto solo d cubi. Oguo dei due gioctori che muove per primo può fre u buco co u go i u fil se c'è lmeo u cubo sez lcu buco. Il perdete è il gioctore che o si muove più. Soluzioe. Nei csi i) e ii) il vicitore é il secodo gioctore che h usto u simmetric cetrle. Nel terzo cso il vicitore é il primo gioctore che f u buc ell rig dei cubi cetrli dei quttro gioctori. E dopo di che é ecessrio usre u simmetri cetrle..5. Problem. Si dto u goo covesso. Due gioctori trccio u digole del goo. No è permesso trccire u digole co puti comui co digoli trccite. Perde il gioctore che o h più mosse. Soluzioe. Il primo gioctore é il vicitore se é u umero pri il primo coette i due vertici opposti del goo. Allor goo é diviso i due prti co lo stesso umero di vertici. Allor il primo gioctore f u moss simmetric rispetto l secodo per ogi moss del secodo gioctore i u o elle due prti h l possibilità di rispodere co mosse simmettriche. Qudo é u umero dispri l soluzioe complet é coosciut gli utori?.6. Problem. Due gioctori mettoo i cvlieri i u sccchier. No è permesso metter u Cvliere el posto che è sotto combttimeto, come el gioco degli sccchi, qudo esistoo già Cvlieri ell sccchier. Il perdete è il gioctore che o h lpiù possibilità di metter u Cvliere ell sccchier. Chi è il vicitore se il gioco è corretto? Ceo. Il secodo gioctore é il vicitore che us u strtegi simmetric rispetto ll digole o l cetro..7. Problem. Due gioctori mettoo proiettori di luce ei qudrti uità del rettgolo: i) k k ; ii) k. Ogi proiettore di luce é sopr tutti i qudrti che o soo el lto siistro e o el livello più lto. Ogi moss illumi l più u uovo qudrto. Il gioctore che mette il proiettore ell golo dell prte siistr è il perdete. Chi può essere il vicitore? Aswer. i) Il primo gioctore é il vicitore. L su prim moss è di illumire il qudrto più grde possibile. E dopo é ecessrio usre u strtegi simmetric. ii) Il primo gioctore é il vicitore. E ecessrio usre l iduzioe. L prim moss é ell utilizzre l prte iferiore destr del qudrto. Poi il primo gioctore, co ogi su moss, può risistemre il cmpo come il rettgolo sez il qudrto che st egli goli. Sezioe. MINIMAX I quest Sezioe cosidereremo giochi ei quli il puteggio di ogi gioctore é vribile co i differeti vlori dipedeti dlle mosse dei gioctori ed ogi gioctore vuole icremetre il suo puteggio. I giochi sro co due gioctori l cui somm dei puteggi è u vlore costte idipedete di gioctori. Gli iteressi dei gioctori soo direttmete opposti perché qudo i puteggi di uo dei gioctori umet llor il puteggio del secodo gioctore dimiuisce. 6

18 .. Problem. U rgzzo ed u rgzz dividoo 0 vestiti el seguete modo: il rgzzo divide i vestiti d due mucchi e l rgzz e prede uo d essi. Quti mucchi soo possibili per essere presi dl rgzzo e dll rgzz? Soluzioe. Oguo prederà esttmete 5 vestiti. I reltà il rgzzo o divide il mucchio i u umero di vestiti diverso perché l rgzz e prederebbe l prte più grde. Allor il rgzzo f el miore tempo possibile il mssimo puteggio. Questo tipo di strtegi prede il ome di miimx... Problem. Alis e Bsilio dividoo 0 moete d oro el seguete modo. Bsilio divide tutte le moete i due mucchi. Ogi mucchio o può essere più piccolo di due moete. Dopo di che Alis divide ogi mucchio i ltri due mucchi. Ifie Alis f il più grde ed il più piccolo mucchio e gli ltri soo per Bsilio. Qute moete ottiee Alis e qute Bsilio? b. Alis può Soluzioe. Bsilio divide il mucchio i due co e b moete, tle che dividere il primo mucchio, per esempio, i due prti eguli ed il secodo mucchio i due prti co и b moete. Pertto Alis vrà b moete. M b, + b = 0 ed llor b 5. Alis vrà u umero di moete mggiore ugule 5. Se Bsilio divide il mucchio i due prti uguli Alis prederà esttmete 5 moete idipedetemete dlle sue mosse. Oguo vrà esttmete 5 moete... Problem. I umeri,,,..., 00 0, soo scritti ll lvg. Oguo dei due gioctori ccell u sottoisieme di 9 umeri d ess. Dopo ccellte rimgoo due umeri ell lvg. Il puteggio del primo gioctore è ugule l vlore ssoluto dell differez tr questi due umeri. Dimostr che il puteggio del primo gioctore o è più piccolo di 55, idipedetemete delle mosse del secodo gioctore. Soluzioe. L prim moss del primo gioctore é di ccellre i ove umeri compresi tr 47 e 55. Allor rimgoo umeri che soo divisi i due gruppi: d 46 e d 56 sio 0. Allor se il secodo gioctore ccell il umero k il primo gioctore deve ccellre il umero 55 k. Quidi il vlore ssoluto dell differez tr gli ultimi du umeri é 55. Sezioe 4. TEORIA DEI NUMERI 4.. Problem. Sio dti 4 umeri:,,,..., 9, 7, 8, 9, 0,. Due gioctori scelgoo u umero. Ifie ogi gioctore ggiuge i suoi umeri. Il vicitore è il gioctore che h u somm co il vlore ssoluto più lto. Chi dei gioctori h u strtegi vicete? Soluzioe. L somm di tutti i umeri é ( 7 ) + ( 8 ) + ( 9 ) + ( 0 ) + ( ) =. Quidi le somme di etrmbi i gioctori sro umeri iteri opposti co lo stesso vlore ssoluto idipedetemete d chi iizi il gioco e sceglie i umeri. Perciò questo gioco o h u vicitore. 4.. Problem. Il gioco iizi dl umero 60. Due gioctori dimiuiscoo il umero rimete co uo dei suoi divisori positivi. Il perdete è il gioctore che ottiee zero. 7

19 Soluzioe. Il vicitore é il primo gioctore. Iizi dimiuire il umero 60 co lcui dei suoi divisori dispri. Quidi rime u umero dispri. Perciò il secodo gioctore é obbligto dimiuire il umero co u umero dispri. Allor il umero restte è cor u pri. Quidi il primo gioctore può dimiuire il umero co lcui suoi divisori dispri, per esempio, e così vi 4.. Problem. Due gioctori scrivoo delle cifre iizido dll prim cifr o uitri sio ll ultim cifr. Il umero delle cifre è 6. Se 7 divide il umero otteuto il vicitore è il secodo gioctore, ltrimeti è il primo. Chi è il gioctore se il gioco è corretto? Soluzioe. Il secodo gioctore può scrivere i ogi mometo l cifr l cifr 4, poi l cifr, poi l cifr 5, poi 4 l cifr, poi 5 l cifr 6, poi 6 l cifr, poi 7 l cifr 0. poi 8 l cifr 4, poi 9 l cifr. Ifie il umero otteuto é: A= bcdef, dove I umeri b, cd, ef soo divisibili per 7. Pertto A é divisibile per 7. Quidi il secodo gioctore é il vicitore 4.4. Problem. Due gioctori scrivoo le cifre iizido dll prim cifr uità ell ordie sio ll ultim cifr. Il umero di cifre é k. Se divide il umero otteuto il vicitore é il secodo gioctore, ltrimeti é il primo. Chi è il vicitore se il gioco è corretto? Cosider I csi: i) k umero pri; ii) k umero dispri mggiore di. Soluzioe. i) Il secodo gioctore mette le stesse cifre come l prim. Il umero otteuto é A= bbcc... ff, che é divisibile per. Il vicitore é il secodo gioctore. ii) Il vicitore é il secodo gioctore perché h l possibilità di usre l stess strtegi e il umero otteuto desso srà A= bbcc... ffg e il umero A o è divisibile per oostte l scelt dell ultim cifr g d prte del primo gioctore Problem. cifre,,,,...,, soo scritte i u rig. Due gioctori mettoo il sego + o. tr ogi due cifre successive. Dopo ver messo tutti gli segi, viee clcolt il vlore dell espressioe otteut (ll iizio soo stti presi tutti I prodotti e poi tutte le ddizioi). Il primo gioctore è il vicitore se il umero otteuto è u umero pri. Altrimeti il vicitore è il secodo gioctore. Soluzioe. Il primo gioctore h u strtegi vicete. L prim moss è di mettere il sego. dvti dell ultim cifr ell rig. Isieme co oguo delle rimti cifre llor vi soo due posti liberi per i segi (destr e siistr). Dopo di che il primo gioctore deve fre le mosse tli che el lto destro o siistro per ogu dell cifre di siistr ci si il sego.. Ciò é possibile perché i ogi moss il secodo gioctore può mettere u sego i u prte dell cifr ed llor il primo gioctore mette il sego. ell ltr prte dell stess cifr. Ifie isieme co ogi cifr rimrrà il sego.. Pertto bbimo ddizioto solo umeri pri ed llor il risultto dell esperessioe srà u umero pri Problem. Due gioctori scrivoo k cifre iizido dll prim cifr. Il vicitore è il primo gioctore se il umero o è divisibile per 9. Altrimeti il vicitore è il secodo gioctore. Soluzioe. Il resto dell divisioe del umero per 9 é lo stesso del resto dell somm delle sue cifre. 8

20 Allor se k é u umero pri il secodo gioctore é il vicitore i quto prede come ultim cifr (l ultim moss) il umero che ddizioto 9 d il resto dell divisioe dell somm dell prim k cifr per 9. Allor il umero otteuto é divisibile per 9. Se k é u umero dispri il primo gioctore é il vicitore perché l ultim moss deve dre u umero l cui somm delle cifre o può essere divisibile per Problem. I u rig soo scritte cifre :,,,...,. Due gioctori mettoo il sego + o. fr ogi due cifre cosecutive. Dopo ver messo tutti gli segi si clcol il vlore otteuto (iizilmete soo stti presi tutti i prodotti e poi tutte le ddizioi). Il primo gioctore è il vicitore se il umero otteuto è pri. I cso cotrrio è il secodo. Ceo. Vedi l soluzioe del problem

21 GEOMETRIA Ere Philippou, Mrios Atoides Segmeti e Rggi L sse di u segmeto é u rett, semirett o ltro segmeto che é perpedicolre l segmeto el suo puto medio. Teorem: Se u puto st ell sse di u segmeto, llor il puto é equidistte dgli estremi del segmeto. Teorem: Se u puto é equidistte dgli estremi di u segmeto, llor st ell sse di u segmeto. Rette perpedicolri soo due rette che formo goli retti. Rette prllele: Le rette prllele soo rette che o si iterseco e che soo complri. U rett che itersec due o più rette complri i puti distiti é chimt rett trsversle. Agoli Gli Agoli soo figure geometriche formte d due semirette veti l stess origie. Le due semirette soo chimte lti dell golo ed il loro puto i comue vertice dell golo. Gli goli possoo essere clssificti dll loro misur: Agoli retti soo goli che misuro 90. Agoli cuti soo goli che misuro tr 0 e 90. Agoli ottusi soo goli che misuro tr 90 e 80. Agoli pii soo goli che misuro 80. Agoli supplemetri (diceti) e b che ho u vertice comue O e il lto comue OZ; gli ltri due lti OX e OY l uo l cotiuzioe dell ltro. Gli goli soo supplemetri tr di loro. Z b X O Y L som di goli supplemetri (diceti) è ugule 80 grdi. Agoli Complemetri soo due goli l cui somm misur 90. Gli goli soo complemetri tr di loro. b Agoli opposti l vertice soo due goli co u vertice comue, tle che i lti di u golo soo cotiuzioe dell ltro. Gli goli opposti l vertice soo cogrueti: b U bisettrice di u golo é u semirett, che divide l golo i due prti eguli 0

22 b Proprietà di u bisettrice di u golo: ogi puto dell bisettrice é equidistte di lti dell bisettrice. Postulto: Se due rette prllele soo tglite d u trsversle, llor gli goli corrispodeti soo cogrueti. Teorem: Se due rette prllele soo tglite d u trsversle, llor gli goli lteri iteri soo cogrueti. Teorem: Se due rette prllele soo tglite d u trsversle, llor gli goli iteri corrispodeti soo supplemetri. Teorem: Se u trsversle é perpedicolre d u o due rette prllele, llor é perpedicolre tutte le ltre. Postulto: Se due rette soo tglite d u trsversle e gli goli corrispodeti soo cogrueti, llor le rette soo prllele. Teorem: Se due rette soo tglite d u trsversle e gli goli lteri iteri soo cogrueti, llor le rette soo prllele. Teorem: Se due rette soo tglite d u trsversle e gli goli lteri iteri corrispodeti soo supplemetri, llor le rette soo prllele. Teorem: I u pio, se due rette soo perpedicolri ll stess rett llor le rette soo prllele. Itersecdo due rette prllele co u terz rett, soo formti otto goli, che soo chimti due due: i) Agoli corrispodeti ( e 5; e 6; e 7; 4 e 8 ); questi goli soo uguli due due: ( = 5; = 6; = 7; 4 = 8 ); ii) Agoli lteri iteri ( 4 e 6; e 5 ); questi goli soo uguli due due; iii) Agoli lteri esteri ( e 7; e 8 ); questi goli soo uguli due due; iv) Agoli iteri supplemetri ( e 4; 5 e 6 ); l somm di questi due due é ugule 80 grdi ( + 5 = 80 grdi; = 80 grdi); v) Agoli esteri supplemetri ( e ; 7 e 8); l somm di questi due due é ugule 80 grdi ( + 7 = 80 grdi; + 8 = 80 grdi). Agoli co lti prlleli corrispodeti soo eguli fr di loro, (se etrmbi soo cuti o ottusi, o se l loro som é 80 grdi ( c + d = 80 grdi.

23 c d b Agoli co lti perpedicolri corrspodeti soo che uguli tr di loro (se etrmbi soo cuti o ottusi, o se l loro som é 80 grdi). c b d Teorem di Tlete. Iterseco u golo co rette prllele, l golo é diviso i segmeti proporzioli: t t B A A' B' l l C C' l AB = AC = BC A' B' A' C ' B' C ' Proprietà delle rette prllele: Per u puto estero d u rett, vi é u ed u sol rett prllel ll rett dt. Per u puto estero d u rett, vi é u ed u sol rett perpedicolre ll rett dt. Se due rette soo prllele d u terz rett llor soo prllele tr di loro. Se tre rette prllele tglio segmeti cogrueti dll prte di u trsversle llor tgliero segmeti cogrueti per ogi ltr trsversle. Corollrio: U rett che cotiee il puto medio di uo dei lti di u trigolo ed é prllel d u ltro lto bisec il terzo lto del trigolo. Trigoli Pricipli proprietà dei trigoli. I ogi trigolo: U golo opposto d u lto mggiore é ch esso mggiore, ed iversmete. Agoli, opposti lti uguli soo uguli ed iversmete. I prticolre, tutti gli goli di u trigolo equiltero soo uguli. L somm degli goli iteri di u trigolo è 80 grdi. L misur di uo degli goli esteri i u trigolo è ugule ll somm delle misure degli goli iteri o diceti. Ogi lto di u trigolo é miore dell som degli ltri due e più grde dell loro differez ( < b + c, > b c; b < + c, b > c; c < + b, c > b ).

24 Trigoli Cogrueti Teoremi sull cogruez dei trigoli. Due trigoli soo cogrueti, se ho rispettivmete uguli: ) Due lti e l golo tr essi compreso; b) Due goli ed u lto diceti d essi; c) Tre lti. Teoremi sull cogruez dei trigoli rettgoli. Due trigoli rettgoli soo cogrueti se è vlid u delle segueti codizioi: ) i cteti soo uguli; b) u cteto e l ipoteus di u trigolo é ugule ll ltro; c) u ipoteus ed u golo cuto dell uo è ugule ll ltro trigolo; d) u cteto ed u golo cuto dell uo è ugule ll ltro trigolo; e) u cteto e u golo cuto opposto di uo è ugule ll ltro trigolo. Teorem: Se due lti di u trigolo soo cogrueti llor gli goli opposti questi lti soo cogrueti. Corollrio : L bisettrice di u golo l vertice di u trigolo isoscele é perpedicolre ll bse el puto medo. Teorem: Se due goli di u trigolo soo cogrueti, llor i lti opposti gli goli soo cogrueti. Teorem: Se due goli ed u lto o dicete di u trigolo soo cogrueti d u ltro trigolo, llor I trigoli soo cogrueti. Medi é u segmeto, che cogiuge ogi vertice del trigolo l puto medio del segmeto opposto. Le tre medie di u trigolo si iterseco i u puto G (sempre itero l trigolo), che si chim bricetro (o cetro di grvità) del trigolo. Questo puto divide ogi medi co il rpporto :, prtire dl vertice. A M G L B K Altezz di u trigolo é l perpedicolre, d u vertice l suo lto opposto (o ll su cotiuzioe). Le tre ltezze di u trigolo si iterseco i u puto che è chimto ortocetro del trigolo. L ortocetro di u trigolo cuto cde detro il trigolo; l ortocetro di u trigolo ottuso cde fuori del trigolo; l ortocetro di u trigolo rettgolo coicide co il vertice dell golo retto. A C A E E Z H D B C B D C H Z

25 Bisettrice é u segmeto che divide l golo metà e cogiuge il vertice dell golo l lto opposto. Le tre bisettrici di u trigolo (AD, BE, CF) si iterseco i u puto (sempre itero l trigolo, che è il cetro del trigolo iscritto (icetro) A E F O B D U bisettrice divide il lto opposto i due prti, proporzioli i lti diceti; per esempio, BD DC = AB. AC L sse di u segmeto é u perpedicolre trccit dl puto medio di u segmeto (lto). Le tre perpedicolri di u trigolo ABC si icotro i u puto K, che é il cetor del cerchio circoscritto l trigolo. A C N M K B L C Teorem: Il segmeto i cui estremi soo puti medi di due lti di u trigolo: A M N B ) é prllelo l terzo lto. b) L lughezz é metà dell lughezz del terzo lto. Trigoli Rettgoli Teorem: Il puto medio dell ipoteus di u trigolo rettgolo é equidistte di tre vertici. Teorem di Pitgor. I u trigolo rettgolo Il qudrto costruito sull ipoteus é equivlete ll somm dei qudrti costruiti sui cteti. C 4

26 Teorem: Se il qudrto costruito su di u lto del trigolo é equivlete ll somm dei qudrti costruiti sui cteti llor il trigolo é rettgolo. Teorem: Se il qudrto costruito sul lto più lugo di u trigolo é più grde dell somm dei qudrti costruiti sugli ltri due lti llor il trigolo é ottussgolo. Teorem: Se il qudrto costruito sul lto più lugo di u trigolo é più piccolo dell somm dei qudrti costruiti sugli ltri due lti llor il trigolo è cutgolo. Teorem: (disegugliz trigolre): L somm delle lughezze di due lti di u trigolo é più grde dell lughezz del terzo lto. Teorem: Se due lti di u trigolo soo cogrueti co i due lti di u ltro trigolo, m l golo icluso del primo trigolo é più mpio dell golo icluso del secodo trigolo llor, il terzo lto del primo trigolo é più lugo del terzo lto del secodo trigolo. Teorem: Se due lti di u trigolo soo cogrueti co i lti di u ltro trigolo, m il terzo lto del primo trigolo é più grde del terzo lto del secodo trigolo, llor l golo icluso del primo trigolo è più grde dell golo icluso del secodo trigolo. Grdezze, Proporzioi e Similitudii Trigoli Simili: Postulto: Se due goli di u trigolo soo cogrueti co due goli di u ltro trigolo llor i due trigoli soo simili. Teorem: Se u golo di u trigolo é cogrueete co u ltro golo di u ltro trigolo e i cteti che icludoo l golo soo i proporzioe llor, i trigoli soo simili. Teorem: Se i lti di due trigoli soo i proporzioe, llor i trigoli soo simili. Teorem: Teorem dell proporziolità del trigolo: Se u rett prllel d uo dei lti di u trigolo itersec gli ltri due lti, llor l rett divide questi lti i proporzioe. Corollrio: Se tre rette prllele iterseco due trsversli, llor le rette prllele dividoo l trsversle i proporzioe. Teorem: Il teorem dell bisettrice di u trigolo: Se u semirett bisec u golo di u trigolo, llor divide il lto opposto dell golo i u segmeto proporziole gli ltri due lti. Medio Proporziole Geometrico: Il medio proporziole tr due umeri x e z é defiito d x y = y z e y é chimto il medio proporziole tr x e z. Teorem: Se si trcci l ltezz reltiv ll ipoteus i u trigolo rettgolo, llor i due trigoli formti soo simili tr di loro ed l trigolo origile. Corollrio : Qudo si trcci l ltezz reltiv ll ipoteus di u trigolo rettgolo, l lughezz dell ltezz é medi proporziole tr il uovo segmeto e l ipoteus. Corollrio : Qudo si trcci l ltezz reltiv ll ipoteus del trigolo rettgolo, ogi cteto é medio proporziole tr l ipoteus e l proiezioe del segmeto sull ipoteus. Relzioi tr i lti per u trigolo rbitrrio. Nel cso geerle (per ogi trigolo) bbimo: c² = ² + b² b cos C, Il Trpezoide é u qudrgolo, di cui due lti opposti soo prlleli. A B M N D C I questo cso AB // DC. I lti prlleli soo chimti bsi del trpezoide, gli ltri due lti (AD e BC) lti lterli. Il segmeto MN, che cogiuge I puti medi M e N dei lti lterli, è chimto medi del trpezoide. 5

27 L medi del trpezoide é ugule ll semi somm delle bsi : ed è prllel : MN // AB // DC. AB + DC MN = Similrità delle figure pie. Criteri di Similrità dei trigoli Criteri di similrità dei trigoli. Due trigoli soo simili, se: Tutti gli goli corrispodeti soo uguli; Tutti i lti soo proporzioli; due lti del primo trigolo soo proporzioli i due lti dell ltro e gli goli iclusi tr i lti soo uguli. Due trigoli rettgoli soo simili, se i loro cteti soo proporzioli; u cteto e l ipoteus di u trigolo soo proporzioli l cteto e l ipoteus dell ltro; due goli del primo trigolo soo uguli i due goli del secodo trigolo. Aree di figure simili soo proporzioli i qudrti dei lti corrispodeti. Quidi, ree di cerchi soo proporzioli i qudrti dei dimetri (o rggi). CIRCONFERENZA U circoferez è u isieme di puti i u pio equidistti d u puto fisso. Il puto fisso é chimto cetro e l distz dl puto fisso dell isieme dei puti é il rggio. U segmeto che cogiuge il cetro e i puti dell circoferez è chimto rggio. U segmeto che cogiuge due puti dell circoferez é chimto cord. U cord che pss per il cetro é chimto dimetro. A KE, KC, KD: Rdius AB, CD: Chords C K B EF: Dimeter D E Dimetro di u circoferez é due volte il rggio. Se u circoferez è trccit ttoro d u poligoo, ed i vertici del poligoo tocco l circoferez, si dice che l circoferez é circoscritt l poligoo. Se u poligoo é trccito detro u circoferez co i vertici del poligoo che tocco l circoferez llor il poligoo é iscritto ll circoferez Tgeti U tgete di u circoferez é u rett complre co l circoferez che itersec l circoferez i u solo puto, chimto puto di tgez. 6

28 X A: Poit of tgecy A XY: tget of the circle (K, KA) Y K Teorem: Se u rett é tgete ll circoferez llor il rggio é perpedicolre ll rett el suo puto di tgez. Teorem: Se u rett é perpedicolre l rggio di u circoferez el suo estremo del rggio, llor l rett è tgete ll circoferez. U rett tgete che é complre ll circoferez é chimt tgete comue. Archi A K AB : mior rc AB B A K B AB : mjor rc AB Agolo l Cetro di u circoferez è u golo che h come vertice il cetro cell circoferez. L golo l cetro di u rco é l golo l cetro di u circoferez che co gli estremi dell golo itersec u rco miore. L misur dell rco miore è l misur dell golo l cetro. Archi e Corde Teorem: I circofereze cogrueti o ell stess circoferez: i) rchi cogrueti ho corde cogrueti. ii) corde cogrueti ho rchi cogrueti. Teorem: U dimetro che é perpedicolre d u cord bisec quest cord e l rco sotteso ll cord. Teorem: Nelle circofereze cogrueti o ell stess circoferez: i) corde che ho egule distz dl cetro (o cetri) soo cogrueti. ii) corde cogrueti ho ugule distz dl cetro (cetri). Agoli e Segmeti Gli goli iscritti soo goli i cui vertici soo ell circoferez e i cui lti cotegoo corde dell circoferez. Teorem: L misur di u golo iscritto é ugule ll metà dell misur degli rchi dell rco i cui isistoo. Corollrio: Se due goli iterecetto lo stesso rco, llor gli goli soo cogrueti. Corollrio: Se u qudriltero é iscritto i u circoferez, llor gli goli opposti del qudriltero soo supplemetri. Corollrio: U golo iscritto i u semicerchio é retto. Teorem: L misur dell golo formto d u cord e d u tgete é ugule ll metà dell misur dell rco i cui isistoo. 7

29 Teorem: L misur di u golo formto d due corde che si iterseco i u cerchio é ugule ll semi somm delle misure degli rchi. Agoli e Segmeti Teorem: Qudo due corde si iterseco i u circoferez, il prodotto delle lughezze dei segmeti di u cord é ugule l prodotto delle lughezze dei segmeti dell ltr cord. Teorem: Qudo due segmeti secti soo trcciti i u circoferez d u puto estero d ess, il prodotto delle lughezz del segmeto secte e l su prte ester é egule l prodotto delle lughezze dell ltro segmeto secte e l su prte ester. Teorem: Qudo u segmeto secte ed u segmeto tgete soo trcciti d u circoferez d u puto estero ll circoferez, il prodotto dell lughezz del segmeto secte e l su prte ester é ugule l qudrto dell lughezz del segmeto tgete. D B A C S A S C B T A S D B SA SB = SC SD SA SB = SC SD SA SB = ST Proprietà dell tgete. D u puto, estero ll circoferez, si trccio due tgeti ll stess circoferez; le lughezze di questi segmeti soo eguli. B A AB, AC tget AB = AC Agolo iscritto u golo formto d due corde AB e AC trccite d u puto comue. Relzioi tr elemeti di u circoferez. U golo iscritto é ugule ll metà dell golo l cetro corispodete, iscritto sullo stesso rco. Tutti gli goli iscritti, iscritti sullo stesso rco, soo eguli. Ogi golo iscritto è misurto dll metà di u rco, sul qule è iscritto. Tutti gli goli iscritti, iscritti su di u semicircoferez, soo goli retti. C 8

30 C C x O K A K B A x O B U golo, formto d u tgete ed u cord, é misurto dll metà di u rco, che è difiito detro l rco stesso formto d u tgete ed u secte, é misurto dll semi differez degli rchi, defiiti detro gli rchi stessi. Θ Θ L golo tr due secti, che itersec estermete l circoferez, é misurt dll metà dell differez degli goli l cetro che sottedoo gli rchi. A B E O D ( ) ˆ E = AD + BC Csi Specili Teorem di Tolomeo: Si ABCD u qudriltero iscritto. Allor AB CD + AD BC = AC BD (AC, BD digoli) Teorem (Rett di Simso): Si ABC u trigolo e P u puto sull circoferez circoscritt (oltre che A, B, C). Allor il piede delle perpedicolri trccite d P i lti AB, BC, CA (o loro prolugmeti) soo collieri. C 9

31 R A P S B T C Teorem di Eulero (I Nove Puti sull Circoferez): I ogi trigolo, si può idividure u circoferez che pss di puti medi delle estremità di questo trigolo, per i puti medi dei suoi segmeti perpedicolri e per i piedi delle perpedicolri dte del trigolo. A Z P E M H L Q R B D K C Teorem di Cev: Si ABC u trigolo, e sio P, Q, R puti ell rett BC, CA, AB, rispettivmete. Allor le rette AP, BQ, CR soo coicideti se e solo se BP CQ AR PC QA RB = Teorem di Meelo: Si ABC u trigolo, e sio P, Q, R puti sulle rette BC, CA, AB, rispettivmete. Allor P, Q, R soo collieri se e solo se BP CQ AR PC QA RB = Esercizi Problem. Nel seguete digrmm, cerc l som degli goli α + β + γ + δ tr le due rette prllele. 0

32 β α γ δ Soluzioe α + β + γ + δ = π Problem. Si M il puto medio del lto BC del trigolo ABC (AB > AC), e si AL l bisettrice dell golo A. Rett psste d M perpedicolre d AL itersec il lto AB el puto D. Provre che AD = ( AB + AC ) Soluzioe A D B M L C P L rett DM itersec l rett AC el puto K. Quidi il trigolo DKA è u trigolo isoscele AD=AK. CP//AB (P é il puto dove l rett itersec DK). Il trigolo BDM é cogruete MPC BD=PC. CPK = ADP il trigolo PCK é u trigolo isoscele PC = CK BD=PC=CK AD=AK=AC+CK AD=AC+BD AD=AC+AB AD AD=AC+AB AD = ½ (AB+AC) K Problem. I u qudrto ABCD (vedi figur), α = π A B. Provre che ABE é equiltero. E D α α C Soluzioe Si costruisc il trigolo equiltero DCF come mostrto i figur. DE = EC (DEC trigolo isoscele)

33 π π ADE = BCE = () e AE = BE ( ADE = BCE ) (), llor DFC e DEC soo etrmbi isosceli, quidi FE é l bisettrice perpedicore del segmeto DC. DEF = π = π π = 5π ( ) D () e () ADE = DEF = AE = DF = DC = AB (4) D () e (4) il trigolo AEB é equiltero. A B E D α α C F Problem 4. (Olimpidi Mtemtiche Cdesi, 975). Nell figur A, B, C, D soo quttro puti cosecutivi i u circoferez di u cerchio e P, Q, R, S soo puti ell circoferez che soo, rispettivmete, i puti medi degli rchi, ΑΒ, BC, CD, DA. Provre che PR é perpedicolre QS. A P B S T O Q Soluzioe Si PR che QS iterseco T, e si O il cetro del cerchio. AB + BC + CD + DA= π PB + BQ + RD + DS = π ( PB + BQ ) + ( RD + DS ) = π PBQ + RDS = π () C π PSQ PQS = π ( PST + SPT ) = π ( POQ + ROS ) = π π = Le rette QS e PR soo perpedicolri. R D

34 Problem 5. Si dto u trigolo ABC ed il cerchio iscritto si tgete l lto AB i D. Mostrre che: BD = (AB + BC CA) Soluzioe Si trcci l perpedicolre dl cetro del cerchio el lto del trigolo. A E D I B AB = AD + DB AB = AE + DB AB = AC EC + DB AB = AC CF + DB AB = AC (BC BF) + DB F AB = AC BC + BF + DB AB = AC BC + DB BD = (AB + BC CA) Problem 6. ABCD é u prllelogrmm. I puti E e Z soo ei lti AB e CD rispettivmete, tle che CZ=AE. Provre che i puti di itersezioe delle digoli del qudriltero ABCD ed EFZH soo comui. Soluzioe Provimo che il qudriltero EFZH è u prllelogrmm. CZF = AEH HE = ZF () BE = DZ, BF = DH DZH = BEF HZ = EF () () Sommto () EFZH è u prllelogrmm. () AE // = ZC AECZ é u prllelogrmm le digoli AC e EZ si iterseco, si questo puto O. C A E B H F D Z C O é il puto medio del segmeto AC O é il puto comue delle digoli del prllelogrmm ABCD. Similrmete O é il puto medio del segmeto EZ, quidi O é che il puto comue delle digoli del qudriltero EFZH.

35 Problem 7. Si dto u trigolo ABC (AB < AC) e D il puto medio del lto AC. Nel rggio DB, si pred u segmeto DE = AC. Provre che l rett verticle d E ll bisettrice dell golo A pss dl puto medio del lto BC. Soluzioe L perpedicolre d E ll bisettrice dell golo A itersec il segmeto AC el puto Z e l perpedicolre d B l bisettrice el puto H. I trigoli ABH, AEZ soo isosceli AZ = AE, AH = AB. AZ AH = AE AB HZ = AD + DE AB = AB + AC AB AC AB HZ = () A D H Z B M C E HC = AC AH HC = AC AB () AC AB AC AB ZC = HC HZ = AC AB = AC AB ZC = () () e () HZ = ZC. Quidi el trigolo CHB, Z é il puto medio del lto CH e ZE // HB. Il segmeto ZE pss per il puto medio del lto BC. Problem 8. Si dto u qudriltero ABCD. U rett (l) che cogiuge i puti medi H, F delle digoli BD, AC itersec i lti AD, BC ei puti E e Z. Provre che: AE ED = CZ BZ Soluzioe Costruire le rette AI e CK prllele ll digole DB. A B Z K I E H F D C I trigoli AIE, EDH e ZCK, ZHB soo simili 4

36 AE ED = AI, DH CZ CK = BZ BH BH=HD, AI = CK AE ED = CZ BZ Problem 9. Si dto u trigolo ABC e BC = AB + AC. Provre che l bisettrice dell golo A è verticle ll rett che cogiuge i cetri del cerchio iscritto e circoscritto. Soluzioe A I O B C D Sio I ed O i cetri del cerchio iscritto e circoscritto rispettivmete. L bisettrice AI icotr il cerchio circoscritto el puto D. ABCD (Teorem di Ptolemeus) ( AD )( BC ) = ( AB)( CD) + ( AC )( BD ) = ( BD )( AB + AC ) = ( BD ) ( BC ) ( AD ) ( BD ) =. Tuttvi BD = DI ( IBD = BID ) (AD) = (AI) I é il puto medio del segmeto AD OI é verticle d AD. Problem 0. Si ABCD u prllelogrmm. Il cerchio pss dl puto A, itersec I lti AB, AD e l digole AC ei puti B', D', C' rispettivmete. Provre che: (AB')(AB) + (AD')(AD) = (AC)(AC') Soluzioe A B' B D' C' D C AB'C'D' (Teorem di Tolemeo) (AB')(D'C') + (AD')(B'C') = (AC')(DB') () B'D'C' e ADC soo simili BC' AD = C'D' CD = B'D' AC B'C' = AD B'D' (), C'D' = DC B'D' () AC AC (), (), () (AB')(AB) + (AD')(AD) = (AC)(AC') 5

37 Problem. Dto u trigolo ABC tle che A = θ. Si CA + AI = BC, cerc l golo B rispetto θ. I l icetro di ABC. Se Soluzioe D A θ θ I B C AI è l bisettrice dell golo A BAI = CAI = θ Predere il puto D ell rett AC tle che AD = AI. ADI trigolo isoscele ADI = AID. L golo θ é u golo estero l trigolo ADI ADI = θ () CA + AI = BC, AD = AI BC = CA + AD BC = CD CDI = CBI ADI = CBI ADI = CBI = θ B = CBI = θ Problem. Si dto il qudriltero covesso ABCD co ADC > 90 o, BDC > 90 o. Si E il puto el qule l rett AC itersec l rett prllel AD per B, e si F il puto el qule l rett BD itersec l rett prllel BC per A. Provre che EF è prllel CD. Soluzioe Si P il puto di itersezioe delle digoli AC e BD. 6

38 B A P F D E PA PF AF BC // AF PAF PCB = = () PC PB CB PE PB EB AD // BE PEB PAD = = () PA PD AD () () PA PE PF PB PE PF = = (dl teorem di Tlete) DC//EF PC PA PB PD PC PD Problem. Si dto il prllelogrmm ABCD e P u puto itero tle che APB + CPD = 80 o. Provre che PBC = CDP. Soluzioe Trcci u rett ST per P prllel AB che icotr BC e AD i T e S rispettivmete. Prolug BC d Q tle che TQ=BC. Prolug AD d R tle che SR=AD. Il qudriltero BCXP è u prllelogrmm (BC //= PX) Il qudriltero APXD è u prllelogrmm (AD //= PX) C A Y B S P T D C R X Q BPY = CXP, YPA = PXD come goli corrispodeti. APB = BPY + YPA = CXP + PXD = CXD. CDP + CXD = 80 o PCXD é ciclico. CDP = CXP (Sotteso llo stesso rco) CXP = XCQ (goli lteri), XCQ = PBC (goli corrispodeti) CDP = PBC Problem 4. Si ABC u trigolo e M il puto medio di BC. Suppoimo BAM = ACB e MAC = 5 o. Determire ACB. Soluzioe 7

39 Si O il cetro del cerchio circoscritto del trigolo AMC. ACM = BAM = θ MOC = 0 o. ACM = BAM AB é tgete l cerchio (O,OC) Si D, E I piedi OC delle perpedicolri BD e ME. OM ME =, BC=MC BD=ME=OM=AO ABDO é u rettgolo. O A θ 5 0 D B M θ C E CAO = 45 o 0 BAC = 45 ACB = BAD = BAC DAC = 45 5 = Problem 5. Si dt u rett XY e messi i ordie I puti A, B, C tli che AB = BC. Costruire dll stess prte dell rett XY i trigoli equilteri ABD e BCE. Le rette DE e AC iterseco el puto Z e le rette DB e AE i G. DG = GB. Provre che ( ) ( ) Soluzioe D G E A B C DAB = BEC = 60 o ( ABD e BCE trigoli equilteri) DA// BE () AB AD BE = BC = = () AD ( ) ( ) BE // = B é il puto medio di AZ ed E il puto medio di DZ. DB e AE soo medie del trigolo ADZ G é il bricetro di ADZ DG = GB. Z 8