FONDAMENTI DI MECCANICA DELLE VIBRAZIONI

Transcript

1 Uiversità degli Studi di Bologa II Facoltà di Igegeria sede di Forlì Corso di Laurea i Igegeria Meccaica DINAMICA DELLE MACCHINE E DEI SISTEMI MECCANICI FONDAMENTI DI MECCANICA DELLE VIBRAZIONI prof. Alessadro RIVOLA Tel alessadro.rivola@mail.ig.uibo.it

2 PARTE 3 Fodameti di MdV GRADI DI LIBERTÀ Il miimo umero di coordiate idipedeti richiesto per determiare uivocamete la posizioe di tutti gli elemeti di u sistema ad ogi istate di tempo, defiisce il umero di gradi di libertà del sistema. Idicato co il umero di gdl di u geerico sistema è sempre possibile defiire u set di cosiddette coordiate geeralizzate, usualmete idicate co q (=1,,,), ossia di coordiate idipedeti i umero uguale a quello dei gdl del sistema. SISTEMI CONTINUI E DISCRETI U gra umero di sistemi meccaici può essere descritto impiegado u umero fiito di gdl; ciò accade quado soo preseti elemeti dotati di elevata elasticità e scarsa massa e, al cotempo, elemeti di otevole massa ed elevata rigidezza. Quado, al cotrario, il sistema ha u umero ifiito di "puti di massa" e preseta membri deformabili, è ecessario u umero ifiito di coordiate per specificare la sua cofigurazioe deformata. Sistemi aveti u umero di gdl fiito soo detti discreti o a parametri cocetrati, metre quelli co u umero ifiito di gradi di libertà soo detti cotiui. Spesso, i sistemi cotiui soo approssimati come discreti; i tal modo è più semplice otteere la soluzioe del problema diamico. Sebbee trattare u sistema come cotiuo dia risultati esatti, i metodi di aalisi per i sistemi cotiui soo limitati ad ua tipologia di sistemi molto ridotta, come ad esempio travi a sezioe uiforme, piastre sottili, membrae, etc. Di cosegueza, la maggior parte dei sistemi viee studiata impiegado modelli discreti. I geerale, risultati più accurati soo otteibili aumetado il umero di gdl. Fig. 3.3 Three degree of freedom systems ("Mechaical vibratios", S.S. Rao, p. 15) Fig. 3.4 A ifiite umber of dof system: a catilever beam ("Mechaical vibratios", S.S. Rao, p. 16) ELEMENTI ELASTICI Diversi soo i modelli impiegati per i membri dotati di elevata elasticità rispetto agli altri elemeti del sistema meccaico. Tali membri o si cosiderao dissipare eergia e solitamete soo cosiderati privi di massa. Fig. 3.1 Sigle-degree of freedom (SDOF) systems ("Mechaical vibratios", S.S. Rao, p. 14) Molle lieari Se la molla fuzioa el campo elastico etro il limite di proporzioalità, la forza che si sviluppa quado la molla si deforma è proporzioale alla deformazioe stessa. La costate di proporzioalità è detta rigidezza ed il suo iverso è chiamato cedevolezza. Forza (F) x x 1 F = x x = x x 1 Il lavoro compiuto per deformare ua molla di rigidezza, viee immagazziato come eergia poteziale V: Fig. 3. Two degree of freedom systems ("Mechaical vibratios", S.S. Rao, p. 14) Deformazioe (x) 1 V = x Diamica delle Macchie e dei Sistemi Meccaici 3 1 Diamica delle Macchie e dei Sistemi Meccaici 3

3 Ache altri elemeti elastici, quali ad esempio travi, si comportao come molle. Per esempio si cosideri la trave icastrata di figura, avete all estremo libero ua massa cocetrata m e si assuma per semplicità che la massa della trave sia trascurabile ei cofroti della massa m. La freccia statica all estremo libero vale: δ st 3 W l = 3EI dove W=mg è il peso della massa m, E è il modulo di Youg del materiale, I è il mometo di ierzia di sezioe e l è la lughezza della trave. W 3EI Di cosegueza la costate elastica (la rigidezza) della trave vale: = = δ 3 l st Per piccoli valori di x, i termii coteeti derivate di ordie elevato possoo essere trascurati otteedo: df F + F = F( + x) = F( ) + ( x) e poiché F = F(), si può esprimere F come: F = x df dove è la rigidezza liearizzata della molla i corrispodeza della deformazioe : = Molle i serie = eq 1 Fig. 3.5 Catilever with ed mass ("Mechaical vibratios", S.S. Rao, p. 3) Molle o lieari Gli elemeti elastici seguoo u comportameto lieare solo etro certi limiti della deformazioe. Oltre certi valori di deformazioe, la tesioe eccede il limite di proporzioalità del materiale e la relazioe tra fora e deformazioe diviee o lieare. I molte applicazioi pratiche si assume che le deformazioi siao piccole e pertato si cosiderao le molle come aveti comportameto lieare. I altri casi, ache se la molla è o lieare, si approssima ad ua molla lieare mediate u processo di liearizzazioe: Sia F u carico statico agete su ua molla o lieare causadoe ua deformazioe. Se la forza F viee icremetata di ua quatità F, la molla si deforma ulteriormete di ua quatità x. La uova forza F+ F può essere espressa i serie di Taylor (vedi Appedice 1) attoro alla posizioe di equilibrio statico: df 1 d F 1 d F F + F = F ( + x) = F( ) + ( x) + ( x) ( x)!! Forza (F) F+ F F() Forza (F) Molle i parallelo eq = ELEMENTI SMORZANTI I molti sistemi meccaici, l eergia di vibrazioe è gradualmete covertita i eergia termica o eergia acustica. A causa della riduzioe di eergia, la risposta vibratoria del sistema subisce u graduale decremeto. Tale meccaismo prede il ome di smorzameto delle vibrazioi. Sebbee la quatità di eergia covertita i calore o suoo sia relativamete piccola, cosiderare lo smorzameto è di fodametale importaza per ua adeguata previsioe del comportameto vibratorio del sistema. Solitamete si assume che u elemeto smorzate sia privo di massa ed elasticità. La forza che esercita uo smorzatore esiste solo i preseza di velocità relativa tra i due estremi dello smorzatore stesso. E piuttosto difficile determiare le cause di smorzameto ei sistemi meccaici; solitamete lo smorzameto viee modellato come ua combiazioe dei segueti: Deformazioe (x) + x Deformazioe (x) Smorzameto viscoso E quello usato più frequetemete ello studio delle vibrazioi. Diamica delle Macchie e dei Sistemi Meccaici 3 3 Diamica delle Macchie e dei Sistemi Meccaici 3 4

4 Quado u sistema meccaico si muove i u fluido, la resisteza che il fluido offre al movimeto dei corpi causa dissipazioe di eergia. L ammotare di questa eergia dipede da molti fattori quali ad esempio le dimesioi e la forma dei corpi, la viscosità del fluido, la velocità dei corpi. Nello smorzameto di tipo viscoso, la forza è proporzioale alla velocità relativa dei corpi e la costate di proporzioalità dipede dalla viscosità del fluido edalla geometria dei corpi. D = σ dε L U σ dε du v F = τ A = µ A = µ A = c v dy h 3 3πD l d c = µ d D MOTO ARMONICO Attrito Coulombiao (attrito secco) La forza è costate i ampiezza ma ha verso opposto a quello della velocità relativa tra i corpi. T V T = f N F = sig (V) T N Smorzameto isteretico (smorzameto strutturale) Quado u corpo si deforma, l eergia di deformazioe è assorbita e dissipata dal materiale. Tale effetto è dovuto all attrito ello scorrimeto tra le fibre itere del materiale all atto della deformazioe. Quado u corpo soggetto a questo tipo di feomeo è sottoposto alterativamete a trazioe e compressioe o, ello specifico, vibra, la relazioe tra tesioe e deformazioe è del tipo rappresetato i figura. L eergia dissipata ad ogi ciclo vale: Diamica delle Macchie e dei Sistemi Meccaici 3 5 Fig. 3.6 Meccaismo per moto armoico ("Mechaical vibratios", S.S. Rao, p. 46) I fig. 3.6 è rappresetato u meccaismo mediate il quale alla massa m è impartito u moto armoico semplice (l accelerazioe è proporzioale allo spostameto) quado alla maovella OP si impoe u moto rotatorio cotiuo uiforme. Se ω è la velocità agolare della maovella e A è la sua lughezza, la massa si muove co legge di moto x(t): Diamica delle Macchie e dei Sistemi Meccaici 3 6

5 x = A si ω t co ω pulsazioe del moto armoico. Si ha ioltre : d x = x& = ωa cos ωt = & x = ω A si ωt = ω x dt dt Rappresetazioe vettoriale U moto armoico può ache essere rappresetato mediate u vettore OP, di ampiezza A, rotate co velocità agolare ω. Co riferimeto alla fig. 3.7, le proiezioi di questo vettore lugo le due direzioi x e y foriscoo: Se si idica co A l ampiezza del vettore X e co θ il suo argometo (l agolo compreso tra il vettore e l asse x), X può essere espresso come: X = A cos θ + i A si θ co: A = b a + b ; θ = ta 1 a Itroducedo le relazioi di Eulero, si ha ache: X = A cos θ + i A si θ = A e iθ Usado la rappresetazioe co umeri complessi, il vettore rotate di fig. 3.7 può essere scritto come: y = A si ω t ; x = A cos ω t X = A e i ω t dove ω è ache detta frequeza circolare di rotazioe ed è espressa i rad/s. Derivado rispetto al tempo si ha: dx d i ( ) ω t i Ae iωae ω t = = = iωx dt dt d d iωt d iωt = Ae = iωae = ω dt dt dt iωt ( ) ( ) Ae = ω X X Fig. 3.8 Spostameto, velocità e accelerazioe come vettori rotati ("Mechaical vibratios", S.S. Rao, p. 5) da cui si vede che l operazioe di derivazioe si traduce el moltiplicare il vettore per iω, od ache el moltiplicare l ampiezza del vettore per ω e ruotarlo i avati di 9 gradi (vedi fig. 3.8). Fig. 3.7 Proiezioi di u vettore rotate ("Mechaical vibratios", S.S. Rao, p. 47) Rappresetazioe co umeri complessi Si può ricorrere ache alla rappresetazioe mediate umeri complessi. Ifatti, ogi vettore X el piao xy può essere rappresetato co il umero complesso: X = a + i b dove a e b soo rispettivamete la parte reale e la parte immagiaria. Lavoro compiuto i moti armoici U importate cocetto i molte applicazioi è quello del lavoro compiuto da ua forza, che varia armoicamete co ua certa pulsazioe, per uo moto armoico avete la stessa pulsazioe. Sia data la forza P = P si (ωt + ϕ) agete su u corpo dotato di legge di moto x = x si ωt. Il lavoro compiuto dalla forza i u periodo π/ω vale: π / ω π / ω π = 1 W P = P dt = P d( = P x si( ωt + ϕ)cosωt d( = dt ω dt π Diamica delle Macchie e dei Sistemi Meccaici 3 7 Diamica delle Macchie e dei Sistemi Meccaici 3 8

6 π = P x cosωt[siωt cosϕ + cosωt siϕ] d( = = P x π π cosϕ siωt cosωt d( + P x siϕ cos ωt d( Il primo itegrale è ullo metre il secodo vale π per cui i defiitiva si ha: W = πp x siϕ APPENDICE A1 Serie di Taylor Il teorema di Taylor afferma che ua fuzioe può essere rappresetata i prossimità di u puto x = x, dall espasioe: f R df 1 d f 1 d f ( x) = f ( x x x x x ) + ( ) x x x x ( )... ( ) =!! x= x x= x OTTAVA Quado il massimo valore di ua bada di frequeza è il doppio del miimo, tale bada è detta bada d ottava. Ad esempio, ciascua bada Hz, 15 3 Hz, e 3 6 Hz, è ua bada d ottava. I ciascu caso, il massimo ed il miimo valore della frequeza, che hao u rapporto pari a :1, si dice che differiscoo di u ottava. DECIBEL Le varie quatità che si icotrao el campo delle vibrazioi e del rumore, come ad esempio, spostameto, velocità, accelerazioe, pressioe, poteza, soo spesso rappresetate usado la otazioe db (decibel). I origie il decibel è stato defiito co riferimeto a poteze elettriche come: P db = 1 log dove P è u valore di riferimeto. P Poiché la poteza elettrica è proporzioale al quadrato della tesioe (X), il decibel può ache essere espresso come: X X db = 1 log = log dove X è u valore di riferimeto. X X Naturalmete il db è usato ache per esprimere il rapporto tra altre quatità (spostameti, velocità, accelerazioi, pressioi, ). BIBLIOGRAFIA * E. Fuaioli, A. Maggiore, U. Meeghetti, Lezioi di Meccaica applicata alle macchie, Vol. II, ed. Pàtro, Bologa. * S.S. Rao, Mechaical vibratios, Third editio, Addiso Wesley Pub. Compay, * W.J. Palm. Modelig, Aalysis, ad Cotrol of Dyamic Systems, d ed., Joh Wiley & Sos. dove il termie R è dato da: 1 d f R = ( x x )! x= b co b compreso tra x e x. Il risultato è valido se la fuzioe ammette derivate cotiue fio all ordie. Se R tede a zero, l espasioe è detta serie di Taylor della fuzioe f(x) attoro a x = x. Se x =, la serie è ache detta serie di McLauri. Esempio x x x si x = x ! 5! 7! 4 6 x x x cos x = ! 4! 6! 3 4 x x x e x = 1+ x dove x =.! 3! 4! Si oti che se x è piccolo le prime due dao luogo a due approssimazioi largamete usate delle fuzioi seo e coseo: si x x e cos x 1. Ioltre se ella terza si cosidera x = i θ, si ottiee: θ θ θ θ θ e i = 1+ iθ i + + i +...;! 3! 4! 5! separado la parte reale da quella immagiaria: θ θ θ θ θ e i = i θ ! 4! 3! 5! si ottegoo le idetità di Eulero: θ e i = cosθ + isiθ θ e i = cosθ isiθ (avedo sostituito θ co θ). Diamica delle Macchie e dei Sistemi Meccaici 3 9 Diamica delle Macchie e dei Sistemi Meccaici 3 1

7 APPENDICE A Espressioi trigoometriche utili APPENDICE A3 Rigidezze e equivaleti cos( mωt + ϕ) = cosmωt cosϕ si mωtsiϕ si( m ωt + ϕ) = si mωt cosϕ + cos mωtsiϕ si ω tsi mωt = 1 cos( m) ωt 1 cos( + m) ωt si ω t cosmωt = 1 si( + m) ωt + 1 si( m) ωt cos ω t = 1 (1 + cos si ωt = 1 (1 cos θ e i = cosθ + isiθ θ e i = cosθ isiθ Diamica delle Macchie e dei Sistemi Meccaici 3 11 Diamica delle Macchie e dei Sistemi Meccaici 3 1

8 APPENDICE A4 Mometi di ierzia di massa Diamica delle Macchie e dei Sistemi Meccaici 3 13 Diamica delle Macchie e dei Sistemi Meccaici 3 14