Il moto ed i sistemi di riferimento

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1 Consideriamo il moto di un punto materiale riferito ad un sistema cartesiano S... che chiameremo fisso o assoluto e ad un sistema S che chiameremo mobile o relativo Il sistema S si può muovere perché si muove la sua origine perché i suoi versori fondamentali cambiano di direzione 1

2 Esempio: un aeroplanino che fa le acrobazie, ed una mosca che si muove dentro la sua carlinga: Sistema S: la torre di controllo Sistema S : la carlinga Il moto della mosca può essere descritto Dalla torre di controllo Dal pilota nella carlinga 2

3 Usiamo il FORMALISMO VETTORIALE sfruttando la sua INDIPENDENZA DAL SISTEMA DI RIFERIMENTO... ma facendo l ipotesi che la geometria su cui si basa (euclidea) valga nel nostro Universo siamo sicuri che la cosa funzioni? 3

4 Con la descrizione vettoriale del vettore posizione del punto otteniamo OP OO' O'P Abbiamo già fatto implicitamente l ipotesi che nei due sistemi valga la geometria euclidea In particolare con le stesse unità di misura Cosa non ovvia: nella relatività speciale questa ipotesi viene a cadere 4

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6 Esplicitamente x xˆ y yˆ z zˆ x xˆ y yˆ z zˆ O' O' O' x' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ ' Attenzione alle funzioni del tempo ed alle costanti! 6

7 La composizione delle velocità 7

8 il teorema di composizione delle velocità DERIVIAMO! x x ˆ y y ˆ z zˆ x xˆ y yˆ z O' O' O' zˆ x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ ' ' ˆ x x' y ' ˆ y' z ' zˆ ' 8

9 il teorema di composizione delle velocità x x ˆ y y ˆ z zˆ Va È la velocità nel sistema fisso Velocità assoluta x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ ' Vr È la velocità nel sistema mobile Velocità relativa 9

10 il teorema di composizione delle velocità Se la velocità relativa è nulla, la velocità assoluta è uguale a x xˆ y yˆ z zˆ x' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ ' V O' O' O' t È la velocità di trascinamento 10

11 il teorema di composizione delle velocità Otteniamo così il TEOREMA DI COMPOSIZIONE DELLE VELOCITÀ V V V a r t 11

12 il teorema di composizione delle velocità Velocità di trascinamento Si dimostra che (formule di Poisson) ˆ ˆ ˆ ' ' ' ˆ x x y y' zˆ ' zˆ ' Il vettore è il vettore velocità angolare Il modulo è pari al valore della velocità angolare La direzione è ortogonale al piano di rotazione Il verso è tale da vedere la rotazione avvenire in senso antiorario 12

13 il teorema di composizione delle velocità Con questo V V O'P t O' Il moto di trascinamento è una sovrapposizione Di una traslazione Di una rotazione Quindi è un moto ELICOIDALE 13

14 la composizione delle accelerazioni Deriviamo di nuovo! 14

15 x xˆ y yˆ z zˆ x xˆ y yˆ z zˆ O' O' O' x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ ' x ' ˆ x ' y ' ˆ y' z ' ˆ z' x ' ˆ x ' y ' ˆ y' z ' zˆ ' x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ ' 15

16 la composizione delle accelerazioni Anche qui abbiamo Accelerazione assoluta Accelerazione relativa Accelerazione di trascinamento x xˆ y yˆ z z ˆ aa x' xˆ ' y' yˆ ' z ' zˆ ' ar ciò che resta se il punto è fermo nel sistema S x xˆ y yˆ z zˆ x' x ˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ ' a O' O' O' t 16

17 la composizione delle accelerazioni Ed a questo punto avanza un pezzo! x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ ' x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ ' 2 x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ ' 2 x ' xˆ ' y ' yˆ ' z ' zˆ ' 2 Vr ac È l accelerazione complementare o di Coriolis Ed alla fine otteniamo il... 17

18 la composizione delle accelerazioni TEOREMA DI COMPOSIZIONE DELLE ACCELERAZIONI a a a a a r t c a c 2 V r 18

19 Le forze apparenti Dette anche forze fittizie 19

20 le forze apparenti Dalla relazione otteniamo a a a a a r t c Ma Ma Ma Ma a r t c SE NEL SISTEMA FISSO VALE LA II LEGGE DELLA DINAMICA... F Ma Ma a Ma M a r t c 20

21 le forze apparenti e quindi nel sistema mobile vale la relazione... Ma F Ma Ma r t c... IN GENERALE IN QUESTO SISTEMA LA II LEGGE DELLA DINAMICA! NON VALE 21

22 le forze apparenti a meno che non si introducano ad hoc, per far tornare i conti, delle forze fittizie M a t Ma c 22

23 le forze apparenti Attenzione: queste NON hanno la controparte di reazione! Tutto però nel sistema S avviene come se esistessero davvero Sono in realtà una manifestazione del principio d inerzia F Ma Ma app t c 23

24 le forze apparenti In generale, se vogliamo usare le leggi della dinamica dovremo aggiungere alle forze reali anche le forze apparenti 24

25 le forze apparenti Un sistema nel quale valga la II legge della dinamica si dice un SISTEMA INERZIALE Se un sistema è inerziale, anche uno che si muova con velocità angolare nulla e moto rettilineo uniforme rispetto ad esso è inerziale a t a c 0 25

26 le forze apparenti Si verifica che un sistema legato alle stelle è inerziale ω Quindi ogni sistema con rispetto a questo è inerziale e velocità uniforme Quindi in tutti questi sistemi funziona la dinamica Quindi nessuno di questi sistemi può essere privilegiato 0 È LA RELATIVITÀ GALILEIANA 26

27 le forze apparenti Si possono misurare le forze apparenti (nelle 3 componenti)......e quindi riportare il nostro moto ad un sistema inerziale 27

28 le forze apparenti Ecco le forze apparenti in accelerata o frenata Sistema S inerziale fisso Sistema S non inerziale mobile 28

29 le forze apparenti Ecco la situazione per la caduta di un grave in un vagone in moto non uniforme Le interpretazioni dei due osservatori sono diverse Nel sistema mobile occorre introdurre delle forze apparenti 29

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31 le forze apparenti Proprietà della forza di Coriolis È nulla se è _ _ _ Il moto di trascinamento è solo traslatorio V r 0 0 Il punto è fermo nel sistema mobile V r La velocità relativa è parallela all asse di rotazione 31

32 le forze apparenti Esempi sulla Terra di forze apparenti: forza centrifuga si somma vettorialmente alla forza peso deviazione dei gravi verso E deriva dalla forza di Coriolis cicloni ed anticicloni deriva dalla forza di Coriolis 32

33 le forze apparenti Ecco la forza di Coriolis applicata a zone di bassa pressione nell atmosfera terrestre L aria si trova a passare su zone della Terra con velocità periferiche diverse Noi vediamo apparire una forza perpendicolare al vettore velocità 33

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