INTRODUZIONE ALLA TERMOFLUIDODINAMICA COMPUTAZIONALE

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1 INTRODUZIONE ALLA TERMOFLUIDODINAMICA COMPUTAZIONALE Valrio MARRA * * Inggnr Nuclar, Dottorato di Ricrca in Inggnria dll Macchin di Sistmi Enrgtici ; sprto di modllazion simulazion multifisica INTRODUZIONE Considriamo un mzzo continuo costituito da un fluido Nwtoniano (i.. sgu la lgg di Nwton) un lmnto infinitsimal di olum dv al suo intrno. Il olum, pr quanto piccolo, è comunqu tal da ar una dimnsion spazial linar molto più grand dll distanz intrmolcolari quindi il fluido al suo intrno può ssr considrato com continuo. Il campo di locità in un sistma di rifrimnto cartsiano è rapprsntato dal ttor u=ui+j+wk. Oltr a tal campo nl fluido è dfinito un campo di prssion p di tmpratura T, il sistma è così compltamnt dtrminato dal punto di ista dinamico trmodinamico (l altr proprità fisich dl fluido possono ssr sprss com loro funzion). La conoscnza dlla distribuzion spazio-tmporal di campi u, p T è rsa possibil, rlatiamnt a dat condizioni iniziali al contorno, dall applicazion dll lggi fondamntali di consrazion, l quali consntono la dfinizion di un sistma composto da tr quazioni diffrnziali all driat parziali: una di tipo ttorial rlatia alla consrazion dlla quantità di moto du di tipo scalar rlati, rispttiamnt, alla consrazion dlla massa dll nrgia. Molti fluidi, in particolar l aria l acqua, sguono in molt circostanz la lgg di Nwton (quazion costitutia ch carattrizza il fluido n dscri l razioni ai carichi applicati, i.. lga linarmnt il tnsor dgli sforzi S al ttor locità u) la Lgg di Fourir (quazion costitutia ch lga linarmnt il ttor flusso di calor q alla tmpratura assoluta T). L lggi citat sono dscritt nll articolo dllo scrint Equazioni di Nair-Stoks ttor di orticità. La driazion la carattrizzazion torica dll quazioni di consrazion dlla massa dlla quantità di moto (pr fluidi Nwtoniani incomprimibili) sono trattat nll articolo dllo scrint Equazioni di Nair-Stoks ttor di orticità, al qual si rimanda pr maggiori dttagli. La soluzion numrica dll quazioni di Nair-Stoks, alla qual ci rifrirmo nl sguito, è inc trattata nll articolo dllo scrint Mtodi Numrici pr l Equazioni di Nair-Stoks. La driazion, la carattrizzazion torica la soluzion numrica dll quazion di consrazion dll nrgia è inc oggtto dl prsnt articolo. EQUAZIONE DI CONSERVAZIONE DELL ENERGIA L quazion di consrazion dll nrgia dscri il bilancio nrgtico all intrno di un olum di rifrimnto d è ricaata a partir dalla formulazion intgral, rifrita all unità di massa, dl Primo Principio dlla Trmodinamica: () DE Q W D EdV V n S Eu S u qds udv do t è il tmpo, la dnsità, u la locità, E=+/ u è l nrgia spcifica total con nrgia intrna spcifica, S è il tnsor dgli sforzi, q il ttor flusso di calor, a l acclrazion douta all azion di una qualsioglia forza massica strna (.g. l azion dl campo graitazional è modllata com a =g), n il rsor normal uscnt dal contorno S dl olum di intgrazion V D/ è la driata conttia o sostanzial (nll formul analitich l quantità ttoriali sono indicat com lttr soprassgnat da una frcctta). In qusta formulazion non sono prsnti pozzi o sorgnti di nrgia ( massa). La formulazion lagrangiana dlla () porg: a V () D S u q a u Si possono ricaar ari formulazioni dll quazion () in rlazion alla grandzza fisica ch si uol assumr com incognita (.g. la tmpratura assoluta T, l ntalpia spcifica h oppur l nrgia intrna spcifica ). Scglindo com incognita il campo scalar tmpratura assoluta T sostitundo nlla () l risptti sprssioni dlla lgg di Nwton di Fourir la rlazion fondamntal =c T si ottin la sgunt forma ulriana dll quazion di consrazion dll nrgia: (3) c T t u c T kt p u Φ a u

2 do k è il cofficint di conducibilità trmica, c la capacità trmica a olum costant, p la prssion isotropa (i.. in assnza di sforzi/dformazioni idrodinamich) è la funzion di dissipazion (sprimnt il tasso al qual l nrgia è dissipata irrrsibilmnt in ogni lmnto di fluido a causa dll azioni iscos). FLUSSI NON ISOTERMI Pr flussi non isotrmi il st di quazioni di bas dll idrodinamica da risolr è il sgunt: (4) (5) (6) (7) (8) u t S p I μd λ ui u u u S a t Φ μd D λ u c T t u c T kt p u Φ a u do I è il tnsor unitario, la iscosità dinamica, D il tnsor dl tasso di incrmnto dlla dformazion nl fluido è il scondo cofficint di iscosità (è l analogo dlla prima costant di Lamé driata dall rlazioni tnsiondformazion nll ambito dlla mccanica di solidi). Dall analisi dl sistma di quazioni (4)-(8) si inc com si abbiano 9 incognit pr 8 quazioni; pr raggiungr la chiusura quindi la sua risolubilità torica il sistma d ssr compltato pr mzzo di un quazion di stato. Pr la gran part di fluidi di intrss inggnristico possiamo scrir: (9) α T T do T è la tmpratura alla qual = il cofficint di spansion olumtrica (o trmica). Ricordiamo ch: () () α T p c T V APPROSSIMAZIONE DI BOUSSINESQ Nlla dfinizion dl sistma di quazioni (4)-() non è stata fatta nssuna ipotsi riguardo la costanza o mno di cofficinti,,, k c laddo sono stati introdotti, quindi qusto sistma è di alidità dl tutto gnral. Nlla maggioranza di casi di intrss inggnristico, qusto sistma è notolmnt smplificabil ciò è douto in gran part al fatto ch l ariabilità di alori dlla dnsità di ari cofficinti è douta principalmnt all ariazioni di tmpratura, inoltr tal dipndnza è piuttosto dbol. Analizziamo il comportamnto dlla dnsità : il cofficint di spansion olumtrica pr gas liquidi è dll ordin di -4-3, pr ariazioni dlla tmpratura non supriori a K la ariazion dlla dnsità è al massimo dll %. La ariazion di cofficinti introdotti a sguito dll piccol ariazioni di è dllo stsso ordin quindi trascurabil. Tuttaia c è un important cczion: l ariabilità di nl trmin a nll quazion (6) non può ssr trascurata. Qusto poiché l acclrazion risultant da: () δ α T T αδt δa αδta δ può ssr piuttosto grand: più grand, ad smpio, dll acclrazion douta al trmin inrzial (u)u prsnt nll quazion dl moto (6). Di consgunza, trattrmo la dnsità com constant in tutti i trmini dll quazion (6) cctto ch in qullo rlatio all azion dll forz strn: qusta è la cosiddtta approssimazion di Boussinsq. Con T=T-T si è indicato il alor dlla ariazion di tmpratura ch intrssa il sistma studiato.

3 Equazioni dlla Trmofluidodinamica nll approssimazion di Boussinsq Riscriiamo l quazion di continuità (4) com: (4 ) u u t Sulla bas dll prcdnti ossrazioni possiamo affrmar ch i trmini dl mmbro di sinistra sono dll ordin di s comparati con qulli dl mmbro di dstra. Pr qusta ragion sostituiamo l quazion (4) con la sgunt: (4 ) u I trmini in (5) ch sono proporzionali a dfiniscono gli sforzi douti alla iscosità, indicandoli con F possiamo dfinir il tnsor dgli sforzi iscosi: (3) F μd λ ui ch dinta in bas alla condizion (4): (3 ) F μd do, pr l prcdnti ossrazioni, trattiamo com una costant. L sprssion pr porg com consgunza dlla (4): (7 ) Φ μd D In sguito a qust approssimazioni l quazion dl moto (6) diin: (6 ) u t u u p ν u δa do =/ è la iscosità cinmatica. Considrando l quazion di conduzion dl calor (8), possiamo trattar c k com costanti portarli fuori dall argomnto dgli opratori diffrnziali ignorar il trmin -pu prsnt nl mmbro di dstra. Anch il trmin di dissipazion iscosa può ssr ignorato. Com consgunza dll quazion (6) si ha ch il campo di locità dominant è dll ordin di Ta L ½, do L è una misura dlla dimnsion linar dl sistma in sam. Rlatiamnt alla (8), il rapporto tra il trmin douto alla conduzion dl calor porg: (4) μ αδta L L μ αal k k ΔT L do tal rapporto è pr la gran part di liquidi dll ordin di -4-3, pr L cm a g, con g pari all acclrazion douta alla graità trrstr. Effttuando lo stsso tipo di analisi sul trmin ch rapprsnta la potnza gnrata dall forz strn si ha ch il rapporto è dll ordin di Com risultato di qusta analisi dll approssimazioni fin qui introdott l quazion (8) si riduc nlla sgunt: (8 ) T k t c u T T Riassumndo, il sistma di 5 quazioni pr 5 incognit dlla trmofluidodinamica nll approssimazion di Boussinsq è il sgunt: (4 ) u 3

4 (6 ) (8 ) u t t u u p ν u αt T a T k c u T T I trmini prsnti in qust quazioni sono noti nlla lttratura scintifica com: αt T a k T u T forza olumtrica di gallggiamnto trmin di conduzion di calor trmin di conzion dl calor S la forza di gallggiamnto è la sola causa dl moto allora il trmin (u)t è dtto di conzion libra, s inc ssa è trascurabil allora è dtto di conzion forzata. SCHEMA DI SOLUZIONE NUMERICA L approssimazion di Bussinsq prmtt di disaccoppiar agolmnt l quazioni ch costituiscono il sistma fondamntal di quazioni dlla trmofluidodinamica (4)-(). Dal punto di ista risolutio il disaccoppiamnto risulta nlla soluzion non più in contmporana ma in cascata dll quazioni in oggtto. In particolar, nll ottica dll approssimazion di Boussinq, lo schma numrico di soluzion rlatio all quazioni (4), (6) (8) si splica ni sgunti quattro passi:. inizializzazion di campi u, p T;. soluzion dlla (4) dlla (6), considrando il campo di tmpratura non com incognito ma com assgnato, scondo il mtodo dscritto nll articolo dllo scrint Mtodi Numrici pr l Equazioni di Nair-Stoks. Il campo ttorial u è aggiornato; 3. soluzion dlla (8) scondo uno schma numrico, anch sso all diffrnz finit, nl qual il campo di locità è considrato non com incognito ma com assgnato dal passo di soluzion prcdnt. Il campo scalar T è aggiornato; 4. i passi. 3. sono riptuti fino al soddisfacimnto di un assgnato critrio di conrgnza. La ariabil incognita tmpratura è, in qusta approssimazion, uno scalar passio trasportato dal fluido in moimnto (i.. non srcita dirttamnt sull quazioni di consrazion dlla massa dlla quantità di moto alcuna influnza, la sua oluzion dinamica è quindi compltamnt dtrminata da ss). Al fin di catturar qusta pculiarità è indicato anch in qusto caso l uso di una tcnica upwind pr il trattamnto dl trmin di conzion libra. In qusto schma di soluzion numrica, nl qual pr la cattura dlla dinamica dl campo di locità è già utilizzato il mtodo di Goduno, è sufficint ch la tcnica upwind utilizzata pr la soluzion dll quazion (8) sia un mtodo upwind dl primo ordin. Ciò consnt una dtrminazion accurata dl campo di tmpratura itando l ultrior complicazion dll algoritmo di soluzion l aumntar dllo sforzo computazional richisto. RISULTATI NUMERICI In Figura sono mostrati i risultati rlatii alla simulazion di una piastra riscaldata cntralmnt sorastata da un fluido carattrizzato da un campo di locità nullo. In qusta configurazion è riscontrabil il solo mccanismo di trasporto dl calor pr conduzion (diffusion). 4

5 Figura In Figura sono mostrati i risultati rlatii alla simulazion di una piastra riscaldata cntralmnt sorastata da un fluido carattrizzato da un campo di locità orizzontal dirtto rso dstra. In qusta configurazion sono riscontrabili sia il mccanismo di trasporto dl calor pr conduzion (diffusion) ch pr conzion. Figura Nll figur sono mostrat l isoar dl campo di tmpratura. 5