ESERCIZI SULLA DINAMICA DI CORPI RIGIDI:

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1 ESERCIZI SULLA DINAMICA DI CORPI RIGIDI: risoluzione mediante le euazioni cardinali della dinamica Esercizio n.11 Siadatounpianoinclinatofisso e posto in un piano verticale. Su di esso rotola senza strisciare un disco omogeneo di raggio R e massa M; uest ultimo è connesso ad una massa puntiforme di peso mediante un filo inestensibile e di massa trascurabile che scorre senza attrito sulla carrucola posta in B in modo che il filo scorra parallelamente al piano inclinato (cfr. figura seguente). 5 B M, R A G α C Detta g l accelerazione di gravità e assumendo che il sistema sia inizialmente in uiete, determinare il moto del sistema e come variano nel tempo la tensione nel filo e la reazione di contatto tra disco e piano inclinato. Se il filo rimane sempre in tensione, il sistema è caratterizzato da 1 grado di libertà. Come coordinata libera si può scegliere, ad esempio, la posizione verticale (x) della massa. Indicato con ϑ l angolo di rotazione (in senso antiorario) del disco, la relazione con la variabile x si ottiene osservando che C èilcentrodiistantanea rotazione del disco e che la velocità del punto A può essere espressa come: v A = ϑ ³ A C =2 ϑr k n =2 ϑr t

2 6 essendo k ilversoreortogonalealpianochecontieneildiscoecheformacon n e t la terna cartesiana di riferimento. n A v A v G ϑ ẋ t k α C Analogamente per il baricentro G la velocità risulta: v G = ϑ ³ G C = ϑr k n = ϑr t Il vincolo di inestensibilità del filo permette di determinare la relazione tra x e ϑ: v A =2 ϑr = ẋ ovvero: ϑ = ϑ 0 x x 0 2R in cui ϑ 0 è l angolo corrispondente alla posizione iniziale x 0 della massa. Per scrivere le euazioni del moto per ciascun elemento del sistema si isolano la massa e il disco mettendo in evidenza le forze corrispondenti. T A T Q T A T Q t n k φ C p α φ C j i L intensità della tensione del filoècostante poichéilfilo scorre sulla carrucola senza attrito: T, T A = TQ

3 Le euazioni del moto, in forma vettoriale, si scrivono come segue (m I G = MR 2 /2): m a Q = + ³ T Q M a G = p + φ C + ³ T A I G ϑ k = MG 7 = /g, Le varie forze possono essere convenientemente espresse mediante i versori n, t e j: T A = T t T Q = T j φc = φ t t + φ n n p = Mg j = j mentre il momento delle forze applicate al disco è: ³ M G = A G ³ T A ³ + G G p + =(R n) T t +( R n) φ t t + φ n n = = T R k Rφ t k = (T + φt ) R k Analogamente, per le accelerazioni si ha: ³ C G φ C = ½ ag = d v G dt a Q =ẍ j = ϑr t= 1 2ẍ t A uesto punto si possono proiettare i termini delle euazioni: ³ ³ ³ ẍ j j = j j + T j j g M 1 2ẍ t ³ t = Mg j t + φ C t + T t t M 1 2ẍ t ³ n = Mg j n + φ C n + T t n ϑ k k = M G k = (T + φ t ) R k k MR 2 2 ottenendo così un sistema di 4 euazioni nelle 4 funzioni incognite x (t), T (t), φ t (t) e φ n (t): gẍ = T 1M ẍ = Mgsin (α)+φ 2 t T ovvero 0= M gcos (α)+φ n MR Rẍ = (T + φ t ) R 3p+4p sin(α) T = 8+3p φ t = p +(p+4)sin(α) 8+3p φ n = p cos (α) ẍ = g 8 4p sin(α) 8+3p Si noti che risulta, come ipotizzato, T > 0; se fosse risultato T < 0 ad un certo istante, si sarebbe dovuto assumere T =0nelle euazioni del moto.

4 8 Il moto della massa risulta essere uniformemente accelerato e le forze coinvolte rimangono costanti nel tempo. La funzione x (t) si ottiene integrando due volte l accelerazione: ẋ (t) =A + x (t) =B + Z t 0 Z t 0 8 4p sin (α) ẍ (τ) dτ = A + gt 8 +3p ẋ (τ) dτ = B + At+ 8 4p sin (α) g t2 8 +3p 2 Le costanti di integrazione A e B si ottengono imponendo le condizioni iniziali: Dunue si ottiene: x (t) =x 0 + ẋ (0) = A =0 x (0) = B = x 0 8 4p sin (α) g t2 8 +3p 2 Si noti che se 2 = p sin (α) il sistema rimane in uiete, ovvero la configurazione iniziale (x 0 ) è di euilibrio; se invece risulta 2 >psin (α),ilcoefficiente del termine uadratico è positivo, ovvero la massa si abbassa progressivamente imponendo al disco di risalire il piano inclinato. In alternativa, se 2 <psin (α) il coefficiente del termine uadratico è negativo e la massa viene sollevata dal disco che, rotolando, discende il piano inclinato. Risoluzione altenativa Il problema può essere risolto anche senza isolare il disco dal piano inclinato. Mettendo in evidenza le forze scambiate tra il filo e la massa etrailfilo e il disco le euazioni del moto che si possono scrivere sono le seguenti: T A T Q t n k α T A p C T Q j i ( a g Q = + ³ T Q I C ϑ k = M C

5 ovvero, all euazione del moto per la massa si aggiunge l euazione del momento della uantità di moto scritta per il disco rispetto al centro di istantanea rotazione C. Il momento M C delle forze applicate al disco è dato dall espressione seguente: ³ M C = A C ³ T A ³ + G C p = =(2R n) T t ³ +(R n) p j = = 2T R k + Rpsin (α) k =[ 2T + p sin (α)] R k Il momento d inerzia del disco rispetto al centro di istantanea rotazione può essere determinato mediante la formula di trasporto di Huygens-Steiner: 9 I C = I G + MR 2 = 3 2 MR2 Proiettando le euazioni su j e k si ottiene un sistema di due euazioni scalari nelle incognite T e x: ½ ẍ = T g 3 2 MR2 2R ẍ =[ 2T + p sin (α)] R sistema che, risolto, fornisce la stessa soluzione precedentemente determinata: ( T = 3p+4p sin(α) ẍ = 3p+8 8 4p sin(α) 8+3p Esercizio n.12 Sia dato un piano inclinato fisso e posto in un piano verticale. Su di esso rotolano senza strisciare un disco e un anello omogenei e scabri, entrambi di raggio R e massa M. I due corpi rigidi sono posti inizialmente in contatto e il coefficiente di attrito dinamico è µ (cfr. figura seguente). g Detta g l accelerazione di gravità, determinare il moto del sistema e come varia nel tempo la reazione di contatto tra i due dischi. Si trascuri l attrito volvente tra ciascuno dei due corpi rigidi e il piano inclinato.

6 10 Finché disco e anello rimangono in contatto il sistema è caratterizzato da 1 grado di libertà: come coordinata libera si sceglie, ad esempio, la posizione lungo il piano inclinato del baricentro del disco (x). Le rotazioni (ϕ e ϑ) dei due corpi rigidi possono essere espresse in funzione della coordinata libera x osservando che, detto G D il baricentro del disco e G A uello dell anello, si può scrivere: ³ ³ v GD = ϕ G D H = = v GA = ϑ ³ G A K ϕ k R t = ϕr n = ẋ n ³ ϑ k R t = ϑr n = ẋ n dacuisideduce: ϕ = ϑ = ẋ R Per la scrittura delle euazioni del moto si sfrutta uanto osservato al punto (). Il disco e l anello vengono separati e si mettono in evidenza le reazioni vincolari ( φ C e φ C ) scambiate tra i due corpi rigidi. Essendo H il centro di istantanea rotazione del disco e K uello dell anello, per i due corpi rigidi si può scrivere: Disco: Γ H = ³ ³ M H I H ϕ = G D H p + C H φ C (1a) Anello: Γ K = ³ ³ M K I K ϑ = G A H p + C K ³ φ C (1b)

7 11 La reazione vincolare φ C può essere espressa nel riferimento ( n, t): φc = φ n n + φ t t Il contatto tra i due corpi rigidi richiede che le seguenti relazioni risultino soddisfatte: φ n 0 φ t 0 φ t = µ φ n Qualora risultasse φ n > 0 vi sarebbe il distacco tra il disco e l anello e, a partire dall istante in cui φ n =0, bisognerebbe assumere φ C =0nelle euazioni del moto. Il sistema risolvente è il seguente: ³ ³ I H ϕ = G D H p + C H φ C ³ ³ I K ϑ = G A H p + C K ³ φ C φ t = µφ n I H ³ ϕ k = R t p + R n + R t φ n n + φ t t I K ³ ϑ k = R t p + R n + R t φ n n φ t t φ t = µ φ n ovvero, proiettando lungo il versore k: ẍ I H = R psin (α) φ R n R + φ t R ẍ I K = R psin (α)+φ R n R + φ t R φ t = µ φ n erisolvendo: φ t = p sin (α) ẍ (I 2R 2 H + I K ) φ n = ẍ (I 2R 2 H I K ) φ t = µ φ n Il segno di φ n dipende dai momenti d inerzia di ciascun corpo rigido rispetto al centro di istantanea rotazione. Per il disco si ha (cfr. punto ): I H = 3 2 MR2 mentre per l anello si può calcolare il momento d inerzia rispetto al proprio baricentro G A : Z 2π I GA = γr 2 Rdψ= M 2πR R2 R 2π = MR 2 0 in cui γ = M è la densità di massa per unità di lunghezza dell anello. Applicando 2πR poi il teorema di trasporto si ottiene: I K = I GA + MR 2 =2MR 2

8 12 Sostituendo uanto trovato nel sistema precedente si ricava: φ t = Mgsin (α) 7ẍM 4 φ n = ẍm 4 4g sin (α) 7ẍ = µ ẍ sistema che ammette le seguenti soluzioni: ½ 4g sin (α) 7ẍ 0 4g sin (α) 7ẍ = µ ẍ ½ 4g sin (α) 7ẍ 0 [4g sin (α) 7ẍ] =µ ẍ φ t = µ p sin (α) φ n = p sin(α) ẍ 4 g sin (α) 7 ẍ = g 4sin(α) φ t = p sin (α) µ 7 µ φ n = p sin(α) 7 µ ẍ 4 g sin (α) 7 ẍ = g 4sin(α) 7 µ Si noti però che la seconda non è accettabile poiché la condizione φ n 0 implica µ<7 e di conseguenza φ t < 0, mailsistemarichiedeφ t > 0. In definitiva si ottiene un moto uniformemente accelerato: φ t = µ p sin (α) φ n = p sin(α) x (t) =g 2sin(α) t2 + ẋ 0 t + x 0 conlecostantidiintegrazioneẋ 0 e x 0 da determinarsi imponendo le condizioni iniziali.