α =ωt. =ωr in senso antiorario, dove ω indica la velocità angolare. Supponiamo che al tempo t 0

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1 Studio cinematico del moto armonico di un punto materiale per la determinazione di due relazioni utili all analisi di circuiti in corrente alternata. prof. Dario Benetti 1 Introduzione. In riferimento alla figura sottostante, un punto materiale C compie un moto circolare uniforme su una circonferenza di centro O e raggio r, muovendosi a una velocità tangenziale v! C =ωr in senso antiorario, dove ω indica la velocità angolare. Supponiamo che al tempo t 0 = 0 il punto C si trovi sul semiasse positivo delle ascisse. Altresì supponiamo che ad un certo tempo t il punto C si trovi nella posizione mostrata in figura, compiendo così un angolo α =ωt. Consideriamo la proiezione A del punto C sull asse delle ascisse. Il punto A compie un moto armonico, di pulsazione ω e periodo T = 2π ω (il tempo che impiega, partendo da un estremità, a ritornare nello stesso punto). 2 Il vettore spostamento. La posizione del punto A è determinata dal vettore s! ( t). Per determinare l espressione analitica del vettore spostamento, consideriamo il triangolo ACO: si ha s( t) = rcos( ωt). (1) 1 di 8

2 3 Il vettore velocità. La prima relazione. La velocità del punto A è determinata dal vettore v! ( t), la proiezione del vettore v! C sull asse delle ascisse, quindi in modulo corrisponde alla lunghezza del segmento BC. Per determinare l espressione analitica del vettore velocità, considero il triangolo BCD, simile al triangolo ACO con rapporto di similitudine ω (CD OC = v C r =ωr r =ω ): si ha v( t) = ωrsin( ωt), (2) dove il segno indica che il vettore velocità ha verso opposto rispetto al vettore spostamento. Ora, poiché v t = Δs ( t ) con la (2) otteniamo: Δrcos( ωt) v( t) = v( t) = Δcos( ωt) = ω sin( ωt). rδcos( ωt), confrontando questa relazione 2 di 8

3 4 Il vettore accelerazione. La seconda relazione. L accelerazione del punto A è determinata dal vettore a! ( t), la proiezione del vettore a! C sull asse delle ascisse, quindi in modulo corrisponde alla lunghezza del segmento EF. Per determinare l espressione analitica del vettore velocità, considero il triangolo CEF, simile al triangolo ACO con rapporto di similitudine ω 2 (EF OC = a C r =ω 2 r r =ω 2 ): si ha a( t) = ω 2 rcos( ωt), (3) dove il segno indica che il vettore accelerazione ha verso opposto rispetto al vettore spostamento. Ora, poiché a t = Δv ( t ) relazione con la (3) otteniamo: a( t) = Δ! ωrsin ωt # $ Δsin( ωt) =ω cos( ωt). ωrδsin( ωt) a( t) =, confrontando questa 3 di 8

4 5 La fem di un alternatore. Ricordiamo le due relazioni determinate nel paragrafi precedenti, che legano la variazione di una funzione goniometrica a un altra funzione goniometrica. Precisamente: e Δcos( ωt) = ω sin( ωt) (4) Δsin( ωt) =ω cos( ωt). (5) Consideriamo un alternatore il cui rotore (ad esempio una spira) ruoti con una velocità angolare ω. Supponiamo che al tempo t 0 = 0 il rotore si trovi in posizione traversale rispetto al campo magnetico (per cui il flusso assume il valore massimo). Altresì supponiamo che ad un certo tempo t il rotore si trovi inclinato di un angolo un angolo α =ωt rispetto alla posizione iniziale. La legge di Faraday- Lenz afferma che f ( t) = Δφ B f ( t ) = Utilizzando la relazione (4), si ottiene: f ( t) = BSω sin( ωt) f ( t) = f 0 sin( ωt). ΔBScos( ωt) f ( t) = BS Δcos( ωt). 6 Circuito puramente resistivo. Supponiamo che l alternatore alimenti un circuito puramente resistivo. Dalla prima legge di Ohm, indicato con R la resistenza presente nel circuito, otteniamo l espressione analitica della corrente indotta: = f ( t ) i t R i ( t ) = f 0 sin( ωt) i( t) = i R 0 sin( ωt). Osserviamo che la tensione f ( t) e l intensità di corrente i( t) sono in fase. 7 Circuito puramente capacitivo. Supponiamo che l alternatore alimenti un circuito puramente capacitivo. Dalla definizione di capacità, C = q t f ( t), indicato proprio con C la capacità presente nel circuito, otteniamo l espressione analitica della corrente indotta: 4 di 8

5 = Δq ( t ) i t Utilizzando la relazione (5), si ottiene: i t = ΔCf ( t ) i t Δsin( ωt) = Cf 0 i( t) =ωc!f 0 cos( ωt) i( t) = i 0 cos( ωt) i( t) = i 0 sin$ ωt + π 2 Osserviamo che la tensione f è in ritardo di fase (di un tempo pari a T 4, dove T = 2π ω rappresenta il periodo dell oscillazione) rispetto all intensità di corrente i. Osserviamo anche che, in accordo con la prima legge di Ohm, f 0 = 1 ωc i 0 f 0 = X C i 0, dove X C![Ω] indica la reattanza capacitiva. #.. 8 Circuito puramente induttivo. Supponiamo che l alternatore alimenti un circuito puramente induttivo. Ricordiamo che = L Δi ( t ) f t, dove L indica l induttanza presente nel circuito. L espressione analitica della corrente indotta è = i 0 sin$ ωt π 2 i t #, dove i 0 = f 0. In effetti: ωl = L Δi ( t ) f t f t f t Δ$ cos( ωt) = Li 0 $ = L Δ i 0 sin ωt π 2 f t f ( t) = f 0 ω Δ$ cos ωt Δ$ sin( ωt π 2) = Li 0 e, utilizzando la relazione (4), si ottiene proprio che f ( t) = f 0 sin( ωt). Osserviamo che la tensione f è in anticipo di fase (di un tempo pari a T 4 ) rispetto all intensità di corrente i. Osserviamo anche che, in accordo con la prima legge di Ohm, f 0 =ωli 0 f 0 = X L i 0, dove X L![Ω] indica la reattanza induttiva. 5 di 8

6 9. Il circuito RLC in serie e l impedenza. Si nota che le reattanze dipendono dalla frequenza ν =ω 2π. In particolare, se la frequenza è sufficientemente bassa, la reattanza capacitiva non è più trascurabile. Viceversa, se la frequenza è sufficientemente alta, è la reattanza induttiva a non essere più trascurabile. Nasce spontaneamente la domanda: esiste una frequenza ottimale, per la quale siano trascurabili le reattanze? Per rispondere a tale domanda, consideriamo un circuito RLC in serie, composto da un resistore, un induttanza e un condensatore collegati in serie e sottoposti a una fem pari a f t e attraversati da un intensità di corrente i( t). Determiniamo un circuito elementare equivalente a quello dato. Per fare ciò, considero un dispositivo che contempli i tre aspetti (resistivo, induttivo e capacitivo) presenti nel circuito. Tale dispositivo prende nome di impedenza, è indicato con Z![Ω] e si rappresenta con un rettangolo. i(t) i f(t) f Come mostreremo nel successivo paragrafo, si ha che il modulo e l argomento dell impedenza sono pari a Z = R 2 + ωl 1 $ # ωc 2 ωl 1 e ϑ = arctan ωc R (6 e 7) rispettivamente. Ora, per minimizzare gli effetti della presenza dell impedenza, bisogna: i. Scegliere i materiali costituenti il circuito in modo tale da minimizzare la resistenza R. 6 di 8

7 ii. Regolare la frequenza del generatore in modo tale da annullare la parte reattiva, ovvero scegliere la frequenza ν r =ω r 2π tale che ω r L 1 ω r C = 0. 1 La frequenza ottimale quindi esiste ed è pari a ν r = 2π LC frequenza di risonanza.. Tale frequenza prende il nome di 10. Dalla corrente alternata ai numeri complessi. Consideriamo un generatore di corrente alternata di fem pari a f ( t) = f 0 cos( ωt +ϕ), dove ϕ indica un possibile sfasamento. Ricordando che un numero complesso z = x +iy si può scrivere in forma trigonometrica come e in forma esponenziale come z = ρ!e iϑ. z = ρ cosϑ +isinϑ Consideriamo il numero complesso F t reale è proprio f: f t = R F ( t) f t = f! 0 cos ωt +ϕ = R f 0 e i ( ωt+ϕ ) +isin( ωt +ϕ # ) $ ; si nota che la sua parte f t 7 di 8 = R( f 0 e iϕ e iωt ). Il numero complesso f = f 0 e iϕ, indipendente da t, è chiamato fasore. In pratica, ad ogni funzione f ( t) = f 0 cos( ωt +ϕ) è possibile associare uno e un solo fasore f= f 0 e iϕ, e viceversa, per un determinato valore di ω. Il fasore gode di proprietà utili per analizzare un circuito non elementare in corrente alternata. Proposizione: Δ f/ Δ t = iω f. Dimostrazione: riprendiamo la relazione (4), dalla quale Riprendiamo la relazione (5), dalla quale In termini di numeri complessi, si ha che ΔR F t Consideriamo l espressione ΔI F t scritte, ricavo che ΔI F t i ΔR F t Δcos( ωt) = ω sin( ωt) Δsin( ωt) =ω cos( ωt) i ΔR F t =ω!r F ( t) = ω!i ( F ( t) ) Δcos( ωt +ϕ) = ω sin( ωt +ϕ). Δsin( ωt +ϕ) =ω cos( ωt +ϕ). e che ΔI F t =ω!r( F ( t) ).. Tenendo conto delle due relazioni appena +iω!i ( F ( t )) =ωf t. Considerando invece la

8 proprietà delle differenze Δ troviamo che iδ R F t = +ii F ( t ) ( = i ΔF ( t ). ΔI F t i ΔR F t Confrontando i due risultati trovati otteniamo che i ΔF ( t ) =ωf ( t ) ΔF ( t ) fasori, otteniamo proprio Δ f/ Δ t= iω f. = ir F ( t ) Δ I F t ( = = iωf ( t). In termini di Ora, per un circuito puramente resistivo, f R ( t) = Ri t f = R i. Dalla proposizione segue che, per un circuito puramente capacitivo, i t poter applicare la prima legge di Ohm, consideriamo la forma f= i ωc i. Invece, in un circuito puramente induttivo, f L ( t) = L Δi t f = iωl i. = C Δf t C i = iωc f. Per Siamo ora pronti a ridurre il circuito RLC in serie a un circuito elementare. Si ha che f ( t) = f R ( t)+ f L ( t)+ f C ( t) f ( t) = Ri t relazione diventa f = R i+iωl i i ωc +L Δi t + 1 C q ( t ). In termini di fasori questa ( 1 + i f = * R+i$ ωl -i. Il termine tra parentesi quadrate è )* # ωc,- l impedenza Z = R+iX, dove R indica la resistenza e X la reattanza complessiva, X =ωl 1 ωc. Di fatto, vale la legge di Ohm generalizzata f= Z i. Ora, essendo l impedenza un numero complesso, non ha senso chiedersi quando questa è piccola o grande. Possiamo però valutare il modulo di Z. Ricordando che un numero complesso z = x +iy ha modulo z = x 2 + y 2 e argomento ϑ = arctan y, risultano dimostrate le relazioni (6 e 7) del paragrafo precedente. x 8 di 8