Utilizzando la forma complessa della legge di Ohm calcoliamo la corrente che scorre nel circuito r r

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1 Yui Geelli, uca Fontanesi, Riccado Campai ab. Elettomagnetismo INDUZIONE Scopo dell espeimento è duplice: dappima la misuazione dell induttanza di un solenoide, poi del coefficiente di mutua induzione di una coppia di solenoidi. Stumentazione: Oscilloscopio Geneatoe di funzioni Coppia di solenoidi cilindici, di aggi divesi, assemblabili in uno unico pe il calcolo della mutua induzione Misuatoe di esistenze MISURA DE INDUTTANZA Utilizzando la foma complessa della legge di Ohm calcoliamo la coente che scoe nel cicuito nell ipotesi che la caica passante nell oscilloscopio, data la gande esistenza, sia tascuabile: Vin Vin I = = Z R + R + jω a tensione ai capi dell oscilloscopio saà alloa data dalla seguente fomula j R V ω + = V in R + R + jω Passando ai moduli R V + ω = V in ( R + R + ω R Oa supponiamo di tovaci a una fequenza tale che >> ω e ω >> R, possiamo pensae che R >> R ; in queste condizioni possiamo appossimae il modulo della tensione di uscita V = Vin ω ; A = ω R R ottenendo così una espessione lineae. ipotesi che abbiamo fatto sulla esistenza intena all induttanza è in effetti ben veificata dal valoe estituitoci dal multimeto digitale.

2 Raccogliendo sull oscilloscopio l ampiezza di uscita dell onda nel punto indicato sullo schema siamo in gado di tacciane un gafico in funzione della fequenza: se compae su di esso un tatto ettilineo possiamo pensae che la banda di fequenze in cui è veificato sia effettivamente tale da soddisfae le ipotesi che abbiamo utilizzato nell appossimazione di poco sopa. Potemo calcolae R dv il coefficiente di induzione come =. Effettivamente i dati speimentali mostano un Vin dω tatto ettilineo come ci aspettavamo, e il valoe di induttanza così calcolato è in ottimo accodo con quello poi misuato tamite il ponte RC (.6-4 H conto.7-4 H.,,8 V (V,6,4, fequenza (Hz,35,3 V = E-5ν +,46 R =,994,5 V (V,,5 Seie ineae (Seie,, feq. (Hz

3 R da dω,3 Ω Misuata col ponte.43 mh 5 Ω H Entambi i gafici mostano il guadagno (A in funzione della fequenza. Il secondo in paticolae mosta il tatto ettilineo e la miglioe intepolazione pe l intevallo, di cui tutto ciò che ci inteessa è in ealtà il coefficiente angolae di questa etta. E inolte confotante che pe fequenze alte l uscita satui asintoticamente al valoe di entata come figua dall equazione del cicuito. MISURA DEA MUTUA INDUTTANZA I solenoidi e indicati in figua sono coassiali, al vaiae della coente in uno di essi vaieà il flusso del campo magnetico geneato concatenato all alto avvolgimento e vi si geneeà una foza elettomotice pe la legge di Faaday-Neumann. Poiché il flusso è popozionale al campo e il dφ di campo alla coente si ha Φ = MI e f. e. m. = = M (a meno del segno. Il coefficiente M è dt dt detto di mutua induzione dal momento che si può dimostae che è uguale sia pe la foza elettomotice indotta dal pimo solenoide sul secondo che pe la situazione invesa. Utilizzando la foma complessa della legge di Ohm otteniamo che la coente che cicola nel j( ωt ϕ± j( ωt ϕ di Ve Ve ω cicuito di sinista èvi =± M =± jω M = M ω, dove tanϕ =. a dt z z R + R legge di Faaday-Neumann pe il secondo cicuito si scive j( ωt ϕ± j( ωt ϕ Ve di Ve Vi =± M =± jωm = ωm, a seconda di come sia collegata la spia dt z z all oscilloscopio (se seguendo dal cavo positivo dell oscilloscopio le coenti pocedono nello stesso veso in entambe le spie si avà segno negativo, altimenti positivo. a ϕ che compae

4 nell ultima equazione cesce al cescee della pulsazione e in paticolae tendeà a pe fequenze alte, endendo la fase, come in effetti si veifica speimentalmente A basse fequenze la fase dovebbe essee e anche questo fatto è veificato dall espeimento. Bisogna ossevae che il modulo di z che compae nell equazione è funzione della fequenza tamite z = ( R + R +ω ; possiamo peò suppoe come già nell espeimento pecedente che esista un intevallo tale pe cui R + R >>ω, e appossimae la funzione con la etta V Vi = Mf. R + R,8,7 y =,359E-4x + 5,8E-,6,5 Vi (V,4,3,,, fequenza (Hz Nel gafico viene visualizzata l equazione della etta di egessione che ipota come coefficiente c( R angolae c=, R 4 e da questo possiamo ottenee M = =, H. V Pe idue l impecisione dovuta all appossimazione sopa descitta avemmo potuto usae un geneatoe con una esistenza di uscita di 6 Ohm, ma pe cause di tempo ci siamo limitati a accogliee questo set di misue. Un fenomeno paticolae che si pesenta ad alte fequenze è l impovviso divegee dell ampiezza e contempoaneo sfasae del segnale di (passa da uno sfasamento di 8 ad essee in fase con il segnale di ingesso, come se il cicuito si compotasse da passabanda e ci fosse una isonanza. Con il modello che abbiamo non è possibile spiegae il bizzao avvenimento, ma basta poe una capacità in paallelo alla pima induttanza pe ottenee un intepetazione convincente almeno del cambio di fase.

5 j( ωt ϕ V Ve equazione della fase mosta come alla = I = Z Z isonanza ω =, ϕ passi da a - C ω Z = R + + jωc + R = R + R + j a seconda che ci si avvicini alla isonanza jω ω C ispettivamente dalle basse fequenze o ω tanϕ = dalle alte. ω C R + R alto fattoe di sfasamento del ω Z = ( R + R + cicuito complessivo è dovuto al fatto che ( ω C enta in gioco la deivata di una funzione sinusoidale CACOO DEA MUTUA INDUTTANZA CON I PONTE RC Pe ottenee una valoe di mutua induttanza da confontae con il nosto abbiamo nuovamente sfuttato il ponte RC. Mettendo in seie i due solenoidi si ottiene un cicuito lungo la cui maglia di di di di di vale l equazione + ± M ± M = eq = V la cui induttanza equivalente è data dt dt dt dt dt da + ± M = eq (essendo le induttanze mutue uguali. Il ± è dovuto al modo in cui sono collegate le induttanze: se la coente pecoe i solenoidi nello stesso veso si ha che le mutue induttanze contastano il egime, altimenti lo alimentano. eq è in effetti la misua che ci è fonita dal ponte RC, pe cui il calcolo di M isulta immediato. M.55-4 H Il nosto isultato è abbastanza diffeente da quello veificato col ponte e questo fenomeno è spiegabile analizzando l appossimazione fatta: con una etta di egessione limitata a basse fequenze ci saemmo avvicinati a questo valoe.