approfondimento Cinematica ed energia di rotazione equilibrio statico di un corpo esteso conservazione del momento angolare

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1 approfondimento Cinematica ed energia di rotazione equilibrio statico di un corpo esteso conservazione del momento angolare

2 Moto di rotazione

3 Rotazione dei corpi rigidi ϑ(t) ω z R asse di rotazione v m d m O ϕ r y x Ogni massa m m i ha moto dipendente da R = distanza dall asse v ds R d ϑ r r = v = Rω = r sin ϕω ω dt dt Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

4 Vettore velocità angolare ω z ω π / 2 x O r ϑ(t) P v y è diretto lungo l asse di rotazione il verso è dato dalla regola della mano destra il modulo è ω = lim θ / t t 0 Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

5 Vettore velocità lineare v z r r v ω r * ω O x ϑ(t) r P π / 2 v r π ds( t) ϑ ω r ωr = ωr v = = r d ( sin t ) 2 dt dt y * Si veda la definizione di prodotto vettore in fisica propedeutica Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

6 Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

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8 Richiami sul moto circolare

9 Moto circolare uniforme r ϑ α v P P 0 x Moto circolare con velocità scalare costante legge oraria s(t) = r ϑ(t) e poiché descrive archi uguali in tempi uguali ϑ / t = cost. velocità angolare: ω = ω m = ϑ / t ---- ϑ = ωt legge oraria s(t) = r (ωt) v = 2πr / T ω= 2π / T v = ω r accelerazione angolare: α = lim ω / t 0 t -> 0 Nel moto circolare uniforme la velocità angolare media coincide con la velocità angolare istantanea Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

10 Moto circolare v r P ϑ α r v P P 0 x Velocità angolare: ω = lim ϑ / t t -> 0 velocità lineare: v = lim s / t t -> 0 PP = s s = s(t + t) - s(t) = r ϑ Nel moto circolare il modulo della velocità (lineare) è, ad ogni istante, direttamente proporzionale alla velocità angolare v = lim ( ϑ / t) r t -> 0 v = ω r Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

11 accelerazione nel moto circolare ϑ α r v a T a N P P 0 x accelerazione angolare: α = lim ω / t t -> 0 accelerazione lineare: componente normale a N = - v 2 /r vers r ω 2 r U N componente tangenziale a T = [lim (ωr) / t ] U T α r U T t -> 0 a = a T u T + a N u N accelerazione tangente dv ( t ) a T ( t ) = dt accelerazione normale v a N ( t ) = ( t ) ρ Nel moto circolare la componente tangenziale della accelerazione (lineare) è, ad ogni istante, direttamente proporzionale alla accelerazione angolare 2 Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

12 Conservazione dell energia Iω mv E k + L energia cinetica di un oggetto che rotola senza scivolare: dove I è calcolato rispetto al centro dell oggetto. Del resto in assenza di forze non conservative l energia meccanica si conserva B A A B A k B k k W m m E E E = = ω ω Anche per un moto rotazionale vale il teorema dell energia cinetica + I I

13 esempi

14 I = ½ Mr 2 h = 1 m r = 0.1 m M = 1 kg g = 9.81 m/s 2 Un cilidro di raggio r e momento di inerzia I = ½ M r 2 rotola senza scivolare lungo un piano inclinato come in figura. Determinare la velocità v del centro di massa al distacco: V CM = Mgh = ½ M V CM2 + ½ I ω 2 V CM = r ω

15 Moto vario Un cilindro pieno di raggio 10 cm e massa 12 Kg, partendo da fermo, rotola senza strisciare per una distanza di 6 m giù per il tetto di una casa inclinato di 30 Quando lascia il bordo del tetto, qual è la sua velocità angolare rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa? La parete esterna della casa è alta 5 m, a che distanza dal bordo del tetto atterrerà sul terreno piano? U=0

16 Moto vario Un cilindro pieno di raggio 10 cm e massa 12 Kg, partendo da fermo, rotola senza strisciare per una distanza di 6 m giù per il tetto di una casa inclinato di 30 Quando lascia il bordo del tetto, qual è la sua velocità angolare rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa? La parete esterna della casa è alta 5 m, a che distanza dal bordo del tetto atterrerà sul terreno piano? Consideriamo dapprima il moto di puro rotolamento sul tetto U=0

17 Moto vario Un cilindro pieno di raggio 10 cm e massa 12 Kg, partendo da fermo, rotola senza strisciare per una distanza di 6 m giù per il tetto di una casa inclinato di 30 Quando lascia il bordo del tetto, qual è la sua velocità angolare rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa? La parete esterna della casa è alta 5 m, a che distanza dal bordo del tetto atterrerà sul terreno piano? Consideriamo dapprima il moto di puro rotolamento sul tetto Le forze agenti sono la forza peso, la Normale, la forza di attrito statico. U=0

18 Moto vario Un cilindro pieno di raggio 10 cm e massa 12 Kg, partendo da fermo, rotola senza strisciare per una distanza di 6 m giù per il tetto di una casa inclinato di 30 Quando lascia il bordo del tetto, qual è la sua velocità angolare rispetto ad un asse passante per il suo centro di massa? La parete esterna della casa è alta 5 m, a che distanza dal bordo del tetto atterrerà sul terreno piano? Consideriamo dapprima il moto di puro rotolamento sul tetto Le forze agenti sono la forza peso, la forza Normale, la forza di attrito statico. Possiamo trovare la velocità finale utilizzando la conservazione dell energia meccanica totale U=0

19 E i =E f K i +U i =K f +U f K f = 1 2 Mv 2 CM + K * = 1 2 Mv 2 CM I* ω MgLsen 30 = 1 2 Mv 2 CM I* ω La condizione di puro rotolamento: v CM = R ω v CM = R 2 ω 2 Il momento di inerzia del cilindro: I * = 1 2 MR2 MgL sen30 = 1 2 MR 2 ω MR2 ω 2 ω = 4gLsen 30 3R 2 = = 3924 = 62.6 rad s

20 Al momento del distacco: x o = 0m y o = 5m v CM = Rω = = 6.26 m s v xo = 6.26cos30 = 5.42 m s x = v xo t v yo = 6.26sen 30 = 3.13 m s y = y o + v yo t 1 2 gt2 Determinare l istante di impatto al suolo imponendo che y=0 y o + v yo t 1 2 gt2 = t t 5 = 0 t 1, 2 = b ± b 2 4ac 2a = 3.13 ± = 3.13 ± = La soluzione negativa è da scartare. La distanza a cui atterrerà: x = v xo t = = 4.01m d = x f x o = 4.01m

21 equilibrio statico di un corpo rigido esteso

22 equilibrio statico F 1 + F 2 = mg F 2 L mg ( ¾ )L = 0 F 2 = ¾ mg F 1 = ¼ mg

23 Condizioni di equilibrio statico Perché un oggetto esteso sia in equilibrio statico devono essere soddisfatte le seguenti due condizioni: La risultante delle forze esercitate sull oggetto deve essere nulla: Σ F = 0 La somma vettoriale dei momenti torcenti esercitati sull oggetto deve essere nulla: Σ τ = 0

24 Esempi

25 Richiami sul centro di massa

26 Importanza del Centro di massa Il moto traslatorio di un oggetto esteso o di un sistema di particelle può essere descritto dal moto di un punto materiale, detto centro di massa o baricentro, nel quale si immagini concentrata tutta la massa dell oggetto o del sistema, soggetto alla risultante di tutte le forze esterne.

27 Proprietà del Centro di massa Il centro di massa di oggetti simmetrici e di densità uniforme coincide con il centro geometrico. Sperimentalmente: un corpo sospeso si pone sempre in modo che il baricentro si trovi verticalmente sotto il punto di sospensione, perché in questa posizione il momento risultante della forza peso è nullo.

28 Calcolo della posizione del centro di massa X CM = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2 M = m 1 + m 2 La ascissa del centro di massa è la media pesata delle ascisse delle masse del sistema

29 Centro di massa di un sistema di punti materiali P i z O P 1 P 2 r 1 G P 3 r CM z CM x CM y r mi OPi i OG CM = = m i i i r m M i i massa totale del sistema x y CM x y z = M 1 M 1 M m C M i i i = m C M i i i = 1 m C M i i i Il vettore posizione R CM del centro di massa è la media pesata dei vettori posizione delle masse del sistema z x y

30 moto del centro di massa R CM = m 1 r 1 + m 2 r 2 + m 1 + m 2 + M = m 1 + m 2 + La velocità e la accelerazione del centro di massa sono le medie pesate delle velocità e delle accelerazioni delle masse del sistema m 1 v 1 + m 2 v 2 + m 1 a 1 + m 2 a 2 + V CM = m 1 + m + A CM = 2 m 1 + m 2 + M V CM = p totale M A CM = F totale La quantità di moto di un sistema comunque complesso è uguale alla sua massa totale per la velocità del baricentro

31 moto del centro di massa R CM = m 1 r 1 + m 2 r 2 + m 1 + m 2 + M = m 1 + m 2 + La velocità e la accelerazione del centro di massa sono le medie pesate delle velocità e delle accelerazioni delle masse del sistema La seconda legge di Newton per un sistema di particelle: A CM = m 1 a 1 + m 2 a 2 + m 1 + m 2 + Il CM di un sistema accelera come se fosse una particella puntiforme di massa M spinta dalla forza F totaleesterna M A CM = F totale esterna Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

32 Il moto del baricentro è equivalente a quello di un punto materiale di massa M = Mtotale

33 Centro di massa ed equilibrio L asta è in equilibrio se il momento torcente risultante che agisce su di essa è nullo. m 1 gx 1 - m 2 gx 2 = 0 m 1 x 1 = m 2 x 2 x CM = 0 risultato generale Ciò equivale ad avere il baricentro sulla verticale passante per il punto di sospensione

34 equilibrio di oggetti sospesi L sin ϑ L ϑ Momento torcente nullo: τ = mgl sin 0 = 0 Momento torcente negativo: τ = mg (L sin ϑ) 0

35 equilibrio La roccia plurimillenaria rimarrà salda sul suo piedistallo finchè la verticale per il suo centro di massa intercetterà la sua base di appoggio

36 Conservazione del momento angolare

37 Conservazione del momento angolare τ = L/ t se τ = 0 L = 0 e L = costante Il momento angolare si conserva anche in sistemi sottoposti a più momenti torcenti, purchè il momento torcente risultante esterno sia nullo

38 16. esempio svolto Inizialmente lo studente mantiene le braccia distese e gira intorno all asse dello sgabello con una velocità angolare di 3.74 rad/s. Il momento di inerzia, in questo caso, è di 5.33 kg m 2 Mentre gira lo studente avvicina le braccia al torace, riducendo il momento di inerzia a 1.60 kg m 2. Quale è adesso il modulo della velocità angolare? Sul sistema non agiscono momenti torcenti esterni

39 quindi L i = L f Inizialmente lo studente mantiene le braccia distese e gira intorno all asse dello sgabello con Una velocità angolare di 3.74 rad/s. Il momento di inerzia, in questo caso, è di 5.33 kg m esempio svolto Mentre gira lo studente avvicina le braccia al torace, riducendo il momento di inerzia a 1.60 kg m 2. Quale è adesso il modulo della velocità angolare? L i = L f ω i I i = ω f I f ω f = ω i (I i /I f ) = 12.5 rad/s Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

40 Ciclone Andrew Conservazione del momento della quantità di moto

41 N.B. Il carattere antiorario (orario) del moto ciclonico dipende dalla acc. del Coriolis e dall emisfero (Nostro oppure australe). Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

42 Sistemi di riferimento rotanti In un sistema di riferimento in moto rotatorio (sistema non inerziale) compaiono due forze apparenti: la forza centrifuga la forza di Coriolis Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

43 Forza centrifuga: forza apparente che in un sistema di riferimento rotante bilancia la forza centripeta = mω r F cf 2 Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

44 Forza di Coriolis: forza apparente perpendicolare alla velocità del corpo e all asse di rotazione Rotazione antioraria: Deviazione verso destra Rotazione oraria: Deviazione verso sinistra Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

45 La natura vettoriale del moto rotazionale Il vettore velocità angolare è diretto lungo l asse di rotazione. Il verso è dato dalla regola della mano destra. v = ω x r L = I ω Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005

46 sempre la regola della mano destra ci dà la direzione del momento torcente. τ = I α τ = L/ t L = I ω r α τ = r x F Walker, FONDAMENTI DI FISICA, Zanichelli editore S.p.A. Copyright 2005