Trigonometria: breve riepilogo.

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1 Corso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica - Dott.ssa Sandra Lucente Trigonometria: breve riepilogo. Definizioni iniziali Saper misurare un angolo in gradi sessagesimali, saper svolgere le operazioni di addizione, sottrazioni, moltiplicazione e divisione nel sistema sessagesimale. Saper misurare un angolo in radianti. Saper convertire la misura di un angolo da gradi a radianti. Saper definire la circonferenza goniometrica. Saper utilizzare per le operazioni precedenti la calcolatrice scientifica. Saper associare ad un qualunque numero reale un angolo orientato e quindi un punto della circonferenza goniometrica. Saper associare ad un punto della circonferenza goniometrica, determinato all angolo x il punto di coordinate (cos x, senx) e quando è possibile, i punti di coordinate (, tgx), (cotgx, ), (0, sec x), (cosecx, 0). Avendo associato ad ogni numero reale un angolo, ed avendo associato gli angoli le precedenti quantità goniometriche, possiamo considerare le funzioni: sen : R R, x senx cos : R R, x cos x tg : R k Z ( π + kπ ) R, x tgx cotg : R k Z kπ R, x cotgx sec : R k Z ( π + kπ ) R, x sec x cosec : R k Z kπ R, x cosecx In particolare, geometricamente si giustificano le seguenti formule fondamentali della trigonometria sen x + cos x = tgx = senx cos x x = π + kπ k Z cos x cotgx = senx x = kπ k Z sec x = cos x cosecx = senx Esercizio. Dimostrare le seguenti relazioni sec x tg x = x = π + kπ k Z x = kπ k Z cosec x cotg x = Questi appunti potrebbero contenere sviste ed errori, vi prego di segnalarmeli, ad esempio via . Versione del 3--09

2 Formule degli archi associati Usando la circonferenza goniometrica si giustificano le seguenti formule: cos(π x) = cos x cos(π + x) = cos x cos(π x) = cos x cos(x π) = cos(π + x) = cos x cos( x) = cos x cos( π x) = senx sen(π sen(π x) = senx sen(π + x) = senx sen(π x) = senx sen(x π) = sen(π + x) = senx sen( x) = senx x) = cos x cos( π + x) = senx sen(π + x) = cos x Esercizio. Ricavare le formule degli archi associati per tgx sia analiticamente, sia mediante giustificazione con la circonferenza goniometrica. Svolgere lo stesso esercizio per la cotangente. Esercizio 3. Calcolare sen(3π/ + α), in funzione di senα, cos α, tgα. Angoli notevoli I seguenti angoli sono contenuti nel primo quadrante, per trovare altri risultati notevoli usare le formule degli archi associati. x cos x senx 0 0 π/ π/6 3 π/4 π/3 3 π/ 0 Esercizio 4. Determinare, quando è possibile, il valore di tgx negli angoli dati nella precedente tabella.

3 3 Teorema. Sia f c (x) = cos x. Proprietà fondamentali delle funzioni goniometriche () Il dominio di f c (x) = cos x è R. () La funzione f c (x) = cos x è π periodica (nel seguito viene discussa in [ π, π]). (3) La funzione f c (x) = cos x è pari. (4) La funzione f c (x) = cos x si annulla in π + kπ con k Z. (5) La funzione f c (x) = cos x è strettamente positiva in ] π, π [, è strettamente negativa in ] π, 3π [. (6) La funzione f c (x) = cos x è strettamente decrescente in [0, π] e strettamente crescente in [ π, 0]. (7) L immagine di f c (x) = cos x è [, ], in particolare cos([0, π]) = [, ]. In particolare la funzione f c (x) = cos x è limitata; tale funzione ha massimo di valore raggiunto nei punti x = kπ con k Z e minimo di valore raggiunto nei punti x = π + kπ con k Z; (8) Esiste l inversa della ridotta della restrizione di f c (x) = cos x all intervallo [0, π] e si chiama funzione arccos x. In particolare la funzione arccos : [, ] [0, π] è strettamente decrescente. Dimostrazione. () Per definizione. () Segue dalle formule degli archi associati. (3) Segue dalle formule degli archi associati. (4) Segue dalle formule degli angoli notevoli e degli archi associati. (5) Ad angoli orientati x ] π, π [ corrispondono punti della circonferenza goniometrica aventi ascissa positiva; ad angoli orientati x ] π, 3π [ corrispondono punti della circonferenza goniometrica aventi ascissa negativa. (6) Siano assegnati gli angoli orientati 0 x < x π. I corrispondenti punti sulla circonferenza hanno ascissa cos x < cos x. Se π x < x 0 allora 0 π + x < π + x π e per quanto visto risulta cos(π + x ) < cos(π + x ). Dalle formule degli archi associati si ha poi cos(x ) < cos(x ) da cui cos(x ) < cos(x ). (7) Sia a [, ] e si consideri la retta di equazione X = a nel riferimento cartesiano XOY in cui si interseca con la circonferenza goniometrica X +Y =. Si ottiene Y = a che per il teorema della radice ennesima ha soluzione quando a 0, ovvero nelle nostre ipotesi. A tali punti P ± (a, ± a ) corrispondono gli angoli orientati z k tali che cos z k = a. In particolare questi angoli costituiscono due insiemi. In ciascuno di questi insiemi gli elementi differiscono tra loro di π. Possiamo ordinare questi insiemi in modo che i loro elementi si scrivano nella forma z k = z + + kπ e z k = z + kπ = z + + kπ. Per k = 0 si ha z + [0, π] e z [ π, 0]. (8) Dal punto (6) si ha l ingettività di f c (x) = cos x in [0, π], dal punto (7) segue la surgettività di f c ristretta a [0, π] su [, ], quindi si costriusce l inversa della ridotta della restrizione della funzione f c (x) = cos x e conserva la stessa monotonia della funzione di partenza. Esercizio 5. Disegnare nello stesso riferimento cartesiano i grafici delle funzioni f c (x) = cos x e (x) = arccos x f c

4 Teorema. Sia f s (x) = senx. () Il dominio di f s (x) = senx è R; () La funzione f s (x) = senx è π-periodica (nel seguito viene discussa in [ π, π]); (3) La funzione f s (x) = senx è dispari; (4) La funzione f s (x) = senx si annulla in x = kπ con k Z; (5) La funzione f s (x) = senx è strettamente positiva in ]0, π[, strettamente negativa in ] π, 0[; (6) La funzione f s (x) = senx è strettamente crescente in [ π, π ] e strettamente decrescente in [ π, π ] e [ π, π] ; (7) L immagine di f s (x) = senx è [, ], in particolare sen([ π, π ]) = [, ]. In particolare la funzione f s (x) = senx è limitata; tale funzione ha massimo di valore raggiunto nei punti x = π + kπ con k Z e minimo di valore raggiunto nei punti x = 3π + kπ con k Z; (8) Esiste l inversa della ridotta della restrizione di f s (x) = senx all intervallo [ π, π ] e si chiama funzione arcsenx. In particolare la funzione arcsen : [, ] [ π, π ] è strettamente crescente e dispari. Dimostrazione. 4 () Per definizione. () Segue dalle formule degli archi associati. (3) Segue dalle formule degli archi associati. (4) Segue dalle formule degli angoli notevoli e degli archi associati. (5) Ad angoli orientati x ]0, π[ corrispondono punti della circonferenza aventi ordinata positiva; ad angoli orientati x ] π, π[ corrispondono punti della circonferenza aventi ordinata negativa. (6) Siano assegnati gli angoli orientati π/ x < x π/. I corrispondenti punti sulla circonferenza hanno ordinata senx < senx. Se invece π/ x < x 3/π allora π/ x π < x π π/ e per quanto visto risulta sen(x π) < sen(x π). Dalle formule degli archi associati si ha poi sen(x ) < sen(x ) da cui sen(x ) < sen(x ). (7) Sia b [, ] e si consideri la retta di equazione Y = b nel riferimento cartesiano XOY in cui si interseca con la circonferenza goniometrica X +Y =. Si ottiene X = b che per il teorema della radice ennesima ha soluzione quando b 0, ovvero nelle nostre ipotesi. A tali punti P ± (± b, b) corrispondono gli angoli orientati z k tali che senz k = b. In particolare questi angoli costituiscono due insiemi. In ciascuno di questi insiemi gli elementi differiscono tra loro di π. Possiamo ordinare questi insiemi in modo che i loro elementi si scrivano nella forma z k = z + + kπ e z k = z + kπ = π z + + kπ. Per k = 0 si ha z ± [0, π] se b 0 mentre z ± [ π, 0] se b 0. (8) Dal punto (6) si ha l ingettività di f s (x) = senx in [ π, π ], dal punto (7) segue la surgettività di f s ristretta a [ π, π ] su [, ], quindi si costruisce l inversa della ridotta della restrizione della funzione f s (x) = senx e conserva la stessa monotonia e disparità della funzione di partenza. Esercizio 6. Disegnare nello stesso riferimento cartesiano i grafici delle funzioni f s (x) = sen s x e (x) = arcsenx f s Esercizio fondamentale. Determinare il dominio naturale delle funzioni e tracciarne il grafico. f(x) = arcsen(sen(x)), g(x) = sen(arcsen(x))

5 Teorema 3. Sia f t (x) = tgx. () Il dominio di f t (x) = tgx è R k Z { π + kπ}. () La funzione f t (x) = tgx è π periodica (nel seguito viene discussa in [ π, π ]). (3) La funzione f t (x) = tgx è dispari. (4) La funzione f t (x) = tgx si annulla in x = kπ con k Z. (5) La funzione f t (x) = tgx è strettamente positiva in ]0, π [, è strettamente negativa in ] π, 0[. (6) La funzione f t (x) = tgx è strettamente crescente in ] π, π [. (7) L immagine di f t (x) = tgx è R, in particolare tg(] π, π [) = R. (8) Esiste l inversa della restrizione di f t (x) = tgx all intervallo ] π, π [ e si chiama arctgx. In particolare la funzione arctg : R ] π, π [ è strettamente crescente e dispari. (9) Il coefficiente angolare di una retta è la tangente dell angolo che la retta forma con l asse delle ascisse. Dimostrazione () Per definizione. () Segue dalle formule degli archi associati. (3) Segue dai due precedenti teoremi. (4) Segue dai due precedenti teoremi. (5) Segue dai due precedenti teoremi. (6) Segue dai due precedenti teoremi. (7) Sia m R e si consideri la retta di equazione Y = mx nel riferimento cartesiano XOY in cui si interseca con la retta X =. Si ottiene il punto (m, ) a cui corrispondono gli angoli orientati z k tali che tgz k = m. Questi angoli costituiscono un insieme i cui elementi differiscono tra loro di π. Ovvero si scrivono nella forma z k = z 0 + kπ. Possiamo ordinare l insieme in modo che per k = 0 si abbia z 0 ] π/, π/[. (8) Dal punto (6) si ha l ingettività di f t (x) = tgx in ] π, π [, dal punto (7) segue la surgettività di f t, quindi si costruisce l inversa della restrizione della funzione f s (x) = tgx e conserva la stessa monotonia e disparità della funzione di partenza. (9) Riguardando il punto (7) si comprende il significato geometrico della quantità tgx. Esercizio 7. Disegnare nello stesso riferimento cartesiano i grafici delle funzioni f t (x) = tg s x e (x) = arctgx f t Esercizio fondamentale. È corretto dire che la funzione f t(x) = tgx è strettamente crescente? Teorema 4. Per ogni x ]0, π [ risulta 0 < senx < x < tgx. Esercizio fondamentale 3. Dedurre dal precedente teorema che per ogni x R si ha senx x. 5 Formule di addizione e sottrazione Per ogni x, y R risultano vere le seguenti proprietà: cos(x + y) = cos x cos y senx seny cos(x y) = cos x cos y + senx seny sen(x + y) = senx cos y + cos x seny sen(x y) = senx cos y cos x seny

6 Esercizio 8. Dare le formule di addizione e sottrazione della tangente per gli angoli per cui ha senso. In particolare si esprima tg(x+y) solo in funzione di tgx e di tgy. Svolgere l analogo esercizio per la cotangente. Esercizio 9. Ricavare sen(π/), cos(π/), sen(7π/), cos(7π/), sen(π/3), cos(π/3) Teorema 5. Esiste un unica coppia di funzioni (f c, f t ) da R in R che verifica le seguenti proprietà () Per ogni x R risulta f c (x) + f s (x) = ; () Per ogni x, y R risulta f c (x + y) = f c (x)f c (y) f s (x)f s (y); (3) Per ogni x, y R risulta f s (x + y) = f c (x)f s (y) + f s (x)f c (y); (4) Esiste ε 0 > 0 tale che per ogni x ]0, ε 0 [ si ha 0 < f c (x) e 0 < f s (x) < x < fs(x) f c(x). Formule di duplicazione e bisezione Applicando le formule di addizione e la relazione sen x + cos x =, si ha: cos(x) = cos x sen x = sen x = cos x sen(x) = senx cos x Esercizio 0. Dare la formula di duplicazione della tangente, per gli angoli per cui ha senso. Svolgere l analogo esercizio per la cotangente. Applicando le formule di duplicazione si ha sen cos x (x/) = cos + cos x (x/) = Attenzione per calcolare sen(x/) e cos(x/) bisogna scegliere il segno opportuno, as esempio cos x sen(x/) = se x è nel I o II quadrante cos x sen(x/) = se x è nel III o IV quadrante Esercizio. Ricavare le formule si bisezione per la tangente e la cotangente. Esercizio. Ricavare le formule di triplicazione per il seno, il coseno e la tangente, ovvero calcolare sen(3x), cos(3x), tg3x. Pensare a come si possa iterare il procedimento per calcolare sen(nx), cos(nx), tg(nx) con n N. Formule parametriche Dalle formule di duplicazione si ricavano anche le seguenti formule che useremo molto spesso in questo corso. cos x = tg (x/) + tg (x/) tgx/ senx = + tg (x/) tgx/ tgx = tg (x/) Tali formule si ricavano applicando la formula che sarà spesso utile nel seguito del corso. cos (x) = x = π + kπ k Z x = π + kπ k Z x = π + kπ k Z + tg x 6

7 7 Formule di Werner e di prostaferesi Le formule di Werner si deducono mediante combinazione delle formule di addizione e sottrazione: senx cos y = (sen(x + y) + sin(x y)) cos x seny = (sen(x + y) sin(x y)) cos x cos y = (cos(x + y) cos(x y)) senx seny = (cos(x y) cos(x + y)) Con opportuna sostituzione da queste formule si ricavano quelle di prostaferesi: x + y x y senx + seny = sen cos x + y x y senx seny = cos sen x + y x y cos x + cos y = cos cos cos x cos y = sen x + y sen x y Esercizio 3. Dire se la funzione f(x) = senx + cos x è limitata e in caso affermativo determinarne i massimi e minimi senza l uso delle derivate. Applicazione della trigonometria alla geometria euclidea Sebbene esuli dallo scopo di questo corso, non si può non ricordare che la trigonometria è uno strumento importante per il calcolo delle quantità coinvolte in geometria piana e solida. In particolare si vuole risolvere un triangolo cioè trovare i suoi sei elementi (i tre lati e i tre angoli) quando sono noti tre di essi. Lo studente iscritto a matematica non può non conoscere Le formule per i triangoli rettangoli; La formula dell area di un triangolo, noto un angolo e due lati; Il teorema della corda Il teorema dei seni; Il teorema del coseno; Il teorema delle proiezioni; Le formule di Briggs e la formula di Erone.

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