Trigonometria: breve riepilogo.

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Trigonometria: breve riepilogo."

Transcript

1 Corso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica - Dott.ssa Sandra Lucente Trigonometria: breve riepilogo. Definizioni iniziali Saper misurare un angolo in gradi sessagesimali, saper svolgere le operazioni di addizione, sottrazioni, moltiplicazione e divisione nel sistema sessagesimale. Saper misurare un angolo in radianti. Saper convertire la misura di un angolo da gradi a radianti. Saper definire la circonferenza goniometrica. Saper utilizzare per le operazioni precedenti la calcolatrice scientifica. Saper associare ad un qualunque numero reale un angolo orientato e quindi un punto della circonferenza goniometrica. Saper associare ad un punto della circonferenza goniometrica, determinato all angolo x il punto di coordinate (cos x, senx) e quando è possibile, i punti di coordinate (, tgx), (cotgx, ), (0, sec x), (cosecx, 0). Avendo associato ad ogni numero reale un angolo, ed avendo associato gli angoli le precedenti quantità goniometriche, possiamo considerare le funzioni: sen : R R, x senx cos : R R, x cos x tg : R k Z ( π + kπ ) R, x tgx cotg : R k Z kπ R, x cotgx sec : R k Z ( π + kπ ) R, x sec x cosec : R k Z kπ R, x cosecx In particolare, geometricamente si giustificano le seguenti formule fondamentali della trigonometria sen x + cos x = tgx = senx cos x x = π + kπ k Z cos x cotgx = senx x = kπ k Z sec x = cos x cosecx = senx Esercizio. Dimostrare le seguenti relazioni sec x tg x = x = π + kπ k Z x = kπ k Z cosec x cotg x = Questi appunti potrebbero contenere sviste ed errori, vi prego di segnalarmeli, ad esempio via . Versione del 3--09

2 Formule degli archi associati Usando la circonferenza goniometrica si giustificano le seguenti formule: cos(π x) = cos x cos(π + x) = cos x cos(π x) = cos x cos(x π) = cos(π + x) = cos x cos( x) = cos x cos( π x) = senx sen(π sen(π x) = senx sen(π + x) = senx sen(π x) = senx sen(x π) = sen(π + x) = senx sen( x) = senx x) = cos x cos( π + x) = senx sen(π + x) = cos x Esercizio. Ricavare le formule degli archi associati per tgx sia analiticamente, sia mediante giustificazione con la circonferenza goniometrica. Svolgere lo stesso esercizio per la cotangente. Esercizio 3. Calcolare sen(3π/ + α), in funzione di senα, cos α, tgα. Angoli notevoli I seguenti angoli sono contenuti nel primo quadrante, per trovare altri risultati notevoli usare le formule degli archi associati. x cos x senx 0 0 π/ π/6 3 π/4 π/3 3 π/ 0 Esercizio 4. Determinare, quando è possibile, il valore di tgx negli angoli dati nella precedente tabella.

3 3 Teorema. Sia f c (x) = cos x. Proprietà fondamentali delle funzioni goniometriche () Il dominio di f c (x) = cos x è R. () La funzione f c (x) = cos x è π periodica (nel seguito viene discussa in [ π, π]). (3) La funzione f c (x) = cos x è pari. (4) La funzione f c (x) = cos x si annulla in π + kπ con k Z. (5) La funzione f c (x) = cos x è strettamente positiva in ] π, π [, è strettamente negativa in ] π, 3π [. (6) La funzione f c (x) = cos x è strettamente decrescente in [0, π] e strettamente crescente in [ π, 0]. (7) L immagine di f c (x) = cos x è [, ], in particolare cos([0, π]) = [, ]. In particolare la funzione f c (x) = cos x è limitata; tale funzione ha massimo di valore raggiunto nei punti x = kπ con k Z e minimo di valore raggiunto nei punti x = π + kπ con k Z; (8) Esiste l inversa della ridotta della restrizione di f c (x) = cos x all intervallo [0, π] e si chiama funzione arccos x. In particolare la funzione arccos : [, ] [0, π] è strettamente decrescente. Dimostrazione. () Per definizione. () Segue dalle formule degli archi associati. (3) Segue dalle formule degli archi associati. (4) Segue dalle formule degli angoli notevoli e degli archi associati. (5) Ad angoli orientati x ] π, π [ corrispondono punti della circonferenza goniometrica aventi ascissa positiva; ad angoli orientati x ] π, 3π [ corrispondono punti della circonferenza goniometrica aventi ascissa negativa. (6) Siano assegnati gli angoli orientati 0 x < x π. I corrispondenti punti sulla circonferenza hanno ascissa cos x < cos x. Se π x < x 0 allora 0 π + x < π + x π e per quanto visto risulta cos(π + x ) < cos(π + x ). Dalle formule degli archi associati si ha poi cos(x ) < cos(x ) da cui cos(x ) < cos(x ). (7) Sia a [, ] e si consideri la retta di equazione X = a nel riferimento cartesiano XOY in cui si interseca con la circonferenza goniometrica X +Y =. Si ottiene Y = a che per il teorema della radice ennesima ha soluzione quando a 0, ovvero nelle nostre ipotesi. A tali punti P ± (a, ± a ) corrispondono gli angoli orientati z k tali che cos z k = a. In particolare questi angoli costituiscono due insiemi. In ciascuno di questi insiemi gli elementi differiscono tra loro di π. Possiamo ordinare questi insiemi in modo che i loro elementi si scrivano nella forma z k = z + + kπ e z k = z + kπ = z + + kπ. Per k = 0 si ha z + [0, π] e z [ π, 0]. (8) Dal punto (6) si ha l ingettività di f c (x) = cos x in [0, π], dal punto (7) segue la surgettività di f c ristretta a [0, π] su [, ], quindi si costriusce l inversa della ridotta della restrizione della funzione f c (x) = cos x e conserva la stessa monotonia della funzione di partenza. Esercizio 5. Disegnare nello stesso riferimento cartesiano i grafici delle funzioni f c (x) = cos x e (x) = arccos x f c

4 Teorema. Sia f s (x) = senx. () Il dominio di f s (x) = senx è R; () La funzione f s (x) = senx è π-periodica (nel seguito viene discussa in [ π, π]); (3) La funzione f s (x) = senx è dispari; (4) La funzione f s (x) = senx si annulla in x = kπ con k Z; (5) La funzione f s (x) = senx è strettamente positiva in ]0, π[, strettamente negativa in ] π, 0[; (6) La funzione f s (x) = senx è strettamente crescente in [ π, π ] e strettamente decrescente in [ π, π ] e [ π, π] ; (7) L immagine di f s (x) = senx è [, ], in particolare sen([ π, π ]) = [, ]. In particolare la funzione f s (x) = senx è limitata; tale funzione ha massimo di valore raggiunto nei punti x = π + kπ con k Z e minimo di valore raggiunto nei punti x = 3π + kπ con k Z; (8) Esiste l inversa della ridotta della restrizione di f s (x) = senx all intervallo [ π, π ] e si chiama funzione arcsenx. In particolare la funzione arcsen : [, ] [ π, π ] è strettamente crescente e dispari. Dimostrazione. 4 () Per definizione. () Segue dalle formule degli archi associati. (3) Segue dalle formule degli archi associati. (4) Segue dalle formule degli angoli notevoli e degli archi associati. (5) Ad angoli orientati x ]0, π[ corrispondono punti della circonferenza aventi ordinata positiva; ad angoli orientati x ] π, π[ corrispondono punti della circonferenza aventi ordinata negativa. (6) Siano assegnati gli angoli orientati π/ x < x π/. I corrispondenti punti sulla circonferenza hanno ordinata senx < senx. Se invece π/ x < x 3/π allora π/ x π < x π π/ e per quanto visto risulta sen(x π) < sen(x π). Dalle formule degli archi associati si ha poi sen(x ) < sen(x ) da cui sen(x ) < sen(x ). (7) Sia b [, ] e si consideri la retta di equazione Y = b nel riferimento cartesiano XOY in cui si interseca con la circonferenza goniometrica X +Y =. Si ottiene X = b che per il teorema della radice ennesima ha soluzione quando b 0, ovvero nelle nostre ipotesi. A tali punti P ± (± b, b) corrispondono gli angoli orientati z k tali che senz k = b. In particolare questi angoli costituiscono due insiemi. In ciascuno di questi insiemi gli elementi differiscono tra loro di π. Possiamo ordinare questi insiemi in modo che i loro elementi si scrivano nella forma z k = z + + kπ e z k = z + kπ = π z + + kπ. Per k = 0 si ha z ± [0, π] se b 0 mentre z ± [ π, 0] se b 0. (8) Dal punto (6) si ha l ingettività di f s (x) = senx in [ π, π ], dal punto (7) segue la surgettività di f s ristretta a [ π, π ] su [, ], quindi si costruisce l inversa della ridotta della restrizione della funzione f s (x) = senx e conserva la stessa monotonia e disparità della funzione di partenza. Esercizio 6. Disegnare nello stesso riferimento cartesiano i grafici delle funzioni f s (x) = sen s x e (x) = arcsenx f s Esercizio fondamentale. Determinare il dominio naturale delle funzioni e tracciarne il grafico. f(x) = arcsen(sen(x)), g(x) = sen(arcsen(x))

5 Teorema 3. Sia f t (x) = tgx. () Il dominio di f t (x) = tgx è R k Z { π + kπ}. () La funzione f t (x) = tgx è π periodica (nel seguito viene discussa in [ π, π ]). (3) La funzione f t (x) = tgx è dispari. (4) La funzione f t (x) = tgx si annulla in x = kπ con k Z. (5) La funzione f t (x) = tgx è strettamente positiva in ]0, π [, è strettamente negativa in ] π, 0[. (6) La funzione f t (x) = tgx è strettamente crescente in ] π, π [. (7) L immagine di f t (x) = tgx è R, in particolare tg(] π, π [) = R. (8) Esiste l inversa della restrizione di f t (x) = tgx all intervallo ] π, π [ e si chiama arctgx. In particolare la funzione arctg : R ] π, π [ è strettamente crescente e dispari. (9) Il coefficiente angolare di una retta è la tangente dell angolo che la retta forma con l asse delle ascisse. Dimostrazione () Per definizione. () Segue dalle formule degli archi associati. (3) Segue dai due precedenti teoremi. (4) Segue dai due precedenti teoremi. (5) Segue dai due precedenti teoremi. (6) Segue dai due precedenti teoremi. (7) Sia m R e si consideri la retta di equazione Y = mx nel riferimento cartesiano XOY in cui si interseca con la retta X =. Si ottiene il punto (m, ) a cui corrispondono gli angoli orientati z k tali che tgz k = m. Questi angoli costituiscono un insieme i cui elementi differiscono tra loro di π. Ovvero si scrivono nella forma z k = z 0 + kπ. Possiamo ordinare l insieme in modo che per k = 0 si abbia z 0 ] π/, π/[. (8) Dal punto (6) si ha l ingettività di f t (x) = tgx in ] π, π [, dal punto (7) segue la surgettività di f t, quindi si costruisce l inversa della restrizione della funzione f s (x) = tgx e conserva la stessa monotonia e disparità della funzione di partenza. (9) Riguardando il punto (7) si comprende il significato geometrico della quantità tgx. Esercizio 7. Disegnare nello stesso riferimento cartesiano i grafici delle funzioni f t (x) = tg s x e (x) = arctgx f t Esercizio fondamentale. È corretto dire che la funzione f t(x) = tgx è strettamente crescente? Teorema 4. Per ogni x ]0, π [ risulta 0 < senx < x < tgx. Esercizio fondamentale 3. Dedurre dal precedente teorema che per ogni x R si ha senx x. 5 Formule di addizione e sottrazione Per ogni x, y R risultano vere le seguenti proprietà: cos(x + y) = cos x cos y senx seny cos(x y) = cos x cos y + senx seny sen(x + y) = senx cos y + cos x seny sen(x y) = senx cos y cos x seny

6 Esercizio 8. Dare le formule di addizione e sottrazione della tangente per gli angoli per cui ha senso. In particolare si esprima tg(x+y) solo in funzione di tgx e di tgy. Svolgere l analogo esercizio per la cotangente. Esercizio 9. Ricavare sen(π/), cos(π/), sen(7π/), cos(7π/), sen(π/3), cos(π/3) Teorema 5. Esiste un unica coppia di funzioni (f c, f t ) da R in R che verifica le seguenti proprietà () Per ogni x R risulta f c (x) + f s (x) = ; () Per ogni x, y R risulta f c (x + y) = f c (x)f c (y) f s (x)f s (y); (3) Per ogni x, y R risulta f s (x + y) = f c (x)f s (y) + f s (x)f c (y); (4) Esiste ε 0 > 0 tale che per ogni x ]0, ε 0 [ si ha 0 < f c (x) e 0 < f s (x) < x < fs(x) f c(x). Formule di duplicazione e bisezione Applicando le formule di addizione e la relazione sen x + cos x =, si ha: cos(x) = cos x sen x = sen x = cos x sen(x) = senx cos x Esercizio 0. Dare la formula di duplicazione della tangente, per gli angoli per cui ha senso. Svolgere l analogo esercizio per la cotangente. Applicando le formule di duplicazione si ha sen cos x (x/) = cos + cos x (x/) = Attenzione per calcolare sen(x/) e cos(x/) bisogna scegliere il segno opportuno, as esempio cos x sen(x/) = se x è nel I o II quadrante cos x sen(x/) = se x è nel III o IV quadrante Esercizio. Ricavare le formule si bisezione per la tangente e la cotangente. Esercizio. Ricavare le formule di triplicazione per il seno, il coseno e la tangente, ovvero calcolare sen(3x), cos(3x), tg3x. Pensare a come si possa iterare il procedimento per calcolare sen(nx), cos(nx), tg(nx) con n N. Formule parametriche Dalle formule di duplicazione si ricavano anche le seguenti formule che useremo molto spesso in questo corso. cos x = tg (x/) + tg (x/) tgx/ senx = + tg (x/) tgx/ tgx = tg (x/) Tali formule si ricavano applicando la formula che sarà spesso utile nel seguito del corso. cos (x) = x = π + kπ k Z x = π + kπ k Z x = π + kπ k Z + tg x 6

7 7 Formule di Werner e di prostaferesi Le formule di Werner si deducono mediante combinazione delle formule di addizione e sottrazione: senx cos y = (sen(x + y) + sin(x y)) cos x seny = (sen(x + y) sin(x y)) cos x cos y = (cos(x + y) cos(x y)) senx seny = (cos(x y) cos(x + y)) Con opportuna sostituzione da queste formule si ricavano quelle di prostaferesi: x + y x y senx + seny = sen cos x + y x y senx seny = cos sen x + y x y cos x + cos y = cos cos cos x cos y = sen x + y sen x y Esercizio 3. Dire se la funzione f(x) = senx + cos x è limitata e in caso affermativo determinarne i massimi e minimi senza l uso delle derivate. Applicazione della trigonometria alla geometria euclidea Sebbene esuli dallo scopo di questo corso, non si può non ricordare che la trigonometria è uno strumento importante per il calcolo delle quantità coinvolte in geometria piana e solida. In particolare si vuole risolvere un triangolo cioè trovare i suoi sei elementi (i tre lati e i tre angoli) quando sono noti tre di essi. Lo studente iscritto a matematica non può non conoscere Le formule per i triangoli rettangoli; La formula dell area di un triangolo, noto un angolo e due lati; Il teorema della corda Il teorema dei seni; Il teorema del coseno; Il teorema delle proiezioni; Le formule di Briggs e la formula di Erone.

Liceo G.B. Vico Corsico

Liceo G.B. Vico Corsico Liceo G.B. Vico Corsico Classe: 3A Materia: MATEMATICA Insegnante: Nicola Moriello Testo utilizzato: Bergamini Trifone Barozzi: Manuale blu.0 di Matematica Moduli S, L, O, Q, Beta ed. Zanichelli 1) Programma

Dettagli

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ

LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI E LE LORO PROPRIETÀ LE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE COSA SONO LE FUNZIONI Dati due sottoinsiemi A e B non vuoti di R, una FUNZIONE da A a B è una relazione che associa ad ogni numero reale

Dettagli

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte

Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte Anno 5 Funzioni inverse e funzioni composte 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire e ricercare le funzioni inverse e le funzioni composte. Al termine di questa lezione sarai in grado di:

Dettagli

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE

ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE Federico II di Svevia Indirizzi: Liceo Scientifico Classico Linguistico Artistico e Scienze Applicate Via G. Verdi, 1 85025 MELFI (PZ) Tel. 097224434/35 Cod. Min.: PZIS02700B

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni continue

Corso di Analisi Matematica. Funzioni continue a.a. 203/204 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni continue Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti.

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

Programmazione per competenze del corso Matematica, Secondo biennio

Programmazione per competenze del corso Matematica, Secondo biennio Programmazione per del corso Matematica, Secondo biennio Competenze di area Traguardi per lo sviluppo delle degli elementi del calcolo algebrico algebriche di primo e secondo grado di grado superiore al

Dettagli

Trigonometria (tratto dal sito Compito in classe di Matematica di Gilberto Mao)

Trigonometria (tratto dal sito Compito in classe di Matematica di Gilberto Mao) Trigonometria (tratto dal sito Comito in classe di Matematica di Gilberto Mao) Teoria in sintesi Radiante: angolo al centro di una circonferenza che sottende un arco di lunghezza rettificata uguale al

Dettagli

Formule trigonometriche

Formule trigonometriche Formule trigonometriche C. Enrico F. Bonaldi 1 Formule trigonometriche In trigonometria esistono delle formule fondamentali che permettono di calcolare le funzioni goniometriche della somma di due angoli

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R

Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R Studio di funzione Per studio di funzione intendiamo un insieme di procedure che hanno lo scopo di analizzare le proprietà di una funzione f ( x) R R : allo scopo di determinarne le caratteristiche principali.

Dettagli

Anno 3. Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza

Anno 3. Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza Anno 3 Funzioni: dominio, codominio e campo di esistenza 1 Introduzione In questa lezione parleremo delle funzioni. Ne daremo una definizione e impareremo a studiarne il dominio in relazione alle diverse

Dettagli

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE

FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

Programma di MATEMATICA

Programma di MATEMATICA MINISTERO DELL ISTRUZIONE, DELL UNIVERSITÀ E DELLA RICERCA UFFICIO SCOLASTICO REGIONALE PER IL LAZIO ISTITUTO ISTRUZIONE SUPERIORE Via Silvestri, 301 00164 ROMA - Via Silvestri, 301 Tel. 06/121127660 Fax

Dettagli

Anno 5 4. Funzioni reali: il dominio

Anno 5 4. Funzioni reali: il dominio Anno 5 4 Funzioni reali: il dominio 1 Introduzione In questa lezione impareremo a definire cos è una funzione reale di variabile reale e a ricercarne il dominio. Al termine di questa lezione sarai in grado

Dettagli

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E). MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica

Dettagli

x ( 3) + Inoltre (essendo il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore, d ancora dallo studio del segno),

x ( 3) + Inoltre (essendo il grado del numeratore maggiore del grado del denominatore, d ancora dallo studio del segno), 6 - Grafici di funzioni Soluzioni Esercizio. Studiare il grafico della funzione f(x) = x x + 3. ) La funzione è definita per x 3. ) La funzione non è né pari, né dispari, né periodica. 3) La funzione è

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti

FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti FUNZIONI ELEMENTARI Esercizi risolti 1 Discutendo graficamente la disequazione x > 3+x, verificare che l insieme delle soluzioni è un intervallo e trovarne gli estremi Rappresentare nel piano x, y) l insieme

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione

Dettagli

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento

Funzione Una relazione fra due insiemi A e B è una funzione se a ogni elemento di A si associa uno e un solo elemento TERIA CAPITL 9. ESPNENZIALI E LGARITMI. LE FUNZINI Non si ha una funzione se anche a un solo elemento di A non è associato un elemento di B, oppure ne sono associati più di uno. DEFINIZINE Funzione Una

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

Anno 4 Grafico di funzione

Anno 4 Grafico di funzione Anno 4 Grafico di funzione Introduzione In questa lezione impareremo a disegnare il grafico di una funzione reale. Per fare ciò è necessario studiare alcune caratteristiche salienti della funzione che

Dettagli

Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU)

Corso Integrato: Matematica e Statistica. Corso di Matematica (6 CFU) Corso di Laurea in Scienze e Tecnologie Agrarie Corso Integrato: Matematica e Statistica Modulo: Matematica (6 CFU) (4 CFU Lezioni +2 CFU Esercitazioni) Corso di Laurea in Tutela e Gestione del territorio

Dettagli

Dispensa sulle funzioni trigonometriche

Dispensa sulle funzioni trigonometriche Sapienza Universita di Roma Dipartimento di Scienze di Base e Applicate per l Ingegneria Sezione di Matematica Dispensa sulle funzioni trigonometriche Paola Loreti e Cristina Pocci A. A. 00-0 Dispensa

Dettagli

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Giulio Donato Broccoli Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Comprende: Metodi matematici fondamentali per affrontare i temi assegnati Esercizi interamente svolti

Dettagli

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari Anno 5 4 Funzioni reali elementari 1 Introduzione In questa lezione studieremo alcune funzioni molto comuni, dette per questo funzioni elementari. Al termine di questa lezione sarai in grado di definire

Dettagli

Esponenziali e logaritmi

Esponenziali e logaritmi Capitolo 9 Esponenziali e logaritmi... Capitolo 0 Funzioni circolari 0. Descrizione di fenomeni periodici Tra le funzioni elementari ne esistono due atte a descrivere fenomeni che si ripetono periodicamente

Dettagli

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : ' = y y' = Consideriamo il punto P(,5) se eseguiamo tra trasformazione

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e

Dettagli

Esempi di funzione. Scheda Tre

Esempi di funzione. Scheda Tre Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.

Dettagli

Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano

Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano Trasformazioni geometriche nel piano cartesiano Francesco Biccari 18 marzo 2013 Una trasformazione geometrica del piano è una legge (corrispondenza biunivoca) che consente di associare a un determinato

Dettagli

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale

Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Studio grafico-analitico delle funzioni reali a variabile reale Sequenza dei passi Classificazione In pratica Classifica il tipo di funzione: Funzione razionale: intera / fratta Funzione irrazionale: intera

Dettagli

Corrispondenze e funzioni

Corrispondenze e funzioni Corrispondenze e funzioni L attività fondamentale della mente umana consiste nello stabilire corrispondenze e relazioni tra oggetti; è anche per questo motivo che il concetto di corrispondenza è uno dei

Dettagli

Generalità sulle funzioni

Generalità sulle funzioni Capitolo Concetto di funzione Generalità sulle funzioni Definizione di funzione Definizione Dato un sottoinsieme non vuoto D di R, si chiama funzione reale di variabile reale, una relazione che ad ogni

Dettagli

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica

Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata, Matematica DIPARTIMENTO DI MATEMATICA Università degli Studi di Trento Via Sommarive - Povo (TRENTO) Raccolta degli Scritti d Esame di ANALISI MATEMATICA U.D. 1 assegnati nei Corsi di Laurea di Fisica, Fisica Applicata,

Dettagli

Competenze. -Saper semplificare le frazioni algebriche -Saper eseguire le operazioni con le frazioni algebriche

Competenze. -Saper semplificare le frazioni algebriche -Saper eseguire le operazioni con le frazioni algebriche Disciplina MATEMATICA Secondo biennio e anno conclusivo Liceo Economico sociale Classe terza Finalità Conoscenze Obiettivi minimi Finalità della matematica nel corso del secondo biennio è di proseguire

Dettagli

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.

DOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2. FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di

Dettagli

G6. Studio di funzione

G6. Studio di funzione G6 Studio di funzione G6 Come tracciare il grafico di una funzione data Nei capitoli precedenti si sono svolti tutti gli argomenti necessari per tracciare il grafico di una funzione In questo capitolo

Dettagli

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale

Corso di Analisi Matematica. Funzioni reali di variabile reale a.a. 2011/12 Laurea triennale in Informatica Corso di Analisi Matematica Funzioni reali di variabile reale Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità

Dettagli

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA

PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA Simulazione 01/15 ANNO SCOLASTICO 01/15 PROBLEMI TRADIZIONALI SIMULAZIONE DELLA PROVA DI MATEMATICA DELL ESAME DI STATO PER IL LICEO SCIENTIFICO Il candidato risolva uno dei due problemi Problema 1 Nella

Dettagli

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI

Docente: DI LISCIA F. CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Docente: DI LISCIA F. Materia: MATEMATICA CLASSE 1T MODULO 1: GLI INSIEMI NUMERICI Insiemi numerici: numeri naturali, proprietà delle operazioni aritmetiche; Potenze e loro proprietà; Criteri di divisibilità;

Dettagli

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale

Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Grafico qualitativo di una funzione reale di variabile reale Mauro Saita 1 Per commenti o segnalazioni di errori scrivere, per favore, a: maurosaita@tiscalinet.it Dicembre 2014 Indice 1 Qualè il grafico

Dettagli

Funzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi:

Funzioni. Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: Funzioni Il concetto di funzione nasce da quello di corrispondenza fra grandezze. Tale corrispondenza può essere data in svariati modi: da un rilevamento empirico da una formula (legge) ESEMPI: 1. la temperatura

Dettagli

Le funzioni elementari. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p.

Le funzioni elementari. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. Le funzioni elementari Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 200-20 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. /43 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto

Dettagli

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014

Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014 Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,

Dettagli

TEMATICA 1 - FUNZIONI ED EQUAZIONI

TEMATICA 1 - FUNZIONI ED EQUAZIONI Docente Materia Classe Cristina Frescura Matematica 4B Programmazione Preventiva Anno Scolastico 2012-2013 Data 28 novembre 2012 Obiettivi Cognitivi Nota bene: gli obiettivi minimi sono sottolineati U.D.

Dettagli

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R?

PROVA N 1. 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(x) PROVA N 2. è monotona in R? PROVA N 1 1. Elencare gli elementi che conviene esaminare per tracciare il grafico di una funzione y=f(). Studiare la funzione f()= 8+ 7 9 (Sono esclusi i flessi) 3. Data la funzione f()= 1 6 3 - +5-6

Dettagli

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper

Dettagli

3 GRAFICI DI FUNZIONI

3 GRAFICI DI FUNZIONI 3 GRAFICI DI FUNZIONI Particolari sottoinsiemi di R che noi studieremo sono i grafici di funzioni. Il grafico di una funzione f (se non è specificato il dominio di definizione) è dato da {(x, y) : x dom

Dettagli

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili

Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente

Dettagli

Prove d'esame a.a. 20082009

Prove d'esame a.a. 20082009 Prove d'esame aa 008009 Andrea Corli settembre 0 Sono qui raccolti i testi delle prove d'esame assegnati nell'aa 00809, relativi al Corso di Analisi Matematica I (trimestrale, 6 crediti), Laurea in Ingegneria

Dettagli

ISTITUTO COMPRENSIVO MONTEGROTTO TERME SCUOLA PRIMARIA DISCIPLINA: MATEMATICA - CLASSE PRIMA OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO

ISTITUTO COMPRENSIVO MONTEGROTTO TERME SCUOLA PRIMARIA DISCIPLINA: MATEMATICA - CLASSE PRIMA OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO PRIMA DELLA DISCIPLINA: MATEMATICA - CLASSE PRIMA L alunno si muove con sicurezza nel calcolo scritto e mentale con i numeri naturali. Legge e comprende testi che coinvolgono aspetti logici e matematici.

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione

Dettagli

31/10/2012. Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l una rispetto l altra, quando

31/10/2012. Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l una rispetto l altra, quando FUNZIONI MATEMATICHE Introduzione Lo studio delle funzioni permette di interpretare la variazione di due grandezze, l una rispetto l altra, quando tra le due esiste un legame di tipo matematico. La teoria

Dettagli

OGGETTO: UNIROMA 3 TEST di valutazione Dipartimento di ingegneria

OGGETTO: UNIROMA 3 TEST di valutazione Dipartimento di ingegneria LICEO SCIENTIFICO STATALE CAVOUR Via delle Carine 1 - ROMA Commissione Orientamento in Uscita Comunicazione n. 2013/006 Data: 29-11-2013 OGGETTO: UNIROMA 3 TEST di valutazione Dipartimento di ingegneria

Dettagli

Capitolo 5. Funzioni. Grafici.

Capitolo 5. Funzioni. Grafici. Capitolo 5 Funzioni. Grafici. Definizione: Una funzione f di una variabile reale,, è una corrispondenza che associa ad ogni numero reale appartenente ad un insieme D f R un unico numero reale, y R, denotato

Dettagli

LA RETTA. Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali

LA RETTA. Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali LA RETTA Abbiamo visto che l'equazione generica di una retta è del tipo Y = mx + q, dove m ne rappresenta la pendenza e q il punto in cui la retta incrocia

Dettagli

Forma d onda rettangolare non alternativa.

Forma d onda rettangolare non alternativa. Forma d onda rettangolare non alternativa. Lo studio della forma d onda rettangolare è utile, perché consente di conoscere il contenuto armonico di un segnale digitale. FIGURA 33 Forma d onda rettangolare.

Dettagli

IL CONCETTO DI FUNZIONE

IL CONCETTO DI FUNZIONE IL CONCETTO DI FUNZIONE Il concetto di funzione è forse il concetto più importante per la matematica: infatti la matematica e' cercare le cause, le implicazioni, le conseguenze e l'utilità di una funzione

Dettagli

Soluzione verifica del 16/12/2014

Soluzione verifica del 16/12/2014 Soluzione verifica del 6/2/204. Determinare dominio e codominio della funzione y = f(x) il cui grafico è rappresentato nella figura seguente; successivamente valutare i seguenti iti: x x 2 + x x 2 x 2

Dettagli

Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 2000-2001

Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 2000-2001 Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 000-00 Problema Sia AB un segmento di lunghezza a e il suo punto medio. Fissato un conveniente

Dettagli

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche

1.2 Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche . Funzioni, dominio, codominio, invertibilità elementare, alcune identità trigonometriche Per le definizioni e teoremi si fa riferimento ad uno qualsiasi dei libri M.Bertsch - R.Dal Passo Lezioni di Analisi

Dettagli

CLASSE 4B LICEO SCIENTIFICO PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2011-12. Disciplina : MATEMATICA. Docente Prof.ssa Paola Perego

CLASSE 4B LICEO SCIENTIFICO PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2011-12. Disciplina : MATEMATICA. Docente Prof.ssa Paola Perego CONVITTO NAZIONALE MARIA LUIGIA di Parma CLASSE 4B LICEO SCIENTIFICO PROGRAMMA SVOLTO A.S. 2011-12 Disciplina : MATEMATICA Docente Prof.ssa Paola Perego COMPETENZE CONOSCENZE Funzione esponenziale e logaritmica

Dettagli

RACCOLTA DI ESERCIZI PER I CORSI PRELIMINARI

RACCOLTA DI ESERCIZI PER I CORSI PRELIMINARI RACCOLTA DI ESERCIZI PER I CORSI PRELIMINARI V PARTE: TRIGONOMETRIA MISURE DEGLI ANGOLI IN GRADI E IN RADIANTI Nota; nel seguito per la misura degli angoli in gradi viene utilizzato il sistema "sessadecimale"

Dettagli

FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI

FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ANALISI MATEMATICA I - A.A. 0/0 FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ESERCIZIO. Data la funzione f () = determinare l insieme f (( +)). Svolgimento. Poiché f (( +)) = { dom f : f () ( +)} = { dom f : f () > } si

Dettagli

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI.Definizioni e insieme di definizione. Una funzione o applicazione f è una legge che ad ogni elemento di un insieme D ( dominio )fa corrispondere un

Dettagli

MATEMATICA 5 PERIODI

MATEMATICA 5 PERIODI BAC EUROPEO 2008 MATEMATICA 5 PERIODI DATA 5 giugno 2008 DURATA DELL ESAME : 4 ore (240 minuti) MATERIALE AUTORIZZATO Formulario delle scuole europee Calcolatrice non grafica e non programmabile AVVERTENZE

Dettagli

CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica

CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica CLASSE 1ª Manutenzione e Assistenza Tecnica Programma svolto di MATEMATICA Anno scolastico 2013/14 ELEMENTI DI RACCORDO CON LA SCUOLA MEDIA GLI INSIEMI CALCOLO LETTERALE GEOMETRIA - Ordinamento, proprietà,

Dettagli

ATTIVITÀ DEL SINGOLO DOCENTE

ATTIVITÀ DEL SINGOLO DOCENTE PIANO DI LAVORO DOCENTE Carmela Calò MATERIA Matematica DESTINATARI 4Cl ANNO SCOLASTICO 2013-14 COMPETENZE CONCORDATE CON CONSIGLIO DI CLASSE Si veda la programmazione comune del CdC COMPETENZE CONCORDATE

Dettagli

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011 1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni

Dettagli

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).

3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x). Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza

Dettagli

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x)

FUNZIONE. Si scrive: A B f: A B x y=f(x) (si legge: f funzione da A in B) x f y= f(x) 1 FUNZIONE Dati gli insiemi A e B, si definisce funzione da A in B una relazione o legge o corrispondenza che ad ogni elemento di A associa uno ed un solo elemento di B. Si scrive: A B f: A B f() (si legge:

Dettagli

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012

Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012 Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione

Dettagli

Capitolo 2. Operazione di limite

Capitolo 2. Operazione di limite Capitolo 2 Operazione di ite In questo capitolo vogliamo occuparci dell operazione di ite, strumento indispensabile per scoprire molte proprietà delle funzioni. D ora in avanti riguarderemo i domini A

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2 FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE 2.1 CONCETTO DI FUNZIONE Definizione 2.1 Siano A e B due insiemi. Una funzione (o applicazione) f con dominio A a valori in B è una legge che associa ad ogni elemento

Dettagli

I tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione

I tre concetti si possono descrivere in modo unitario dicendo che f e iniettiva, suriettiva, biiettiva se e solo se per ogni b B l equazione Lezioni del 29 settembre e 1 ottobre. 1. Funzioni iniettive, suriettive, biiettive. Sia f : A B una funzione da un insieme A ad un insieme B. Sia a A e sia b = f (a) B l elemento che f associa ad a, allora

Dettagli

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti

I Numeri Complessi. Si verifica facilmente che, per l operazione di somma in definita dalla (1), valgono le seguenti Y T T I Numeri Complessi Operazioni di somma e prodotto su Consideriamo, insieme delle coppie ordinate di numeri reali, per cui si ha!"# $&% '( e )("+* Introduciamo in tale insieme una operazione di somma,/0"#123045"#

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

Liceo scientifico Albert Einstein. Anno scolastico 2009-2010. Classe V H. Lavoro svolto dalla prof.ssa Irene Galbiati. Materia: MATEMATICA

Liceo scientifico Albert Einstein. Anno scolastico 2009-2010. Classe V H. Lavoro svolto dalla prof.ssa Irene Galbiati. Materia: MATEMATICA Liceo scientifico Albert Einstein Anno scolastico 2009-2010 Classe V H Lavoro svolto dalla prof.ssa Irene Galbiati Materia: MATEMATICA PROGRAMMA DI MATEMATICA CLASSE V H Contenuti Ripasso dei prerequisiti

Dettagli

Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria

Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria Fondamenti e didattica di Matematica Finanziaria Silvana Stefani Piazza dell Ateneo Nuovo 1-20126 MILANO U6-368 silvana.stefani@unimib.it 1 Unità 9 Contenuti della lezione Operazioni finanziarie, criterio

Dettagli

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti.

Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli. 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Appunti sul corso di Complementi di Matematica - prof. B.Bacchelli 03 - Equazioni differenziali lineari omogenee a coefficienti costanti. Def. Si dice equazione differenziale lineare del secondo ordine

Dettagli

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:

b) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è: Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere

Dettagli

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE

CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ).

Dettagli

Funzioni trascendenti

Funzioni trascendenti Funzioni trascendenti Lucia Perissinotto I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave Beatrice Hitthaler I.T.I.S. V.Volterra San Donà di Piave 17 novembre 007 Sommario Esponiamo la teoria fondamentale delle funzioni

Dettagli

Cos è una funzione? (x,y) Є f o y=f(x)

Cos è una funzione? (x,y) Є f o y=f(x) Cos è una funzione? Dati gli insiemi X e Y non vuoti, si chiama funzione da in una relazione f tale che per ogni x Є X esiste uno ed un solo elemento y Є Y tale che (x,y) Є f. Data la funzione f:x->r,

Dettagli

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1

Dettagli

Argomenti. Analisi Determnazione del dominio e segno di una funzione. Esercizi.

Argomenti. Analisi Determnazione del dominio e segno di una funzione. Esercizi. Argomenti Classe: 4ª D SCIENT Stampato il: 8/6/2015, 09:23 Materia: Matematica Anno scolastico: 2014/2015 Periodo dal: 15/09/2014 al: 10/06/2015 da: Mancini Legenda: assegnazioni note riservate Data Ora

Dettagli

PIANO DI LAVORO PERSONALE

PIANO DI LAVORO PERSONALE ISTITUTO STATALE di ISTRUZIONE SUPERIORE DI SAN DANIELE DEL FRIULI VINCENZO MANZINI CORSI DI STUDIO: Amministrazione, Finanza e Marketing/IGEA Costruzioni, Ambiente e Territorio/Geometri Liceo Linguistico/Linguistico

Dettagli

A.S. 2012-1013 CLASSE PRIMA SCUOLA PRIMARIA D ISTITUTO COMPETENZA CHIAVE EUROPEA DISCIPLINA

A.S. 2012-1013 CLASSE PRIMA SCUOLA PRIMARIA D ISTITUTO COMPETENZA CHIAVE EUROPEA DISCIPLINA ISTITUTO COMPRENSIVO STATALE di Scuola dell Infanzia, Scuola Primaria e Scuola Secondaria di 1 grado San Giovanni Teatino (CH) CURRICOLO A.S. 2012-1013 CLASSE PRIMA SCUOLA PRIMARIA OBIETTIVI DI Sviluppa

Dettagli

PROVA DI VERIFICA DEL 24/10/2001

PROVA DI VERIFICA DEL 24/10/2001 PROVA DI VERIFICA DEL 24/10/2001 [1] Il prodotto di due numeri non nulli è maggiore di zero se: a. il loro rapporto è maggiore di zero, b. il loro rapporto è minore di zero, c. il loro rapporto è uguale

Dettagli

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m =

Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo. Se f(x) è asintotica a mx+q allora abbiamo f(x) mx q = o(1), da cui (dividendo per x) + o(1), m = Una ricetta per il calcolo dell asintoto obliquo Se f() è asintotica a m+q allora abbiamo f() m q = o(1), da cui (dividendo per ) m = f() q + 1 f() o(1) = + o(1), mentre q = f() m = o(1). Dunque si ha

Dettagli

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B

Osservazione 2 L elemento di arrivo ( output) deve essere unico corrispondenza univoca da A e B. f : A B FUNZIONI Definizione 1 Dati due insiemi A e B, si chiama funzione da A a B una legge che ad ogni elemento di A associa un (solo) elemento di B. L insieme A si chiama dominio della funzione e l insieme

Dettagli

Ing. Alessandro Pochì

Ing. Alessandro Pochì Lo studio di unzione Ing. Alessandro Pochì Appunti di analisi Matematica per la Classe VD (a.s. 011/01) Schema generale per lo studio di una unzione Premessa Per Studio unzione si intende, generalmente,

Dettagli

Calcolo differenziale Test di autovalutazione

Calcolo differenziale Test di autovalutazione Test di autovalutazione 1. Sia f : R R iniettiva, derivabile e tale che f(1) = 3, f (1) = 2, f (3) = 5. Allora (a) (f 1 ) (3) = 1 5 (b) (f 1 ) (3) = 1 2 (c) (f 1 ) (1) = 1 2 (d) (f 1 ) (1) = 1 3 2. Sia

Dettagli

I appello - 24 Marzo 2006

I appello - 24 Marzo 2006 Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Energetica e Gestionale A.A.2005/2006 I appello - 24 Marzo 2006 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. I.) Studiare la convergenza puntuale,

Dettagli