Introduzione. Classificazione delle non linearità

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1 Introduzione Accade spesso di dover studiare un sistema di controllo in cui sono presenti sottosistemi non lineari. Alcuni di tali sottosistemi sono descritti da equazioni differenziali non lineari, ad esempio i sistemi preda-predatore o i corpi rigidi girevoli intorno a un punto fisso. In questo caso la rappresentazione con lo stato assume la forma: x = f (x,u) y = h(x) e al progettista rimangono due vie: o affrontare il problema con le moderne metodologie non lineari, complesse e tuttora incomplete, oppure ricorrere alla linearizzazione quando questa sia accettabile. A volte, invece, il comportamento non lineare è presente soltanto in alcuni sottosistemi che non dipendono dal tempo. Tali sottosistemi, cioè, non sono descritti da equazioni differenziali ma da funzioni che ne forniscono l uscita y, noto l ingresso x: y = f (x) La f, assegnata in forma analitica o in forma grafica, è la curva caratteristica o semplicemente la caratteristica dell elemento non lineare. Questo caso si presenta frequentemente nella progettazione dei sistemi di controllo, perché nei blocchi che si presumono lineari si hanno in realtà fenomeni di saturazione, di soglia, di isteresi o di gioco che non sempre si possono trascurare. In linea generale si può pensare che tanto maggiore è il livello di potenza a cui opera il singolo sottosistema, tanto più i fenomeni non lineari si fanno evidenti; è dunque lecito aspettarsi che le non linearità siano presenti soprattutto nel processo da controllare. In taluni casi, poi, si ricorre volutamente a componenti non lineari che presentano vantaggi tecnici o economici; tale è il caso, ad esempio, dei sistemi a relè. Infine è appena il caso di ricordare che anche i più comuni dispositivi elettronici quali il BJT hanno caratteristiche non lineari. Classificazione delle non linearità È dunque opportuno distinguere le non linearità in istantanee e non istantanee, ovvero indipendenti o dipendenti dal tempo, secondo che 1 equazione che lega le grandezze di uscita e di ingresso dell elemento non lineare è in termini finiti o differenziali Questa distinzione può essere ricondotta euristicamente all assenza o meno di elementi immagazzinatori di energia nella non linearità. Occorre poi distinguere le non linearità istantanee in simmetriche e non simmetriche, secondo che la grandezza di uscita è funzione dispari o no di quella d ingresso:

2 Un altra distinzione utile è quella tra non linearità a un sol valore e non linearità a più valori. Riferendosi per comodità alla caratteristica grafica, si ha il primo o il secondo tipo secondo che, per ogni valore dell ascissa, si hanno uno o più valori dell ordinata. Un esempio tipico del secondo caso si ha per i fenomeni di isteresi. Definizione della funzione descrittiva Il metodo della funziono descrittiva si applica in modo semplice a non linearità istantanee e simmetriche. Si sceglie come ingresso della non linearità una funzione sinusoidale e si approssima la risposta, che è ovviamente periodica, con una sinusoide della stessa frequenza, di ampiazza e fase opportune, trascurando quindi la distorsione provocata dalla non linearità. Quest approssimazione risulta sufficientemente giustificata (ammesso che siano assenti o trascurabili le subarmoniche) quando la non linearità si trova a far parte di un sistema in una posizione tale che gli elementi che la seguono hanno un comportamento del tipo filtro passa - basso; ciò avviene in quasi tutti (ma non tutti) i sistemi di controllo a controreazione. In pratica, questa ipotesi dell azione filtrante può essere accettata quando l ampiezza di ogni armonica trascurata è inferiore al 10% di quella della prima armonica. Per definire con precisione la funzione descrittiva si consideri una non linearità istantanea e simmetrica e si ponga per l ingresso: x(t) = Xsent La y(t) è periodica con lo stesso periodo di x e dunque si può espandere in serie di Fourier: y(t) = A n sen(nt) + B n cos(nt) n=1 n=1

3 Il valore medio è uguale a zero perché la non linearità è simmetrica. Trascurando le armoniche superiori, si approssima la y(t) con la sola prima armonica: y (t) = A 1 sent + B 1 cost Al solito si può anche scrivere: y (t) = Ysen(t +ϕ) con 2 Y = A B1 ϕ = arctg B 1 A 1 I coefficienti dello sviluppo in serie sono, come è noto: A 1 = 1 π 2π 0 2π y(t)sent dt B 1 = 1 y(t )cost dt π 0 Si può ora definire la funzione descrittiva D da associare alla non linearità attraverso il rapporto delle espressioni simboliche dell uscita approssimata e dell ingresso. Si ha: Ye jϕ D(X ) = A + jb 1 1 = X X Grazie ad una nota proprietà dello sviluppo in serie di Fourier, la D così definita rende minimo l errore quadratico medio che si commette nell approssimare l uscita con una funzione sinusoidale. Calcolo della funzione descrittiva A titolo di esempio si vuole ora calcolare la funzione descrittiva di un relè ideale, la cui caratteristica è mostrata in figura: La figura mostra anche che l uscita della non linearità è un onda quadra di ampiezza Y 1. Per trovare la funzione descrittiva, si applica la definizione calcolando i coefficienti A 1 e B 1 ; è chiaro che B 1 è nullo, mentre per A 1 si ha:

4 A 1 = 1 2π y(t)sent dt π = 2 π 0 π Y 1sent dt = 0 Pertanto la funzione descrittiva è: D(X ) = 4Y 1 πx il cui andamento è, ovviamente, un ramo d iperbole che nel grafico seguente mostra le ascisse normalizzate rispetto a Y 1. 4Y 1 π È chiaro che questi calcoli possono esser fatti una volta per tutte per i tipi più frequenti di non linearità. Per semplificare i calcoli ci si può valere della seguente osservazione: se la caratteristica della non linearità si può esprimere come somma di più caratteristiche f (x) = n i =1 f i (x) la linearità degli integrali con cui si calcolano A 1 e B 1 permette subito di scrivere la seguente proprietà di composizione delle funzioni descrittive: D(X ) = n i=1 D i (X) Si ottiene così una tabella delle funzioni descrittive come quella seguente.

5 Non linearità Funzione descrittiva D(x) 1 per X X 1 D s = arcsen X 1 X + X 1 X 1 X 2 1 X per X X 2 1 Saturazione netta con pendenza unitaria m per X X 1 md s per X X 1 Saturazione netta con pendenza m 0 per X X 1 m(1 D s ) per X X 1 Soglia con pendenza m 0 per X X 1 m(1 D s ) per X 1 X X 2 m(d s ( X X 2 ) D s ( X X 1 )) per X X 2 Soglia con pendenza m e saturazione netta m 1 per X X 1 (m 1 m 2 )D s ( X X 1 ) per X X 1 Saturazione non netta

6 4Y 1 πx Relè ideale 0 per X X 1 4Y 1 πx 1- X 2 1 X per X X 2 1 Relè con soglia X 4Y j arcsin 1 1 πx e X Relè con isteresi Esistenza dei cicli limite I sistemi di controllo debbono avere proprietà di stabilità adeguate, che nella sintesi classica vengono garantite imponendo dei margini di stabilità, cioè una sufficiente «distanza» dal limite di stabilità. Se per variazioni parametriche o altre cause un sistema lineare raggiunge il limite di stabilità, si presentano modi naturali costanti (autovalore nullo) o periodici (autovalori immaginari). Quest ultimo caso è il più frequente, e quindi si suole dire che «un sistema al limite di stabilità oscilla». In tali condizioni, l oscillazione di un sistema lineare è sinusoidale con ampiezza che dipende dalle condizioni iniziali e può assumere qualsiasi valore. Se, per un ulteriore variazione parametrica, gli autovalori immaginari assumono una pur piccolissima parte reale positiva, l oscillazione diverge e tende all infinito. I sistemi non lineari che stiamo esaminando presentano caratteristiche diverse. Le oscillazioni non hanno in genere forma sinusoidale e contengono armoniche superiori; la presenza di saturazioni ne limita l ampiezza, per cui un sistema non lineare instabile può assestarsi su oscillazioni periodiche ma non sinusoidali, di ampiezza costante e talora indipendente dalle condizioni iniziali, corrispondenti a curve chiuse nello spazio di stato. Tale fenomeno prende il nome di ciclo limite.

7 Per scoprire se un sistema non lineare ammette cicli limite in evoluzione libera, si consideri il sistema in figura, al quale si può sempre ricondurre un sistema con una non linearità in catena diretta: Se esiste un ciclo limite, l uscita y del blocco non lineare è periodica; sotto l ipotesi dell azione filtrante, il segnale x che esce dal blocco lineare può essere cosiderato sinusoidale e quindi l ingresso della non linearità è: x(t) = Xsent In forma simbolica questo segnale, moltiplicato per D(x) e per F(j) e cambiato di segno dal sommatore, deve ripresentarsi identico all ingresso della non linearità; si deve dunque avere D( X) F( j ) =1 Questa equazione esprime dunque, nei limiti dell approssimazione propria della funzione descrittiva, la condizione di esistenza di un ciclo limite. Essa viene riscritta nella forma F( j) = 1 D(X) A questa scrittura si dà un immediata interpretazione grafica: l esistenza di un ciclo limite corrisponde sul piano di Nyquist all intersezione P tra le curve che rappresentano la F(j) e l inverso della D(X) cambiato di segno. L ampiezza della prima armonica del ciclo limite, detta per brevità ampiezza del ciclo limite, è il valore di X per cui si ha l intersezione e si legge su quest ultima curva; la pulsazione del ciclo limite è il valore di per cui si ha l intersezione e si legge sul grafico della F.

8 Le due curve sono chiamate, per evidenti motivi, luogo delle ampiezze e luogo delle frequenze; un ciclo limite è presente se il luogo delle ampiezze interseca il luogo delle frequenze. Stabilità dei cicli limite Per appurare se un ciclo limite è stabile, si può cercare di capire che cosa accade in presenza di una piccola perturbazione. Se l ampiezza del ciclo limite tende lentamente a variare, al blocco lineare viene applicato un segnale periodico di ampiezza lentamente variabile che, nello spirito delle approssimazioni fatte sinora, può essere considerato quasi sinusoidale e scritto almeno qualitativamente nella forma: y(t) e αt sent dove α è una costante molto piccola, positiva se il segnale tende a crescere e negativa in caso opposto. A tale segnale il blocco lineare dà una risposta a regime permanente individuata dal modulo e dalla fase della funzione F(α+j). Come è noto, la F è una trasformazione conforme dal piano s al piano di Nyquist e pertanto mantiene le orientazioni. Se allora si suppone α<0, la retta Re(s)=α percorsa quando varia da a + lascia alla sua destra l asse immaginario; corrispondentemente, la funzione F(α+j) deve lasciare alla sua destra la F(j). Analogo ragionamento vale ovviamente per α>0. α α

9 Osservando ora il punto d intersezione P che individua il ciclo limite, si possono presentare i due casi seguenti. 1. Per α<0, il punto P si sposta su un valore X maggiore. In questo caso ci si trova di fronte ad una contraddizione: partendo dall ipotesi che l ampiezza del ciclo limite sia diminuita, si conclude che invece è aumentata. Dunque l ipotesi è falsa e l ampiezza non può essere diminuita; poiché ragionando in modo simmetrico si dimostra che tale ampiezza non può neppure essere aumentata, si conclude che il ciclo limite è stabile. α α 2. Per α<0, il punto P si sposta su un valore X minore. In questo caso ci si trova di fronte ad una conferma: partendo dall ipotesi che l ampiezza del ciclo limite sia diminuita, si conclude che effettivamente è diminuita. Poiché ragionando in modo simmetrico si dimostra che tale ampiezza può anche essere aumentata, si conclude che il ciclo limite è instabile, nel senso che una perturbazione porta il sistema ad allontanarsene. α α Da questo esame si trae allora il seguente criterio: un ciclo limite è stabile se, percorrendo la F nel verso delle crescenti, all intersezione il luogo delle ampiezze appare orientato in senso antiorario quando è percorso nel verso delle X crescenti. A titolo di esempio, la figura mostra il caso di un relè ideale con un luogo delle frequenze che determina tre intersezioni P, Q, R e quindi tre cicli limite aventi ampiezze e frequenze diverse; quelli corrispondenti ai punti P ed R sono stabili, mentre quello corrispondente a Q è instabile. Se dunque il sistema dovesse trovarsi sul ciclo Q, una minima perturbazione potrebbe portarlo in P o in R.

10 Occorre tuttavia ricordare che il ragionamento fatto è puramente euristico e quindi, in caso di dubbio, il risultato va verificato con una simulazione. Esempi di sintesi con la funzione descrittiva Esempio 1 Si ha un sistema composto da un relè con soglia e da un blocco lineare. Si vuole studiare la presenza di eventuali cicli limite, studiarne la stabilità e progettare un controllore che li elimini. Il relè è caratterizzato dall avere X 1 =1, Y 1 =3,1; la sua caratteristica e la sua funzione descrittiva sono mostrate in figura: Il blocco lineare ha funzione di trasferimento: 1 2

11 2 F(s) = s(s +1) 2 a cui corrispondono i seguenti diagrammi di Bode: L inversa di D è una funzione reale che ha un minimo il cui valore è πx 1 2Y 1 0,51 Sul piano di Nyquist, dunque, si ha la situazione seguente:

12 I due tratti blu sono di fatto sovrapposti e giacciono sul semiasse reale negativo, ma sono stati disegnati distinti per mettere chiaramente in luce che esistono due intersezioni, P e Q, e quindi due cicli limite con la stessa fraquenza ma ampiezze diverse. In particolare, il ciclo corrispondente a P è di ampiezza minore e instabile, mentre quello corrispondente a Q è di ampiezza maggiore e stabile. Le caratteristiche dei due cicli limite possono essere determinate osservando che l intersezione delle due curve si ha quando la fase di F vale π; ciò accade in =1 e quindi è questa la pulsazione dei due cicli limite. Corrispondentemente, il modulo di F vale circa 1 e quindi i cicli limite si hanno per i valori di X tali che: D(X ) = 1 F(j) =1 ovvero: 4 3,1 πx 2 X 2 1 = 1 Questa equazione nell incognita X può essere risolta analiticamente o anche graficamente, leggendo sul grafico di D(X) i valori delle ascisse per cui l ordinata vale 1; si trovano i numeri 1,04, che è l ampiezza del ciclo limite instabile, e 3,86 che è quella del ciclo limite stabile. Risultano così determinati tutti i parametri dei cicli limite, naturalmente entro le approssimazioni proprie della funzione descrittiva. Per eliminare il ciclo limite si può ridurre il guadagno in modo che per = π il modulo di F sia minore di 0,51. Poiché in tale punto il modulo di F vale 1, basta introdurre un attenuazione 0,5 per eliminare i cicli limite. Si può anche imporre un margine di guadagno, ragionando come nel caso del criterio di Nyquist ma rispetto al punto 0,51 anziché 1. Se non è possibile ridurre il guadagno a causa di una specifica sulla fedeltà di risposta, si può introdurre una rete attenuatrice che attenui almeno di 20 log0,5 6 db La rete va sistemata una decade prima dell attraversamento, verificando che la fase non scenda a π. Si può porre, ad esempio, m=2 e τ=10:

13 Esempio 2 È dato il seguente sistema, in cui è presente un relè con isteresi: Il relè ha X 1 =Y 1 =1. Si deve progettare G(s) in modo che il sistema abbia un ciclo limite la cui prima armonica sia x(t) = 2 cos(0,6t) Per tracciare il luogo delle ampiezze, si parte dall espressione della funzione descrittiva di un relè con isteresi: D(X ) = 4Y X jarcsen 1 1 πx e X Ne segue 1 D(X ) = πx Pertanto Im( 1 e jarcsen X 1 X 4Y 1 ) D(X) = πx X 1 4Y 1 X = πx 1 = cost. 4Y 1 Dunque il luogo delle ampiezze è una semiretta con parte immaginaria costante. Sul piano di Nyquist si ha: Esiste dunque un ciclo limite stabile. Per imporre che tale ciclo abbia ampiezza 2 e pulsazione 0,6, si deve scegliere G in modo che risulti: 5 G( j0,6) (1 + j0,6) = 1 2 D(2) ovvero (1+ j0,6)2 G( j0,6) = π ejarcsen 0,43e j1,54 Quindi in =0,6 la funzione G deve avere un guadagno di

14 0,43 7,3 db e una fase di 1,54 rad 88 Si può ottenere questo risultato con due reti attenuatrici, ma visto che lo sfasamento richiesto è di circa 90 si può più semplicemente introdurre un polo, cioè porre: G(s) = K 1+ τs Per avere lo sfasamento di 88 in =0,6 si deve porre il polo in -0,02, cioè τ=50; questo polo introduce un attenuazione di circa 30 db in =0,6 e quindi K resulta: K db = 30 7,3 = 22, 7 db K 14 Dunque il controllore progettato è G(s) = s Simulando il sistema ottenuto si trova che il ciclo limite ottenuto ha come prima armonica: x(t) = 2,14cos 0,56t Il metodo della funzione descrittiva, quindi, ha dato risultati soddisfacenti anche se non estremamente precisi. Dalla simulazione si ricava che la seconda armonica di x(t) ha ampiezza nulla, mentre la terza ha ampiezza pari al 3,7% della fondamentale. L ipotesi dell azione filtrante è dunque abbastanza soddisfatta e questo spiega perché il metodo ha dato buoni risultati. Se il processo fosse stato P(s) = 2 s +1 il metodo della funzione descrittiva avrebbe previsto la non esistenza di cicli limite: Invece la simulazione mostra che un ciclo limite esiste anche in questo sistema; ma la stessa simulazione mostra che la terza armonica di x ha un ampiezza pari al 15% della prima e quindi l ipotesi dell azione filtrante non è soddisfatta.

15 Regolatori autosintonizzanti Il relè ideale ha un luogo delle ampiezze che coincide con il semiasse reale negativo; pertanto si avrà un ciclo limite con qualunque sistema lineare la cui fase scenda sotto π. Questa ipotesi è verificata nella maggior parte dei processi da controllare; pertanto chiudendo un processo in un anello di reazione con un relè ideale si otterrà un oscillazione. Da questa osservazione nasce l idea dei regolatori ad autosintonia. Il regolatore comprende al suo interno un relè quasi ideale e un deviatore che permette di inserire in ciclo il relè o la funzione di regolazione. Inserendo il relè, s innesca un oscillazione di cui vengono misurati la pulsazione * e l ampiezza K* in ingresso al relè. Questa oscillazione permette di ricavare i valori di T cr e K cr richiesti da Ziegler e Nichols per la taratura dei regolatori. Tale metodo, come è noto, consiste nell aumentare il guadagno della catena diretta fino a innescare un oscillazione e misurare il valore di tale guadagno K cr e il valore del periodo T cr. Nel sistema che qui si esamina, il punto d intersezione tra i luoghi delle ampiezze e delle frequenze è caratterizzato dal fatto che la fase di P(j) vale π; pertanto la pulsazione * dà proprio il periodo critico richiesto da Ziegler e Nichols per la taratura dei regolatori. Sempre nel punto d intersezione risulta inoltre: G( j*) = πk * 4Y 1 da cui 1 G( j*) = 4Y 1 πk * Ma questo è proprio il guadagno critico necessario a portare il sistema all oscillazione secondo la tecnica di Ziegler e Nichols; si sono così ottenuti tutti i parametri richiesti: T cr = 2π K * cr = 4Y 1 πk * A questo punto, ricordando che il regolatore PID ha funzione di trasferimento G(s) = K p (1 + 1 s + τ τ D s) I i valori dei parametri da tarare si ottengono dalla seguente tabella: regolatore K p τ I τ D P 0,5K cr PI 0,45K cr 0,8T cr PID 0,6K cr 0,5T cr 0,125T cr Questo modo di procedere presenta due vantaggi: 1 l ampiezza dell oscillazione è direttamente proporzionale a Y 1 e quindi può essere resa piccola quanto si vuole alimentando opportunamente il relè. Con il metodo tradizionale, invece, si porta il processo a un oscillazione di cui non è possibile prevedere e controllare l ampiezza; ciò può essere pericoloso o anche inaccettabile. 2 il metodo può essere facilmente automatizzato: il regolatore, controllato da un microprocessore, inserisce il relè, rileva i valori di * e di K* e predispone i suoi parametri automaticamente. Nasce così l idea di un regolatore ad autosintonia (self tuning); oggi molti regolatori commerciali sono di questo tipo, anche se a volte usano algoritmi più complessi di quello qui descritto.

16 Riferimenti A. Ruberti: Introduzione allo studio dei sistemi di controllo a controreazione non lineari, CNR 1959 G. Marro: Controlli automatici, quarta edizione, Zanichelli, in particolare il cap. 7 P. Bolzern, R. Scattolini, N. Schiavoni: Fondamenti di controlli automatici, McGraw-Hill, in particolare il cap. 16 da cui è tratto il secondo esempio P. Atherton: The describing function method, in, The Control Handbook, W.S. Levine Editor, CRC-IEEE Press, cap. 19

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