Algebra matriciale a.a. 2007/2008 Nicolò Macciotta. Università degli studi di Sassari - Facoltà di Agraria

Transcript

1 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott Università degli studi di Sssri - Fcoltà di Agrri Corso di Lure Specilistic in PRODUZIONI ANIMALI IN AMBIENTE MEDITERRANEO Scuol di Dottorto di Ricerc in SCIENZE DEI SISTEMI AGRARI E FORESTALI E DELLE PRODUZIONI ALIMENTARI, indirizzo in SCIENZE E TECNOLOGIE ZOOTECNICHE DISPENSE DEL CORSO DI ALGEBRA MATRICIALE DOCENTE NICOLO MACCIOTTA DIPARTIMENTO DI SCIENZE ZOOTECNICHE ANNO ACCADEMICO /

2 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott. ALGEBRA DELLE MATRICI ED INTRODUZIONE ALLA REGRESSIONE LINEARE SEMPLICE Algebr delle mtrici Concetto di mtrice e tipi di mtrice Per mtrice si intende un insieme di numeri disposti secondo i righe j e colonne, solitmente rcchiusi d prentesi qudre. A Il numero di righe (i) ed il numero delle colonne (j) definiscono le dimensioni dell mtrice. Nel cso di A, l dimensione è righe e tre colonne e srà indict con A ().. In generle: A... i... i j j... ij ( ij) Per convenzione, le mtrici vengono solitmente indicte con lettere miuscole in grssetto (A nell esempio sopr riportto. I numeri contenuti ll interno dell mtrice sono detti elementi dell mtrice.. Mtrici costituite d un sol rig (cioè i) o d un sol colonn (j) sono dette vettori. Per convenzione sono rppresentte con lettere minuscole, sempre in grssetto. [ ] ( ) ' Vettore rig.

3 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott q Vettore colonn Solitmente un vettore rig è indicto con l postrofo. Un mtrice è dett qudrt qundo il numero delle righe è ugule l numero delle colonne (i j). A sopr descritt è un mtrice qudrt ( ). Se il numero delle righe è diverso dl numero delle colonne si vrà un mtrice rettngolre. ( ) X M In un mtrice qudrt si distinguono un digonle principle ed un digonle secondri. A Nel cso di A gli elementi dell digonle principle sono, e mentre quelli dell digonle secondri sono, e. Un mtrice è dett digonle qundo present tutti gli elementi fuori dell digonle uguli zero D L mtrice identità I è un mtrice digonle con tutti gli elementi sull digonle uguli d.

4 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott I Nell lgebr delle mtrici, l mtrice identità equivle l numero dell lgebr degli sclri. L mtrice in cui tutti gli elementi sono pri zero è dett mtrice null, mentre l mtrici in cui gli elementi sono tutti pri d uno è dett unità ed è normlmente indict con l letter J.. N J Per mtrice simmetric si intende un mtrice in cui gli elementi sopr ll digonle e sotto l digonle sono tr loro simmetrici. S simm S Come si vede sopr, un mtrice simmetric può essere rppresentt in due modi. Un mtrice è dett tringolre qundo h gli elementi sopr, oppure sotto, l digonle uguli zero. S M Un mtrice tridigonle h gli elementi sull l digonle e sulle sub-digonli inferiore e superiore diversi d zero, mentre tutti gli ltri elementi sono uguli zero.

5 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott S Si definisce trspost di un mtrice A, e si indic con A, un mtrice che si ottiene d A scmbindo le righe e le colonne. A ' A Come si può notre, l prim colonn di A è diventt l prim rig di A, e così vi. L trcci di un mtrice qudrt A, indict con tr(a), è dt dll somm degli elementi che si trovno sull su digonle. A tr(a) + + L due righe di progrmm R seguenti creno e stmpno l Mtrice A > A<mtri(c(,,,,,,,,),ncol) > A [,] [,] [,] [,] [,] [,] Trsposizione dell mtrice > A<-t(A)

6 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott > A [,] [,] [,] [,] [,] [,] Crezione di un mtrice Identità di dimensioni > I<-dig() > I [,] [,] [,] [,] [,] [,] [,] [,] Crezione di un mtrice digonle di dimensione vente sull digonle il vlore > p<-dig(,) > p [,] [,] [,] [,] [,] [,] Crezione di un mtrice digonle vente in digonle l sequenz d > p<-dig(:) > p [,] [,] [,] [,] [,] [,] crezione di un vettore colonn > b<-mtri(c(,,),ncol)

7 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott > b [,] [,] [,] [,] crezione di un vettore rig > <-mtri(c(,,,), ncol) > [,] [,] [,] [,] [,] Operzioni con le mtrici A differenz dell lgebr degli sclri in cui l esecuzione delle operzioni elementri (ddizione, sottrzione, moltipliczione e divisione) non richiede requisiti prticolri per gli ddendi o per i fttori, le mtrici invece possono essere o meno conformbili per un determint operzione. Tle conformbilità è legt lle loro dimensioni (m n) e nche ed eventuli relzioni esistenti fr le righe o le colonne dell mtrice stess. Le operzioni con le mtrici possono essere relizzte si su softwres di crttere generle, quli fogli di clcolo tipo Ecel (che presente un serie di funzioni dedicte l clcolo mtricile), o di sttistic vnzt, quli il SAS (che h un modulo, denominto IML, che è dedicto l clcolo mtricile) o infine d softwre che sono stti sviluppti ppositmente per il clcolo con le mtrici, come il MATLAB. Recentemente è disponibile un nuovo softwre open ccess, R, con il qule è possibile svolgere operzioni con mtrici. Somm Due mtrici sono conformbili per l somm, o per l sottrzione, qundo hnno l stess dimensione, cioè presentno lo stesso numero di righe e colonne. L somm di due mtrici A e B, di dimensione m n, srà un mtrice m n i cui elementi sono il risultto dell somm degli elementi corrispondenti di A e B. In generle:

8 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott A b B b b b b l formul generle per l somm (o l sottrzione) srà: A + B + b + b + b + b + b + b Or pssimo d un esempio prtico A B A e B sono conformbili per l somm, perché hnno l stess dimensione ( ). + + A + B Il risultto di A + B è lo stesso di B + A. Anlogo discorso è vlido per l sottrzione. Si riport l sintssi di R per lo svolgimento dell esempio precedente A<-mtri(c(,,,-,,),ncol) B<-mtri(c(,,-,,,),ncol) A+B Prodotto

9 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott Due mtrici sono conformbili per il prodotto qundo il numero di colonne dell prim è ugule l numero di righe dell second. Il risultto dell moltipliczione è un mtrice con un numero di righe pri quello dell prim mtrice ed un numero di colonne pri quello dell second mtrice Il prodotto di un mtrice A (m n) per un mtrice B (n q) è dto d un mtrice (m q) i cui elementi sono l somm dei prodotti dei rispettivi elementi di A e B. In generle: A mn b B b b b b b nq AB b b b b b b b b b b b b b b b b b b mq Pssimo d un esempio prtico. A B Le due mtrici sono conformbili per l moltipliczione in qunto il numero di colonne di A () è ugule l numero di righe di B (). Il risultto srà un mtrice con un numero di righe pri quello dell prim () e numero di colonne pri quello dell second (). () + ( ) AB () + () () + () () + ( ) () + () () + () Il seguente progrmm di R consente di svolgere l esempio precedente A<-mtri(c(,,,-,,),ncol) B<-mtri(c(,,,),ncol)

10 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott A%*%B A differenz di qunto vviene nell lgebr degli sclri, il prodotto delle mtrici non gode dell proprietà commuttiv. Inftti, nche qundo l dimensione delle mtrici lo consente, il prodotto AB è diverso d BA. Considerimo Predimo due mtrici qudrte. A B () + () AB ( ) + () mentre () + () BA () + ( ) () + () () + () () + () () + ( ) Poiché è importnte l ordine in cui l mtrici sono moltiplicte fr loro, qundo si prl di prodotto fr mtrici di solito si indicno le posizioni delle stesse nell operzione. Per esempio, nel cso A B, si dirà che l mtrice B è moltiplict sinistr per A (oppure che A è moltiplict destr per B) Nell regol generle del prodotto fr mtrici rientrno nche i prodotti fr vettori e mtrici. Ad esempio ' [ ] ( ) A Il prodotto A è relizzbile perché il numero di colonne di () è ugule l numero di righe di A. Il risultto srà un vettore rig (). ' A [ ] In questo cso non è relizzbile il prodotto A poichè le due mtrici non sono conformbili per tle operzione (A h un numero di colonne,, che è diverso dl numero di righe di, ). L mtrice A può essere moltiplict invece per il seguente vettore colonn

11 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott q ed il risultto srà un vettore colonn ( ) Aq Prodotti di mtrici prticolri Il prodotto di un vettore rig v con un vettore colonn m dà come risultto uno sclre che è costituito dll somm dei prodotti degli elementi dei due vettori v ' [ ] m v m ( ) + ( ) + ( ) Il prodotto di un vettore y moltiplicto sinistr per l su trspost y dà come risultto uno sclre costituito dll somm dei qudrti degli elementi di y. y ' [ ] y y y Il prodotto di un vettore per moltiplicto sinistr per l su trspost è detto form qudrtic Quindi un operzione di questo tipo consente di clcolre trmite un semplice prodotto di vettori l somm dei qudrti di grndi quntità di dti. In generle, l formul delle forme qudrtiche è l seguente. y Gy Dove G è un mtrice qulsisi. Nel cso dell esempio sopr riportto, G è pri d un mtrice identità. Cioè

12 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott y' Gy [ ] Un vettore rig con gli elementi tutti uguli d uno è detto vettore somm. Moltiplicto destr per un vettore colonn, fornisce come risultto uno sclre costituito dll somm di tutti gli elementi del vettore colonn. m ' [ ] y m y Un vettore rig q può essere utilizzto per costruire un qulsisi funzione degli elementi di un vettore colonn y. Considerimo il vettore y dell esempio precedente. Il vettore q q ' [ ] moltiplicto destr per il vettore y fornisce come risultto uno sclre che è l differenz tr il primo e l ultimo elemento di y. q y - Il prodotto di un mtrice per l su trspost dà come risultto un mtrice simmetric. A A ' AA ' Il prodotto di uno sclre k per un mtrice A è l mtrice A con ogni elemento moltiplicto per k. In generle

13 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott ka k k k k k k k Venendo d un esempio prtico: k A A<-mtri(c(,,,,,),ncol) *A L trspost del prodotto di due mtrici A e B, è ugule l prodotto delle trsposte delle due mtrici prese in ordine inverso (B e A). A B AB ' AB ( ) oppure A ' B '

14 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott B ' A' Un mtrice A è dett idempotente se AA A Un mtrice B è dett nullipotente se BB Un mtrice U è dett ortogonle se UU I Rissumendo lcune differenze fr l lgebr degli sclri e quell delle mtrici:. Proprietà ssocitiv A + (B + C) (A + B) + C. Proprietà distributiv A (B + C) AB) + AC. Proprietà commuttiv (vlid solo per l ddizione o l sottrzione) A + B B + A AB BA Prodotto di Kroenecker. Il prodotto di Kroenecker, o prodotto diretto, fr due mtrici consiste nel moltiplicre ogni elemento dell prim mtrice per tutt l second mtrice. Si indic con il simbolo. B B A ( ) B( mn) B B ( m n) Di sotto si riport un esempio di ppliczione del prodotto di Kroenecker

15 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott Il prodotto di Kroenecker viene spesso per gevolre i clcoli nelle equzioni di soluzione dei modelli genetici Opertori elementri Esistono delle mtrici prticolri, ottenute ttrverso delle modifiche dell mtrice di identità I, che consentono di mnipolre un ltr mtrice A per l qule vengono moltiplicte. L mtrice P per esempio, ottenut dll mtrice I ttrverso l sostituzione del primo elemento dell digonle con., consente di dividere per l prim rig di un mtrice per l qule viene moltiplict destr.. P ; A ; PA Se invece viene moltiplict sinistr per A, consente di divedere per quttro l prim colonn di A. Cioè. AP Un secondo tipo di opertori elementri consente di scmbire fr loro le righe e le colonne delle mtrici. In questo ltro esempio, l uso dell mtrice Q consente di scmbire fr loro l second e l terz rig di un mtrice per l qule viene moltiplict destr (Q A) oppure l second e l terz colonn di un mtrice per l qule viene moltiplict sinistr (A Q).

16 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott Q ; A ; QA ; AQ Infine un terzo tipo di opertore elementre consente di combinre in vrio modo le righe o le colonne delle mtrici per cui viene moltiplict. L mtrice T per esempio, moltiplict destr per un mtrice A (T A), produce un mtrice M in cui l prim rig è dt dll somm degli elementi dell prim e terz rig di A, mentre gli elementi dell second e terz rig rimngono uguli quelli di A. Se invece viene moltiplict sinistr per A (A T), produce un mtrice F in cui l terz colonn è dt dll somm degli elementi dell prim e second colonn di A, mentre gli elementi dell prim e second colonn rimngono uguli rispetto d A. T ; A ; TA AT In generle, quindi, l uso degli opertori elementri consente di modificre le righe di un mtrice A se l opertore elementre viene moltiplicto destr per A (d esempio T A) mentre consente di modificre le colonne di A se l opertore elementre viene moltiplicto sinistr per A (d esempio A T). Determinnte di un mtrice qudrt

17 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott Il determinnte di un mtrice qudrt è un numero ssocito ll mtrice stess. Esso può essere minore, mggiore o ugule zero. Il determinnte di un mtrice (cioè un numero) è il numero stesso. Il determinnte di un mtrice A viene indicto con A. L conoscenz del determinnte di un mtrice qudrt è importnte i fini dell ottenimento dell invers dell mtrice (vedi in seguito) che nell lgebr delle mtrici equivle l reciproco dell lgebr degli sclri. Il determinnte di un mtrice è ugule ll differenz tr il prodotto degli elementi sull digonle e quello degli elementi fuori dell digonle. A A ( * ) - ( * ) Esempio: A A (*)-(*) - Il clcolo del determinnte di un mtrice qudrt di dimensioni superiori si present più complesso. Nel cso di un mtrice qudrt, si us il cosiddetto metodo di espnsione dei minori. Si consideri l mtrice A Se si considerno gli elementi dell prim rig, è possibile ricvre d A tre submtrici che si ottengono eliminndo l rig e l colonn di pprtenenz di ciscun elemento dell rig. Cioè A ottenut eliminndo rig e l colonn cui pprtiene

18 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott A ottenut eliminndo rig e l colonn cui pprtiene A ottenut eliminndo rig e l colonn cui pprtiene I determinnti delle submtrici ottenute d A prendono il nome di minori. Il determinnte di A srà dto dll somm dei prodotti dei determinnti delle tre submtrici (cioè dei minori) per il coefficiente (-) i+j, dove i e j sono l rig e l colonn di pprtenenz dell elemento di A cui si riferisce il minore. Continundo nell esempio: ( ) ( ) ( ) A ; A (-) -(-) + (-) I determinnti delle submtrici ottenute d A moltiplicti per il coefficiente (-) i+j sono detti cofttori dell mtrice A. Nell esempio sopr riportto, il clcolo del determinnte di A è stto sviluppto ttrverso il metodo dell espnsione dei minori reltivi gli elementi dell prim rig. Ad nlogo risultto si può pervenire ttrverso l espnsione dei minori reltivi ll second rig ( ) ( ) ( ) A ; A - (-) + (-) -(-) oppure dell terz rig ( ) ( ) ( ) A ;

19 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott A (-) -(-) + (-) A<-mtri(c(,,,,,,,,),ncol) det(a) Il clcolo del determinnte delle mtrici qudrte di dimensione superiore ll si present più lborioso. Invers di un mtrice qudrt Come detto in precedenz, nell lgebr delle mtrici non esiste l divisione dirett. Se si vuole dividere un mtrice A per un mtrice B, occorre moltiplicre A sinistr per l invers di B. L invers di un mtrice B, che si indic con B -, è un mtrice che soddisf l seguente condizione. BB - I B - B I Nell lgebr delle mtrici, l invers equivle l reciproco dell lgebr degli sclri. Non tutte le mtrici qudrte sono invertibili. Lo sono solo quelle con il determinnte diverso d zero. L invers di un mtrice qudrt può essere ottenut utilizzndo i cofttori degli elementi ed il determinnte. Riprendimo l esempio precedente A Cofttori degli elementi dell prim rig ( ) ;( ) ;( ), +, + + ; Cofttori degli elementi dell second rig ( ) ;( + ) ;( ) +,, ;

20 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott Cofttori degli elementi dell terz rig ( ) ;( ) ;( + ) ;, +, + + ; Se si sostituiscono gli elementi di A con i rispettivi cofttori, si ottiene l mtrice dei cofttori (C). C L invers dell mtrice A si clcol come prodotto dell inverso del suo determinte per l trspost dell mtrice dei cofttori, cioè A C' A Si può verificre che AA - I L funzione solve di R consente di clcolre l mtrice invers di un mtrice qudrt con determinnte diverso d zero solve(a) Rngo di un mtrice qudrt

21 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott Come detto in precedenz, un mtrice qudrt può essere invertit solo se il suo determinnte è diverso d zero. Se invece il determinnte dell mtrice è ugule zero, ess si dirà singolre e non potrà essere clcolt l su invers. Se A è un mtrice qudrt, si h A qundo un o più righe (o colonne) sono un combinzione linere di ltre righe (o colonne). Ad esempio, l seguente mtrice h il determinnte ugule zero A Si può notre come l terz colonn si ugule ll differenz dell prim colonn meno l second colonn. Quindi l terz colonn è un combinzione linere delle ltre due e pertnto l mtrice è singolre, cioè A. Il rngo di un mtrice qudrt i i è dto dl numero di righe (o colonne) che sono tr loro indipendenti. Se il rngo dell mtrice è ugule l numero delle righe (o colonne), llor l mtrice si dirà pieno rngo. Se invece il rngo dell mtrice è inferiore l numero di righe (o colone) llor l mtrice si dirà non pieno rngo. L mtrice A sopr riportt h rngo pri due, quindi è non pieno rngo. Dto un insieme di vettori,,, n, questi si dirnno linermente dipendenti se esiste un vettore q tle che q + q + + n q n. ; ; ; q Si verific fcilmente che q q q Se chimimo A l mtrice costituit di tre vettori, se Aq per un vettore q non nullo, llor le colonne di A sono vettori linermente dipendenti.

22 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott A q Aq Se le colonne di A sono linermente dipendenti, llor A, l mtrice è singolre e non esiste l su invers A -. Dto un insieme di vettori,,, n, se solo il vettore q che verific l condizione q + q + + n q n i vettori si dirnno tr loro linermente indipendenti. I seguenti vettori sono tr loro linermente indipendenti. ; ; ; Se chimimo M l mtrice costituit di tre vettori, se Mq solo per q, llor le colonne di M sono vettori linermente indipendenti M Se le colonne di M sono linermente indipendenti, llor M, l mtrice è non singolre ed esiste l su invers M -. Cso prticolre di invers di un mtrice qudrt L invers di un mtrice digonle D è un mtrice digonle in cui gli elementi dell digonle sono uguli l reciproco degli elementi corrispondenti di D. Cioè

23 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott D D Invers generlizzt Nel cso dell mtrici qudrte singolri, quelle cioè per le quli non esiste l invers, comunque possibile clcolre l invers generlizzt. L invers generlizzt di un mtrice qudrt singolre S, solitmente indict con S -, è un mtrice qudrt che soddisf l seguente condizione S S - SS Esercizi.

24 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott Introduzione ll regressione linere semplice Uso delle mtrici per l risoluzione dei sistemi di equzioni lineri Il clcolo mtricile trov ppliczione in numerosi settori scientifici. Un delle utilizzzioni più frequenti consiste nell uso delle mtrici per risolvere i sistemi di equzioni lineri. Si consideri il seguente sistem di tre equzioni lineri. + y +z - y z + y + z - Il sistem mmette delle soluzioni per le incognite (, y -, z -). Questo sistem di equzioni può essere scritto in form mtricile: y z cioè Xb y dove X è l mtrice dei coefficienti (che contiene cioè i coefficienti delle incognite), b è il vettore delle incognite (o vetore delle soluzioni) e y è il vettore dei termini noti. Ai fini dell risoluzione del sistem di equzioni bisogn ricvre il vettore delle incognite, cioè b X - y quindi condizione fondmentle per l risoluzione di un sistem di equzione con il clcolo mtricile è che l mtrice dei coefficienti bbi i determinnte diverso d zero ed esist l su invers X -. Nel cso del sistem di equzioni considerto, l invers dell mtrice dei coefficienti srà X.... Continundo quindi sviluppre l esempio

25 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott.... z y X<-mtri(c(,,,,-,,,-,),ncol) y<-mtri(c(-,,-),ncol) invx<-solve(x) b<-invx%*%y b Esercizi..

26 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott Uso delle mtrici per lo studio delle relzioni fr due vribili. L disponibilità di più vribili misurte sulle stesse unità sperimentli può costituire un notevole vntggio i fini dell comprensione del fenomeno oggetto di studio. Ciò dipende dl grdo di relzione che esiste tr le vribili considerte. Due vribili si dicono sttisticmente correlte qundo l vrizione dell un non è indipendente dll vrizione dell ltr, cioè qundo esse in qulche misur covrino. Il termine correlzione, mpimente utilizzto nche nel linguggio comune per indicre l esistenz di un relzione fr più spetti degli stessi oggetti, ssume quindi nel cmpo sttistico un significto ben preciso ed introduce l concetto dell vrizione comune due vribili, cioè dell loro covrizione. Nel migliormento genetico degli nimli in produzione zootecnic cpit spesso di studire relzioni fr due vribili, un delle quli è di tipo temporle. Ad esempio, nell tbell sono riportti i vlori di peso corporeo (espresso in chilogrmmi) rilevto diverse età (espresse in mesi) di un gnell di rzz Srd. Tbell. Evoluzione del peso corporeo di un gnell di rzz srd in funzione dell età. Età (mesi) Peso (kg) Le due vribili quindi sono il peso (un crttere produttivo di interesse zootecnico) e l età dell nimle (vribile temporle). Un prim vlutzione, qulittiv m efficce, del legme esistente tr due le vribili viene fornit dll rppresentzione grfic. In figur vengono riportti i dti dell tbell, ponendo in scisse l età dell nimle ed in ordinte il peso corporeo

27 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott Peso (kg) Età (mesi) Figur. Evoluzione del peso corporeo di un gnell di rzz Srd in funzione dell età Dll osservzione del grfico si not come il peso dell gnell umenti ll umentre dell età con un ndmento di tipo sigmoidle, noto come curv di crescit o di ccrescimento. Il fenomeno dell ccrescimento, ben noto ed mpimente studito nelle specie di mmmiferi, è il risultto dei processi metbolici che hnno luogo durnte l fse di crescit di un nimle: fenomeni di moltipliczione cellulre, che crtterizzno le fsi di rpido ccrescimento inizile; fenomeni di mturzione e differenzizione dei tessuti e degli orgni, che crtterizzno l second fse lent che tende d un plteu rppresentto dl peso dell nimle mturo. Pssimo or considerre il tutto d un punto di vist sttistico: le due vribili che definiscono il problem sono il peso (cioè l vribile dipendente) e l età (l vribile indipendente). L sttistic che esprime il grdo di relzione tr due e y vribili è l covrinz (S y ): Sy ( ) ( y y) n Ess esprime l quot di vribilità comune che presentno due vribili. Mggiore è l covrinz tr le due vribili, più strett srà l relzione tr esse. L covrinz reltiv lle due vribili riportte in tbell è.. Essendo un prodotto di differenze, l covrinz h però l crtteristic di non essere immeditmente interpretbile. Un misur di più fcile lettur che esprime l intensità con l qule due vribili e y sono legte è il coefficiente di correlzione (r), che in effetti esprime l covrinz in termini stndrdizzti:

28 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott r y S S y S y dove S y covrinz di e y, S vrinz di, S y vrinz di y. Nel nostro cso, l correlzione fr peso ed età (r peso,età ) è pri.. Tle vlore del coefficiente di correlzione indic un legme stretto e positivo tr le due vribili (cioè vrino nello stesso senso, ll umentre dell un ument l ltr e vicevers), perltro mpimente deducibile dell ndmento grfico (quest è un ottim rgione per inizire qulsisi processo di elborzione dti con un rppresentzione grfic!). Per scopi prtici, però ccde che un delle due vribili si di difficile o costos misurzione: ritornndo ll esempio di figur, l rilevzione del peso delle gnelle (soprttutto nel cso di greggi numerosi) potrebbe rilevrsi piuttosto costos o comunque non pplicbile con l dovut frequenz e complict per poter essere pplict di routine, mentre l rilevzione dell età non richiede prticolri sforzi (trnne l corrett identificzione dell nimle e l registrzione dell su dt di nscit). Lo sviluppo di un modello in grdo di stimre il peso di un gnell in bse ll su età potrebbe vere pertnto un cert rilevnz prtic. Osservndo i dti riportti nell figur, si not come l relzione tr le due vribili poss essere considert con buon pprossimzione di tipo linere e quindi rppresentbile con un rett. In reltà l curv di crescit viene studit con funzioni più complesse dell rett, come l logistic o l equzione di Gompertz. Nel nostro cso, però, considerto l ndmento dei dti e lo scopo didttico dell esempio, si può utilizzre un rett per modellizzre l curv. Dll geometri nlitic, l equzione dell rett y b + b dove b è l intercett, cioè il vlore di y in corrispondenz del qule l rett intersec l sse delle ordinte; b è l pendenz (o coefficiente ngolre) dell rett, fornisce cioè l vrizione di y l vrire di un unità di. I termini b e b sono nche detti prmetri dell funzione (nel nostro cso, dell rett). Nel cso in esme, l rett che rppresent l ccrescimento in funzione dell età si dirà rett di regressione dell età sul peso, l cui formul è y b + b + e dove e rppresent il residuo, cioè l differenz tr il dto previsto dll rett di regressione ed il dto rele osservto. L rett di regressione non è un rett qulsisi, m è quell rett che soddisf l condizione mtemtic di minimizzre l somm dei qudrti delle distnze dei punti reli d ess. In ltre prole, è l rett che pss più vicin tutti i punti dell insieme di dti. Il metodo mtemtico che

29 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott consente di stimre, sull bse dei dti reli, i vlori di b e b dell rett che soddisf tle condizione è detto metodo dei minimi qudrti (Lest Squres). Lo sviluppo di tle metodo fornisce le seguenti formule, che consentono di clcolre l pendenz e l intercett dell rett di regressione: Sy b [] ry S X dove r y è il coefficiente di correlzione fr le due vribili, S e S y sono le rispettive devizioni stndrd b y b [] dove e y sono le medie delle vribili e y rispettivmente Applichimo or le formule [] e [] per il clcolo dei prmetri dell rett di regressione ll esempio del peso corporeo sull età dell nimle:. b... b. (.*). Quindi l equzione dell rett di regressione srà: y e [] o, in ltri termini peso. +. età + e In precedenz si è detto che il coefficiente di regressione rppresent l vrizione dell vribile dipendente l vrire di un unità dell vribile indipendente. Nel cso specifico dell rett che ci simo clcolti, quindi, il vlore del coefficiente di regressione indic che il peso ument di.

30 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott kg per un umento di un mese di età (ovvimente nell gnell che bbimo considerto nell esempio). L equzione [] può essere desso utilizzt per l stim dei vlori del peso prtire dll età. I vlori dell vribile dipendente stimti con l rett di regressione si indicno convenzionlmente ŷ. Ad esempio, il vlore stimto del peso per un età di mesi srà: ŷ. +.*. Poiché però il vero vlore di peso misurto mesi er pri kg, l differenz y - ŷ rppresent il residuo dll rett di regressione (e) e, grficmente, costituisce l distnz dl punto sperimentle dll rett di regressione. Allo stesso modo, utilizzimo l equzione [] per clcolre il peso stimto per tutte le età: Età (mesi) Peso rele Peso stimto Residuo Si possono or ggiungere i dti del peso stimto l grfico riportto in figur

31 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott Peso (kg) Età (mesi) Figur. Vlori del peso osservto ( ) e stimto con l rett di regressione Si può notre come i vlori del peso stimto si trovino sull rett di regressione. Le distnze fr i rombi (che rppresentno il vlore relmente osservto del peso) ed il corrispondente vlore sull rett, rppresentno i residui. Un regressione può essere rppresentt d un sistem di equzioni y b + b + e y b + b + e. y n b + b n + e n Come detto nel prgrfo precedente, un sistem di equzioni può essere scritto in form mtricile. Nel cso dell rett di regressione, quindi: y y yn b... b n ì e e +... en [] Si può notre come l mtrice dei coefficienti conteng l prim colonn con gli elementi tutti pri d uno. Quest colonn è necessri perché nel modello è previst l intercett (in termini geometrici, cioè, l rett non pss per l origine m intersec l sse delle y in un punto b ). L equzione dell rett di regressione, dett nche regressione linere semplice, può essere scritt in form sintetic come

32 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott y Xb + e dove y vettore dell vribile indipendente X mtrice dei vlori dell vribile indipendente b vettore dei prmetri del modello di regressione e vettore dei residui Anlogmente ŷ Xb ŷ vettore dei vlori stimti dell vribile indipendente X mtrice dei vlori dell vribile indipendente b vettore dei prmetri del modello di regressione Anche per il sistem di equzioni scritto in form mtricile, il metodo dei minimi qudrti consente di ricvre delle soluzioni che permettono di stimre i prmetri dell rett di regressione. L seguenti equzioni ( X ' X) bˆ X' y sono dette equzioni normli dell regressione linere semplice, l cui soluzione ( X' X) X' y ˆ b [] consente di stimre il vettore delle soluzioni b dell regressione linere semplice che soddisfno l condizione dei minimi qudrti. Ritornimo ll esempio dell regressione linere semplice pplict ll curv di crescit dell gnell di rzz Srd. Il sistem di equzioni scritto in form mtricile, secondo l formul [], è

33 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott e b b y X b + e pplichimo or l relzione [] per trovre le stime del vettore dei prmetri dell regressione b. 'X X Dll osservzione dell struttur dell mtrice X X si può notre come il primo elemento dell digonle si ugule l numero dei dti considerti nell regressione (), il secondo si pri ll somm dei qudrti delle, mentre gli elementi fuori digonle sono pri ll somm delle. Cioè l struttur generle dell mtrice X X è ' n X X Or clcolimo l invers ( ).... ' X X

34 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott Si clcol quindi il prodotto X y X 'y Infine si moltiplic (X X) - per X y b ( X' X) X' y Come si può notre, il vettore delle soluzione dei prmetri dell regressione linere semplice contiene gli stessi vlori che erno stti precedentemente ottenuti con le formule [] e []. Abbimo quindi visto come l stim dei prmetri di un rett di regressione semplice poss essere ottenut ttrverso l impiego del clcolo mtricile. Per semplicità didttic, l esempio considerto si riferiv d un insieme di dti di numerosità estremmente ridotto, per cui, dl punto di vist clcolistico è indifferente l uso delle formule [] e [] o quello delle soluzioni mtricili []. Nel cso però in cui debbno essere utilizzte grndi quntità di dti, come spesso cpit nelle vlutzioni genetiche, llor l impiego del metodo mtricile è prticmente obbligto in qunto è l unico che consente di gestire un grnde mole di dti. Sviluppo dell esempio soprriportto con R Y<-mtri(c(.,,.,.,.,.,.,.,),ncol) X<-mtri(c(,,,,,,,,,,,,,,,,,),ncol) X X<-t(X) X XX<-X%*%X

35 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott XX invxx<-solve(xx) invxx XY<-X%*%Y XY b<-invxx%*%xy b

36 Algebr mtricile.. / Nicolò Mcciott