Fondamenti di ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Fondamenti di ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA"

Transcript

1 Fondamenti di ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di laurea in Ingegneria Gestionale Michel Lavrauw Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Università di Padova Lezione 19

2 Capitolo 8-1. Rango di una matrice Il rango di A M(m n, K) è la dimensione del sottospazio di K m = M(m 1, K) generato dalle colonne di A. Notazione rk(a) = dim A 1, A 2,..., A n, con A j la j-esima colonna di A. Osservazione Sia F A : K n K m l applicazione associata ad A. Allora rk(a) = dim(imf A ). rka min{m, n}. Proposizione (1.3) Per ogni A M(m n, K), rka è uguale alla dimensione del sottospazio di M(1 n, K) generato dalle righe di A.

3 Capitolo 8-1. Rango di una matrice Teorema (1.4) (i) A M(m n, K) e B M(n p, K): rk(ab) rk(a), e rk(ab) rkb, (ii) A M(m n, K), B M(m m, K) e C M(n n, K): rk(ba) = rk(a) = rk(ac). (iii) L Hom(V, W ): rka B L B = dim(iml). (iv) Una matrice A M(n n, K) è invertibile rka = n.

4 Capitolo 8-2. Sistemi lineari: teoria Un sistema lineare (SL) di m equizioni in n incognite a coefficienti nel campo K ha la seguente forma: a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2,. a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, dove a ij, b i K, per i = 1, 2,..., m e j = 1, 2,..., n. A = (a ij ) M(m n, K): matrice incompleta del SL. X = B = x 1. x n b 1. b n : colonna delle incognite. : colonna dei termini noti. C = (A B) M(m (n + 1), K): matrice completa del SL.

5 Capitolo 8-2. Sistemi lineari: teoria Modi equivalenti per esprimere un SL: Equazione vettoriale: x 1 A 1 + x 2 A x n A n = B Equazione matriciale AX = B Se B = 0 m 1, il SL viene detto SL omogeneo. Se esiste almeno una soluzione: SL compatibile, i.e. X 0 K n : AX 0 = B. Dato un SL AX = B, il SL AX = 0 m 1, si chiama SL omogeneo associato ad AX = B.

6 Capitolo 8-2. Sistemi lineari: teoria Sia W l insieme delle soluzioni del SL AX = 0. Considera F A Hom(K n, K m ) : X AX. W = kerf A, in particolare W è un sottospazio di K n. W : spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato al sistema AX = B. Sia V uno spazio vettoriale. Per u V e W sottospazio di V, la varietà lineare è l insieme di vettori: u + W = {u + w : w W }. Teorema (2.4) Soluzioni del SL AX = B è la varietà v 0 + W, dove Av 0 = B e W è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato.

7 Capitolo 8-3. Il teorema di Rouché-Capelli Considera SL AX = B, con soluzioni la varietà v 0 + W. Abbiamo: dimw = n rka. Teorema (Rouché-Capelli) Un SL AX = B è compatibile rka = rk(a B). Equivalente: Un SL AX = B è compatibile, se e solo se il rango della sua matrice incompleta (A) è uguale al rango della sua matrice completa (A B).

8 Capitolo 8-4. Operazioni elementari sulle righe di una matrice Sia A M(m n, K), con righe: A 1, A 2,..., A m e colonne A 1, A 2,..., A n. y 1 y 2 Sia X = (x 1 x 2... x m ) e Y =. Allora abbiamo. y n AY = A 1 y 1 + A 2 y A n y n CL delle colonne di A XA = x 1 A 1 + x 2 A x 3 A 3 CL delle righe di A Esercizio Se B M(m n, K), allora il prodotto AB è una matrice dove le colonne di AB sono CL delle colonne A. le righe di AB sono CL delle righe di B;

9 Capitolo 8-4. Operazioni elementari sulle righe di una matrice Sia A M(m n, K). Le operazioni elementari sulle righe: (i) Moltiplicare una riga per uno scalare r 0. (ii) Sommare ad una riga un altra riga moltiplicata per uno scalare r qualsiasi. (iii) Scambiare due righe.

10 Capitolo 8-4. Operazioni elementari sulle righe di una matrice Proposizione Le operazioni elementari sulle righe di A non cambiano (a) il sottospazio generato dalle righe di A (b) il rango di A (c) le soluzioni del SL (nel caso che A = (A B ) sia la matrice completa di un SL). Due SL con lo stesso insieme di soluzioni SL equivalenti. Un operazione lineare sulla matrice completa, un SL si trasforma in un sistema equivalente.

11 Capitolo 8-4. Operazioni elementari sulle righe di una matrice Sia A M(m n, K). Le operazioni elementari sulle righe: (i) Moltiplicare una riga per uno scalare r 0: A H ii (r)a (ii) Sommare ad una riga un altra riga moltiplicata per uno scalare r qualsiasi: A H ij ra (iii) Scambiare due righe: A H ij A (i j). con (sia I = (e kl ) la matrice identica di ordine m) H ii (r)= (h kl ), con h ii = r, e h kl = e kl per (k, l) (i, i). H ij (r)= (h kl ), con h ij = r, e h kl = e kl per (k, l) (i, j). H ij : ottenuta da I m scambiandone i-esima e j-esima riga.

12 Capitolo 8-4. Operazioni elementari sulle righe di una matrice Sia A M(m n, K). Il pivot di una riga A i : primo elemento 0 di A i. Una matrice a scala: una matrice dove il pivot della riga A j+1 sta più a destra del pivot di A i. Esempio Una matrice a scala: M = con pivot 1, 5, 6 Proposizione Con operazioni elementari sulle righe di tipe (ii) or (iii) è possibile trasformare ogni matrice in una matrice a scala.

13 Capitolo 8-4. Operazioni elementari sulle righe di una matrice Esempio Trasformare in matrice a scala la matrice A = Proposizione In una matrice a scala, le righe non nulle sono LI. per trovare il rango di una matrice, conviene trasformarla in una matrice a scala.

14 Capitolo 8-5. Applicazioni Cosa si può fare con la trasformazione in matrice a scala? 1. Trovare una base di per un sottospazio v 1, v 2,..., v n di K n. Esempio Base di W = (0, 1, 0, 1), (2, 0, 0, 3), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 3)

15 Capitolo 8-5. Applicazioni Cosa si può fare con la trasformazione in matrice a scala? 1. Trovare una base di per un sottospazio v 1, v 2,..., v n di K n. 2. Decidere se i vettori v 1,..., v r sono LI. Esempio Decidere se la famiglia F = (0, 1, 0, 1), (2, 0, 0, 3), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 1, 3) è LI.

16 Capitolo 8-5. Applicazioni Cosa si può fare con la trasformazione in matrice a scala? 1. Trovare una base di per un sottospazio v 1, v 2,..., v n di K n. 2. Decidere se i vettori v 1,..., v r sono LI. 3. Risolvere un sistema lineare Esempio Trovare le soluzioni del SL: x + y z = 0 2x y + z = 3 x 2y + 2z = 3

17 Capitolo 8-5. Applicazioni Cosa si può fare con la trasformazione in matrice a scala? 1. Trovare una base di per un sottospazio v 1, v 2,..., v n di K n. 2. Decidere se i vettori v 1,..., v r sono LI. 3. Risolvere un sistema lineare. 4. Decidere se un vettore u v 1, v 2,..., v n Esempio Decidere se u = (0, 0, 5, 4) (1, 0, 1, 2), (0, 1, 3, 1), (1, 2, 0, 0).

18 Capitolo 8-5. Applicazioni Esercizi 1. Trasformare in matrice a scala la matrice A = Risolvere il sistema lineare x + 2y z = 3 2x + 4y + z + t = 0 3x + 6y + t = 3 5x + 10y 2z + t = 9

Fondamenti di ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA

Fondamenti di ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Fondamenti di ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di laurea in Ingegneria Gestionale 2011-2012 Michel Lavrauw Dipartimento di Tecnica e Gestione dei Sistemi Industriali Università di Padova Lezione 15 Capitolo

Dettagli

LEZIONE 3. a + b + 2c + e = 1 b + d + g = 0 3b + f + 3g = 2. a b c d e f g

LEZIONE 3. a + b + 2c + e = 1 b + d + g = 0 3b + f + 3g = 2. a b c d e f g LEZIONE 3 3.. Matrici fortemente ridotte per righe. Nella precedente lezione abbiamo introdotto la nozione di soluzione di un sistema di equazioni lineari. In questa lezione ci poniamo il problema di descrivere

Dettagli

LEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m

LEZIONE Equazioni matriciali. Negli Esempi e si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = R m,n, B = (b i,h ) 1 i m LEZIONE 4 41 Equazioni matriciali Negli Esempi 336 e 337 si sono studiati più sistemi diversi AX 1 = B 1, AX 2 = B 2,, AX p = B p aventi la stessa matrice incompleta A Tale tipo di problema si presenta

Dettagli

Note sui sistemi lineari

Note sui sistemi lineari Note sui sistemi lineari Sia K un campo e siano m e n due numeri interi positivi. Sia A M(m n, K) e sia b K m. Consideriamo il sistema lineare Ax = b nell incognita x K n (o, se preferite, nelle incognite

Dettagli

LEZIONE 5. AX = 0 m,1.

LEZIONE 5. AX = 0 m,1. LEZIONE 5 5 isoluzione di sistemi Supponiamo che AX = B sia un sistema di equazioni lineari Ad esso associamo la sua matrice completa (A B Per quanto visto nella precedente lezione, sappiamo di poter trasformare,

Dettagli

LEZIONE 4. { x + y + z = 1 x y + 2z = 3

LEZIONE 4. { x + y + z = 1 x y + 2z = 3 LEZIONE 4 4.. Operazioni elementari di riga. Abbiamo visto, nella precedente lezione, quanto sia semplice risolvere sistemi di equazioni lineari aventi matrice incompleta fortemente ridotta per righe.

Dettagli

Elementi di Algebra Lineare Matrici e Sistemi di Equazioni Lineari

Elementi di Algebra Lineare Matrici e Sistemi di Equazioni Lineari Elementi di Algebra Lineare Matrici e Sistemi di Equazioni Lineari Antonio Lanteri e Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Antonio Lanteri e Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017 Elementi di Algebra Lineare

Dettagli

LEZIONE 3. Typeset by AMS-TEX

LEZIONE 3. Typeset by AMS-TEX LEZIONE 3 3 Risoluzione di sistemi Supponiamo che AX = B sia un sistema di equazioni lineari Ad esso associamo la sua matrice completa (A B Per la Proposizione 236 sappiamo di poter trasformare, con operazioni

Dettagli

Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi

Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Sistemi lineari - Parte Seconda - Esercizi Terminologia Operazioni elementari sulle righe. Equivalenza per righe. Riduzione a scala per righe. Rango di una matrice. Forma canonica per righe. Eliminazione

Dettagli

Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli

Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli Lezione 7: Il Teorema di Rouché-Capelli In questa lezione vogliamo rivisitare i sistemi lineari e dare alcuni risultati che ci permettono di determinare dato un sistema lineare se ammette soluzioni e da

Dettagli

LEZIONE 2. ( ) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, ove a j, b R sono fissati.

LEZIONE 2. ( ) a 1 x 1 + a 2 x a n x n = b, ove a j, b R sono fissati. LEZIONE 2 2 Sistemi di equazioni lineari Definizione 2 Un equazione lineare nelle n incognite x, x 2,, x n a coefficienti reali, è un equazione della forma (2 a x + a 2 x 2 + + a n x n = b, ove a j, b

Dettagli

Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE. Giovanni Villani

Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE. Giovanni Villani Corso di Matematica Generale M-Z Dipartimento di Economia Universitá degli Studi di Foggia ALGEBRA LINEARE Giovanni Villani Matrici Definizione 1 Si definisce matrice di tipo m n una funzione che associa

Dettagli

1.[25 punti] Risolvere il seguente sistema di equazioni lineari al variare del parametro reale λ: X +Y +Z = 2. X 2Y +λz = 2

1.[25 punti] Risolvere il seguente sistema di equazioni lineari al variare del parametro reale λ: X +Y +Z = 2. X 2Y +λz = 2 Università di Modena e Reggio Emilia Facoltà di Scienze MM.FF.NN. PROVA SCRITTA DI GEOMETRIA A del 27 giugno 2011 ISTRUZIONI PER LO SVOLGIMENTO. Scrivere cognome, nome, numero di matricola in alto a destra

Dettagli

MATRICI E SISTEMI LINEARI

MATRICI E SISTEMI LINEARI 1 Rappresentazione di dati strutturati MATRICI E SISTEMI LINEARI Gli elementi di una matrice, detti coefficienti, possono essere qualsiasi e non devono necessariamente essere omogenei tra loro; di solito

Dettagli

Sistemi di equazioni lineari

Sistemi di equazioni lineari Sistemi di equazioni lineari A. Bertapelle 25 ottobre 212 Cos è un sistema lineare? Definizione Un sistema di m equazioni lineari (o brevemente sistema lineare) nelle n incognite x 1,..., x n, a coefficienti

Dettagli

Pagine di Algebra lineare. di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti. Parte terza: SISTEMI LINEARI

Pagine di Algebra lineare. di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti. Parte terza: SISTEMI LINEARI Pagine di Algebra lineare di premessa al testo Pagine di Geometria di Sara Dragotti Parte terza: SISTEMI LINEARI 1. Definizioni Dato un campo K ed m 1 polinomi su K in n indeterminate di grado non superiore

Dettagli

2 Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala.

2 Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala. Sistemi lineari. Metodo di riduzione a scala. Esercizio.1 Utilizzando il metodo di eliminazione di Gauss, risolvere i seguenti sistemi lineari: 1. 3. x 1 x + 3x 3 = 1 x 1 x x 3 = x 1 + x + 3x 3 = 5 x 1

Dettagli

Inversa. Inversa. Elisabetta Colombo

Inversa. Inversa. Elisabetta Colombo Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 00-0, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html e 3 con i Matrici inverse di matrici quadrate e con i Sia A una

Dettagli

3x 2 = 6. 3x 2 x 3 = 6

3x 2 = 6. 3x 2 x 3 = 6 Facoltà di Scienze Statistiche, Algebra Lineare 1 A, GParmeggiani LEZIONE 7 Sistemi lineari Scrittura matriciale di un sistema lineare Def 1 Un sistema di m equazioni ed n incognite x 1, x 2, x n, si dice

Dettagli

LeLing9: Prodotto tra matrici.

LeLing9: Prodotto tra matrici. Geometria Lingotto LeLing9: Prodotto tra matrici Ārgomenti svolti: Prodotto tra matrici Dimostrazione del teorema del rango L algebra delle matrici quadrate: Il prodotto tra matrici non e commutativo Rotazioni

Dettagli

Ingegneria Gestionale - Corso di Analisi II e Algebra anno accademico 2008/2009

Ingegneria Gestionale - Corso di Analisi II e Algebra anno accademico 2008/2009 Ingegneria Gestionale - Corso di Analisi II e Algebra anno accademico 28/29 Dire se le seguenti proposizioni sono vere o false: ESERCITAZIONE. Proposizione Vera Falsa f : R R 4 rk(f f : R 4 R rk(f f :

Dettagli

Def. 1. Si chiamano operazioni elementari sulle righe di A le tre seguenti operazioni:

Def. 1. Si chiamano operazioni elementari sulle righe di A le tre seguenti operazioni: Facoltà di Scienze Statistiche, Algebra Lineare 1 A, G.Parmeggiani LEZIONE 5 Operazioni elementari sulle righe di una matrice Sia A una matrice m n. Def. 1. Si chiamano operazioni elementari sulle righe

Dettagli

Esercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale

Esercizi svolti. risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Esercizi svolti 1. Matrici e operazioni fra matrici 1.1 Date le matrici 1 2 1 6 A = B = 5 2 9 15 6 risolvere, se possibile, l equazione xa + B = O, essendo x un incognita reale Osservazione iniziale: qualunque

Dettagli

1 Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di R n

1 Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di R n 2 Trapani Dispensa di Geometria, Equazioni parametriche e cartesiane di sottospazi affini di R n Un sottospazio affine Σ di R n e il traslato di un sottospazio vettoriale. Cioe esiste un sottospazio vettoriale

Dettagli

Sistemi lineari e spazi vettoriali 1 / 14

Sistemi lineari e spazi vettoriali 1 / 14 Sistemi lineari e spazi vettoriali 1 / 14 Sistemi lineari 2 / 14 Studieremo sistemi lineari costituiti da m equazioni in n incognite (m,n N, m,n 1): cioè a 11 x 1 + +a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + +a 2n x n

Dettagli

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1

SISTEMI LINEARI MATRICI E SISTEMI 1 MATRICI E SISTEMI SISTEMI LINEARI Sistemi lineari e forma matriciale (definizioni e risoluzione). Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi lineari parametrici. Esercizio Risolvere il sistema omogeneo la cui

Dettagli

Elementi di Algebra Lineare Applicazioni lineari

Elementi di Algebra Lineare Applicazioni lineari Elementi di Algebra Lineare Applicazioni lineari Cristina Turrini UNIMI - 2015/2016 Cristina Turrini (UNIMI - 2015/2016) Elementi di Algebra Lineare 1 / 18 index Applicazioni lineari 1 Applicazioni lineari

Dettagli

Prima di risolverli, è necessario prevedere se ci saranno soluzioni e, eventualmente, quante saranno.

Prima di risolverli, è necessario prevedere se ci saranno soluzioni e, eventualmente, quante saranno. Sistemi lineari Prima di risolverli, è necessario prevedere se ci saranno soluzioni e, eventualmente, quante saranno. La discussione di un sistema si imposta in questo modo: 1 studiare il rango della matrice

Dettagli

1) Quali dei seguenti sottoinsiemi del campo dei numeri reali ℝ sono sottospazi vettoriali?

1) Quali dei seguenti sottoinsiemi del campo dei numeri reali ℝ sono sottospazi vettoriali? Geometria I lezione del 30 settembre 2013 Presentazione del corso. Nozioni e notazioni: concetti primitivi di insieme, elemento ed appartenenza. Insiemi numerici: i numeri naturali ℕ, gli interi ℤ, i numeri

Dettagli

Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori

Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Appunti su Indipendenza Lineare di Vettori Claudia Fassino a.a. Queste dispense, relative a una parte del corso di Matematica Computazionale (Laurea in Informatica), rappresentano solo un aiuto per lo

Dettagli

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5.

SISTEMI LINEARI. x 2y 2z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga sulla matrice del primo sistema: 1 1 1 3 1 2 R 2 R 2 3R 0 4 5. SISTEMI LINEARI Esercizi Esercizio. Risolvere, se possibile, i seguenti sistemi: x y z = 0 x + y + z = 3x + y + z = 0 x y = 4x + z = 0, x y z = 0. Svolgimento. Procediamo con operazioni elementari di riga

Dettagli

Sistemi II. Sistemi II. Elisabetta Colombo

Sistemi II. Sistemi II. Elisabetta Colombo Corso di Approfondimenti di Matematica per Biotecnologie, Anno Accademico 2011-2012, http://users.mat.unimi.it/users/colombo/programmabio.html 1 2 3 con R.C.+ o 1.10 Rango massimo e determinante con R.C.+

Dettagli

Introduzione soft alla matematica per l economia e la finanza. Marta Cardin, Paola Ferretti, Stefania Funari

Introduzione soft alla matematica per l economia e la finanza. Marta Cardin, Paola Ferretti, Stefania Funari Introduzione soft alla matematica per l economia e la finanza Marta Cardin, Paola Ferretti, Stefania Funari Capitolo Sistemi di equazioni lineari.8 Il Teorema di Cramer Si consideri un generico sistema

Dettagli

Matematica II,

Matematica II, Matematica II 181111 1 Matrici a scala Data una riga R = [a 1 a 2 a n ] di numeri reali non tutti nulli il primo elemento non nullo di R si dice pivot di R Cosi il pivot di R compare come j mo elemento

Dettagli

Esercitazione 6 - Soluzione

Esercitazione 6 - Soluzione Anno Accademico 28-29 Corso di Algebra Lineare e Calcolo Numerico per Ingegneria Meccanica Esercitazione 6 - Soluzione Immagine, nucleo. Teorema di Rouché-Capelli. Esercizio Sia L : R 3 R 3 l applicazione

Dettagli

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura

Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria - Edile ed Edile-Architettura Primo Esonero del corso di Geometria Docente F. Flamini, Roma, 2//28 SOLUZIONI COMPITO I ESONERO Esercizio.

Dettagli

Registro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016.

Registro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016. Registro Lezioni di Algebra lineare del 15 e 16 novembre 2016 Di seguito si riporta il riassunto degli argomenti svolti; i riferimenti sono a parti del Cap8 Elementi di geometria e algebra lineare Par5

Dettagli

SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI

SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI SISTEMI LINEARI: APPROFONDIMENTI ED ESEMPI Appunti presi dalle lezioni del prof. Nedo Checcaglini Liceo Scientifico di Castiglion Fiorentino (Classe 4B) January 17, 005 1 SISTEMI LINEARI Se a ik, b i R,

Dettagli

Elementi di Algebra Lineare Applicazioni lineari

Elementi di Algebra Lineare Applicazioni lineari Elementi di Algebra Lineare Applicazioni lineari Cristina Turrini UNIMI - 2016/2017 Cristina Turrini (UNIMI - 2016/2017) Elementi di Algebra Lineare 1 / 50 index Applicazioni lineari 1 Applicazioni lineari

Dettagli

Matematica per Analisi dei Dati,

Matematica per Analisi dei Dati, Matematica per Analisi dei Dati, 09.03.09 1. Sia n in intero positivo fissato, e sia V un sottospazio di R n. Il massimo numero di vettori linearmente indipendenti in V viene detto dimensione di V, e viene

Dettagli

Sottospazi vettoriali. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni.

Sottospazi vettoriali. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Politecnico di Torino. Sottospazi vettoriali. Nota Bene: Questo materiale non deve essere considerato come sostituto delle lezioni. Argomenti: Sottospazi. Generatori. Confrontando sottospazi: intersezione.

Dettagli

SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI

SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI Capitolo 3 SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI 1 Generalità e algoritmo di Gauss Nel capitolo precedente abbiamo visto come per risolvere problemi legati allo studio degli spazi vettoriali lo strumento tecnico

Dettagli

ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007

ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 2006/2007 ESERCIZI DI MATEMATICA DISCRETA ANNO 6/7 //7 () Ridurre la seguente matrice ad una a scala ridotta utilizzando il metodo di Gauss-Jordan. Soluzione. () Determinare quante e quali sono le matrici a scala

Dettagli

Risoluzione di sistemi lineari

Risoluzione di sistemi lineari Risoluzione di sistemi lineari Teorema (Rouché-Capelli) Dato il sistema di m equazioni in n incognite Ax = b, con A M at(m, n) b R n x R n [A b] si ha che: matrice dei coefficienti, vettore dei termini

Dettagli

1 se k = r i. 0 altrimenti. = E ij (c)

1 se k = r i. 0 altrimenti. = E ij (c) Facoltà di Scienze Statistiche, Algebra Lineare A, G.Parmeggiani LEZIONE 5 Matrici elementari e loro inverse Si fissi m un numero naturale. Per ogni i, j m con i j siano E ij (c) (ove c è uno scalare )

Dettagli

Inversa di una matrice

Inversa di una matrice Geometria Lingotto. LeLing: La matrice inversa. Ārgomenti svolti: Inversa di una matrice. Unicita e calcolo della inversa. La inversa di una matrice. Il gruppo delle matrici invertibili. Ēsercizi consigliati:

Dettagli

MATEMATICA. a.a. 2014/ Sistemi di equazioni lineari

MATEMATICA. a.a. 2014/ Sistemi di equazioni lineari MATEMATICA a.a. 2014/15 8. Sistemi di equazioni lineari SISTEMI LINEARI Si definisce sistema lineare un sistema di p equazioni di primo grado in q incognite. a11x1 + a12 x2 +... + a1 qxq = k1 a21x1 + a22x2

Dettagli

Il teorema di Rouché-Capelli

Il teorema di Rouché-Capelli Luciano Battaia Questi appunti (1), ad uso degli studenti del corso di Matematica (A-La) del corso di laurea in Commercio Estero dell Università Ca Foscari di Venezia, campus di Treviso, contengono un

Dettagli

Esercitazioni di Algebra e Geometria

Esercitazioni di Algebra e Geometria Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2010 2011 Dott.ssa Elisa Pelizzari e-mail elisa.peli@libero.it Esercitazioni: lunedì 14.30 16.30 venerdì 14.30 16.30 Ricevimento studenti: venerdì 13.30

Dettagli

Sistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara

Sistemi lineari. Lorenzo Pareschi. Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara Sistemi lineari Lorenzo Pareschi Dipartimento di Matematica & Facoltá di Architettura Universitá di Ferrara http://utenti.unife.it/lorenzo.pareschi/ lorenzo.pareschi@unife.it Lorenzo Pareschi (Univ. Ferrara)

Dettagli

RANGO DI UNA MATRICE ρ(a)

RANGO DI UNA MATRICE ρ(a) RANGO DI UNA MATRICE (A) a,... a A M M am,... a, n mn, K É il massimo ordine di un minore estratto con determinante non nullo. Equivalentemente è il massimo numero di righe (colonne) linearmente indipendenti.

Dettagli

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite

Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite 3 Sistemi lineari 3 Generalità Si consideri il sistema a coefficienti reali di m equazioni lineari in n incognite ovvero, in forma matriciale, a x + a 2 x 2 + + a n x n = b a 2 x + a 22 x 2 + + a 2n x

Dettagli

La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango)

La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) CAPITOLO 4 La riduzione a gradini e i sistemi lineari (senza il concetto di rango) Esercizio 4.1. Risolvere il seguente sistema non omogeneo: 2x+4y +4z = 4 x z = 1 x+3y +4z = 3 Esercizio 4.2. Risolvere

Dettagli

Sistemi d equazioni lineari

Sistemi d equazioni lineari Introduzione Introduzione Sia dato il seguente sistema d equazioni: S S S S Come si risolve un sistema... come si risolve? Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 1 Lezione 25.wpd 08/01/2011 XXV - 2 Introduzione

Dettagli

Esercizio 1 Trovare, se esistono, le soluzioni del sistema lineare. y + 3z = 3 x y + z = 0. { x + y = 1

Esercizio 1 Trovare, se esistono, le soluzioni del sistema lineare. y + 3z = 3 x y + z = 0. { x + y = 1 Esercizio 1 Trovare, se esistono, le soluzioni del lineare y + 3z = 3 x y + z = 0 x + y = 1 0 1 3 3 1 1 1 0 1 1 1 0 = 0 1 3 3 = 1 1 0 1 1 1 0 1 = 1 1 1 0 0 1 3 3 0 1 1 = Il di partenza è quindi equivalente

Dettagli

LEZIONE 12. Y = f(x) = f( x j,1 f(e j ) = x j,1 A j = AX = µ A (X),

LEZIONE 12. Y = f(x) = f( x j,1 f(e j ) = x j,1 A j = AX = µ A (X), LEZIONE 1 1.1. Matrice di un applicazione lineare. Verifichiamo ora che ogni applicazione lineare f: R n R m è della forma µ A per un unica A R m,n. Definizione 1.1.1. Per ogni j 1,..., n indichiamo con

Dettagli

Applicazioni eliminazione di Gauss

Applicazioni eliminazione di Gauss Applicazioni eliminazione di Gauss. Premessa Nel seguito supporremo sempre di applicare il metodo di eliminazione di Gauss allo scopo di trasformare la matrice del sistema Ax = b in una matrice triangolare

Dettagli

Argomento 13 Sistemi lineari

Argomento 13 Sistemi lineari Sistemi lineari: definizioni Argomento 3 Sistemi lineari I Un equazione nelle n incognite x,,x n della forma c x + + c n x n = b ove c,,c n sono numeri reali (detti coefficienti) eb è un numero reale (detto

Dettagli

LeLing12: Ancora sui determinanti.

LeLing12: Ancora sui determinanti. LeLing2: Ancora sui determinanti. Ārgomenti svolti: Sviluppi di Laplace. Prodotto vettoriale e generalizzazioni. Rango e determinante: i minori. Il polinomio caratteristico. Ēsercizi consigliati: Geoling

Dettagli

Richiami di algebra delle matrici a valori reali

Richiami di algebra delle matrici a valori reali Richiami di algebra delle matrici a valori reali Vettore v n = v 1 v 2. v n Vettore trasposto v n = (v 1, v 2,..., v n ) v n = (v 1, v 2,..., v n ) A. Pollice - Statistica Multivariata Vettore nullo o

Dettagli

Intersezione e somma di sottospazi vettoriali

Intersezione e somma di sottospazi vettoriali Capitolo 6 Intersezione e somma di sottospazi vettoriali 6.1 Introduzione Ricordiamo le definizioni di intersezione e somma di due sottospazi vettoriali. Anche in questo caso rimandiamo al testo di geometria

Dettagli

Testi consigliati e contatti

Testi consigliati e contatti Testi consigliati e contatti P.Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino, Algebra lineare: esercizi svolti, Cavallotto Edizioni, Catania P. Bonacini, M. G. Cinquegrani, L. Marino, Geometria analitica: esercizi

Dettagli

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0.

x 1 + x 2 3x 4 = 0 x1 + x 2 + x 3 = 0 x 1 + x 2 3x 4 = 0. Problema. Sia W il sottospazio dello spazio vettoriale R 4 dato da tutte le soluzioni dell equazione x + x 2 + x = 0. (a. Sia U R 4 il sottospazio dato da tutte le soluzioni dell equazione Si determini

Dettagli

LEZIONE 16. Proposizione 16.1.2. Siano V e W spazi vettoriali su k = R, C. Se f: V W

LEZIONE 16. Proposizione 16.1.2. Siano V e W spazi vettoriali su k = R, C. Se f: V W LEZIONE 16 16.1. Applicazioni lineari iniettive e suriettive. Ricordo le seguenti due definizioni valide per applicazioni di qualsiasi tipo ϕ: X Y fra due insiemi. L applicazione ϕ si dice iniettiva se

Dettagli

Lezione 10: Teorema di Rouchè-Capelli e la classificazione dei sistemi lineari

Lezione 10: Teorema di Rouchè-Capelli e la classificazione dei sistemi lineari Lezione 10: Teorema di Rouchè-Capelli e la classificazione dei sistemi lineari In questa lezione ci dedicheremo a studiare a fondo quali proprietà della matrice dei coefficienti di un sistema (e della

Dettagli

Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico

Lezione 4 - Esercitazioni di Algebra e Geometria - Anno accademico Trasformazioni elementari sulle matrici Data una matrice A K m,n definiamo su A le seguenti tre trasformazioni elementari: T : scambiare tra loro due righe (o due colonne) di A; T : sommare ad una riga

Dettagli

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione

2.1 Definizione di applicazione lineare. Siano V e W due spazi vettoriali su R. Un applicazione Capitolo 2 MATRICI Fra tutte le applicazioni su uno spazio vettoriale interessa esaminare quelle che mantengono la struttura di spazio vettoriale e che, per questo, vengono dette lineari La loro importanza

Dettagli

1 Definizione di sistema lineare non-omogeneo.

1 Definizione di sistema lineare non-omogeneo. Geometria Lingotto LeLing: Sistemi lineari non-omogenei Ārgomenti svolti: Sistemi lineari non-omogenei Il metodo di Gauss-Jordan per sistemi non-omogenei Scrittura della soluzione generale Soluzione generale

Dettagli

Definizione 1. Una matrice n m a coefficienti in K é una tabella del tipo. ... K m, detto vettore riga i-esimo, ed a im

Definizione 1. Una matrice n m a coefficienti in K é una tabella del tipo. ... K m, detto vettore riga i-esimo, ed a im APPUNTI ed ESERCIZI su matrici, rango e metodo di eliminazione di Gauss Corso di Laurea in Chimica, Facoltà di Scienze MM.FF.NN., UNICAL (Dott.ssa Galati C.) Rende, 23 Aprile 2010 Matrici, rango e metodo

Dettagli

Omomorfismi e matrici

Omomorfismi e matrici Capitolo 12 Omomorfismi e matrici 121 Introduzione Nel corso di Geometria è stato visto come associare una matrice ad un omomorfismo tra spazi vettoriali Rimandiamo al testo del corso per esempi e esercizi

Dettagli

1 Sistemi di equazioni lineari 1. 2 Alcuni risultati generali Il teorema di Rouché Capelli Il teorema e la regola di Cramer...

1 Sistemi di equazioni lineari 1. 2 Alcuni risultati generali Il teorema di Rouché Capelli Il teorema e la regola di Cramer... SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI Sistemi di equazioni lineari Indice Sistemi di equazioni lineari 2 Alcuni risultati generali 2 2 Il teorema di Rouché Capelli 2 22 Il teorema e la regola di Cramer 3 3 Il calcolo

Dettagli

CAPITOLO IV RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI COL METODO DEI DETERMINANTI

CAPITOLO IV RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI COL METODO DEI DETERMINANTI CAPITOLO IV RISOLUZIONE DEI SISTEMI LINEARI COL METODO DEI DETERMINANTI 1. REGOLA DI CRAMER Sia S un sistema lineare di n ( 2) equazioni in n incognite su un campo K : a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n

Dettagli

Terminiamo gli esercizi dell ultima lezione. (LUCIDI) Calcolare, se possibile, AC, CA, CH e HC. (LUCIDI)

Terminiamo gli esercizi dell ultima lezione. (LUCIDI) Calcolare, se possibile, AC, CA, CH e HC. (LUCIDI) Terminiamo gli esercizi dell ultima lezione. (LUCIDI) Esempi Calcolare, se possibile, AC, CA, CH e HC. (LUCIDI) Osservazioni per le matrici quadrate a) Data A M n (K) è possibile definire ricorsivamente

Dettagli

ESERCIZI SULLE MATRICI

ESERCIZI SULLE MATRICI ESERCIZI SULLE MATRICI Consideriamo il sistema lineare a, x + a, x + + a,n x n = b a, x + a, x + + a,n x n = b a m, x + a m, x + + a m,n x n = b m di m equazioni in n incognite che ha a, a,n A = a m, a

Dettagli

Esercitazioni di Algebra e Geometria

Esercitazioni di Algebra e Geometria Esercitazioni di Algebra e Geometria Anno Accademico 2011 2012 Dott.ssa Elisa Pelizzari e-mail elisa.peli@libero.it Esercitazioni: lunedì 14.30 16.30 venerdì 14.30 16.30 Ricevimento studenti: venerdì 13.00

Dettagli

III-4 Sistemi di equazioni lineari

III-4 Sistemi di equazioni lineari SISTEMI DI EQUAZIONI LINEARI III-4 Sistemi di equazioni lineari Indice Sistemi di equazioni lineari 2 Alcuni risultati generali 2 2 Il teorema di Rouché Capelli 3 22 Il teorema e la regola di Cramer 3

Dettagli

Lezioni di Algebra Lineare. II. Aritmetica delle matrici e eliminazione di Gauss. versione ottobre 2008

Lezioni di Algebra Lineare. II. Aritmetica delle matrici e eliminazione di Gauss. versione ottobre 2008 versione ottobre 2008 Lezioni di Algebra Lineare II. Aritmetica delle matrici e eliminazione di Gauss Contenuto. 1. Somma di matrici e prodotto di una matrice per uno scalare 2. Prodotto di matrici righe

Dettagli

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Ripasso sulla Programmazione Lineare e il metodo del Simplesso (parte I)

Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Ripasso sulla Programmazione Lineare e il metodo del Simplesso (parte I) Metodi e Modelli per l Ottimizzazione Combinatoria Ripasso sulla Programmazione Lineare e il metodo del Simplesso (parte I) Luigi De Giovanni Giacomo Zambelli 1 Problemi di programmazione lineare Un problema

Dettagli

1 Riduzione per righe e matrici equivalenti per righe.

1 Riduzione per righe e matrici equivalenti per righe. Geometria Lingotto. LeLing2: Sistemi lineari omogenei. Ārgomenti svolti: Riduzione per righe e matrici equivalenti per righe. Forma echelon e sistemi gia risolti. Il metodo di Gauss-Jordan e la forma echelon.

Dettagli

Esercizi svolti. delle matrici

Esercizi svolti. delle matrici Esercizi svolti. astratti. Si dica se l insieme delle coppie reali (x, y) soddisfacenti alla relazione x + y è un sottospazio vettoriale di R La risposta è sì, perchè l unica coppia reale che soddisfa

Dettagli

ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 2015/2016 docente: Elena Polastri,

ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 2015/2016 docente: Elena Polastri, ALGEBRA E GEOMETRIA Esercizi Corso di Laurea in Chimica - anno acc. 05/06 docente: Elena Polastri, plslne@unife.it Esercizi 3: SPAZI VETTORIALI e MATRICI Combinazioni lineari di vettori.. Scrivere il vettore

Dettagli

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d

a + 2b + c 3d = 0, a + c d = 0 c d SPAZI VETTORIALI 1. Esercizi Esercizio 1. Stabilire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi: V 1 = {(x, y, z) R 3 /x = y = z} V = {(x, y, z) R 3 /x = 4} V 3 = {(x, y, z) R 3 /z = x } V 4 = {(x,

Dettagli

appuntiofficinastudenti.com 1. Strutture algebriche e polinomi

appuntiofficinastudenti.com 1. Strutture algebriche e polinomi 1. Strutture algebriche e polinomi Cenni su linguaggio di Teoria degli Insiemi: appartenenza, variabili, quantificatori, negazione, implicazione, equivalenza, unione, intersezione, prodotto cartesiano,

Dettagli

Rango e Dimensione. April 24, 2015

Rango e Dimensione. April 24, 2015 Rango e Dimensione April 24, 215 1 Spazio delle righe Definizione. Lo spazio delle righe di una matrice A di taglia m n ad elementi nel campo K, è il sottospazio di K n generato dalle righe della matrice

Dettagli

PROGRAMMA del corso di. GEOMETRIA 1 - Algebra Lineare. Laurea Triennale in Matematica. Anno Accademico 2007/08. docente : Bruno Zimmermann

PROGRAMMA del corso di. GEOMETRIA 1 - Algebra Lineare. Laurea Triennale in Matematica. Anno Accademico 2007/08. docente : Bruno Zimmermann PROGRAMMA del corso di GEOMETRIA 1 - Algebra Lineare Laurea Triennale in Matematica Anno Accademico 2007/08 docente : Bruno Zimmermann (Il presente programma è stato redatto sulla base degli appunti del

Dettagli

1 Definizione di sistema lineare omogeneo.

1 Definizione di sistema lineare omogeneo. Geometria Lingotto. LeLing1: Sistemi lineari omogenei. Ārgomenti svolti: Definizione di sistema lineare omogeneo. La matrice associata. Concetto di soluzione. Sistemi equivalenti. Operazioni elementari

Dettagli

2x 5y +4z = 3 x 2y + z =5 x 4y +6z = A =

2x 5y +4z = 3 x 2y + z =5 x 4y +6z = A = Esercizio 1. Risolvere il sistema lineare 2x 5y +4z = x 2y + z =5 x 4y +6z =10 (1) Soluz. La matrice dei coefficienti è 1 4 6, calcoliamone il rango. Il determinante di A è (applico la regola di Sarrus):

Dettagli

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE. Vincenzo Di Gennaro

ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE. Vincenzo Di Gennaro ESERCIZI DI ALGEBRA LINEARE Vincenzo Di Gennaro Sono raccolti, in ordine cronologico, gli esercizi di Algebra Lineare proposti nelle prove scritte per i vari corsi di Geometria che ho tenuto presso la

Dettagli

Metodo di Gauss-Jordan 1

Metodo di Gauss-Jordan 1 Metodo di Gauss-Jordan 1 Nota Bene: Questo materiale non debe essere considerato come sostituto delle lezioni. Ārgomenti svolti: Riduzione per righe e matrici equivalenti per righe. Forma echelon e sistemi

Dettagli

Algebra/Algebra Lineare,

Algebra/Algebra Lineare, Algebra/Algebra Lineare, 00308 Distanza di un punto da una retta, nel piano Svolgiamo ora un semplice esercizio di geometria analitica nel piano: determinare la distanza di un punto da una retta Il modo

Dettagli

Operazioni elementari e riduzione

Operazioni elementari e riduzione Matrici e sistemi Operazioni elementari Riduzioni di matrici L algoritmo di riduzione 2 2006 Politecnico di Torino 1 Operazioni elementari per righe Sia A M m,n. Introduciamo tre tipi di operazioni che

Dettagli

Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B

Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B Docente: Giacomo Dimarco Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Ferrara https://sites.google.com/a/unife.it/giacomo-dimarco-home-page/

Dettagli

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria

Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Esercizi di MATEMATICA PER RCHITETTURA prima parte: Algebra Lineare e Geometria Avvertenze In quanto segue tutti i vettori hanno il medesimo punto d origine O l origine dello spazio cartesiano. Possiamo

Dettagli

LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA Corso di Matematica 2 I a prova parziale Padova Docenti: Cantarini Fiorot TEMA n.1

LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA Corso di Matematica 2 I a prova parziale Padova Docenti: Cantarini Fiorot TEMA n.1 LAUREA IN INGEGNERIA MECCANICA Corso di Matematica 2 I a prova parziale Padova 15-02-08 Docenti: Cantarini Fiorot TEMA n.1 PARTE 1. Quesiti preliminari Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o

Dettagli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli

Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici

Dettagli

Sistemi di equazioni lineari

Sistemi di equazioni lineari Sistemi di equazioni lineari I sistemi di equazioni si incontrano in natura in molti problemi di vita reale. Per esempio, prendiamo in considerazione una bevanda a base di uova, latte e succo d arancia.

Dettagli

REGISTRO DELLE LEZIONI

REGISTRO DELLE LEZIONI UNIVERSITA DEGLI STUDI DI GENOVA FACOLTA DI SCIENZE MATEMATICHE, FISICHE E NATURALI REGISTRO DELLE LEZIONI del Corso UFFICIALE di GEOMETRIA B tenute dal prof. Domenico AREZZO nell anno accademico 2006/2007

Dettagli

(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y.

(P x) (P y) = x P t (P y) = x (P t P )y = x y. Matrici ortogonali Se P è una matrice reale n n, allora (P x) y x (P t y) per ogni x,y R n (colonne) Dim (P x) y (P x) t y (x t P t )y x t (P t y) x (P t y), CVD Ulteriori caratterizzazioni delle matrici

Dettagli

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali.

Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. CAPITOLO 7 Rango: Rouchè-Capelli, dimensione e basi di spazi vettoriali. Esercizio 7.1. Determinare il rango delle seguenti matrici al variare del parametro t R. 1 4 2 1 4 2 A 1 = 0 t+1 1 A 2 = 0 t+1 1

Dettagli

Geometria BIAR Esercizi 2

Geometria BIAR Esercizi 2 Geometria BIAR 0- Esercizi Esercizio. a Si consideri il generico vettore v b R c (a) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v a (b) Si trovi un vettore riga x (x, y, z) tale che x v kb (c) Si

Dettagli