QLaprobabilità dell'evento intersezione

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1 QLaprobabilità dell'evento intersezione Dati due eventi A e B consideriamo l'evento intersezione C'-A H B C. Prima di illustrare come si calcola la probabilità dell'evento intersezione, vediamo insieme due esempi di situazioni differenti. =C. Consideriamo un'urna contenente 2 palline nere e 2 palline rosse. Estraiamo a caso una pallina e, dopo averne verifìcato il colore, la rimettiamo nell'urna, agitiamo bene ed estraiamo una seconda pallina. L'evento che vogliamo considerare è: & Questo è un evento intersezione E = E} fi E2 dei due seguenti eventi: Eì la prima pallina estratta è nera; E2 la seconda pallina estratta è nera. ESEMPI L'estrazione della seconda pallina non dipende dall'estrazione della prima pallina, in quanto quest'ultima viene reinserita nell'urna prima della seconda estrazione; quindi la composizione dell'urna è la stessa durante entrambe le estrazioni. 2. Consideriamo un'urna contenente 2 palline nere e 2 palline rosse. Estraiamo a caso una pallina e, senza reinserirla nell'urna, estraiamo una seconda pallina. L'evento che vogliamo considerare è: Questo è un evento intersezione E~Eir\E2 dei due seguenti eventi: E} la prima pallina estratta è nera; E2 = la seconda pallina estratta è nera. L'estrazione della seconda pallina dipende dall'estrazione della prima pallina; infatti, all'atto della seconda estrazione, nell'urna c'è una pallina in meno rispetto alla prima estrazione e, inoltre, la seconda estrazione viene effettuata supponendo che la prima estrazione abbia dato esito positivo, cioè che la prima pallina estratta sia nera. Generalizzando le considerazioni fatte nei due esempi precedenti, possiamo dare le seguenti definizioni. Due eventi si dicono indipendenti se il verificarsi dell'uno non influenza in alcun modo il verificarsi dell'altro.

2 Due eventi si dicono dipendenti se il verificarsi dell'uno influenza il verificarsi dell'altro. ESEMPIO r>s^ Riprendendo l'esempio ci proponiamo di calcolare la probabilità dell'evento E che è l'intersezione dì due eventi ", e E2 indipendenti. EI = la prima pallina estratta è nera E2 = la seconda pallina estratta Si ha che:, Determiniamo ora la probabilità dell'evento unione: indicando con R le palline rosse e con N le palline nere si ha che i casi possibili per l'evento E sono dati da tutte le possibili coppie che sì possono formare tra le palline contenute nell'urna quindi, si ha che: 7>=4 CF = (R, N}; (R, R); (N, R); (N, N) Analizzando i risultati ottenuti notiamo che: P(E) = Possiamo quindi enunciare il seguente teorema. Teorema della probabilità composta, relativo a eventi indipendenti Dati due eventi E, e 2 indipendenti, la probabilità dell'evento intersezione E = f, n E2 è uguale al prodotto delle probabilità dei due eventi: ESEMPIO Nel lancio contemporaneo di una moneta e di un dado, calcoliamo la probabilità che esca testa e il numero 2. E = esce testa e il numero 2 E ~ esce il numero 2. E è l'evento intersezione dei due eventi: - E = El O E2

3 Bisogna stabilire se i due eventi sono indipendenti. Il lancio della moneta non può influenzare in aìcun modo ii lancio del dado e viceversa, quindi i due eventi sono indipendenti; allora possiamo applicare il teorema del prodotto di eventi indipendenti per cui la formula da utilizzare è: Calcoliamo le probabilità dei due eventi: 2 Se gli eventi che compongono l'evento intersezione sono dipendenti bisogna introdurre un nuovo concetto: la probabilità condizionata. Prima di formulare la definizione di probabilità condizionata esaminiamo il seguente esempio. In un barattolo ci sono 2 caramelle alla fragola e caramella al limone. Estraiamo a caso una caramella e, senza reinserirla nel barattolo, ne estraiamo una seconda: vogliamo calcolare la probabilità che le due caramelle estratte siano entrambe alla fragola. E = la prima caramella è alla fragola e la seconda caramella è alla fragol E=Er\E in cui: EI = la prima caramella è alla fragola; t> E2 la seconda caramella è alla fragola & Calcoliamo le probabilità dei due eventi: CP,=3 Prima di calcolare la probabilità del secondo evento bisogna fare alcune considerazioni. Il verifìcarsi dell'evento E} influenza il verifìcarsi dell'evento E2, quindi i due eventi sono dipendenti. Inoltre, le condizioni del barattolo sono diverse nelle due estrazioni, infatti: nella prima estrazione le caramelle nel barattolo sono 3; nella seconda estrazione le caramelle rimaste nel barattolo sono 2, di cui solo alla fragola. Calcoliamo la probabilità del secondo evento tenendo conto delle considerazioni fatte: La probabilità p (E2) che abbiamo appena calcolato non è la probabilità dell'evento E2, come l'abbiamo considerata fino a questo momento, ma è una probabilità condì-

4 A U T O V E R I F I C Collega in modo opportuno. Evento intersezione Evento unione evento che si verifica al verifìcarsi dell'uno o dell'altro oppure di entrambi gli eventi. evento che si verifica quando si verificano entrambi gli eventi. Definisci gli eventi compatibili e gli eventi incompatibili. Completa gli enunciati dei seguenti teoremi. - Dati due eventi El e E2 compatibili, la probabilità dell'evento unione E= E\\J E2 è: />( ) = - Dati due eventi El e E2, la probabilità dell'evento unione E E^\JE2 è: />( )=/>(,)+/>( ;,). Collega in modo opportuno. Eventi indipendenti il verifìcarsi dell'uno influenza il verifìcarsi dell'altro. ~~^TT ~, T il verifìcarsi dell'uno non influenza in alcun modo il verìficarsi eventi dipendenti.., dell altro. Cos'è la probabilità condizionata e quando si usa? Completa gli enunciati de! seguenti teoremi. - Dati due eventi E\ E2, la probabilità dell'evento intersezione E= E} C\2 è uguale al prodotto delle probabilità dei due eventi^* (E) - Dati due eventi El e E2 dipendenti, la probabilità dell'evento intersezione E E} Pi E2 è uguale p (E) = Compiendo due estrazioni da un'urna contenente palline di diverso colore, quando, per calcolare la probabilità, si usa il teorema della probabilità composta relativo a eventi dipendenti e quando quello relativo a eventi indipendenti?

5 S C H E D A D I L A V O R O. Secondo te, quale tra i seguenti eventi aleatorì ha maggiore probabilità di realizzarsi? E\ Nel gioco del Lotto sulla ruota di Roma esce il numero 56. E2 = Lanciando un dado esce 3. 3 = Lanciando un dado esce uumero pari. Verifica la risposta data calcolando le probabilità dei tre eventi. 2. Un'urna contiene 20 palline bianche e 20 palline rosse. Qual è la probabilità che estraendone una, questa sia bianca, sapendo che ripetendo 200 volte l'esperimento, nelle stesse condizioni, si sono avuti 652 successi? 3. Carlo pensa che la probabilità di vittoria della squadra di calcio della sua città, nella prossima partita di campionato, sia del 75%. Sapendo che su tale evento ha puntato 30, quanto riceverà nel caso in cui l'evento si verifichi? 4. La probabilità che nell'estrazione di una carta da un mazzo di 40 carte si verìfichi l'evento: «esce una carta di spade o il fante dì denari» è: Assegna il valore dì verità (Vero o Falso) alle seguenti proposizioni. La probabilità di un evento aleatorio può essere -7-. V F Se la probabilità che si verifìchi un evento E è, allora la probabilità che si verifìchì _ 2 l'evento E è.. 3 La probabilità di estrarre una pallina verde da un'urna contenente 2 palline verdi, 0 rosse e 8 gialle, è. Nel lancio di un dado la probabilità di non ottenere uumero dispari è. Se "] e E2 sono due eventi incompatibili, allora la loro intersezione è l'insieme vuoto. Lanciando contemporaneamente una moneta e un dado, la probabilità che esca testa e un multiplo di 3 è r. D D n D 6. Sullo scaffale di una videoteca ci sono 4 cassette in lìngua italiana, 5 cassette in lingua inglese e 3 cassette in lingua tedesca. Calcola la probabilità che estraendone una a caso sia: a) in lingua inglese; b] in lingua inglese o in lingua italiana. 7. Estraendo 2 carte a caso da un mazzo di 52, in due estrazioni successive senza reinserimento, qual è la probabilità che entrambe siano di fiori?