Esempi e controesempi nella scuola secondaria di I grado

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1 Esempi e controesempi nella scuola secondaria di I grado di Monica Testera Di seguito vorrei presentare l attività «Vero o falso» e discuterne le potenzialità didattiche, con particolare riferimento alle opportunità di riflessioni di livello più generale sul ruolo di esempi e controesempi. L attività «Vero o Falso» come proposta didattica va inserita nell attività di ricerca che, dal 2007, si svolge all interno dell Istituto Comprensivo del comune di Carcare in provincia di Savona, e che è divenuta negli anni uno degli assi portanti del Piano dell Offerta Formativa. Il tema di ricerca è stato inizialmente proposto dal Dipartimento di Matematica dell Università di Genova che, in collaborazione con l Ufficio Scolastico Regionale della Liguria, ha avviato, nel quadro del Progetto (ora Piano) Lauree Scientifiche (MIUR- Confindustria), il progetto «Linguaggio e argomentazione nello studio della matematica dalla scuola primaria all Università». L Istituto Comprensivo di Carcare è diventato Polo didattico di riferimento del progetto e i docenti della scuola secondaria di I grado hanno lavorato in collaborazione con la Prof. Francesca Morselli del Dipartimento di Matematica dell Università di Genova. Questa attività «Vero o Falso» ha la grande potenzialità di poter essere proposta in «continuità» tra le classi di quinta primaria e prima secondaria di I grado. Ne segue che il lavoro di preparazione e realizzazione del percorso di carattere anche interdisciplinare può essere un occasione estremamente significativa di confronto tra i docenti dei due livelli e di ambiti differenti. La scuola del primo ciclo di Carcare ha da sempre posto la continuità come tema portante del lavoro dei docenti, e le azioni in tal senso si svolgono tenendo conto dell obiettivo primario di ricercare metodologie educativo-didattiche e organizzative a carattere anche interdisciplinare, mirate ad un processo di insegnamento/apprendimento dalla prima infanzia fino alla scuola secondaria di primo grado (per approfondimenti sull Istituto Comprensivo di Carcare si veda Raviolo, E., 2014). L ATTIVITÀ «VERO O FALSO» ALL INTERNO DEL PERCORSO «PENSA UN NUMERO» L attività «Vero o Falso» è inserita nel percorso «Pensa un numero» (Testera, M., Morselli, F. & Sibilla, A., 2011), rivolto a studenti del primo anno della scuola secondaria di I grado. Il percorso da un lato propone situazioni aperte in aritmetica, nelle quali gli studenti si trovano a produrre argomentazioni, dall altro introduce il linguaggio algebrico come strumento utile a produrre argomentazioni (Arzarello, F., Bazzini, L. & Chiappini, G.P., 1994). 19

2 L attività «Vero o Falso», di carattere interdisciplinare, connette due diverse fasi del percorso. Qui di seguito si riporta la scheda. La scheda è pensata come primo approccio alla valutazione della verità delle affermazioni. In essa sono proposte cinque affermazioni, solo una di carattere matematico, per le quali bisogna stabilire la verità o la falsità. Affermazione Vero o falso? Spiega perché lo pensi Come potresti convincere qualcuno che non la pensa come te? Venerdì 17 è un giorno sfortunato. Nella nostra classe c'è almeno una ragazza con gli occhiali. Tutti i liguri sono tirchi. La somma di due numeri dispari è un numero pari. Una affermazione è vera se è vera per la maggioranza della gente. 20

3 Per ogni affermazione viene richiesta la risposta a due tipi di domanda. La prima, «Spiega perché lo pensi», è formulata per esplorare le modalità con le quali gli studenti decidono in merito ad ogni affermazione mentre la seconda, «Come potresti convincere qualcuno che non la pensa come te», permette di far porre lo studente di fronte alla necessità di proporre delle giustificazioni che devono essere convincenti per qualcuno che la pensa in modo diverso (la domanda riprende quanto suggerito sulle funzioni della dimostrazione convinci te stesso, convinci un amico, convinci un nemico da Mason, J., Burton, L. & Stacey, K., 1982). LA REALIZZAZIONE DELL ATTIVITÀ IN CONTINUITÀ In un primo incontro a Settembre, i Docenti della classe prima secondaria di I grado e della Quinta primaria (riuniti in un nuovo organismo chiamato Interconsiglio) hanno concordato l attività e adottato la scheda di lavoro comune da far svolgere separatamente e in modo individuale agli studenti del proprio livello. Una volta conclusasi l attività nelle varie classi, gli Interconsigli si sono riuniti nuovamente per organizzare gli incontri finali di confronto sui lavori comuni tra gli alunni. Per l attività trasversale «Vero o falso» si è proceduto ad una lettura di alcuni prodotti già selezionati dai vari docenti per poi costruire una scheda di sintesi da sottoporre all analisi e alla discussione tra gruppi di alunni misti dei due livelli. I successivi incontri tra gli alunni si sono svolti presso le aule delle classi prime della scuola secondaria di I grado, realizzando così le cosiddette «frequentazioni», con la conduzione di docenti sia del livello primario che secondario di I grado. Inizialmente gli alunni si sono confrontati all interno di piccoli gruppi misti (formati da quattro componenti di cui due del livello della scuola primaria e due della secondaria) e successivamente i docenti hanno regolato una discussione di classe. Le fasi descritte di proposta della consegna momento individuale confronto in piccoli gruppi discussione di classe, fanno parte della tipologia standard di conduzione delle attività incentrate sulla argomentazione. ANALISI DELLA SPERIMENTAZIONE Le affermazioni a carattere interdisciplinare hanno portato i docenti a sondare e valutare le concezioni degli studenti sul carattere di fortuna e sfortuna e sulle caratteristiche che una giustificazione deve possedere per essere ritenuta provante e attendibile. Ad esempio, al ragazzo che ha affermato che nutriva dei dubbi sulla giustificazione perché formulata da un compagno mentre la stessa affermazione sarebbe stata attendibile se fosse stata proposta da uno scienziato, i compagni hanno replicato con considerazioni che hanno dato la possibilità di riflettere sulla autorevolezza delle fonti, sui metodi attraverso i quali le ricerche vengono validate, 21

4 sugli strumenti oggettivi e razionali che il metodo matematico offre per dimostrare la validità delle affermazioni, sull evoluzione del pensiero scientifico. Le discussioni ricche e coinvolgenti sui temi descritti sono state uno strumento preziosissimo per l insegnante nella ricerca dello sviluppo del senso critico, obiettivo essenziale per la formazione del cittadino consapevole. In classe gli alunni hanno riflettuto sul significato della superstizione, su come questa varii da paese a paese e sulla validità dell utilizzo delle esperienze personali per confutare la verità della affermazione. Già in queste discussioni è affiorato il significato dei controesempi, che è stato ulteriormente approfondito nella discussione delle risposte relative al valore di verità dell affermazione «Tutti i liguri sono tirchi» insieme alla riflessione sui quantificatori in genere (differenza con l uso di «almeno» della seconda affermazione). Il modo di dire «Tutti i liguri sono tirchi», calato nella realtà territoriale, si è dimostrato molto utile per introdurre un tipo di argomentazione necessaria nelle attività matematiche più impegnative: trovare controesempi ad una affermazione per dimostrarne la falsità. La condivisione e la discussione delle risposte ai due quesiti «Tutti i liguri sono tirchi» e «La somma di due numeri dispari è un numero pari» ha offerto la possibilità di far riflettere gli studenti se bastassero oppure no alcuni esempi per dimostrare la verità di una frase che affermi una universalità e sulla validità di un solo controesempio per dimostrarne la falsità. La discussione sui liguri è diventata esperienza da confrontare nella discussione sull affermazione «La somma di due numeri dispari è un numero pari» alla quale tutti avevano risposto vero. Qui di seguito riportiamo un estratto dalla discussione di classe. Alunna C.: Avevamo discusso se era meglio trovare tanti esempi o se era meglio trovare subito la regola. Si era discusso perché V. e G. dicevano che era meglio trovare alcuni esempi, io invece dicevo che era meglio trovare la regola. Avevamo detto che dovevi trovare tantissimi esempi, invece V. aveva detto che ne bastano alcuni. Alunna V.: Sì, perché comunque se tutti i numeri dispari sommati danno un numero pari comunque si intende tutti L insegnante ha guidato la classe con domande stimolo per fare riflettere gli alunni sul perché, in questo caso, bisognasse cercare una motivazione generale mentre nel caso dei liguri fosse bastato un controesempio. IL SEGUITO DEL PERCORSO: «VERO O FALSO» DIVENTA ESPERIENZA DI RIFERIMENTO Il percorso «Pensa un numero» è proseguito con attività che richiedevano di stabilire la verità o falsità di affermazioni riguardanti i numeri, per riflettere in quali 22

5 casi fosse sufficiente portare un controesempio e in quali fosse necessaria una generalizzazione. La discussione sulla frase «Tutti i liguri sono tirchi» è risultata talmente significativa che è diventata esperienza di riferimento ed è stata ripresa nella seguente attività in ambito numerico. Una delle consegne rivolte alla classe nella fase tre del percorso è stata : «Se un numero intero termina per 7 e non è divisibile per 3 allora è un numero primo». Si riportano le discussioni relative ai numeri 107 e 77: Prof: Che cosa avevate trovato per 107? Classe: Che è un numero primo. Prof: Avevate quindi trovato che 107 termina per 7, non è divisibile per 3 ed è un numero primo. Era per quello che avevate detto: allora la proprietà è vera? Erano esempi di questo tipo che vi avevano fatto pensare che la proprietà fosse vera. Ora, non so se è quello che vi rendeva perplessi prima, però se io faccio vedere il 107 mi verrebbe da concludere che l affermazione è vera, però poi c è il 77 e allora dico: chiuso tutto, l affermazione è falsa. La capite la differenza? Alunno: È come l esercizio che abbiamo fatto l altra volta, che tutti i liguri sono tirchi. Basta uno che non è tirchio e la regola non è vera Successivamente gli studenti hanno trovato altri controesempi per confutare l affermazione ma sono stati aiutati a riflettere sul fatto che ne bastava solamente uno per invalidare l affermazione. CONSIDERAZIONI FINALI L attività «Vero o falso» presenta una importanza rilevante sia per le modalità con le quali è stata preparata e realizzata sia per la significatività e la potenzialità delle consegne. Le modalità con le quali è stata realizzata l attività in continuità è un buon esempio di ciò che si intende per continuità didattica nella scuola del primo ciclo (ma non solo). La continuità, a carattere curricolare in quanto attività programmata, può realizzarsi a partire dalla conoscenza di tutti i soggetti coinvolti e dei percorsi operativi dei diversi ordini di Scuola. Lo scopo è arrivare alla costruzione di prodotti didattici fruibili anche in altri ordini di scuola e acquisire competenze che mirino alla crescita dei soggetti, partendo dai singoli stili cognitivi. La finalità del lavoro a stretto contatto dei docenti dei vari ordini di scuola su prassi didattiche favorisce una continuità ed uno scambio di esperienze tra gli insegnanti e gli alunni creando una vera e propria comunità educante. Gli obiettivi essenziali perseguiti dalla continuità per gli alunni sono: conoscere ambienti e insegnanti diversi dai propri; provare le modalità di approccio di insegnanti di un altro ordine scolastico; 23

6 collaborare con alunni di età diverse su esperienze comuni e sul loro confronto; condividere regole comuni; costruire prodotti tra i diversi ordini di scuola con scambio reciproco del materiale. Per gli insegnanti sono: collaborare con docenti di ordini diversi; confrontarsi su contenuti comuni e sulle metodologie adottate per la ricerca dei nodi problematici. Le consegne delle schede «Vero o falso», ormai sperimentate da parecchi anni, offrono sempre occasioni di argomentazioni ricche e stimolanti sia a livello di contenuto sia a livello metacognitivo. Le differenti tipologie di affermazioni, che spaziano tra vari ambiti sia matematici che non matematici, danno l opportunità di riflettere sulle analogie e le differenze tra le argomentazioni in matematica e quelle nelle altre discipline dando anche l opportunità di collegamenti interdisciplinari in ambito umanistico. Le analisi delle differenze tra il concetto di controesempio e la ricerca di oggettività e validità universale delle prove costituiscono per lo studente una prima introduzione dello strumento della dimostrazione matematica. Inoltre, il confronto di idee e la ricerca di motivazioni per convincere qualcun altro della efficacia del proprio ragionamento incentivano l abitudine all ascolto e all educazione di corrette relazioni. Elementi, questi ultimi, fondamentali per la crescita dell adolescente e valore aggiunto etico e sociale dell attività didattica. Monica Testera Insegnante di Matematica e Scienze presso la scuola secondaria di I grado dell Istituto Comprensivo di Carcare (Sv) monica.testera@istruzione.it 24

7 Bibliografia e sitografia Arzarello, F., Bazzini, L. & Chiappini, G.P. (1994). L algebra come strumento di pensiero. Analisi teoriche e considerazioni didattiche. Quaderno strategico n. 6 del CMR, Progetto strategico Tecnologie e innovazioni didattiche. Mason, J., Burton, L. & Stacey, K. (1982). Thinking mathematically, Addison-Wesley. Morselli, F., Testera, M. (2015). Vero o Falso? Un attività interdisciplinare tra esempi e controesempi. In Robutti, O., & Mosca, M. (a cura di), I Docenti di matematica e fisica di fronte ai mutamenti della scuola: concetti, processi, valutazione. Atti del VI Convegno Nazionale di Didattica della Fisica e della Matematica DI.FI.MA. 2013, Raviolo, E. (a cura di) (2014). La costruzione dell Istituto comprensivo, Esperienze di continuità. Edizioni Junior. Testera, M., Morselli, F., Sibilla, A. (2011). «Pensa un numero». Attività argomentative nella scuola secondaria di primo grado. In Robutti, O. & Mosca, M. (a cura di), Il laboratorio in matematica e in fisica. Atti del IV Convegno Nazionale di Didattica della Fisica e della Matematica DI.FI.MA. 2009,