Architetture aritmetiche. Corso di Organizzazione dei Calcolatori Mariagiovanna Sami

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1 Archtetture artmetche Corso d Organzzazone de Calcolator Maragovanna Sam

2 Sommator: : Full Adder s = x y c + x y c + x y c + x y c Full Adder x y c s x y c = x y + x c + + y c c + Full Adder c x y c s c

3 L addzone d numer bnar S farà qu rfermento alla sola somma d numer nter rappresentat n formato bnaro naturale; S estende l concetto d notazone poszonale, n cu alla poszone d ogn bt vene assocato un peso par alla potenza della base n cu vene espresso l numero; Il numero vene rappresentato qund come una strnga d cfre; se B è la base, ogn cfra b può assumere un qualsas valore da a B-. La strnga b n- b n-2 b b sta qund a rappresentare l numero b n- *B n- + b n-2 *B n b *B + b *B

4 L addzone d numer bnar Nel caso bnaro: rappresenta *2 5 + *2 4 + *2 3 + *2 2 + *2 + *2 L uso della notazone poszonale permette d effettuare n modo mmedato la somma d due numer postv: partendo dalla poszone meno sgnfcatva (la pù a destra) s sommano nnanztutto bt d poszone de due addend: l rsultato della somma d due bt è un numero compreso fra e 2, qund produce un bt d somma s e un bt d rporto n uscta C (ognuno de qual può valere o ); Dal bt d peso 2 n avant, s devono sommare due bt d poszone de due addend e l rporto generato dalla somma n poszone - (C -, che dventa l rporto n ngresso C ) e s generano un bt d somma s e un bt d rporto n uscta C

5 L addzone d numer bnar Esempo: Rporto A + B S

6 Soluzon possbl: La rappresentazone bnara de numer negatv. Rappresentazone n valore e segno: degl n bt a dsposzone, n- sono utlzzat per rappresentare l valore, mentre quello pù sgnfcatvo rappresenta l segno. S rappresentano numer da 2 n-2 a + 2 n-2 ; la rappresentazone è smmetrca e rdondante (esstono due rappresentazon per - - e +). Concettualmente molto semplce; rchede due crcut separat per addzone e sottrazone, nel caso d somma algebrca occorre: Verfcare segn; se sono dvers Confrontare due valor Sottrarre l mnore dal maggore Assegnare l segno corretto al rsultato D conseguenza, l operazone è complessa e lenta

7 La rappresentazone bnara de numer negatv Soluzon alternatve: s rappresentano numer n complemento, così che una somma algebrca s rsolva comunque n una somma (con eventuale correzone opportuna). 2. Rappresentazone n complemento a : s ottene semplcemente complementando ndvdualmente ogn bt del numero. I numer postv hanno l bt pù sgnfcatv d valore, quell negatv hanno l bt pù sgnfcatv d valore. S rappresentano numer da 2 n - a + 2 n -; la rappresentazone è smmetrca e rdondante (esstono due rappresentazon per - - e +)

8 La rappresentazone bnara de numer negatv 2. Rappresentazone n complemento a (cont.): n effett, è una rappresentazone n complemento a 2 n-, coè alla confgurazone d n : -B s rappresenta come (2 n -) - B. Se due numer sono ambedue postv, la somma A+B è corretta (a patto che l rsultato sa non superore a (2 n- -); S consder la somma A - B: s effettua come (2 n - -A) + (2 n - -B) = (2 n )+ (2 n -)-(A+B). Il termne (2 n -)-(A+B) è la corretta rappresentazone n complemento d A-B; 2 n è un rporto n poszone n+. Il rsultato su n bt rsulta errato per dfetto d : la correzone s ottene sommando al rsultato mmedato della somma de due addend n complemento l rporto generato. Analogo dscorso s fa per la somma algebrca A-B; n termn general, per ottenere l rsultato corretto s sommano due numer n complemento a e po so somma ancora l rporto ottenuto (sa esso o )

9 La rappresentazone bnara de numer negatv 3. Rappresentazone n complemento a 2: n effett, è una rappresentazone n complemento a 2 n, coè alla confgurazone d un seguto da n : - B s rappresenta come 2 n - B. È ottenble o generando l complemento a e po sommando un n poszone meno sgnfcatva, oppure partendo dal bt meno sgnfcatvo e lascando nvarat tutt bt fno al prmo ncluso, po complementando tutt successv. ha una sola rappresentazone (soluzone asmmetrca). Se due numer sono ambedue postv, la somma A+B è corretta (a patto che l rsultato sa non superore a (2 n- -); S consder la somma A - B: s effettua come (2 n -A) + (2 n - B) = (2 n )+ (2 n - (A+B)). Il termne 2 n -(A+B) è la corretta rappresentazone n complemento d A-B; 2 n è un rporto n poszone n+. Il rsultato su n bt rsulta corretto, a parte d trascurare l rporto. Analogo dscorso s fa per la somma algebrca A-B. Rassumendo, con la rappresentazone n complemento a 2 la somma algebrca s rconduce sempre a una semplce somma

10 La rappresentazone bnara de numer negatv quando s rcorre alla rappresentazone n complemento, l eventuale superamento d capactà del valore ottenuto (traboccamento, overflow) non può pù essere segnalato dal bt d rporto dell addzone; per dentfcare tale stuazone (che potrebbe portare error) occorre consderare che: s può avere overflow solo se due addend hanno lo stesso segno; Nel caso d somma d due numer postv, l effetto del traboccamento porta a un rsultato l cu bt pù sgnfcatvo (n poszone n-esma) vale nvece che qund apparentemente a un rsultato negatvo; vceversa per la somma d due numer negatv. La segnalazone d traboccamento s ottene confrontando due bt pù sgnfcatv de due addend (che devono essere ugual) con quello del rsultato: se quest ultmo è dverso da prm due, s ha traboccamento

11 La somma d due numer nter A questo punto c s può concentrare genercamente sul crcuto addzonatore. Lo schema artmetco dell addzone porta a rlevare che n ogn poszone - esma (salvo che nella ) bt per bt s Sommano bt -esm de due addend e l eventuale rporto n ngresso c, concdente col rporto C - generato n poszone -; Generano un bt d somma s e un rporto n uscta C, che va alla somma de bt n poszone +; Quanto sopra s rpete dentcamente n ogn poszone; nella poszone manca l rporto n ngresso (o, l che è equvalente, lo s può consderare fsso a )

12 La somma d due numer nter S può ora pensare d realzzare due blocch elementar: Il prmo, detto Half-Adder (sem-sommatore) somma due bt a e b e genera un bt d somma s e un bt d rporto C: a b s C a b C HA s

13 La somma d due numer nter Il secondo, detto Full-Adder (sem-sommatore) somma tre bt a, b e c e genera un bt d somma s e un bt d rporto C : a b c s C a b C FA c s

14 La somma d due numer nter Componendo n cascata n- blocch FA (e ponendo un blocco HA nella poszone meno sgnfcatva) e nvando ordnatamente n ngresso a ogn la coppa d bt d uguale poszone de due addend, s realzza un dspostvo addzonatore del tpo a propagazone d rporto (Rpple-Carry)

15 Addzonatore a propagazone d rporto Archtettura: x n- y n- x y x y c n Full Adder c n- c 2 Full Adder c Full Adder c s n- s s Vantagg: estrema regolartà e localtà s presta molto bene al dsegno su slco; Svantaggo: è relatvamente lento: se τ è l tempo rchesto da un FA per produrre l rporto n uscta C, l rsultato complessvo sarà stable solo dopo che anche l FA n poszone n- ha rcevuto l rporto n ngresso, qund (nel caso pessmo) dopo n* τ untà d tempo

16 Addzonatore ad antcpazone d rporto Per mglorare la veloctà dell addzone: addzonatore carry-lookahead ( ad antcpazone d rporto ): In ogn poszone -esma, l rporto n uscta C derva da due component: Se due bt -esm degl addend sono ambedue, l rporto C vale ndpendentemente dal rporto c n ngresso è la componente generata G ; Perché l rporto n ngresso c venga propagato n uscta, basta che uno de due bt degl addend sa a : c è qund un termne d propagazone P = a + b C = G + P c

17 Addzonatore ad antcpazone d rporto S nota ora che c =C - = G - + P - c - = a b + (a - + b - ) c - Iterando, tutt rport C possono essere calcolat smultaneamente da altrettante ret combnatore funzon de sol bt de due addend da a ; l rtardo della somma è qund solo quello dovuto alla rete per creare l rporto sommato a quello propro del FA. Vantaggo: soluzone molto veloce e (n teora) ndpendente dal numero d bt; Svantagg: crcuto molto pù complesso, s sono perse regolartà e localtà

18 Addzonatore a propagazone d rporto x n- y n- x y c n Carry Look-Ahead Logc c x n- y n- c n- x y x y c Full Adder Full Adder Full Adder s n- s s