Tracce di soluzioni di alcuni esercizi di matematica 1 - gruppo 42-57

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1 Tracce di soluzioi di alcui esercizi di matematica - gruppo Limiti di successioi Soluzioe dell Esercizio 42.. Osserviamo che a = a +6 e duque la successioe prede valori i {a,..., a 6 } e ciascu valore è ripetuto ifiite volte. Segue che l isieme limite della successioe è {a,..., a 6 } = {0, ± 3/2}. 3. Osserviamo che si [, ] e duque l iisieme dei puti limite di c sarà coteuto i quell itervallo. Mostriamo che i realtà coicide co quell itervallo. Fissiamo α [, ]. Chiaramete esiste t tale che α = si t. Per l esercizio 9 risulta che per ogi k esistoo k e m k tali che t /k k + 2πm k t ioltre si possoo scegliere k, m k i modo che la successioe k k N risulti crescete. Osserviamo che e duque otteiamo che si t si k + 2πm k t k 2πm k /k si k = si k + 2πm k si t = α per k + 2. Osserviamo che b [0, ] e duque l isieme dei puti limite di b è coteuto i [0, ]. Mostriamo che tale isieme coicide co [0, ]. Osserviamo iazitutto che 0 appartiee all isieme limite. Ifatti si oti che l+ l = l+/ 0. Duque per ogi ε > 0 esiste u ε tale che l + l ε per > ε. Ora preso il più piccolo itero, maggiore di ε tale che [l ] > [l ε ] si ha che l l < ε [l ] = [l ε ] < [l ] Dalla secoda disuguagliaza si ricava che l < [l ] < l per cui dalla prima ricaviamo che b < ε. Ora mostriamo che l isieme dei puti limite di b è l itervallo chiuso [0, ]. Poiché b [0, ] per ogi segue che chiaramete l isieme dei puti limite è coteuto i [0, ]. Del resto sia t [0, ] e mostriamo che per ogi ε > 0 esistoo ifiiti b [t ε, t + ε]. Ifatti fissato b [0, ε] che possiamo fissare i ifiiti modi si cosideri k tale che kb < t k + b Osserviamo che t kb b ε, duque è sufficiete dimostrare che kb = b k. Ifatti k l = l k, duque è sufficiete dimostrare che k[l ] = [k l ]. Perché quest ultima uguagliaza sia vera è ecessario e sufficiete che k[l ] k l < k[l ] + ovvero che 0 kb <. La prima disuguagliaza è ovvia. Per quato riguarda la secoda basta otare che kb < t. Soluzioe dell Esercizio 43.

2 .Poichè e a = a k /k! risulta per a > 0 Del resto per 0 < a < si ha e a a = lim + k>2 E duque per 0 < a < ricaviamo e a > a a k /k! 0 < ea a lim + k=2 a a a k = / a Sia ora a ua successioe positiva covergete a 0. Allora defiitivamete 0 < a <. Duque otteiamo 0 < ea a a a e duque per + si ha ea a. Cosideriamo il caso di ua successioe a segi alteri. Osserviamo che valgoo le segueti disuguagliaze e a e a a ea e a a a i realtà se a > 0 la secoda è u uguagliaza metre se a è egativo la prima è u uguagliaza. Per il teorema dei Carabiieri si coclude. 2. Dato π/2 > x > 0 vale la seguete disuguagliaza geometrica Da cui ricaviamo se a è positivo si x < x < ta x a / si a / cos a Acora si coclude applicado il teorema dei carabiieri. Il caso geerico segue dal fatto che si a = si a. a a 3. Si osservi che e cos a per a 0. ta a a = si a a cos a Soluzioe dell Esercizio 44. Si osservi che l a b = l b / l a Ora + 2 l b = l e/ = / 2 + l + / Ora detto u = l + / risulta che u 0 e / = e u. Per il precedete esercizio u / 2

3 da cui segue facilmete che l b /. Del resto l a = l + = l + l + / + e duque segue che l a /2 l. Segue duque che a = 2, b =, c =. Soluzioe dell Esercizio 45.. Osserviamo che = = Ora il secodo addedo del membro a destra lo possiamo scrivere come / e l+/+/ = / l + / + / el+/+/ l + / + / e duque il secodo termie tede a e duque il limite che dobbiamo calcolare è uguale al limite della successioe + a l + = / a l + Ora / = e l / e duque / /l /. Poiché / a l = l / /l / a l Segue che se a > il limite è, metre se a < il limite è +. Rimae da studiare il caso a = ovvero il limite di e l / l / + Ora utilizzado il fatto che e a = + j=0 e duque l espressioe i tede a per Basta osservare che a j /j! segue che e l / l / /2l / Per il teorema dei carabiieri il limite della successioe è 2. Soluzioe dell Esercizio 46. Siao x < y puti limite e si fissi ua suddivisioe dell itervallo [x, y] i itervallii di lughezza al più ε co ε umero positivo arbitrario. Dimostriamo che esistoo arbitrariamete gradi tali che t giace i ciascuo di tali itervallii ovvero per ogi itervallio I e per ogi N, esiste > N tale che t I. Questa affermazioe implica immediatamete che il segmeto [x, y] è tutto coteuto ell isieme dei puti limite di t. I particolare segue facilmete che l isieme dei puti limite è u itervallo magari ifiito o ridotto ad u solo puto. Dimostriamo duque l affermazioe fatta. Siao [x, s ], [s, s 2 ],..., [s, y] gli itervallii che compogoo la suddivisioe fissata di [x, y] ciascuo di lughezza al più ε. Sia η > 0 la miima lughezza di questi itervallii. A meo di sostituire N co u umero più grade, possiamo supporre che u η per ogi > N. Sia ora 3

4 > N tale che y t < η tale esiste perché y è u puto limite e sia 2 > tale che x t 2 η. Affermo che per ogi k esiste u {, +,..., 2 } tale che t [s k, s k+ ]. Suppoiamo per assurdo che esista k tale che essuo dei t co 2 appartiee a [s k, s k+ ]. Mostriamo per iduzioe che t > s k per ogi =,..., 2 : ifatti t > s k per ipotesi. Se t > s k allora t > s k+ i quato t / [s k, s k+ ] per ipotesi di assurdo e duque siccome per ipotesi t + > t + u si ha t + > s k+ u > s k+ η s k. I particolare segue che t 2 > s k ma questo è assurdo i quato x t 2 < η e s k > x + η. Soluzioe dell Esercizio 47. Fissiamo N tale che x εb a x + εb per ogi > N. Per > N risulta allora Ora si ha a a b b a a N b b b N b b b = + x + ε b N b b b. b b N b N b + siccome b N b + per + si ha che il membro a destra tede a x + ε. Segue che lim sup a a x + ε. Aalogamete si mostra che b b lim if x ε. Data l arbitrarietà di ε segue che lim if = lim sup = x. Soluzioe dell Esercizio 48. Fissato ε > 0 esiste tale che per >. I particolare segue che x ε a + a b + b x + ε a + a +x+εb + b a +x+εb + b... a +x+εb + b I particolare si ottiee che a a + x + εb b per ogi >. Dividedo per b e facedo tedere a + si deduce che lim sup a /b x + ε Aalogamete si deduce che lim if x ε e per l arbitrarietà di ε segue che lim if = lim sup = x. Se le successioi b e a soo ifiitesime, ragioado come sopra otteiamo che Facedo tedere b a 0 si ottiee x εb b a a x + εb b x εb a x + εb osserviamo che b è formata da umeri egativi, i quato crescete e tedete a 0 e duque dividedo per b si ottiee per l arbitrarietà di si coclude. x ε a /b x + ε Soluzioe dell Esercizio 49. Osserviamo che a, b > 0 per ogi. Duque possiamo porre u = a /b. Si ha che u è defiito dall equazioe u + = 2u + u + 4 u =

5 Ora la fuzioe ft = t + 2t + ha due uici puti fissi che soo ±/ 2. Duque se u coverge allora il limite e / 2 ifatti u 0. Posto α = 2/2 e t > 0 risulta ft α = t + 2t + α + 2α + = α t = < t α /α + 2t + α + Duque per ogi valore iiziale u > 0 si ha che il limite di u è α. Soluzioe dell Esercizio 50. Se x coverge a L allora L = /2L + a/l ovvero L = ±a. Poiché x > 0 allora l uico possibile limite è a. Distiguiamo due casi a > e a <. Se a > per iduzioe si mostra che a < x + < x. Ifatti se per ipotesi iduttiva a < x allora a/x < x. Poichè x + è la media aritmetica tra x e a/x, risulta x + < x. Del resto dalla disuguagliaza α + β > αβ risulta che 2 x + > a. Nel caso a < risulta x = 2 + a > a e duque come prima si mostra che x è decrescete. Soluzioe dell Esercizio 5. Cosideriamo prima la successioe x. Essedo l equazioe lieare risulta che x = a 0 + 2a /3 + 2/3a 0 a /2 e duque x a 0 + 2a /3. Per quato riguarda y si poga ζ = l y. Allora si vede che ζ +2 = 2 ζ + ζ + Duque ζ l y l y /3 ovvero y y 0 y 2 /3. Soluzioe dell Esercizio 52. Cosideriamo la successioe dei resti dell algoritmo di Euclide a = bq + r b = r q 2 + r 2 r = r 2 q 3 + r 3... r N 2 = r N q N + 0. Posto r 0 = b, r = a e x i = r N i risulta che x i+2 = x i+ q N i + x i x i+ + x ifatti q i. Duque per iduzioe si può facilmete mostrare che x i f i. Poichè a = x N+ e b = x N risulta a f N+ e b f N. Soluzioe dell Esercizio 53. L uico puto fisso positivo della fuzioe 2 + t è 2. ioltre si mostra facilmete che 2 + t = e duque ogi orbita positiva coverge a t t + 2 t 2 /2 / Soluzioe dell Esercizio 54. Osserviamo che se ua tra a e b coverge allora coverge ache l altra allo stesso limite. Ifatti si ha b = a /x /2. Ora mostriamo 5

6 che tali successioi ammettoo limite. Distiguiamo due casi x > o x < il caso x = è baale. Se x > si mostra facilmete che a è decrescete e limitata dal basso da 0. Ifatti si ha a + = 2 + x + = 2 + x = 2 + x x + = 2 x + a Poichè x > per ogi si deduce che a + < a. Ora se x < si ripete lo stesso ragioameto applicato alla successioe b. ϕ = 0 segue baalmete dalla defiizioe. La proprietà ϕxy = ϕx + ϕy segue dal fatto che a xy = 2 xy /2 = 2 x /2 y /2 + 2 x /2 = x /2 a y+a x. La mootoia di ϕ è chiara se < x < y. Ioltre se x < < y allora ϕx < 0 < ϕy. Ifie poichè ϕ/x = ϕx si ha che ϕx < ϕy ache se x < y <. Soluzioe dell Esercizio 55. Per iduzioe su si mostra che I è formato da 2 itervallii di lughezza 3 e che I + I. Il caso = 0 è baale. Per il passo iduttivo si oti che l isieme I [0, ] e i duque l isieme /3I è coteuto i [0, /3] metre l isieme 2/3 + /3I è coteuto i [2/3, ]. I particolare tali isiemi soo disgiuti. Si oti che etrambi soo formati da 2 itervallii di lughezza 3 /3 = 3 +. Duque gli itervallii che formao I + soo esattamete = 2 +. Ora per ipotesi iduttiva I I e duque /3I /3I metre 2/3 + /3I 2/3 + /3/I. Segue che I + I. Raffiado u po l argometo si può mostrare che ogi itervallio J di I cotiee esattamete due itervallii J ± di I + che soo otteuti dividedo J i tre parti e scartado la parte cetrale. I particolare fissata ua fuzioe ϕ : N {, } possiamo costruire ua successioe di itervallii J 0 f J f J 2 f... J f... tali che J i è u itervallio di I i, e J i+ è l itervallio siistro di I i+ J i se fi = ed è l itervallio destro altrimeti. Osserviamo che l itersezioe dei J i è l isieme formato da u solo umero che idichiamo co xf. Chiaramete xf C. Del resto o è difficile mostrare che la mappa f xf stabilisce ua biezioe tra le fuzioi da N i {, } e l isieme C. Duque C ha la cardialità delle parti di N. Ora si può mostrare per iduzioe che l estremo siistro dell itervallio J f è il umero x f = fi + 3 i Duque poichè x f xf si ha xf = + e duque ogi umero di C si esprime co fi + 3 i a i 3 i co a i {0, 2}. Vicerversa dato u umero x esprimibile i quella forma allora, posto fi = a i+ risulta che x = lim x f = xf. + Soluzioe dell Esercizio 56. Si oti che se a i {0,, 2} allora a i /3 i 2/3 i e duque a i /3 i 2 /3 i =. 6

7 Per mostrare la suriettività di ϕ, dato x [0, ] si costruisce ua successioe di itervalli J J 2... tali che. La lughezza di J i è 3 i 2. x J i per ogi i. Ifatti si costruisce la successioe per iduzioe su i. Si divide J i i 3 segmeti uguali e si poe J i+ uo di tali segmeti coteeti x. Ora posto y i l estremo siistro dell itervallo J i risulta che y 0 = 0 e y i+ = y i + a i+ 3 i+ dove a i+ {0,, 2}. Segue che y = a i 3 i. Poichè y x si ha che x = a i 3 i. Si osservi che la successioe dei J i è completamete determiata da x a meo che x o risulti essere u estremo di u itervallio J i per qualche i. Ifatti sia i 0 il primo i per cui ciò accade. Si oti allora che divideto J i0 i tre itervallii, il puto x cade esattamete i due di essi. Fissato però J i0 i rimaeti soo determiati. Segue che i puti tali che #ϕ y > soo i puti diversi da 0 che ammettoo uo sviluppo i base tre fiito ovvero y = y per qualche e i effetti #ϕ y = 2. Ciò corrispode all uguagliaza a /3 + a 2 / a /3 = a /3 + a 2 / a /3 + 2/ / / Ora la mappa L C è surgettiva per il precedete esercizio. Per fiire osserviamo che dato u umero x C, se esso ha sviluppo i base tre fiito x = a / a /3 co a i {0, 2} e a = 2 allora ϕ x è formato dalle successioi a,..., a, 2, 0, 0, 0,... a,..., a,, 2, 2, 2, 2,... Ora la secoda successioe o appartiee a L e duque ache i questo caso #ϕ x L =. Questo mostra l iiettività della restrizioe di ϕ a L. Soluzioe dell Esercizio 57. Se a 0 < 0 è facile verificare che lim x =. Se a 0 > allora x = fa 0 < 0 e aalogamete si prova che lim x =. Ora mostriamo per iduzioe su che f I = I + Ifatti fx I se e solo se o x < /2 e 3x I oppure se x > /2 e 3/2 3x I. La prima codizioe è equivalete a x /3I metre la secoda codizioe è equivalete a x /3I = /32 + I. Ora utilizzado la defiizioe di I si mostra facilmete che I = I e duque si coclude che fx I se e solo se x /3I 2/3 + /3I = I + Ora segue che se x C allora x I i+ per ogi i e duque fx I i per ogi i ovvero fx C. Viceversa se x / C allora x / I k per qualche k e duque fx / I k ffx / I k 2... f k x / I 0 e duque poichè per > k si ha x = f x = f k x k segue che lim x =. 7

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