Algebra e Logica Matematica. Calcolo delle proposizioni Logica del primo ordine

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1 Università di Bergamo Anno accademico Ingegneria Informatica Foglio Algebra e Logica Matematica Calcolo delle proposizioni Logica del primo ordine Esercizio.. Costruire le tavole di verità per le seguenti forme enunciative: ) ((A B) ( A)) 2) ((A (B C)) ((A B) (A C))) 3) ((A B) A) 4) ((A ( C)) B). Esercizio.2. a) Togliere le parentesi superflue nelle forme enunciative di sopra. b) Rimettere le parentesi alle forme ) C (A C) A B 2) C A A A B. Esercizio.3. Verificare se le seguenti espressioni sono tautologie: ) (((A B) B) B) 2) ((A B) (A (B A))) 3) ((A B) (A B)). Esercizio.4. Dimostrare (e ricordare!!!) l equivalenza tra le seguenti coppie di forme enunciative: ) (A B) e A B 2) (A B) e A B 3) A (B C) e (A B) (A C) 4) A (B C) e (A B) (A C)

2 5) A B e A B 6) A B e (A B) Possiamo dare come definizione di che vale la seguente equivalenza: 7) A B e (A B) (B A) Esercizio.5. Trovare una forma enunciativa logicamente equivalente alla negazione di (A B) A ( C A C) in cui le negazioni si applicano solo a A, B e C. Esercizio.6. Dimostrare la verità o la falsità delle seguenti affermazioni ) (A B) implica logicamente (A B) 2) ( A B) implica logicamente ( B A) Esercizio.7. ) Scrivere la tavola di verità della formula (A B) (C B A) e scrivere una formula ad essa equivalente, usando solo i connettori,,. 2) Questa formula è conseguenza semantica di {A, B}? 3) Questa formula si può dedurre da {A, B} nel sistema naturale? Esercizio.8. Trovare una formula enunciativa coi connettori, e che abbia come funzione di verità: A A 2 A 3 f(a, A 2, A 3 ) Dire se esiste una deduzione e giustificare la risposta. A A 2 f(a, A 2, A 3 ) Esercizio.9. Dimostrare facendo uso del teorema di deduzione che A (B C), B A C. Rifare la dimostrazione senza usare il teorema di deduzione. 2

3 Esercizio.0. Date le frasi: ) Se Alberto ha ucciso Giuseppe o Berta ha visto Chiara, allora Damiano era in discoteca o Fabiano è complice 2) Se Alberto ha ucciso Giuseppe, allora Damiano non era in discoteca 3) Fabiano è complice o Alberto non ha ucciso Giuseppe Dimostrare che dalle formule che rappresentano e 2 si può in L dedurre 3. Esercizio.. Dimostrare che: ) ( A A) A 2) A B, B C A C 3) A (B C) B (A C) 4) A (B C) A B C (osservazione: questo spiega l implicazione del??) 5) ( B A) (A B) 6) ( A B) ( B A) dove A, B, C sono f.b.f. Osservazione: la formula?? è una delle varianti della dimostrazione per assurdo mentre la?? è la dimostrazione per contrapposizione. Esercizio.2. Identificare le occorrenze libere e vincolate delle variabili nelle seguenti forme enunciative: ) x (A (x ) A 2(x )) A (x 2 ) 2) x (A (x ) A 2(x ) A (x 2 )) ( ( x 3) x 3 A 2 (x, x 2 ) ) ) A 2 (x 3, a ) 4) x 2 A 2 (x 3, x 2 ) x 3 A 2 (x 3, x 2 ) ( 5) x 2 x A( 3 x, x 2, f 2 (x, x 2 ) )) ( x A 2 x2, f (x ) ) Esercizio.3. Scrivere la forma normale prenessa per le seguenti formule: ) x A 2 (x, x 2 ) x 3 (A 2 2(x, x 3 ) x 2 A 2 (x 2, x 3 )) ( y zc(x, 2) x( y, z) A (x) ) ) xa (x) 3

4 3) A 2 (x, x 2 ) x 3 (A 2 (f 2 (x, x 3 ), f 2 (x 2, x 3 ))) 4) x A 2 (f 2 (x, x 2 ), x 2 ) x 2 (A 2 (x 2 ) x A 2 2(x, x 2 )) 5) ( x A 2 (x, x 2 ) A (x 2 )) x 2 ( A 2 (x, x 2 ) x 3 A 2 2(x 2, x 3 )) Esercizio.4. Determinare le occorrenze libere e vincolate delle variabili e portare in forma normale prenessa la seguenti formule: ) ( x 2 A (x 2 ) x 2 A 2 (x, x 2 )) A 2 2(x, x 2 ) 2) x (A 2 (x, x 2 ) A (x )) x 3 (A (x 3 ) A 2 (x, x 3 )) Esercizio.5. Verificare che la formula x ya(x, y) y xa(x, y) (V) è logicamente valida. È un teorema per K? Trovare almeno un interpretazione in cui la formula (??) sia vera mentre la formula y xa(x, y) x ya(x, y) (F) non lo è. Nell interpretazione data, la formula (??) è falsa? Esercizio.6. ) Con la lettera predicativa A 2 interpretata come, esprimere i concetti c è un minimo e non c è un massimo. 2) Con la lettera predicativa A 2 interpretata come =, la lettera funzionale f 2 interpretata come il prodotto e la costante a interpretata come, esprimere il concetto x è primo. Esercizio.7. Usando la lettera predicativa A 2 per l uguaglianza e le lettere funzionali f 2 (risp. f 2 2 ) per (risp. ), specificare un insieme di assiomi propri atti a definire la teoria dei reticoli. Quali delle seguenti formule sono teoremi della teoria? ) A 2 (x, f(x, x)) 2) x ya 2 (x, f 2 (x, y)) 3) x ya 2 (x, f 2 (x, y)) 4) A 2 (x, f 2 (x, y)) A 2 (y, f 2 2 (y, x)) Mettere sotto forma di formule del primo ordine i seguenti enunciati: 5) Se un reticolo ha elemento 0, questo elemento è unico. 4

5 6) Se un reticolo ha 0 ed, ed un elemento del reticolo ammette complemento, questo complemento è unico. Per ognuna delle suddette frasi, si dica se si tratta o no di un teorema, e nel caso negativo se la frase è soddisfacibile o falsa. Esercizio.8. Consideriamo la formula A 2 (x, y) z(a 2 (x, z) A 2 (z, y)). Supponendo di considerare N come dominio e la lettera predicativa A 2 in modo tale che la formula atomica A 2 (x, y) sia x < y, dire se tale formula è vera, falsa o soddisfacibile nell interpretazione considerata. Scrivere poi un interpretazione in cui la formula è vera. Scrivere la chiusura della formula e dire se è vera o falsa nelle due interpretazioni di cui sopra. Esercizio.9. Determinare le occorrenze libere e vincolate delle variabili nella formula ( x 2 A (x 2 ) x 2 A 2 (x, x 2 )) A 2 2(x, x 2 ) e dire se il termine x 2 è libero per x. Portare la formula in forma normale prenessa. Esercizio.20. Dopo aver provato che (A C) (A B) (B C) è una tautologia, mostrare che la formula del primo ordine (A 2 (x, y) A (x)) ( (A 2 (x, y) ya 2 (y, x)) ( ya 2 (y, x) A (x)) ) è logicamente valida. Portare la formula in forma normale prenessa. Esercizio.2. Si scriva in un linguaggio del primo ordine la seguente frase come formula chiusa: In un insieme D con una legge di composizione interna binaria, il quadrato della composizione di due qualsiasi elementi coincide con la composizione dei loro quadrati se e solo se la legge di composizione è commutativa. Tale formula è vera? Esercizio.22. Mostrare che ya (y) A 2(y) A 3(y) implica, ma non è logicamente equivalente a ( ya (y) A 3(y) ) ( ya 2(y) A 3(y) ) 5

6 Mostrare che y(a (y) A 2(y)) A 3(y) è logicamente equivalente a ( ya (y) A 3(y) ) ( ya 2(y) A 3(y) ) Interpretazione: siano tre insiemi X, Y, Z. Il dominio è l insieme Y. Sia ρ una relazione tra X e Y e siano σ, τ relazioni tra Y e Z, allora per un x X e un z Z dati, A (y) significa (x, y) σ, A 2(y, z) (risp. A 3(y, z)) significa (y, z) σ (risp. τ). Confrontare con la dimostrazione dell esercizio.5. Esercizio.23. Si considerino le seguenti fbf: ) xp (x, x) 2) x y(p (x, y) P (y, x)) 3) x y z(p (x, y) P (y, z) P (x, z)) Mostrare che nessuna è conseguenza semantica delle altre due. (Suggerimento: trovare delle interpretazioni in cui due sono vere e la terza no). Esercizio.24. Sia data l interpretazione seguente: il dominio è N e A(n, m) significa n m e B(n, m, p) significa n + m = p. Dire quali delle seguenti formule sono vere nell interpretazione: a) x y z(b(x, y, z) B(y, x, z)) b) x y(b(x, x, y) B(y, x, y)) c) x y(a(x, y) B(y, x, y)) d) x ya(x, y) xb(x, x, e)) e) x yb(x, y, x) f) x ya(x, y) g) x ya(x, y) h) x y A(x, y) y A(y, e) Esercizio.25. Trasformare le seguenti formule ben formate in forma di Skolem: a) y( xa(x, y) B(y, x)) y( xc(x, y) B(x, y)) b) x y zd(x, y, z) x ya(x, y) x yb(x, y) 6

7 c) ( x ya(x, y) x yb(x, y)) x yb(y, x) Esercizio.26. Scrivere una tautologia P tale che la skolemizzata di P (P S ) non sia una tautologia. Esercizio.27. Dimostrare in un sistema deduttivo che a) xp (x) yp (y) b) xp (x) x P (x) c) x P (x) xp (x) d) xp (x) x P (x) e) x P (x) xp (x) f) xp (x) x P (x) g) x P (x) xp (x) h) xyp (x) yxp (x) i) yxp (x) xyp (x) Nei tre ultimi casi, si suppone che x non è una variabile libera di Q. j) x(p (x) Q) xp (x) Q k) x(q P (x)) (Q xp (x)) l) (Q xp (x)) x(q P (x)) Esercizio.28. Provare che la fbf xp (x, f(x)) y P (y, y) uvw((p (u, v) P (v, w)) P (u, w)) è soddisfacibile ma non possiede un modello con dominio finito. Esercizio.29. a) Mostrare che {A(a), A(b)} è soddisfacibile in un interpretazione se e solo se il suo dominio contiene almeno due elementi. b) Trovare un insieme di fbf soddisfacibile in un interpretazione se e solo se il suo dominio contiene almeno tre elementi. Esercizio.30. Siano n N con n > e P n e Q n le seguenti fbf: P n è x...x n x i x j Mostrare che i j Q n è x 0...x n x i = x j ) I modelli di P n sono tutte le interpretazioni di cui il dominio ha al meno n elementi. 2) I modelli di Q n sono tutte le interpretazioni di cui il dominio ha al massimo n elementi. 3) I modelli di {P n, Q n } sono tutte le interpretazioni di cui il dominio ha esattamente n elementi. 4) I modelli di {P n /n > } sono tutte le interpretazioni di cui il dominio ha un numero infinito di elementi. i j 7

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