1, v 3 = 1. A che spazio. 7. Sapresti trovare esplicitamente una loro combinazione lineare che fa 0? Sapresti trovarle tutte?

Transcript

1 Esercii Esercii. Se v, v 2, v 3 sono linearmente indipendenti, allora v e v 2 sono linearmente indipendenti: vero o falso? 2. Se v, v 2, v 3 sono linearmente dipendenti, allora v e v 2 sono linearmente dipendenti: vero o falso? 3. Sia A Mat 3 4 (R). Di quale spaio vettoriale è un sottospaio ker A? 4. E Im A?. Considera i vettori v =, v 2 = vettoriale appartengono?, v 3 =. A che spaio 6. Sono linearmente indipendenti? 7. Sapresti trovare esplicitamente una loro combinaione lineare che fa? Sapresti trovarle tutte? 8. Considera { 2 : v + v v 3 = } (con v, v 2, v 3 come definiti sopra). È uno spaio vettoriale? Sapresti scriverlo come span di un vettore? Come span di due vettori distinti? Trovarne una base? 9. Considera l insieme di vettori T = { y : = + y}. Si tratta di un sottospaio vettoriale? È il kernel di quale matrice?. Considera l insieme di vettori T 2 = { y : = y + }. Si tratta di un sottospaio vettoriale?. Considera l insieme di vettori T 3 = { y : = y}. Si tratta di un sottospaio vettoriale?

2 Esercii 2 2. In quanti modi puoi prendere una stringa dalla prima colonna e uno dalla seconda e combinarle in modo che il risultato sia un espressione sensata? (per esempio: una base di uno spaio vettoriale ha senso, una base di un vettore no). Una base Un vettore Lo spaio delle colonne Un insieme di generatori di una matrice A di un sottospaio di uno spaio vettoriale di un vettore Quelli seguenti sono esercii di carattere più teorico, e quindi anche un pochino più difficili. 3. Dimostrare direttamente (=sena appellarsi al teorema che dice che riducendo a scala ] la matrice ] formata dalle colonne una base corrisponde ai pivot) che {, } è una base di R Sia U due sottospai vettoriali (su un campo K) e V, W U due suoi sottospai. V W (interseione di V e W, elementi comuni a entrambi) è un sottospaio vettoriale?. V W (unione di V e W ) è un sottospaio vettoriale? 6. L insieme {av + bw : a, b K, v V, w W } è un sottospaio vettoriale? 7. L insieme delle successioni C = (,, 2,... ) (per esempio, la successione dei numeri di Fibonacci (,,, 2, 3,,... ) è un elemento di C) è uno spaio vettoriale? 8. Dimostra che per ogni n N, è possibile trovare n elementi di C linearmente indipendenti. In altre parole, C ha dimensione infinita. 9. Che dimensione ha il sottospaio di C fatto dalle soluioni della ricorrena lineare k+ = k + k, k?

3 2 Soluioni 3 2 Soluioni. Vero: se non esiste una terna, 2, tale che v + v v 3 =, allora non esiste neppure una terna con =. ] ] ] 2 2. Falso: per esempio,,, sono linearmente dipendenti (per ] ] ché?), ma 3. Di R Di R 3. 2, 7. A R 3 (o a Q 3, C 3... ). sono linearmente indipendenti. 6. Per saperlo, costruiamo la matrice che li ha come colonne e riduciamola a scala: vengono due pivot, quindi sono lineamente dipendenti. 7. Sì, basta trovare le soluioni generiche del sistema lineare =, che sono S = { : R}. 8. È di nuovo S. Sì, è uno spaio vettoriale (è ker ). È 2 anche span{ }. Oppure volendo span{, 2 }. { } (insieme 2 formato da un vettore solo) è una sua base. 9. Sì (si possono verificare le proprietà).. No. Per esempio, non contiene lo ero.. No. Questa volta contiene lo ero, ma è semplice trovare esempi di vettori v, v 2 tali che v, v 2 T 3 ma v + v 2 T 3.

4 2 Soluioni 4 2. A me vengono le seguenti (ma magari dimentico qualcosa): Una base di uno spaio vettoriale Una base di un sottospaio Lo spaio delle colonne di una matrice A Un insieme di generatori di un sottospaio Un insieme di generatori di uno spaio vettoriale Un sottospaio di uno spaio vettoriale Un sottospaio di un sottospaio Un vettore di un sottospaio (non molto elegante, meglio appartenente a un sottospaio). ] + y 3. Una combinaione lineare generica dei due vettori è per, y y R. Per ] dimostrare che i due vettori generano] R 2 : per generare il vettore b, b 2 basta prendere = b +b 2, y = b b Per dimostrare che sono indipendenti, basta dire che l unica soluione di + y =, y = è = y =. 4. Sì: dobbiamo verificare le due proprietà: () se v V W, allora è vero che av V W (per ogni a K)? Sì: l ipotesi significa che v V e v W, ma allora av V e av W, che vuol dire av V W. (2) se v, v 2 V W, allora v, v 2 V e allora v, v 2 W, quindi.... No (in generale): l abbiamo già visto in un esempio, l unione di due rette non è un sottospaio vettoriale. In generale, se v V e w W, nulla ci garantisce che v + w appartenga a uno dei due spai. Controesempio esplicito: V = span appartiene né a V né a W. ( ]), V = span ( 6. Sì: è lo span di (spaio vettoriale generato da) tutti i vettori di V W. Potete anche verificare direttamente le due proprietà. 7. Sì: potete sommarle e moltiplicarle per un numero, e il risultato è un altra sequena infinita. Tutte le proprietà di queste operaioni sono verificate. ]), ] + ] non

5 2 Soluioni 8. Chiamiamo s (k) la successione tale che s (k) se i = k i = altrimenti. In altre parole, s () = (,,,,... ), s (2) = (,,,,... ), s (3) = (,,,,... ), e così via. Come è fatta una generica combinaione lineare degli s (k)? L unica possibilità perché sia nulla è che tutti i coefficienti siano. 9. Dimensione 2: difatti, come avete visto lo scorso semestre, le due successioni a k = ( + ) k 2 e bk = ( ) k 2 lo generano e sono indipendenti. I numeri di Fibonacci sono una combinaione lineare di a k e b k (con quali coefficienti?).