STATISTICA A.A. 2014/2015

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1 STATISTICA A.A. 2014/2015 Testo di riferimento: Maria Garretto, Statistica, Quaderni didattici dell Università di Torino, Scaricabile dal sito: serva/teaching/quaderno statistica.pdf Docente: Maurizio Serva serva/teaching/teaching.html

2 Scopo della statistica: raccogliere dati derivanti da esperimenti o indagini, organizzarli e descriverli e fare delle previsioni. Statistica descrittiva: raccogliere dati, organizzarli descriverli. Statistica inferenziale: trarre conclusioni e fare previsioni. Per poter trarre conclusioni sensate dai dati spesso occorre formulare delle assunzioni sulle probabilità di ottenere ciascun valore. L insieme di queste assunzioni prende il nome di Modello probabilistico. Necessaria quindi la Teoria della Probabilità.

3 POPOLAZIONE E CAMPIONI In statistica ci interessa avere informazioni su tutto un insieme di elementi che definiamo Popolazione. Esempio: I residenti del Comune di Rieti sono , quindi la popolazione è composta di individui (elementi). Problema: Quanti abitanti sono favorevoli alla costruzione di una metropolitana? La popolazione è troppo numerosa per intervistare tutti. Strategia: si decide di intervistare residenti per avere una informazione parziale. Definiamo Campione: il sottoinsieme della popolazione che viene intervistato.

4 La nozione di popolazione va intesa in senso lato. Supponiamo ad esempio di voler misurare la concentrazione di polveri sottili (PM10) nelle strade e nelle piazze del comune di L Aquila in un certo istante. In questo caso la popolazione è costituita da tutte le strade e piazze della superficie comunale. Scegliere un campione significa selezionare alcune strade e piazze in cui piazzare dei rilevatori. Si tenga presente che il campione può coincidere con l intera popolazione.

5 Il campione va scelto in modo che sia rappresentativo. Scelte sbagliate: abitanti del centro abitanti di uno stesso quartiere ecc... Non è corretto neanche scegliere intenzionalmente il campione in modo che esso contenga tutti i tipi di individui: la stessa percentuale di uomini e donne, lavoratori di tutti i tipi (muratori, funzionari, impiegati...), abitanti di ogni quartiere, ecc. La metodologia corretta prevede la scelta di un campione casuale. Esempio: Estrarre 1000 palline da un urna che ne contiene Le metodologie per la scelta di un campione rappresentativo sono un vasto campo di ricerca.

6 STATISTICA DESCRITTIVA Obiettivo: presentare in modo sintetico attraverso tabelle, grafici, medie, varianze o altre forme di sintesi i risultati di una ricerca, indagine, sondaggio... in modo da poter notare facilmente le caratteristiche essenziali dei dati raccolti. I dati si possono riferire ad una o più quantità misurate dette variabili. Variabili numeriche (quantitative) possono essere discrete o continue. Variabili categoriche (qualitative) tutte le altre.

7 ESEMPIO DI VARIABILE CATEGORICHE In uno stabilimento vengono registrati i casi di malfunzionamento di una macchina utensile e le loro cause. Si fanno 48 osservazioni e si rilevano i seguenti dati: Fluttuazioni di tensione 6 Instabilita del sistema di controllo 22 Errore dell operatore 13 Strumento usurato e non sostituito 2 Altre cause 5 In questo caso la causa del malfunzionamento è una variabile categorica (Fluttuazioni di tensione, instabilita del sistema di controllo,...).

8 ESEMPIO DI VARIABILE NUMERICA DISCRETA Il padrone di una pizzeria rileva i giorni in cui i suoi 10 dipendenti si sono assentati dal lavoro per malattia nelle ultime 6 settimane. Antonio 2, Cinzia 2, Dario 1, Elena 4, Francesco 10, Rita 0, Renato 5, Pasquale 8, Anna 0, Maria 0 Questo è un esempio di variabile numerica discreta (=giorni di assenza per malattia) rilevata in 10 osservazioni. I dati relativi ad una variabile numerica si presentano quindi come una successione x 1, x 2,... x n di valori della variabile ottenuti in n rilevazioni. Nell esempio n = 10 e x 1 = 2, x 2 = 2, x 3 = 1,... x 10 = 0

9 ESEMPIO DI VARIABILE NUMERICA CONTINUA La rilevazione della temperatura massima (in gradi centigradi) fatta a Roma il 1 agosto per 10 anni ha dato i seguenti risultati: , 31.3, 22.6, 27.5, 29.4, 24.5, 27.8, 33.2, 22.8 Questo è un esempio di variabile numerica continua: i valori sono numeri reali.

10 Riassumendo: Indichiamo gli n valori osservati di una variabile numerica con x 1, x 2,, x 3,, x n La variabile è discreta se le x i possono assumere soltanto alcuni valori e non quelli intermedi: ad esempio soltanto valori interi. La variabile è continua se le x i possono assumere con continuità valori reali. Quando si raccolgono i dati da una popolazione o da un campione i valori ottenuti si presentano come un insieme di valori disordinati che vengono chiamati dati grezzi. I dati grezzi non forniscono una informazione leggibile: bisogna ordinarli ed organizzarli in modo da evidenziare le loro caratteristiche. A questo scopo si costruiscono tabelle e grafici.

11 STATISTICA DESCRITTIVA: VARIABILI DISCRETE Riprendiamo l esempio della pizzeria I dati sono numeri interi e sono pochi e vanno dal minimo 0 al massimo 10. Li rappresentiamo in una tabella delle frequenze che affianca ad ogni valore distinto la rispettiva frequenza di occorrenza. Frequenza assoluta = numero di occorrenze di un dato valore. Conviene ordinare i dati in ordine crescente

12 0, 0, 0, 1, 2, 2, 4, 5, 8, 10 Valore Frequenza assoluta TOTALE 10

13 Frequenza relativa = frequenza assoluta numero di osservazioni Valore Frequenza assoluta Frequenza relativa 0 3 3/ / / / / / /10 TOTALE 10 1

14 Frequenza percentuale =frequenza relativa x 100 Valore Freq. assoluta Freq. relativa Freq. percentuale 0 3 3/ / / / / / /10 10 TOTALE

15 Un pò di formalizzazione (variabili numeriche discrete): n= numero di osservazioni k valori distinti x 1 < x 2 < x 3 <...x k valori distinti e messi in ordine crescente Frequenze assolute: Frequenze relative: n 1, n 2, n 3,...n k n 1 + n n k = n f i = n i, i = 1, 2, 3,... k n f 1 + f f k = 1 Frequenze percentuali: F i = f i 100, i = 1, 2, 3,... k F 1 + F F k = 100

16 GRAFICI DELLE DISTRIBUZIONI DI FREQUENZA Torniamo all esempio considerato finora. n= numero di osservazioni=10 k= numero valori distinti=11 Le frequenze assolute (o quelle relative) di ogni valore vanno disposte su un grafico del tipo: frequenze assolute giorni di malattia

17 GRAFICO A BASTONCINI frequenze assolute giorni di malattia

18 GRAFICO A BARRE frequenze assolute giorni di malattia

19 GRAFICO POLIGONALE Si connettono con segmenti i valori delle frequenze. frequenze assolute giorni di malattia

20 STATISTICA DESCRITTIVA: VARIABILI CATEGORICHE I valori possibili di una variabile categorica vengono chiamati categorie. Esempio. Indagine sullo stato occupazionale di 215 laureati della Facoltà di Scienze a 6 mesi dalla laurea. Categoria Freq. ass. Freq. rel. Freq. percent. Lavora Cerca lavoro Tirocinio o stage Altro TOTALE

21 Per questo tipo di dati si usa di preferenza il grafico a torta. Le frequenze sono rappresentate da settori circolari aventi angolo x che si ottengono dalla proporzione: x = 360 freq.percentuale 100 = 360 freq.relativa

22 STATISTICA DESCRITTIVA: VARIABILI CONTINUE Variabili continue e variabili discrete che assumono molti valori distinti devono essere collocate in intervalli disgiunti detti classi. Esempio 1. Risultati di 12 rilevazioni dell emissione giornaliera di un gas inquinante da un impianto industriale in ordine crescente Consideriamo i seguenti intervalli (classi) di ampiezza 7: [9, 16), [16, 23) [23, 30) [30, 37) I valori al bordo di una classe si chiamano estremi della classe. La parentesi quadra indica inclusione, quella tonda esclusione.

23 Le frequenze assolute e relative dei dati che cadono in ciascuna classe possono essere organizzate in una tabella Classe Freq. assoluta Freq. relativa [9, 16) 5 5/12 [16, 23) 2 1/6 [23, 30) 4 1/3 [30, 37) 1 1/12 TOTALE 12 1 Il numero delle classi che si considerano è una scelta soggettiva. Troppe classi rendono la tabella poco leggibile, poche classi la rendono poco significativa. A volte conviene provare con diversi numeri di classi per capire quale è la tabella o il grafico più informativo. Di solito si scelgono da 5 a 10 classi.

24 ISTOGRAMMI Il grafico più usato per i dati raggruppati è l istogramma. Questo è un grafico a barre con le colonne sistemate adiacenti l una all altra. Come prima nell asse verticale di norma si rappresentano o le frequenze assolute o quelle relative. Un istogramma consiste di un insieme di rettangoli adiacenti aventi base sull asse orizzontale: le basi sono gli intervalli che definiscono le classi (i punti medi degli intervalli sono i valori centrali delle classi). Se le classi hanno tutte la stessa ampiezza le altezze sono uguali alle corrispondenti frequenze assolute (o relative).

25 Classe Freq. assoluta [9, 16) 5 [16, 23) 2 [23, 30) 4 [30, 37) 1 TOTALE

26 Nell esempio 1 l ampiezza degli intervalli (classi) è la stessa ma a volte conviene considerare classi di ampiezza diversa. Esempio 2. La seguente tabella mostra l età della popolazione residente in Italia al 1 gennaio Classe Freq. assoluta Freq. rel. Ampiezza [0, 15) [15, 65) (max 100) TOTALE Conviene costruire un istogramma con rettangoli che hanno base = ampiezza della classe e area (non più altezza!) = frequenza. Di conseguenza l altezza degli istogrammi è pari alla frequenza divisa per l ampiezza (chiamata anche densità di frequenza).

27 Classe Frequenza Ampiezza Freq./Amp. [0, 15) ,0096 [15, 65) , ,

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