A.A. 2011/12 CORSO DI ANALISI MATEMATICA 10 crediti, I semestre

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1 A.A. 2011/12 CORSO DI ANALISI MATEMATICA 10 crediti, I semestre REGISTRO ELETTRONICO DELLE LEZIONI IMPORTANTE: Le definizioni ed i risultati fondamentali per poter studiare con profitto sono scritti in grassetto. Inoltre, dove non specificato altrimenti, tutti i risultati riportati sono stati dimostrati (completamente o ddo l idea della dimostrazione) Lun 3.X.11, 2 ore (Tot. 2 ore): Numeri naturali, interi, razionali, irrazionali, reali. Notazioni. Gli assiomi dei numeri reali: assiomi relativi alle operazioni, relativi all ordine e il FONDAMENTALE ASSIOMA DI COMPLETEZZA; Conseguenze note degli assiomi dei numeri reali. Mer 5.X.11, 2 ore (Tot. 4 ore) Cenni di teoria degli insiemi: qutificatori, simboli di appartenenza, di inclusione; unione, intersezione, differenza, differenza simmetrica, complemento, leggi di De Morg; Applicazioni (o funzioni) tra insiemi. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. Ven 7.X.11 2 ore (Tot. 6 ore) Equazioni di definizione della funzione inversa (esempi importti: RADICE E LOGARITMO). Prodotto cartesio di un numero finito di insiemi. R 2, R 3,, R n. Relazioni. Esempi. Ordine su R 2, parallelismo, perpendicolarità sull insieme delle rette del pio. Grafico di una funzione come particolare relazione. Lun 10.X.11 3 ore (tot. 9 ore) Relazioni di equivalenza. Teorema fondamentale sulle relazioni di equivalenza. Insieme quoziente. Congruenza modulo p sugli interi. Operazioni di somma e prodotto sulle classi di resti modulo p. Dimostrazione che le operazioni non dipendono dai rappresentti. Applicazione: divisibilità per 3 o per 11. Relazione di equipotenza fra insiemi. Potenza di un insieme come classe di equipotenza. Potenza numerabile. N, Z e Q sono numerabili. Non numerabilità di R: Dimostrazione medite l argomento diagonale di Ctor. Mer 12.X.11, 2 ore (tot. 11 ore) Teorema di Bernstein (con dimostrazione): un insieme non è mai equipotente al suo insieme delle parti. Primo e secondo principio di induzione. Tti esempi ed esercizi. In particolare: somma dei primi n numeri naturali; somma dei quadrati dei primi n numeri naturali; Disuguagliza di Bernoulli, Somma Geometrica (ossia somma delle prime n potenze di un numero fisso, la ragione) Ven 14.X.11, 2 ore (tot. 13 ore) Notazioni sugli intervalli in R. Funzioni elementari: Funzioni lineari. Rette come grafici di funzioni lineari. Come disegnare una retta conoscendo la funzione lineare. Funzione valore assoluto.

2 Lun 17.X.11, 3 ore (tot. 16 ore) Funzioni elementari: Funzioni potenze, esponenziali. Funzioni trigonometriche sen, cos e tg introdotte per via geometrica, estese poi alla geometria alitica ed infine all alisi matematica. Mer 19.X.11, 2 ore (tot. 18 ore) Funzioni elementari: arcsen, arccos, arctg. Grafici di funzioni pari e dispari Grafici di f(x) + k e di f(x + k). Ven 21.X.11, 2 ore (tot. 20 ore) Def. di insiemi superiormente limitati, inferiormente limitati, limitati. Definizione di maggiorti, minorti, estremo superiore ed estremo inferiore. Teorema: Ogni insieme di numeri reali superiormente [inferiormente] limitato possiede estremo superiore [inferiore]. Esercizi ed esempi. Successioni. Limite finito ed infinito di una succesione. Successioni convergenti, divergenti, non regolari. Lun 24.X.11, 3 ore (tot. 23 ore) Successioni limitate. Teorema: Ogni successione convergente è limitata. Operazioni con i limiti. I teoremi con le operazioni aritmetiche. Forme indeterminate. Teoremi di confronto: Teorema della permenza del segno. Corollario 1. Corollario 2. Teorema dei Carabinieri. Teorema: a n infinitesima sse modulo di a n infinitesima. Teorema del prodotto di una successione limitata per una infinitesima. Alcuni limiti notevoli: lim a n ; lim n a Mer 26.X.11, 2 ore (tot. 25 ore) Limiti notevoli: lim n n α ; lim sen a n, con a n infinitesima; lim cos a n, con a n infinitesima; lim sen 1 cos 1 cos, con a n infinitesima; lim con a n infinitesima; lim 2, con a n infinitesima. Successioni monotòne. Teorema fondamentale sulle successioni monotone: Ogni successione monotona è regolare. Applicazione: convergenza al numero e della successione n Ven 28.X.11, 2 ore (tot. 27 ore) x Convergenza ad exp(x) della successione 1 +. n Teorema di Bolzo-Weierstrass. Successioni di Cauchy. liminf e limsup di una succesione. Il liminf e il limsup esistono sempre. Ven 4.XI.11, 2 ore (tot. 29 ore) Definizioni ed esempi di limiti di funzioni (finito, infinito ed all infinito). n n

3 Teorema Ponte. Operazioni aritmetiche con i limiti di funzioni. Lun 7.XI.11, 3 ore (tot. 32 ore) Funzioni continue. Esempi. Tutte le funzioni elementari sono continue nei loro domini di definizione. Discontinuità: eliminabile, prima specie (salto) e seconda specie. Teorema della permenza del segno. Teorema dell esistenza degli zeri con il metodo di bisezione. Primo teorema sull esistenza dei valori intermedi Teorema di Weierstrass Mer 9.XI.11, 2 ore (tot. 34 ore) Secondo Teorema sull esistenza dedi valori intermedi. Criterio di invertibilità: una funzione continua e strettamente monotona su [a,b] è invertibile. Teorema sul limite delle funzioni monotòne. Criterio di continuità per le funzioni monotone Teorema di continuità della funzione inversa. Ven 11.XI.11, 2 ore (tot. 36 ore) Forme indeterminate di limiti. Ordine di infinito Ordine di infinitesimo Principio di sostituzione degli infiniti Principio di sostituzione degli infinitesimi. Limiti fondamentali. DA QUI IN AVANTI LE LEZIONI SONO TENUTE DALLA PROF.SSA CIANCIARUSO. IO RIPRENDERO SOLO NELL ULTIMA SETTIMANA DI CORSO, QUANDO FAREMO UN RIEPILOGO GENERALE E QUALCHE SIMULAZIONE DELLA PROVA SCRITTA D ESAME Lun 14.XI.11, 3 ore (tot. 39 ore) Tasso di accrescimento. Significato meccico della derivata. Definizioni di derivata. Continuità delle funzioni derivabili. Derivate successive. Significato geometrico della derivata. Derivate di alcune funzioni elementari. Mer 16.XI.11, 2 ore (tot. 41 ore) Operazioni con le derivate. Alcune derivate elementari. Derivata della funzione composta. Ven 18.XI.11, 2 ore (tot. 43 ore) Derivate di funzioni inverse. Funzioni trigonometriche inverse. Lun 21.XI.11, 3 ore (tot. 46 ore) Funzioni iperboliche e loro inverse.

4 Mer 23.XI.11, 2 ore (tot. 48 ore) Massimi e minimi relativi. Teorema di Fermat e sua generalizzazione negli estremi. Teoremi di Rolle, Lagrge e Cauchy. Ven 25.XI.11, 2 ore (tot. 50 ore) Caratterizzazioni delle funzioni costti su un intervallo. Funzioni monotone e loro caratterizzazioni: Criterio di monotonia e stretta monotonia. Funzioni convesse e concave. Criterio di convessità. Criterio di classificazione dei punti critici tramite il segno della derivata seconda. Lun 28.XI.11, 3 ore (tot. 53 ore) I Teoremi di L?Hopital (caso generale). Asintoti verticali, orizzontali ed obliqui. Studio del grafico di una funzione. Mer 30.XI.11, 2 ore (tot. 55 ore) La formula di Taylor Sviluppi di funzioni elementari Esercizi Ven 2.XII.11, 2 ore (tot. 57 ore) Criteri di caratterizzazione per i punti di massimo e minimo relativi e per i punti di fleso. Definizione di o piccolo e prime proprietà. Uso della formula di Taylor nel calcolo dei limiti. Lun 5.XII.11, 3 ore (tot. 60 ore) Esercizi sui limiti e sullo studio qualitativo del grafico di funzioni. Introduzione alle serie numeriche. Mer 7.XII.2011, 2 ore (tot. 62 ore) Serie armonica. Serie armonica generalizzata. Serie geometrica. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Criterio di convergenza di Cauchy per le serie. Resto n-simo di una serie. Ven 9.XII.11, 2ore (tot. 64 ore) Lezione non tenuta causa assenza degli studenti. Lun 12.XII. 2011, 3 ore (tot. 67 ore) Serie a termini positivi. Criteri del confronto, del confronto asintotico e degli infinitesimi. Mer 14.XII.2011, 2 ore (tot. 69 ore)

5 Criteri del rapporto e della radice. Ven 16.XII ore (tot. 71 ore) Serie a segni alterni. Criterio di Leibnitz. Serie assolutamente convergenti. Esercizi di riepilogo sulle serie. Lun 19.XII.11, 3 ore (tot. 74 ore) Esercizi di riepilogo Mer 21.XII.11, 2 ore (tot. 76 ore) Esercizi di riepilogo Lun 9.I.12, 3 ore (tot. 79 ore) Esercizi di riepilogo. Simulazione della prova d esame Mer 11.I.12, 1 ora (tot. 80 ore) Lezione tenuta da me Ulteriore simulazione della prova d esame IL CORSO E FINITO! CHE VI SIA UTILE PER IL VOSTRO PROSIEGUO NEGLI STUDI, SIA DAL PUNTO DI VISTA INFORMATIVO SIA SOPRATTUTTO DAL PUNTO DI VISTA FORMATIVO