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1 ËÁËÌ ÅÁ ÈÁ ÆÁ ½ Queste note attualmente e probabilmente per un bel po ) sono altamente provvisorie e molto probabilmente) non prive di errori 41 Sistemi 2D Come abbiamo già detto tipicamente è impossibile trovare una soluzione analitica implicita o esplicita) di una equazione differenziale In mancanza di una soluzione analitica e in ogni caso per analizzare la dinamica descritta dalla soluzione possiamo procedere sostanzialmente in due modi che in generale non sono da considerarsi alternativi bensì complementari!): 1 studio qualitativo; 2 studio numerico Ci concentriamo in questa sede solamente sullo studio qualitativo ed in particolare nel caso di sistemi bidimensionali Nel caso 1D autonomo) ẋ fx) con x R abbiamo visto che lo studio qualitativo si riduce sostanzialmente allo studio del segno di fx) con la possibile aggiunta delle caratteristiche di regolarità di fx) e dello studio del segno della derivata di fx) per ricavare le informazioni circa la concavità delle soluzioni) Riassumendo dobbiamo studiare 1 equilibri: ẋ fx) ; 2 segno della derivata: ẋ fx) > e ẋ fx) < Nel caso 2D autonomo) f1 xy) ẏ f 2 xy) lo schema è leggermente più ricco: 1 equilibri: f 1 xy) f 2 xy) ; 2 Dinamica locale: linearizzazione attorno ai punti di equilibrio;

2 2 Esercitazione 4 3 zerocline: f 1 xy) e f 2 xy) Il luogo dei punti in cui f 1 xy) è caratterizzato da ẋ : le orbite possono attraversare il luogo dei punti soltanto con tangente verticale esclusi i possibili punti di equilibrio!) Il luogo dei punti in cui f 2 xy) è caratterizzato da ẏ : le orbite possono attraversare il luogo dei punti soltanto con tangente orizzontale esclusi i possibili punti di equilibrio!) Osservazione Le intersezioni delle zerocline sono i punti di equilibrio 4 Dinamica globale: 4a se il sistema ammette una costante del moto sfruttarla per analizzare la dinamica globale attraverso opportune curve di livello; 4b in mancanza di una costante del moto o nel caso risulti troppo complicata da utilizzare a partire dalla dinamica locale sfruttare leinformazioni relative alla direzione del campo vettoriale per comprendere qualitativamente l andamento globale della dinamica nello spazio delle fasi Vediamo con un esempio come effettuare lo studio qualitativo per un sistema bidimensionale 411 Competizione tra specie Abbiamo visto nel caso monodimensionale un modello di crescita di una popolazione: l equazione logistica Supponiamo ora di voler modellizzare la competizione tra due specie naturalmente dovremo passare ad un modello bidimensionale! L estensione più naturale del modello logistico al caso di due specie è dato dal sistema β1 γ 1 x α 1 y)x ẏ β 2 γ 2 y α 2 x)y con β 1 β 2 α 1 α 2 γ 1 γ 2 > ed ovviamente xy Esercizio 41: Consideriamo il sistema 2 x y)x 41) ẏ 3 y 2x)y 1 trovare gli eventuali punti di equilibrio e determinarne la natura; 2 studiare la dinamica locale attorno ai punti di equilibrio; 1 Le zerocline per ẋ sono ovviamente date da Le zerocline per ẏ sono date da x y x+2 y y 2x+3 Segue che abbiamo quattro punti di equilibrio: P ) P 1 3) P 2 2) P 3 11)

3 Sistemi piani 1 3 Figura 41 Zerocline e punti di equilibrio In rosso le zerocline ẋ in blu le zerocline ẏ I punti di equilibrio sono rappresentati con dai circoletti in nero Le linee del campo sono rappresentate in rosso per ẋ in blu per ẏ 2 Calcoliamo la matrice Jacobiana 2 2x y x Jxy) 2y 3 2y 2x che dovremo poi valutare in ogni punto di equilibrio per ottenere la dinamica locale nell intorno dei punti di equilibrio Consideriamo il punto P ) 2 J) 3 quindi abbiamo λ 1 2 e λ 2 3: nodo instabile associati ai due autovalori Per v 1) abbiamo mentre per v 2) abbiamo 1 1 ) v 1) x v 1) y ) ) 2) v x v y 2) ) v 1) v 2) 1 1 Osservazione Poichè λ 1 < λ 2 le orbite saranno tangenti a v 1) ovviamente fatta eccezione per v 2) )

4 4 Esercitazione 4 Consideriamo il punto P 1 2) J2) quindi abbiamo λ 1 2 e λ 2 1: nodo stabile associati ai due autovalori Per v 1) abbiamo 2 1) v x 1 v y 1) v 1) 1 mentre per v 2) abbiamo 1 2 ) 2) v x v y 2) v 2) 2 1 Osservazione Poichè λ 2 < λ 1 le orbite saranno tangenti a v 2) ovviamente fatta eccezione per v 1) ) Consideriamo il punto P 2 3) 1 J3) 6 3 quindi abbiamo λ 1 1 e λ 2 3: nodo stabile associati ai due autovalori Per v 1) abbiamo 1) v x 6 2 v y 1) v 1) 1 3 mentre per v 2) abbiamo 2 6 ) 2) v x v y 2) v 2) 1 Osservazione Poichè λ 1 < λ 2 le orbite saranno tangenti a v 1) ovviamente fatta eccezione per v 2) ) Consideriamo il punto P 3 11) 1 1 J11) 2 1 quindi abbiamo λ e λ : sella associati ai due autovalori Per v 1) abbiamo ) 2 1 1) v x 2 2 v 1) y ) v 1) 1 2

5 Sistemi piani 1 5 Figura 42 Alcune orbite ottenute tramite integrazione numerica relative al sistema 41) mentre per v 2) abbiamo ) ) v x 2 v y 2) v 2) 1 2 Tutti i punti di equilibrio sono instabili Tuttavia il punto P è stabile nel passato mentre i punti P 1 e P 2 sono stabili nel futuro 3 La discussione qualitativa della dinamica globale si evince dalle linee del campo Se ci concentriamo sui valori positivi di x e y osserviamo che per continuità deve esistere un orbita che tende nel passato al punto di equilibrio P e nel futuro tende a P 3 le popolazioni x e y convivono) Egualmente deve esistere un orbita che tende nel futuro al punto P 3 e nel passato a + sia nelle x che nelle y Fatta eccezione per queste due orbite e dei quattro punti di equilibrio sempre assumendo xy > ) tutte le orbite sono destinate a cadere asintoticamente) in uno dei due punti di equilibrio P 1 o P 2 Di fatto in questo modello a parte un insieme di misura nulla l evoluzione ha due possibili scenari: la sopravvivenza della specie x o quella della specie y In figura 42 sono riportare alcune orbite ottenute mediante integrazione numerica che mostrano un ottimo accordo con lo studio qualitativo della dinamica appena svolto Esercizio 42: Consideriamo il sistema 1 3x y)x ẏ 1 3y x)y

6 6 Esercitazione 4 1 trovare gli eventuali punti di equilibrio e determinarne la natura; 2 studiare la dinamica locale attorno ai punti di equilibrio; Osservazione È interessante osservare l andamento qualitativo delle soluzioni e le differenze rispetto alla dinamica descritta nell Esercizio 41 Decisamente più lunga è la discussione del modello generale di competizione tra specie al variare dei parametri β 1 β 2 α 1 α 2 γ 1 e γ 2 che lascio come esercizio agli studenti più diligenti Esercizio 43: Consideriamo il sistema 1x 5xy ẏ 3y +xy 3y 2 1 trovare gli eventuali punti di equilibrio e determinarne la natura; 2 studiare la dinamica locale attorno ai punti di equilibrio; Esercizio 44: Consideriamo il sistema 1x 5xy ẏ 3y +xy 3y 2 1 trovare gli eventuali punti di equilibrio e determinarne la natura; 2 studiare la dinamica locale attorno ai punti di equilibrio;

ẋ 1 = 2x 1 + (sen 2 (x 1 ) + 1)x 2 + 2u (1) y = x 1

ẋ 1 = 2x 1 + (sen 2 (x 1 ) + 1)x 2 + 2u (1) y = x 1 Alcuni esercizi risolti su: - calcolo dell equilibrio di un sistema lineare e valutazione delle proprietà di stabilità dell equilibrio attraverso linearizzazione - calcolo del movimento dello stato e dell

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