Queste note (attualmente, e probabilmente per un bel po ) sono altamente provvisorie e (molto probabilmente) non prive di errori.
|
|
- Rebecca Scala
- 6 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 ËÁËÌ ÅÁ ÈÁ ÆÁ ½ Queste note attualmente e probabilmente per un bel po ) sono altamente provvisorie e molto probabilmente) non prive di errori 41 Sistemi 2D Come abbiamo già detto tipicamente è impossibile trovare una soluzione analitica implicita o esplicita) di una equazione differenziale In mancanza di una soluzione analitica e in ogni caso per analizzare la dinamica descritta dalla soluzione possiamo procedere sostanzialmente in due modi che in generale non sono da considerarsi alternativi bensì complementari!): 1 studio qualitativo; 2 studio numerico Ci concentriamo in questa sede solamente sullo studio qualitativo ed in particolare nel caso di sistemi bidimensionali Nel caso 1D autonomo) ẋ fx) con x R abbiamo visto che lo studio qualitativo si riduce sostanzialmente allo studio del segno di fx) con la possibile aggiunta delle caratteristiche di regolarità di fx) e dello studio del segno della derivata di fx) per ricavare le informazioni circa la concavità delle soluzioni) Riassumendo dobbiamo studiare 1 equilibri: ẋ fx) ; 2 segno della derivata: ẋ fx) > e ẋ fx) < Nel caso 2D autonomo) f1 xy) ẏ f 2 xy) lo schema è leggermente più ricco: 1 equilibri: f 1 xy) f 2 xy) ; 2 Dinamica locale: linearizzazione attorno ai punti di equilibrio;
2 2 Esercitazione 4 3 zerocline: f 1 xy) e f 2 xy) Il luogo dei punti in cui f 1 xy) è caratterizzato da ẋ : le orbite possono attraversare il luogo dei punti soltanto con tangente verticale esclusi i possibili punti di equilibrio!) Il luogo dei punti in cui f 2 xy) è caratterizzato da ẏ : le orbite possono attraversare il luogo dei punti soltanto con tangente orizzontale esclusi i possibili punti di equilibrio!) Osservazione Le intersezioni delle zerocline sono i punti di equilibrio 4 Dinamica globale: 4a se il sistema ammette una costante del moto sfruttarla per analizzare la dinamica globale attraverso opportune curve di livello; 4b in mancanza di una costante del moto o nel caso risulti troppo complicata da utilizzare a partire dalla dinamica locale sfruttare leinformazioni relative alla direzione del campo vettoriale per comprendere qualitativamente l andamento globale della dinamica nello spazio delle fasi Vediamo con un esempio come effettuare lo studio qualitativo per un sistema bidimensionale 411 Competizione tra specie Abbiamo visto nel caso monodimensionale un modello di crescita di una popolazione: l equazione logistica Supponiamo ora di voler modellizzare la competizione tra due specie naturalmente dovremo passare ad un modello bidimensionale! L estensione più naturale del modello logistico al caso di due specie è dato dal sistema β1 γ 1 x α 1 y)x ẏ β 2 γ 2 y α 2 x)y con β 1 β 2 α 1 α 2 γ 1 γ 2 > ed ovviamente xy Esercizio 41: Consideriamo il sistema 2 x y)x 41) ẏ 3 y 2x)y 1 trovare gli eventuali punti di equilibrio e determinarne la natura; 2 studiare la dinamica locale attorno ai punti di equilibrio; 1 Le zerocline per ẋ sono ovviamente date da Le zerocline per ẏ sono date da x y x+2 y y 2x+3 Segue che abbiamo quattro punti di equilibrio: P ) P 1 3) P 2 2) P 3 11)
3 Sistemi piani 1 3 Figura 41 Zerocline e punti di equilibrio In rosso le zerocline ẋ in blu le zerocline ẏ I punti di equilibrio sono rappresentati con dai circoletti in nero Le linee del campo sono rappresentate in rosso per ẋ in blu per ẏ 2 Calcoliamo la matrice Jacobiana 2 2x y x Jxy) 2y 3 2y 2x che dovremo poi valutare in ogni punto di equilibrio per ottenere la dinamica locale nell intorno dei punti di equilibrio Consideriamo il punto P ) 2 J) 3 quindi abbiamo λ 1 2 e λ 2 3: nodo instabile associati ai due autovalori Per v 1) abbiamo mentre per v 2) abbiamo 1 1 ) v 1) x v 1) y ) ) 2) v x v y 2) ) v 1) v 2) 1 1 Osservazione Poichè λ 1 < λ 2 le orbite saranno tangenti a v 1) ovviamente fatta eccezione per v 2) )
4 4 Esercitazione 4 Consideriamo il punto P 1 2) J2) quindi abbiamo λ 1 2 e λ 2 1: nodo stabile associati ai due autovalori Per v 1) abbiamo 2 1) v x 1 v y 1) v 1) 1 mentre per v 2) abbiamo 1 2 ) 2) v x v y 2) v 2) 2 1 Osservazione Poichè λ 2 < λ 1 le orbite saranno tangenti a v 2) ovviamente fatta eccezione per v 1) ) Consideriamo il punto P 2 3) 1 J3) 6 3 quindi abbiamo λ 1 1 e λ 2 3: nodo stabile associati ai due autovalori Per v 1) abbiamo 1) v x 6 2 v y 1) v 1) 1 3 mentre per v 2) abbiamo 2 6 ) 2) v x v y 2) v 2) 1 Osservazione Poichè λ 1 < λ 2 le orbite saranno tangenti a v 1) ovviamente fatta eccezione per v 2) ) Consideriamo il punto P 3 11) 1 1 J11) 2 1 quindi abbiamo λ e λ : sella associati ai due autovalori Per v 1) abbiamo ) 2 1 1) v x 2 2 v 1) y ) v 1) 1 2
5 Sistemi piani 1 5 Figura 42 Alcune orbite ottenute tramite integrazione numerica relative al sistema 41) mentre per v 2) abbiamo ) ) v x 2 v y 2) v 2) 1 2 Tutti i punti di equilibrio sono instabili Tuttavia il punto P è stabile nel passato mentre i punti P 1 e P 2 sono stabili nel futuro 3 La discussione qualitativa della dinamica globale si evince dalle linee del campo Se ci concentriamo sui valori positivi di x e y osserviamo che per continuità deve esistere un orbita che tende nel passato al punto di equilibrio P e nel futuro tende a P 3 le popolazioni x e y convivono) Egualmente deve esistere un orbita che tende nel futuro al punto P 3 e nel passato a + sia nelle x che nelle y Fatta eccezione per queste due orbite e dei quattro punti di equilibrio sempre assumendo xy > ) tutte le orbite sono destinate a cadere asintoticamente) in uno dei due punti di equilibrio P 1 o P 2 Di fatto in questo modello a parte un insieme di misura nulla l evoluzione ha due possibili scenari: la sopravvivenza della specie x o quella della specie y In figura 42 sono riportare alcune orbite ottenute mediante integrazione numerica che mostrano un ottimo accordo con lo studio qualitativo della dinamica appena svolto Esercizio 42: Consideriamo il sistema 1 3x y)x ẏ 1 3y x)y
6 6 Esercitazione 4 1 trovare gli eventuali punti di equilibrio e determinarne la natura; 2 studiare la dinamica locale attorno ai punti di equilibrio; Osservazione È interessante osservare l andamento qualitativo delle soluzioni e le differenze rispetto alla dinamica descritta nell Esercizio 41 Decisamente più lunga è la discussione del modello generale di competizione tra specie al variare dei parametri β 1 β 2 α 1 α 2 γ 1 e γ 2 che lascio come esercizio agli studenti più diligenti Esercizio 43: Consideriamo il sistema 1x 5xy ẏ 3y +xy 3y 2 1 trovare gli eventuali punti di equilibrio e determinarne la natura; 2 studiare la dinamica locale attorno ai punti di equilibrio; Esercizio 44: Consideriamo il sistema 1x 5xy ẏ 3y +xy 3y 2 1 trovare gli eventuali punti di equilibrio e determinarne la natura; 2 studiare la dinamica locale attorno ai punti di equilibrio;
ẋ 1 = 2x 1 + (sen 2 (x 1 ) + 1)x 2 + 2u (1) y = x 1
Alcuni esercizi risolti su: - calcolo dell equilibrio di un sistema lineare e valutazione delle proprietà di stabilità dell equilibrio attraverso linearizzazione - calcolo del movimento dello stato e dell
Dettagli2.1 Esponenziale di matrici
¾ ½ º¼ º¾¼½ Queste note (attualmente e probabilmente per un bel po sono altamente provvisorie e (molto probabilmente non prive di errori Esponenziale di matrici Esercizio : Data la matrice λ A λ calcolare
DettagliAppello di Sistemi Dinamici Prova scritta del 22 settembre 2017
Appello di Sistemi Dinamici Prova scritta del 22 settembre 2017 ẋ = x(µ x 2 )(x µ + 2) 2. Si calcoli la matrice esponenziale della matrice [ ] 2 4. 0 2 3. Dato il sistema differenziale lineare non omogeneo
DettagliProprietà dei sistemi dinamici lineari
Proprietà dei sistemi dinamici lineari Vediamo se le proprietà dei sistemi lineari ci possono essere utili per chiarire qualcosa sulla stabilità. Partiamo dal sistema dinamico lineare più semplice possibile:
DettagliESERCITAZIONE SUI PUNTI STAZIONARI DI FUNZIONI LIBERE E SULLE FUNZIONI OMOGENEE
ESERCITAZIONE SUI PUNTI STAZIONARI DI FUNZIONI LIBERE E SULLE FUNZIONI OMOGENEE 1 Funzioni libere I punti stazionari di una funzione libera di più variabili si ottengono risolvendo il sistema di equazioni
DettagliTeorema delle Funzioni Implicite
Teorema delle Funzioni Implicite Sia F una funzione di due variabili definita in un opportuno dominio D di R 2. Consideriamo l equazione F (x, y) = 0, questa avrà come soluzioni coppie di valori (x, y)
DettagliEsercitazione n 6. Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (b)f(x, y) = 4y 4 16x 2 y + x
Esercitazione n 6 1 Massimi e minimi di funzioni di più variabili Esercizio 1: Determinare i punti di massimo e minimo relativo delle seguenti funzioni: (a)f(x, y) = x 3 + y 3 + xy (b)f(x, y) = 4y 4 16x
DettagliMATEMATICA. a.a. 2014/15
MATEMATICA a.a. 2014/15 3. DERIVATE E STUDIO DI FUNZIONE (II parte): Massimi, minimi e derivata prima. Flessi e derivata seconda. Schema per lo studio qualitativo completo di una funzione y=f(x) Crescenza
DettagliIl modello preda predatore. Modelli Matematici Ambientali, 2015/16 Dinamiche di Crescita:
Modelli Matematici Ambientali, 2015/16 Dinamiche di Crescita: 2 popolazioni Il modello preda predatore Interazione di due popolazioni: il modello Preda-Predatore Il modello Preda-Predatore è stato sviluppato
DettagliEsempio di grafico di una funzione reale di due variabili reali
Esempio di grafico di una funzione reale di due variabili reali In questo lucido è rappresentato il grafico della funzione reale di due variabili reali definita da: f(x, y) = 1 x y, in particolare in alto
DettagliMETODI E MODELLI MATEMATICI PER LE APPLICAZIONI
PROVA SCRITTA DEL 17 MARZO 2009 ẋ = ( x 4µ 2)( x log( µ + 1) )( x µ + 8 ) al variare del parametro µ R. 2) Studiare la stabilità della soluzione di equilibrio (0, 0, 0) del sistema ẋ = x2 2 (x + z2 ) ẏ
DettagliPendolo senza attrito
Pendolo senza attrito l m ϕ equazione del moto : mlϕ '' = mg sinϕ ϕ '' = y'' = k sin y, k > 0 g sinϕ l Pendolo senza attrito Trasformiamo l equazione in un sistema autonomo bidimensionale conservativo
DettagliA Analisi Matematica 2 (Corso di Laurea in Informatica) Simulazione compito d esame
COGNOME NOME Matr. Firma dello studente A Analisi Matematica (Corso di Laurea in Informatica) Simulazione compito Tempo: ore. Prima parte: test a risposta multipla. Una ed una sola delle 4 affermazioni
DettagliNote sul sistema di Lotka-Volterra. Prima versione. Commenti e correzioni sono benvenuti.
Ottobre 2016 Note sul sistema di Lotka-Volterra Prima versione. Commenti e correzioni sono benvenuti. 1 Introduzione Il sistema di Lotka Volterra (LV), o sistema preda predatore è probabilmente il primo
DettagliScrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda. (voti: 2,0,-1, min=14 sulle prime 10) , C = [3 2 2], D =
n. 101 cognome nome corso di laurea Analisi e Simulazione di Sistemi Dinamici 18/11/2003 Risposte Domande 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 N. matricola Scrivere il numero della risposta sopra alla corrispondente domanda.
DettagliMatematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z)
Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova d esame (24/06/20) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 200/ Tema A Matematica e Statistica (A-E, F-O, P-Z) Prova di MATEMATICA (A-E, F-O,
DettagliI teoremi della funzione inversa e della funzione implicita
I teoremi della funzione inversa e della funzione implicita Appunti per il corso di Analisi Matematica 4 G. Mauceri Indice 1 Il teorema della funzione inversa 1 Il teorema della funzione implicita 3 1
DettagliDipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria II assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003
Dipartimento di Matematica Corso di laurea in Matematica Compiti di Geometria assegnati da dicembre 2000 a dicembre 2003 11/12/2000 n R 4 sono assegnati i punti A(3, 0, 1, 0), B(0, 0, 1, 0), C(2, 1, 0,
DettagliEsercizi Applicazioni Lineari
Esercizi Applicazioni Lineari (1) Sia f : R 4 R 2 l applicazione lineare definita dalla legge f(x, y, z, t) = (x + y + z, y + z + t). (a) Determinare il nucleo di f, l immagine di f, una loro base e le
DettagliSTRADE AL CAOS. Sistemi parametrizzati. Cascata di raddoppi di periodo (cascata di Feigenbaum) Rottura di toro. Caos alla Shilnikov.
STRADE AL CAOS Sistemi parametrizzati Cascata di raddoppi di periodo (cascata di Feigenbaum) Rottura di toro Caos alla Shilnikov Intermittenza Crisi C. Piccardi e F. Dercole Politecnico di Milano ver.
DettagliI. Foglio di esercizi su vettori linearmente dipendenti e linearmente indipendenti. , v 2 = α v 1 + β v 2 + γ v 3. α v 1 + β v 2 + γ v 3 = 0. + γ.
ESERCIZI SVOLTI DI ALGEBRA LINEARE (Sono svolti alcune degli esercizi proposti nei fogli di esercizi su vettori linearmente dipendenti e vettori linearmente indipendenti e su sistemi lineari ) I. Foglio
DettagliMassimi e minimi vincolati
Massimi e minimi vincolati Data una funzione G C 1 (D), dove D è un aperto di R 2, sappiamo bene dove andare a cercare gli eventuali punti di massimo e minimo relativi. Una condizione necessaria affinché
DettagliCalcolo Numerico con elementi di programmazione
Calcolo Numerico con elementi di programmazione (A.A. 2014-2015) Appunti delle lezioni sui metodi per la soluzione di sistemi di equazioni non lineari Sistemi di equazioni non lineari Un sistema di equazioni
DettagliSoluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - 10/07/09. C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni
Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - /7/9 C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Proff. K. Payne, C. Tarsi, M. Calanchi Esercizio. a La funzione f è limitata e essendo lim fx
DettagliSECONDO METODO DI LYAPUNOV
SECONDO METODO DI LYAPUNOV Il Secondo Metodo di Lyapunov permette di studiare la stabilità degli equilibri di un sistema dinamico non lineare, senza ricorrere alla linearizzazione delle equazioni del sistema.
DettagliTEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I
TEMI D ESAME DI ANALISI MATEMATICA I Corso di laurea quadriennale) in Fisica a.a. 003/04 Prova scritta del 3 aprile 003 ] Siano a, c parametri reali. Studiare l esistenza e, in caso affermativo, calcolare
DettagliArgomento 7. Studio di funzione
Argomento 7 Studio di funzione Studiare una funzione significa ottenere, mediante strumenti analitici (iti, derivate, ecc.) informazioni utili a disegnare un grafico qualitativo della funzione data. I
DettagliSIMULAZIONE - 29 APRILE QUESITI
www.matefilia.it SIMULAZIONE - 29 APRILE 206 - QUESITI Q Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla retta di equazione y= della regione di piano delimitata dalla curva di equazione
DettagliSoluzione di Adriana Lanza
Soluzione Dimostriamo che f(x) è una funzione dispari Osserviamo che in quanto in quanto x è una funzione dispari è una funzione dispari in quanto prodotto di una funzione dispari per una pari Pertanto
DettagliAlcune nozioni di calcolo differenziale
Alcune nozioni di calcolo differenziale G. Mastroeni, M. Pappalardo 1 Limiti per funzioni di piu variabili Supporremo noti i principali concetti algebrici e topologici relativi alla struttura dello spazio
DettagliEsempi di superfici.
Esempi di superfici.. Grafici di funzioni. Sia Ω IR un dominio in IR e sia f: Ω IR una funzione C. Il suo grafico è una supeficie parametrizzata in IR 3 della forma u v f(u, v) La superficie S è regolare
DettagliSistemi differenziali 2 2: esercizi svolti. 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari
Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Stabilità nei sistemi lineari 14 1 Sistemi differenziali : esercizi svolti 1 Sistemi lineari Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano
DettagliEsercizi di Calcolo e Biostatistica con soluzioni
1 Esercizi di Calcolo e Biostatistica con soluzioni 1. Date le funzioni f 1 (x) = x/4 1, f 2 (x) = 3 x, f 3 (x) = x 4 2x, scrivere a parole le operazioni che, dato x in modo opportuno, permettono di calcolare
DettagliCompito del 14 giugno 2004
Compito del 14 giugno 004 Un disco omogeneo di raggio R e massa m rotola senza strisciare lungo l asse delle ascisse di un piano verticale. Il centro C del disco è collegato da una molla di costante elastica
DettagliPrimo Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 18 Gennaio Soluzioni
Primo Compito di Analisi Matematica Corso di laurea in Informatica, corso B 8 Gennaio 06 Soluzioni Esercizio Siano z e z due numeri complessi con modulo e argomento rispettivamente (ρ, θ ) e (ρ, θ ) tali
DettagliMatematica e Statistica
Matematica e Statistica Prova d esame (0/0/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie - A.A. 0/3 Matematica e Statistica Prova di MATEMATICA (0/0/03) Università di Verona - Laurea in Biotecnologie
DettagliMassimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti
Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio 1. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti
DettagliUniversita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006. Matematica 2 (Analisi)
Universita degli Studi di Ancona Laurea in Ingegneria Meccanica ed Informatica a Distanza Anno Accademico 2005/2006 Matematica 2 (Analisi) Nome:................................. N. matr.:.................................
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Gestionale - Sede di Fermo Anno Accademico 2009/2010 Matematica 2 Esercizi d esame
Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale - ede di Fermo Anno Accademico 2009/2010 Matematica 2 Esercizi d esame Nome... N. Matricola... Fermo, gg/mm/aaaa 1. tabilire l ordine di ciascuna delle seguenti
DettagliCorsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II. Padova, 19.9.
Corsi di laurea in ingegneria aerospaziale e ingegneria meccanica Prova scritta di Fondamenti di Analisi Matematica II Padova, 19.9.2016 Si svolgano i seguenti esercizi facendo attenzione a giustificare
DettagliGeometria Analitica Domande e Risposte
Geometria Analitica Domande e Risposte A. Il Piano Cartesiano. Qual è la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano? Per calcolare la formula della distanza tra due punti nel piano cartesiano
DettagliEstremi. 5. Determinare le dimensioni di una scatola rettangolare di volume v assegnato, che abbia la superficie minima.
Estremi 1. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = e x (x 1)(y 1) + (y 1).. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = y (y + 1) cos x. 3. Determinare gli estremi relativi di f(x, y) = xye x +y..
DettagliAnalisi Matematica II - INGEGNERIA Gestionale - B 20 luglio 2017 Cognome: Nome: Matricola:
Analisi Matematica II - INGEGNERIA Gestionale - B luglio 7 Cognome: Nome: Matricola: IMPORTANTE: Giustificare tutte le affermazioni e riportare i calcoli essenziali Esercizio [8 punti] Data la matrice
DettagliLEZIONE 23. ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f
LEZIONE 23 23.1. Riduzione delle coniche a forma canonica. Fissiamo nel piano un sistema di riferimento Oxy e consideriamo un polinomio di grado 2 in x, y a meno di costanti moltiplicative non nulle, diciamo
Dettagli1 Modello epidemico SIR (semplificato) del virus Ebola
L epidemiologia è la disciplina biomedica che si occupa della distribuzione delle malattie nella popolazione. Cosa c entra con l automatica? Per rispondere a questa domanda in questo esercizio ci occuperemo
DettagliModelli matematici ambientali a.a. 2015/16 Introduzione alle equazioni differenziali
Modelli matematici ambientali a.a. 2015/16 Introduzione alle equazioni differenziali Argomenti trattati Introduzione ai modelli Equazioni differenziali del primo ordine Metodi risolutivi:integrazione diretta
Dettaglia) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.
1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare [cos x] x kπ/ al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della
DettagliSCIENTIFICO COMUNICAZIONE OPZIONE SPORTIVA PROBLEMA 2. Figura 1
www.matefilia.it SCIENTIFICO COMUNICAZIONE OPZIONE SPORTIVA 216 - PROBLEMA 2 Nella figura 1 è rappresentato il grafico Γ della funzione continua f: [, + ) R, derivabile in ], + ), e sono indicate le coordinate
DettagliSistemi vibranti ad 1 gdl
Università degli Studi di Bergamo Dipartimento di Ingegneria Sistemi vibranti ad 1 gdl - vibrazioni forzate - rev. 1. Le vibrazioni forzate di un sistema ad 1 gdl sono descritte dall equazione: mẍ + cẋ
DettagliAnalisi 4 - SOLUZIONI (compito del 29/09/2011)
Corso di laurea in Matematica Analisi 4 - SOLUZIONI compito del 9/09/0 Docente: Claudia Anedda Calcolare, tramite uno sviluppo in serie noto, la radice quinta di e la radice cubica di 9 Utilizzando la
DettagliFunzioni implicite - Esercizi svolti
Funzioni implicite - Esercizi svolti Esercizio. È data la funzione di due variabili F (x, y) = y(e y + x) log x. Verificare che esiste un intorno I in R del punto di ascissa x 0 = sul quale è definita
DettagliCompito di Meccanica Razionale M-Z
Compito di Meccanica Razionale M-Z 11 giugno 213 1. Tre piastre piane omogenee di massa m aventi la forma di triangoli rettangoli con cateti 4l e 3l sono saldate lungo il cateto più lungo come in figura
DettagliFasci di Coniche. Salvino Giuffrida. 2. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per A (1, 0) con tangente
1 Fasci di Coniche Salvino Giuffrida 1. Determinare e studiare il fascio Φ delle coniche che passano per O = (0, 0), con tangente l asse y, e per i punti (1, 0), (1, ). Determinare vertice e asse della
DettagliMinimi quadrati vincolati e test F
Minimi quadrati vincolati e test F Impostazione del problema Spesso, i modelli econometrici che stimiamo hanno dei parametri che sono passibili di interpretazione diretta nella teoria economica. Consideriamo
DettagliTutorato di Complementi di Analisi Matematica e Statistica Parte di Analisi 6 e 10 aprile 2017
Tutorato di Complementi di Analisi Matematica e Statistica Parte di Analisi 6 e 10 aprile 2017 Esercizi: serie di potenze e serie di Taylor 1 Date le serie di potenze a.) n=2 ln(n) n 3 (x 5)n b.) n=2 ln(n)
DettagliSistemi di equazioni differenziali
Capitolo 5 Sistemi di equazioni differenziali Molti problemi sono governati non da una singola equazione differenziale, ma da un sistema di più equazioni. Ad esempio questo succede se si vuole descrivere
Dettagli10 - Applicazioni del calcolo differenziale
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviuppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 10 - Applicazioni del calcolo differenziale Anno Accademico 2015/2016
DettagliEsercizi sulle equazioni differenziali a cura di Sisto Baldo, Elisabetta Ossanna e Sandro Innocenti
Esercizi sulle equazioni differenziali a cura di Sisto Baldo, Elisabetta Ossanna e Sandro Innocenti 1. Verifica che y(t) = 1 t + e t è una soluzione dell equazione y (t) = y(t) + t.. Scrivi un equazione
DettagliANALISI B alcuni esercizi proposti
ANALISI B alcuni esercizi proposti G.P. Leonardi Parte II 1 Limiti e continuità per funzioni di 2 variabili Esercizio 1.1 Calcolare xy log(1 + x ) lim (x,y) (0,0) 2x 2 + 5y 2 Esercizio 1.2 Studiare la
DettagliCalcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)
Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se
DettagliMATEMATICA PRIMO COMPITINO SOLUZIONE DI ALCUNI ESERCIZI PRIMA PARTE. Esercizio 1. (Testo B) Determina, motivando la risposta, se la funzione f : R R
ANNO ACCADEMICO 25 6 SCIENZE GEOLOGICHE E SCIENZE NATURALI E AMBIENTALI MATEMATICA PRIMO COMPITINO SOLUZIONE DI ALCUNI ESERCIZI PROFF MARCO ABATE E MARGHERITA LELLI-CHIESA PRIMA PARTE Esercizio (Testo
DettagliEsercizi svolti. a 2 x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.
Esercizi svolti 1. Sia sin(x ) f(x) = x ( 1 + x 1 ) se x > 0 a x + 3 se x 0; determinare a in modo che f risulti continua nel suo dominio.. Scrivere l equazione della retta tangente nel punto di ascissa
DettagliConsideriamo un sistema dinamico tempo-invariante descritto da:
IL PROBLEMA DELLA STABILITA Il problema della stabilità può essere affrontato in vari modi. Quella adottata qui, per la sua riconosciuta generalità ed efficacia, è l impostazione classica dovuta a M. A.
DettagliCalcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)
Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se
DettagliStudi di funzione. D. Barbieri. Studiare comportamento asintotico e monotonia di. f(x) = 1 x x4 + 4x e x
Studi di funzione D. Barbieri Esercizi Esercizio Esercizio Studiare comportamento asintotico e monotonia di f(x) = x + x4 + 4x Studiare il comportamento asintotico di f(x) = + x x + + e x Esercizio 3 Determinare
DettagliSulla successione di Fibonacci
Sulla successione di Fibonacci Filius Bonacii, 70-240 Tiziano Penati Costruzione del modello Un allevamento di conigli sia composto da una popolazione strutturata A = F + N, dove F indica il numero di
DettagliDipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango)
CAPITOLO 5 Dipendenza e indipendenza lineare (senza il concetto di rango) Esercizio 5.1. Scrivere un vettore w R 3 linearmente dipendente dal vettore v ( 1, 9, 0). Esercizio 5.2. Stabilire se i vettori
Dettagli0.1 Analisi qualitativa
0.1 Analisi qualitativa Non sempre è possibile scrivere esplicitamente le soluzioni di un equazione differenziale non lineare, e del resto non sempre un espressione esplicita aiuta a comprendere l andamento
Dettagli2. Calcolare l area della regione Ω contenuta nel primo quadrante, delimitata dalle seguenti curve. : y = x 2 + x γ 2 : y = x 2 γ 3 : y = 1 x 2.
Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi e Geometria Esercizi sul calcolo integrale. Calcolare l area della regione Ω contenuta nel primo quadrante, deitata dalle seguenti curve γ : y + γ :
DettagliCALENDARIO BOREALE 2 AMERICHE 2015 QUESITO 1
www.matefilia.it Indirizzi: LI0, EA0 SCIENTIFICO; LI0 - SCIENTIFICO - OPZIONE SCIENZE APPLICATE CALENDARIO BOREALE AMERICHE 0 QUESITO Determinare il volume del solido generato dalla rotazione attorno alla
DettagliModellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali
Università degli Studi di Siena Facoltà di Ingegneria Modellistica e Gestione dei Sistemi Ambientali Dispense sull analisi di stabilità di sistemi dinamici Prof.ssa Chiara Mocenni A. A. 2009/2010 ... Negli
DettagliCenni sulle coniche 1.
1 Premessa Cenni sulle coniche 1. Corso di laurea in Ingegneria Civile ed Edile Università degli Studi di Palermo A.A. 2013/2014 prof.ssa Paola Staglianò (pstagliano@unime.it) Scopo della geometria analitica
DettagliDipartimento di Matematica Corso di laurea in Fisica Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002
Compito di Geometria assegnato il 1 Febbraio 2002 Trovare l equazione della conica irriducibile tangente all asse x nel punto A(2, 0), tangente all asse y e passante per i punti B(1, 1) e C(2, 2) Scrivere
DettagliMassimi e minimi relativi in R n
Massimi e minimi relativi in R n Si consideri una funzione f : A R, con A R n, e sia x A un punto interno ad A. Definizione: si dice che x è un punto di massimo relativo per f se B(x, r) A tale che f(y)
DettagliMassimi e minimi vincolati
Massimi e minimi vincolati Vedremo tra breve un metodo per studiare il problema di trovare il minimo e il massimo di una funzione su di un sottoinsieme dello spazio ambiente che non sia un aperto. Abbiamo
DettagliIntroduzione alla Fisica Moderna - a.a
Introduzione alla Fisica Moderna - a.a. 015-16 7/9/016 Nome Cognome Matricola: 1) Si consideri il sistema di equazioni del primo ordine ẋ = y, ẏ = η y sin x, determinando i punti di equilibrio, il loro
DettagliCorso di Laurea in Informatica/Informatica Multimediale Esercizi Analisi Matematica 2
a.a 2005/06 Corso di Laurea in Informatica/Informatica Multimediale Esercizi Analisi Matematica 2 Funzioni di due variabili a cura di Roberto Pagliarini Vediamo prima di tutto degli esercizi sugli insiemi
DettagliSecondo parziale di Matematica per l Economia (esempio)
Corso di Laurea in Economia e Management Secondo parziale di Matematica per l Economia (esempio) lettere E-Z, a.a. 206 207 prof. Gianluca Amato Regole generali Si svolga il primo esercizio e, a scelta
DettagliESERCIZI SUI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME
ESERCIZI SUI PUNTI DI NON DERIVABILITÀ TRATTI DA TEMI D ESAME a cura di Michele Scaglia FUNZIONI DERIVABILI Sia f : domf R una funzione e sia 0 domf di accumulazione per domf Chiamiamo derivata prima di
DettagliAMERICHE PROBLEMA 1
www.matefilia.it AMERICHE 16 - PROBLEMA 1 Considerata la funzione G: R R è così definita: svolgi le richieste che seguono. 1) x G(x) = e t sen (t)dt Discuti campo di esistenza, continuità e derivabilità
DettagliEsercizi 2, 1. continuo. Modelli in equazioni di stato Linearizzazione. Prof. Thomas Parisini. Fondamenti di Automatica
Esercizi 2, 1 Esercizi sistemi dinamici a tempo continuo Modelli in equazioni di stato Linearizzazione Equazioni di stato: Esercizi 2, 2 1. Determinare le equazioni di stato per il seguente sistema termico:
Dettaglicontinuo 1. Determinare le equazioni di stato per il seguente sistema termico:
Esercizi 2, 1 Equazioni di stato: Esercizi 2, 2 1. Determinare le equazioni di stato per il seguente sistema termico: Esercizi sistemi dinamici a tempo continuo Modelli in equazioni di stato Linearizzazione
DettagliGeometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone
Geometria analitica del piano pag 12 Adolfo Scimone Fasci di rette Siano r e r' due rette distinte di equazioni r: ax + by + c r': a' x + b' y + c' Consideriamo la retta combinazione lineare delle due
DettagliGruppo esercizi 1: Vettori e matrici [E.1] Date le due matrici e il vettore
Gruppo esercizi 1: Vettori e matrici [E.1] Date le due matrici e il vettore A = 1 2 0 0 2 1 B = 2 1 0 1 0 2 u = (1, 2, 1), 3 2 1 1 1 1 [E.2] Date le due matrici e il vettore A = 1 2 0 0 1 0 0 1 3 B = 1
DettagliDomande da 6 punti. Prima parte del programma
Domande da 6 punti Prima parte del programma Domanda. Dare la definizione di arco di curva continua, di sostegno di una curva, di curva chiusa, di curva semplice e di curva piana fornendo qualche esempio.
DettagliAnalisi Matematica 1+2
Università degli Studi di Genova Facoltà di Ingegneria - Polo di Savona via Cadorna 7-700 Savona Tel. +39 09 264555 - Fax +39 09 264558 Ingegneria Gestionale Analisi Matematica +2 A.A 998/99 - Prove parziali
DettagliORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIVA QUESTIONARIO QUESITO 1
www.matefilia.it ORDINAMENTO 2003 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESTIONARIO QUESITO Tra i rettangoli aventi la stessa area di 6 m 2 trovare quello di perimetro minimo. Indicate con x ed y le misure della base
DettagliCompitino di Fondamenti di Automatica del 18/11/2011- TEMA A
Compitino di Fondamenti di Automatica del 18/11/2011- TEMA A Cognome e nome: Matr.: Non è ammessa la consultazione di libri o quaderni. Scrivere in modo chiaro e ordinato, motivare ogni risposta e fornire
Dettagli1 a PROVA PARZIALE DI FONDAMENTI DI AUTOMATICA A.A. 2004/ novembre Soluzione
a PROVA PARZIAE DI FONDAMENTI DI AUTOMATIA A.A. 24/25 9 novembre 24 Esercizio on riferimento alla funzione di trasferimento G(s) = 7s2 + 36s + 48 (s + 3)(s + 4) 2 Domanda.. Indicare i valori del guadagno,
DettagliAnalisi Matematica 2 Ingegneria Gestionale Docenti: B. Rubino e R. Sampalmieri L Aquila, 21 marzo 2005
Analisi Matematica 2 Ingegneria Gestionale Docenti: B. Rubino e R. Sampalmieri L Aquila, 21 marzo 2005 Prova orale il: Docente: Determinare, se esistono, il massimo ed il minimo assoluto della funzione
DettagliIngegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05. E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni
Ingegneria Civile. Compito di Geometria del 06/09/05 E assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 mediante le relazioni I f(,, 0) = (h +,h+, ) f(,, ) = (h,h, h) f(0,, ) = (,h, h) con h parametro reale. ) Studiare
DettagliLUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 2010/2011
LUISS Laurea specialistica in Economia e Finanza Anno Accademico 1/11 Corso di Metodi Matematici per la Finanza Prof. Fausto Gozzi, Dr. Davide Vergni Soluzioni esercizi 4,5,6 esame scritto del 13/9/11
DettagliUn paio di esempi su serie e successioni di funzioni
Un paio di esempi su serie e successioni di funzioni 29 novembre 2010 1 Successione di funzioni Ricordiamo innanzitutto un po di definizioni. Definizione 1. Una successione di funzioni è una corrispondenza
DettagliS.Barbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie. Cap. 2. Cinematica del punto
SBarbarino - Appunti di Fisica - Scienze e Tecnologie Agrarie Cap 2 Cinematica del punto 21 - Posizione, velocitá e accelerazione di una particella La posizione di una particella puó essere definita, ad
DettagliEQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI
EQUAZIONI, DISEQUAZIONI E SISTEMI RICHIAMI DI TEORIA Definizione: sia f una funzione reale di variabile reale. Gli elementi del dominio di f su cui la funzione assume valore nullo costituiscono l' insieme
DettagliUniversità degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 2010 Tema A
Università degli Studi di Bergamo Matematica II (5 e 7,5 crediti) 18 febbraio 21 Tema A Tempo a disposizione: 2 ore. Calcolatrici, libri e appunti non sono ammessi. Ogni esercizio va iniziato all inizio
DettagliANALISI E SIMULAZIONE DI SISTEMI DINAMICI. Lezione XI: Stabilità interna
ANALISI E SIMULAZIONE DI SISTEMI DINAMICI Lezione XI: Stabilità interna Stabilità interna e esterna Stabilità alla Lyapunov Stabilità asintotica I sistemi lineari Esempi 11-1 Tipi di Stabilità Idea intuitiva
DettagliAlcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici
ANALISI MATEMATICA T- (C.d.L. Ing. per l ambiente e il territorio) - COMPL. DI ANALISI MATEMATICA (A-K) (C.d.L. Ing. Civile) A.A.008-009 - Prof. G.Cupini Alcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici
DettagliIl numero di riproduzione R 0 in alcuni modelli di trasmissione dell HIV in presenza di vaccinazione e sottotipi
Università degli Studi di Trento Facoltà di Scienze Matematiche Fisiche e Naturali in alcuni modelli di trasmissione dell HIV in presenza di vaccinazione e sottotipi Relatore: Prof. Andrea Pugliese 24
Dettagli