Algebra Teoria Degli Insiemi (Unimib)

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1 Algebra Teoria Degli Insiemi (Unimib) 9 ottobre 2017

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3 Capitolo 1. Teoria Degli Insiemi 2 / 20 Capitolo 1 Teoria Degli Insiemi 1.1 Insiemi Definizioni La nozione di insieme viene assunta come intuitiva. Un insieme è una collezione di oggetti. Tutti gli insiemi sono sottoinsiemi dell insieme universo e sono fatti da oggetti chiamati elementi. Gli insiemi verranno indicati con lettere maiuscole. Dato un insieme X si definiscono elementi di X gli oggetti ell insieme, che si indicano con lettere minuscole. La scrittura x X significa che x è un oggetto di X. Se invece y non è un oggetto di X, si scrive y / X. L insieme vuoto si denota con. Diremo che un insieme Y è un sottoinsieme dell insieme X se Y è contenuto in X ( Y X ). Due insiemi coincidono se sono ciascuno un sottoinsieme dell altro e si scrive X Y. Per dimostrare che due insiemi sono uguali bisogna dimostrare che ogni elemento del primo è contenuto nel secondo e viceversa. Chiamiamo U l insieme universo. Gli insiemi in un contesto dato sono tutti sottoinsiemi di U. L insieme di tutti i sottoinsiemi di U, chiamato insieme delle parti di U, si indica con P U Insiemi finiti o infiniti Un insieme è finito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con l insieme dei numeri naturali fino a un dato n. Un insieme è infinito se può essere messo in corrispondenza biunivoca con un

4 Capitolo 1. Teoria Degli Insiemi 3 / 20 sottoinsieme proprio. Ad esempio, gli interi relativi possono essere messi in corrispondenza biunivoca con gli interi pari. Dati due interi m, n esistono e sono unici interi q e r tali che si può scrivere m = qn + r, e 0 < r < n. Gli interi sono ordinabili sulla retta reale Famiglia di insiemi Dato un insieme finito X, i suoi oggetti si indicano {x 1, x 2, x n }, e questi oggetti sono a due a due distinti, l ordine con cui gli oggetti sono scritti è ininfluente e n si definisce la cardinalità dell insieme. Si può esprimere X come l insieme di tutti gli oggetti {x i } i I e I è un insieme di indici. Anche quando I = N = Z, l insieme X non è una successione. Se i j, x i x j. In una successione invece ci possono essere ripetizioni predicati Si può specificare un insieme mediante un predicato. Presa una variabile x e chiamato P (x) un predicato, allora posso definire un insieme X come {x U} per i quali P (x) è vera. Se considero sull intervallo reale l intervallo chiuso e limitato [a, b], p(x) = a x b Unione e intersezione Per ogni coppia di insiemi A e B si possono costruire l unione e l intersezione dei due insiemi. Siano A, B U. L unione di A e B indicato con A B è per definizione {x U} tali che x A, x B oppure x A e x B contemporaneamente. L intersezione è l insieme degli x U che appartengono a entrambi gli insiemi, cioè tali che x A e x B. Se dati due insiemi A e B chiamo A \ {B} l insieme degli elementi di A che non stanno in B e B \ {A} l insieme degli elementi di B che non stanno in A, A B A B = A \ {B} B \ {A}.

5 Capitolo 1. Teoria Degli Insiemi 4 / Operazioni Un operazione binaria è un applicazione su ogni coppia di interi. Unione e intersezione possono essere considerate come operazioni interne binarie definite sull insieme delle parti P (U) Una struttura algebrica è un insieme non vuoto sul quale sono definite una o più operazioni binarie, che a ogni coppia di elementi dell insieme associano un altro elemento dell insieme univocamente determinato. Un esempio di operazione esterna è il prodotto scalare per vettore, che coinvolge anche insiemi esterni. La terna P (U),,, data dall insieme non vuoto delle parti di U nel quale sono definite le operazioni unione e intersezione, è una struttura algebrica Proprietà formali di somma e intersezione Unione e intersezione operazioni hanno alcune proprietà formali: 1. A B = B A, cioè l operazione di unione è commutativa. Analogamente A B = B A 2. Se A, B, C P (U), (A B) C = A (B C) (proprietà associativa). Analogamente (A B) C = A (B C) 3. per ogni A e B, A (A B) = A, e A (A B) = A (proprietà di assorbimento) 4. presi tre insiemi A, B, C, allora A (B C) = (A B) (A C) (proprietà distributiva), analogamente A (B C) = (A C) (A C) ; Una struttura algebrica nella quale le operazioni soddisfano queste proprietà si chiama reticolo distributivo (netice). Quindi l insieme delle parti con queste proprietà si dice reticolo distributivo Elementi neutri A = A, cioè se compongo l insieme vuoto con un qualsiasi insieme di U ottengo l elemento preso. L elemento è l elemento neutro rispetto all unione (chiamato 0 del reticolo). Si ha U A = A, quindi l insieme universo è l elemento neutro rispetto all intersezione (chiamato 1 del reticolo). L elemento neutro rispetto a un operazione è unico Complementazione Nel reticolo P (U) si può introdurre un operazione unaria, che a un elemento dell insieme U ne associa un altro univocamente determinato. Questa operazione è la complementazione e ad ogni insieme A associa il complementare, cioè l insieme

6 Capitolo 1. Teoria Degli Insiemi 5 / 20 di tutti gli elementi dell universo che non stanno in A. A si chiama complemento di U. Anche questa operazione ha proprietà formali: A A = U = 1, A A = = 0 A. In generale un insieme non vuoto con due operazioni binarie soddisfacenti le proprietà formali di unione e intersezione e un operazione unaria con le proprietà della complementazione si chiama algebra di Boole. Nelle proprietà commutativa, associativa, unione e intersezione hanno un ruolo duale. Provare che valgono le proprietà distributive equivale a provare che A (B C) (A B) (B C) e viceversa. Le prime tre coppie di assiomi includono il principio di dualità. Esercizio Si possono legare unioni e intersezione con le proprietà di assorbimento. Per legare la complementazione alle operazioni precedenti si usano le leggi 1. (A B) = A B. Il complemento dell intersezione è uguale all unione dei complementi. 2. (A B) = A B (per il teorema duale) Unione e intersezione di più insiemi Nell insieme universo U prendiamo una collezione di insiemi qualsiasi: {A i P (U)} i I. Allora è necessario definire l unione di tutti gli A i, cioè {A i } = {x U t.c. i I t.c.x A i } Analogamente i I {A i} = {x U t.c. i I x A i } 1.3 Relazioni Prodotto cartesiano Nell universo presi due insiemi X, Y P (U). Definiamo prodotto cartesiano X Y {(x, y) x X y Y }. Se X Y, allora segue X Y Y X. Se X = Y, allora X X = X 2 è il quadrato cartesiano. Presa una n -upla ordinata (X 1, X 2, X n ) di insiemi contenuti in U, ad essa si può associare il prodotto cartesiano X 1 X 2 X n = {(x 1, x 2, x n ), x 1 X 1, x 2 X 2, x n X n } Si può definire la potenza cartesiana X Y come l insieme delle funzioni da Y a X.

7 Capitolo 1. Teoria Degli Insiemi 6 / Relazioni binarie Prendiamo due insiemi X e Y non vuoti. Si dice relazione fra X e Y ogni sottoinsieme R del prodotto cartesiano X Y. Se ho una funzione reale di variabile reale f(x), posso definire una relazione data dalle coppie x, f(x) che rappresenta il grafico della funzione. Se la coppia (x, y) appartiene a R, si può scrivere xry, cioè x è associato a y ella relazione. Ci sono due casi banali da considerare: 1. relazione universale: ogni elemento di x è associato a ogni elemento di y. 2. relazione vuota: nessun x è associato ad alcun y. Le relazioni fra X e Y sono gli elementi che costituiscono gli insiemi delle parti di X Y. Se (x, y) / R, si scrive x Ry (cioè x non è associato a y mediante R). Caso particolare: Una relazione di X con se stesso è un sottoinsieme di X 2. Oltre alla relazione universale e a quella vuota, una relazione particolare è la relazione identità: {(x, x)} (associa ad ogni elemento solamente se stesso) Composizione di relazioni Si può definire il prodotto di relazioni. Nel caso di funzioni reali di variabile reale, si possono fare due prodotti: (f g)(x) = f(x) g(x) oppure (f g)(x) = f g(x). Supponiamo di avere tre insiemi non vuoti X, Y, I e supponiamo di avere una relazione R X Y e s Y I. Per definire il prodotto di r e s lo indico con s r(x I) = {(x, i), X I, t.c. y Y t.c. (x, y) R (y, i) S}. In questo caso non posso definire R S. r s è definibile se e solo se I coincide con X. Se questo è vero si può definire r s e s r ma le due relazioni sono definite su insiemi diversi: la prima è un sottoinsieme di X 2, mentre la seconda è definita su Y ed è un sottoinsieme di Y 2. Se X = Y = I, in generale s r r s. La composizione di relazioni X 2 è non commutativa, tranne nel caso in cui X è costituita da un solo oggetto. Il prodotto di relazioni in generale è associativo.

8 Capitolo 1. Teoria Degli Insiemi 7 / Associatività della composizione di relazioni Se X = Y, l insieme delle relazioni binarie fra X e Y è l insieme delle parti di X 2. Se considero P (X 2 ) (insieme delle relazioni binarie su X ), abbiamo una struttura algebrica con un operazione binaria (composizione di relazioni). L operazione non è commutativa, tranne nel caso in cui l insieme X sia costituito da un unico oggetto. Nel caso generale: Teorema se R X Y e S Y V e T V W. Allora posso definire (T S) R = T (S R). Con questo si intende che il prodotto di relazioni è associativo. Dimostrazione Per verificare che i due sottoinsiemi coincidono, faremo vedere che uno sia contenuto nell altro e viceversa. Prendiamo un elemento di T (S R) che è una coppia ordinata (x, w) con x X, w W. Allora per la definizione di composizione di relazioni esiste y Y t.c.(x, y) R, (y, w) T S. A sua volta, dire che y è associato a w significa che esiste v V tale che (y, v) S e (v, w) T. D altronde ysv e xry implica che (x, v) S R. A sua volta dire che (x, v) S R e (v, w) T implica che (x, w) T S R. Ho provato che qualunque coppia (T S) R T (S R). Similmente si prova che vale l inclusione opposta. Allora possiamo scrivere t s r senza mettere le parentesi. Ci occuperemo in particolare di relazioni binarie definite su un insieme X e di applicazioni, che sono relazioni particolari definite tra X e Y. Tra le relazioni su un insieme X non vuoto ci sono le relazioni di equivalenza Proprietà importanti delle relazioni 1. R si dice riflessiva se a X, a è associato a se stesso e quindi R contiene la relazione identica su X. 2. R si dice simmetrica se a, b X, se a è associato a b, allora b è associato ad a. relazione trasposta: se x R t y, y R x e viceversa. Quindi R = R t se R è simmetrica.

9 Capitolo 1. Teoria Degli Insiemi 8 / R si dice antisimmetrica se a, b X, arb e bra, allora a = b (solo se a e b coincidono). In termini delle relazioni, l intersezione tra R e R t è contenuta nell identità 2. R si dice transitiva se presi tre elementi a, b, c X, se arb e brc implica arc relazioni di equivalenza R si dice di equivalenza se è riflessiva, simmetrica e transitiva, cioè se valgono le proprietà 1, 2, 4. Ad esempio, la relazione di equivalenza fra poligoni di avere la stessa area è di equivalenza in senso generale. Lo stesso vale per la relazione di sovrapponibilità e similitudine tra poligoni, il parallelismo tra rette. La relazione di ortogonalità non lo è, perché non è riflessiva ne transitiva Relazioni d ordine Una relazione si dice di ordine se valgono le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva. Una relazione d ordine si dice totale se presi due elementi a, b X, a b o b a, altrimenti si parla di ordinamento parziale. Per esempio, preso l insieme delle parti di un insieme X prendo la relazione di inclusione, X Y se e solo se X Y (relazione d ordine). Non è una relazione d ordine totale, perché presi due elementi distinti, considerati gli insiemi che hanno come oggetto i due elementi, non sono confrontabili. Esercizio se ho un insieme finito di cardinalità n, i suoi sottoinsiemi sono 2 n. Considerati commutatività, associatività e proprietà di assorbimento, si può provare che se ho un reticolo e chiamo a, b, c i suoi elementi, allora si può definire una relazione d ordine dicendo che a b e A B = A o A B = B. Questa relazione d ordine, non totale, ha la proprietà che ogni coppia di oggetti ha un estremo superiore (unione) e un estremo inferiore (intersezione).

10 Capitolo 1. Teoria Degli Insiemi 9 / Applicazioni Notazione Una relazione f tra un insieme X e un insieme Y si dice applicazione se x Xesiste ed è unicoy Y tale che(x, y) F In una relazione in generale un elemento x può essere associato a più elementi o a nessuno: nell applicazione questo non avviene. Si scrive F : X Y, X è il dominio e Y è il codominio di F. Se x è associato a y si scrive y = f(x) oppure x y. y è l immagine di x e x è una preimmagine di y. Preso un qualsiasi sottoinsieme S X denotiamo come F (S) l immagine di tutti gli elementi di S cioè {f(s), s S} In generale, f(x) è un sottoinsieme di Y Iniettività, suriettività e biettività 1. Diremo che F : X Y è suriettiva se F (X) = Y, cioè se ogni elemento del codominio ha almeno una preimmagine. 2. F : X Y si dice iniettiva se presi due elementi X 1, X 2 X, F (X 1 ) = F (X 2 ) implica che X 1 = X 2 3. F : X Y si dice biettiva se ogni elemento di Y ha una sola preimmagine in X, cioè se F è sia suriettiva che iniettiva. Di conseguenza X e Y hanno la stessa cardinalità Restrizione di un applicazione Se S X e F : X Y, posso considerare F s : S Y, f s (s) = f(s) s S e si definisce restrizione di F al sottoinsieme S. Preso un sottoinsieme dell identità, la restrizione dell identità a un sottoinsieme viene chiamata relazione di inclusione.

11 Capitolo 1. Teoria Degli Insiemi 10 / esempi Presa la funzione F : R R definita assegnando come immagine di ogni x R il suo quadrato, essa non è ne suriettiva ne iniettiva. Se restringo il codominio a R+ ottengo una funzione suriettiva. Fissato un reale positivo a. chiamo f a : R R la funzione f(x) = a x (funzione esponenziale in base a). f a (R) = R+ se a 1 ; 1 se a = 1. La funzione è iniettiva. Sia n un fissato intero relativo e consideriamo l applicazione F n (Z Z) che consiste nell associare a ogni intero z il multiplo nz. Se n = ±1, 1 è l identità ed è biettiva. f 0 è la mappa nulla. Se n 0, ±1, f n è iniettiva ma non suriettiva Successione Dati due insieminon vuoti X e Y, possiamo considerare l insieme di tutte le applicazioni da X a Y. Si denota questo insieme con la forma Y X. Se X = {x i, i I} e se considero F : X Y, allora si ottiene una lista indicata con (y i ) i I, questa è la lista delle immagini degli elementi di X e non è un insieme, perché le immagini si possono anche ripetere. Se considero gli elementi 1, 2, n l immagine è y 1, y 2, y n. Se Y è l insieme dei reali e X è l insieme degli interi maggiori uguali di 0, l insieme delle funzioni da X a Y sono dette successioni Prodotto di applicazioni Siccome le funzioni sono tipi particolari di applicazioni, si può definire la composizione di funzioni. Proposizione Sia F (X Y ) e g(y V ), allora si può definire g f(x V ) che è a sua volta un applicazione. Dimostrazione Per dimostrarlo, si utilizza la definizione di composizioni e si mostra che a ogni y viene associata una e una sola immagine v in V. (x, v) g f(x) equivale a x(g f)v. Il prodotto di applicazioni è associativo e in generale non commutativo. Componendo f a destra con l identità su x ottengo ancora f. Componendo f a sinistra con l identità su y ottengo ancora f. In simboli id(y ) f = f id(x) = f. Per ogni f l identità su y è l elemento neutro rispetto al prodotto e l identità su x è l elemento neutro a destra rispetto al prodotto.

12 Capitolo 1. Teoria Degli Insiemi 11 / 20 Proposizione Se f e g sono applicazioni e considero il prodotto g f, se f e g sono entrambe suriettive, iniettive o biettive, il prodotto è rispettivamente suriettivo, iniettivo e biettivo Applicazione inversa Sia F un applicazione da un insieme X a un insieme Y e sia g un applicazione da Y a X. Si possono considerare entrambi i prodotti f g e g f. g è un inversa sinistra di f se g f = id(x) e f è un inversa destra di g. Se inoltre si ha che f g = id(y), allora g è un inversa (bilatera) di f e similmente f è un inversa bilatera di g. Proposizione Il prodotto cartesiano di un numero anche infinito di insiemi non è vuoto. Si possono dimostrare le seguenti condizioni necessarie e sufficienti: 1. un applicazione F : X Y ammette un inversa sinistra se e solo se è iniettiva. 2. un applicazione F : X Y ammette un inversa destra se e solo se è suriettiva; 3. un applicazione F : X Y ammette un inversa bilatera G : Y X se e solo se è biettiva e tale inversa è unica ed è biettiva e la si chiama f 1 (Y X). Un applicazione lineare è invertibile se e solo se è biettiva. 1.5 Relazioni di equivalenza Sia R una relazione di equivalenza su un insieme non vuoto X. Se a X, denotiamo col simbolo [a] R l insieme di tutti e soli gli x tali che xra. Questo insieme di elementi si chiama classe di equivalenza individuata dall elemento a. Proposizione 1. a [a] R, perché vale la proprietà riflessiva e quindi a è associato a sé stesso

13 Capitolo 1. Teoria Degli Insiemi 12 / se arb, allora la classe di equivalenza di A coincide con la classe di equivalenza di B, cioè [a] R = [b] R. Questo significa che per rappresentare una classe di equivalenza, si può prendere qualsiasi elemento appartenente a questa classe. 3. se a Rb, allora [a] r [b] r =. Ogni elemento di X sta in una sola classe di equivalenza, cioè le classi di equivalenza determinano una partizione di X. L insieme quoziente è l insieme di tutte le classi di equivalenza. Presa la relazione di parallelismo tra rette, le classi di equivalenza sono i fasci di rette parallele. Se X = Y tra le applicazioni di X con sé stesso c è l identità Proprietà della classe di equivalenza Ogni a X, denotiamo con [a] R la classe di equivalenza che contiene l elemento a che è per definizione. Lemma (26) {x X t.c. xra} Per ogni a, b X, valgono le seguenti proprietà: 1. a [a] R 2. se arb, allora [a] R coincide con [b] R. Questo significa che ogni classe di equivalenza può essere denotata con qualsiasi suo elemento. 3. se a Rb, allora [a] R [b] R = Dimostrazione 1. Basta ricordare che vale la proprietà riflessiva. 2. Supponiamo arb. Sia xra, x [a] R. Allora siccome per ipotesi aarb e vale la proprietà transitiva, xrb. Allora ogni elemento nella classe [a] R sta anche in [b] R. Per simmetria si vede che [a] R [b] R 3. Supponiamo per assurdo che x [a] R [b] R. Allora xra e xrb, ma per simmetria xra arx e per la proprietà transitiva arx e xrb implicano arb, contraddizione!

14 Capitolo 1. Teoria Degli Insiemi 13 / Partizione In generale, sia {a i } ai X, i I una collezione di sottoinsiemi non vuoti di X. Questa collezione si dice partizione di X se X = {a i } (è unione disgiunta degli A i ), ovvero ogni elemento di X sta in uno solo degli A i, perché per i j, a i a j =. Gli A i si chiamano elementi della partizione. Per il lemma precedente, le classi di equivalenza [a] R (a X) formano una partizione di X, perché per il punto 1 ogni elemento di X sta in una classe di equivalenza e le classi di equivalenza o coincidono o hanno intersezione vuota. Viceversa, ogni partizione di un insieme non vuoto X da luogo a una relazione di equivalenza R su X, ponendo arb se e solo se a, b appartengono allo stesso elemento A i della partizione {A i } Insieme quoziente La partizione associata a un insieme X si chiama insieme quoziente rispetto a R. La partizione di X associata a una relazione di equivalenza R, cioè l insieme che ha per elementi le classi di equivalenza [a] R si dice insieme quoziente di X rispetto a R e si denota con X/R. L applicazione π R (X X/R), che associa a ogni elemento di X la sua classe di equivalenza, definita ponendo a X, π R (a) = [a] R si dice proiezione canonica di X su X/R Relazione di equivalenza associata a un applicazione Sia F (X Y ) un applicazione. Definiamo la relazione R F su X ponendo a, b X, ar F b se e solo se F (A) = F (B). Questa relazione è simmetrica, transitiva e riflessiva. Si dice che R F è la relazione di equivalenza associata all applicazione F. Questa relazione coincide con l identità su X se e solo se F è iniettiva. 1.6 Proprietà universale della proiezione canonica Diremo morfismo un applicazione che conserva le operazioni.

15 Capitolo 1. Teoria Degli Insiemi 14 / 20 Teorema Sia F : X Y un applicazione e sia R F la relazione di equivalenza prima definita, associata a F. Sia ora R una qualsiasi relazione di equivalenza su X, con questa proprietà: R R F (ovvero: quando due elementi sono associati in R, lo sono anche in R F ). Allora denotata con π R la proiezione canonica associata alla relazione di equivalenza R, cioè l applicazione F (X X/R) che associa a ogni elemento di X la classe [a] R, esiste ed è unica l applicazione F dall insieme quoziente X/R a Y tale che sia F = F π R (proprietà di fattorizzazione). (passare da X a Y mediante F equivale a passare prima attraverso la relazione canonica e poi attraverso l applicazione F ). F è tale da rendere commutativo il diagramma: X π R X/R F Y = X F Y. Dimostrazione Consideriamo la corrispondenza o relazione F : X/R Y che associa ad [a] R l elemento f(a). Bisogna garantire che f(a) sia unico, e cioè che l applicazione sia ben definita. A priori l applicazione dipende dall elemento a che ho scelto per rappresentare la classe. Devo garantire che se [a] R = [b] R, allora f(a) = f8b). Questo deriva dal fatto che R R F. Se R R F, allora f(a) = f(b) e dunque l immagine di [a] R mediante F non dipende dalla particolare scelta di a come rappresentante. Pertanto F è un applicazione ben definita da X/R a Y e ovviamente per costruzione F = F π R. a π x [a] R f f(a) = a f f(a) Per quanto riguarda l unicità di F, supponiamo che esista F : X/R Y tale che F = F π R. Allora F ([a] R ) = F (a). Allora F (x) = F per come F è definita. La condizione R R F è condizione necessaria e sufficiente affinché il teorema valga Osservazioni sul teorema Osservazione F è iniettiva se e solo se il fatto che due elementi hanno la stessa immagine implica che i due elementi siano uguali, cioè se F ([a R ]) = F ([b] R ) [a] R = [b] R. Ma F ([a] R ) = f(a) = f([b] R ) = f(b), quindi f(a) = f(b) [a] R = [b] R. Quindi accade che ar f b arb, ovvero R F R, ovvero R = R F (siccome per ipotesi R R f ). L applicazione risulta iniettiva se e solo se R = R f. Osservazione F è suriettiva se e solo se lo è F. Osservazione

16 Capitolo 1. Teoria Degli Insiemi 15 / 20 F è biettiva se e solo se R = R F e F è suriettiva. 1.7 Operazioni binarie Proprietà generali di operazioni binarie su un insieme X Un operazione binaria sull insieme X per definizione è un applicazione : X 2 X, che a ogni coppia di elementi a, b X, cioè a ogni coppia ordinata (a, b) X 2, associa uno e un solo elemento di X, definito come a b. Proprietà associativa: Un operazione binaria è associativa se per ogni a, b, c X se (a b) c = a (b c). In questa situazione possiamo scrivere a b c senza usare le parentesi. Si può dedurre la proprietà associativa generalizzata: se vale la proprietà associativa per terne, allora per induzione su n vale la proprietà associativa generalizzata a 1 a 2 a n produce lo stesso risultato indipendentemente dalle parentesi (provarlo per esercizio). Proprietà commutativa: per ogni a, b X, a b = b a. Esercizio Si svolge l esercizio citato nella definizione di cui sopra. Sappiamo che la proprietà associativa è valida per n = 3. Passo induttivo: Supponiamo vera la proprietà per n = k, k 3, e la dimostriamo per n = k + 2. {[(a 1 a 2 ) a k ] a k+1 } a k+2 = Per il passo indutivo sappiamo che (a 1 a 2 ) a k = a 1 a 2 a k, allora possiamo scrivere [(a 1 a 2 a k ) a k+1 ] a k+2 Si ritorna nel caso k = 3 e quindi la proprietà associativa è valida Unità destra, sinistra e bilatera Un elemento u s X si dice unità sinistra rispetto a se per ogni x X, u s x = x. Un elemento u d si dice unità destra se x u d = x. u si dice unità bilatera se u x = x u = x. Proposizione Se esistono un unità sinistra u s e un unità destra u d rispetto a, allora

17 Capitolo 1. Teoria Degli Insiemi 16 / u s = u d. 2. u s è l unica unità sinistra; 3. u d è l unica unità destra; 4. u s = u d = u è l unica unità bilatera. Dimostrazione 1. ( u s = u d ) Basta considerare u s u d = u s = u d per le definizioni scritte prima. 2. ( u s è l unica unità sinistra) Supponiamo che ū s sia un altra unità sinistra. allora per il punto 1 ū s = u d = u s, quindi ū s = u s Inverso sinistro, destro e bilatero Sia : X 2 X un operazione binaria con unità u. Allora 1. un elemento x s si dice inverso sinistro di x X se x s x = u 2. un elemento x d si dice inverso destro di un elemento x X se x x d = u 3. un elemento x si dice inverso bilatero di X se x x = x x = u Nel caso valga la proprietà associativa, l esistenza di un inversa sinistra e di un inversa destra implica che queste coincidono e siano inverse bilatere. Proposizione Se per x X esistono un inversa sinistra x s e un inverso destro x d e inoltre è associativa, allora: 1. x s = x d 2. x s = x d = x è inverso bilatero di X 3. x s è l unico inverso sinistro e x d è l unico inverso destro e x è l unico inverso bilatero. Dimostrazione Posso scrivere (x s x) x d, ma siccome l operazione è associativa, questo è uguale a x s (x x d ). Il primo termine (x s x) x d = u x d = x s (x x d ) = x s u. Quindi segue che x s u = u x d = x s = x d Si può dimostrare l unicità.

18 Capitolo 1. Teoria Degli Insiemi 17 / Insieme chiuso rispetto a un operazione Sia un operazione binaria definita su X. Un sottoinsieme Y non vuoto di X si dice chiuso rispetto a se per ogni y 1, y 2 Y, y 1 y 2 Y, cioè Y 2 Y. Se ho un sottoinsieme chiuso, si può definire la restrizione di a Y, cioè l applicazione, indicata con Y : Y 2 Y tale che y 1, y 2 Y, y 1 Y y 2 = y 1 y 2. Osservazione Ogni proprietà di tipo equazionale di sugli elementi di Y si eredita alla restrizione Y. Ad esempio, preso l insieme Z degli insiemi relativi e N (0) l insieme dei naturali, la somma definita in Z a valori in N è ancora associativa, ma mentre in Z c è l unità rispetto alla somma, l unità non è un numero naturale. Preso un numero relativo, esso ha l inverso rispetto alla somma, ma non vale lo stesso per i naturali. In Z solo 1 e 1 ha inverso rispetto al prodotto. In Q ogni numero ha inverso rispetto al prodotto, ma restringendo l operazione a N questo non avviene Operazioni binarie esterne Dati due insiemi E e X non vuoti e sia : E X X, che associa alla coppia ordinata (e, x) un unico elemento di X. In questo caso si dice che E opera o agisce su X. Una struttura algebrica in generale è data da un insieme non vuoto X nel quale si definiscono una o più operazioni 1, 2, n, con n > 2 (operazioni n-arie), e eventualmente operazioni esterne e1, e2, en. Due strutture algebriche si possono ritenere isomorfe o equivalenti quando si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i due insiemi e una corrispondenza opportuna tra le rispettive operazioni. 1.8 Lemma di Zorn Questo enunciato è equivalente all assioma della scelta.

19 Capitolo 1. Teoria Degli Insiemi 18 / Insieme induttivo Sia X un insieme non vuoto ordinato (munito di una relazione d ordine, riflessiva simmetrica e transitiva). Allora (X, ) si dice induttivo se ogni sottoinsieme Y X totalmente ordinato (o catena) ammette estremo superiore (esiste il minimo dei maggioranti degli elementi di Y ). Quindi x Xt.c.y x y e se zt.c.y z, allora x z. Un elemento a X si dice massimale rispetto alla relazione d ordine se non esiste alcun elemento x X diverso da a tale che sia x > a. Equivalentemente, a si dice massimale se per ogni x X tale che x a, x coincide con a. Lemma di Zorn: Ogni (X, ) che sia induttivo ammette almeno un elemento massimale Versione insiemistica del lemma di Zorn Sia X una collezione non vuota di sottoinsiemi non vuoti di un fissato insieme U, ordinato rispetto all inclusione. In altre parole, si considera l insieme ordinato (X, ) dove è la relazione di inclusione fra gli elementi della collezione X. Si supponga X induttivo: questo significa che se prendo una qualsiasi collezione di elementi di X, l unione insiemistica sta ancora in X ; per ogni sottoinsieme X j (j J) della collezione X, che sia totalmente ordinato, esso ammette un estremo superiore. Rispetto alla relazione di inclusione insiemistica, l estremo superiore è l unione di tutti gli X j. L estremo superiore dev essere contenuto in X. Se queste ipotesi sono soddisfatte, X ammette un elemento massimale Assioma della scelta Si potrebbe provare che in ZF (teoria degli insiemi secondo Zermeno-Frainkley) il lemma di Zorn è equivalente al cosiddetto assioma della scelta. Ipotesi del continuo: Fra i numerabili e il continuo non esiste nessuna cardinalità intermedia. Assioma della scelta: Sia S un insieme non vuoto. Allora esiste una funzione F : P (S) S tale che per ogni X P (S) sia F (X) X. (a ogni sottoinsieme non vuoto di S la funzione associa un elemento di tale insieme, che si può scegliere). F si chiama funzione di scelta Famiglia

20 Capitolo 1. Teoria Degli Insiemi 19 / 20 Siano I e X due insiemi non vuoti. Allora un applicazione F : I X si dice famiglia di elementi di X, (con I insieme di indici) e si denota con (x i ) i I, dove X i è l immagine mediante F dell indice I. Ad esempio, se I = Z 0, allora la nozione di famiglia coincide con la nozione di successione degli elementi. Sia X P (U) una collezione non vuota di insiemi e sia (S i ) i I una famiglia di insiemi con insieme di indici I. Allora si definiscono in modo naturale l intersezione e unione degli insiemi S i. Supponiamo che i sottoinsiemi S i non siano tutti vuoti e poniamo S = {S i }. Allora possiamo definire la nozione di prodotto cartesiano degli elementi della famiglia. Si dice prodotto cartesiano della famiglia e si denota i I S i l insieme delle famiglie s i, i I di elementi di S tali che per ogni i I, s i S i. Se anche uno solo degli insiemi S i è vuoto, il prodotto cartesiano è vuoto. Assioma (equivalente all assioma della scelta): Se per ogni i I l insieme S i, allora i I S i è diverso dall insieme vuoto.

21 Capitolo 2. Fonti per testo e immagini; autori; licenze 20 / 20 Capitolo 2 Fonti per testo e immagini; autori; licenze 2.1 Testo Corso:Algebra Teoria Degli Insiemi (Unimib)/Teoria Degli Insiemi/Insiemi Fonte: Degli_Insiemi/Insiemi?oldid=38015 Contributori: Mmontrasio Corso:Algebra Teoria Degli Insiemi (Unimib)/Teoria Degli Insiemi/Operazioni Fonte: /Teoria_Degli_Insiemi/Operazioni?oldid=38045 Contributori: Mmontrasio Corso:Algebra Teoria Degli Insiemi (Unimib)/Teoria Degli Insiemi/Relazioni Fonte: /Teoria_Degli_Insiemi/Relazioni?oldid=38043 Contributori: Mmontrasio Corso:Algebra Teoria Degli Insiemi (Unimib)/Teoria Degli Insiemi/Applicazioni Fonte: /Teoria_Degli_Insiemi/Applicazioni?oldid=38026 Contributori: Mmontrasio Corso:Algebra Teoria Degli Insiemi (Unimib)/Teoria Degli Insiemi/Relazioni di equivalenza Fonte: Insiemi_(Unimib)/Teoria_Degli_Insiemi/Relazioni_di_equivalenza?oldid=38031 Contributori: Mmontrasio Corso:Algebra Teoria Degli Insiemi (Unimib)/Teoria Degli Insiemi/Proprietà universale della proiezione canonica Fonte: Teoria_Degli_Insiemi_(Unimib)/Teoria_Degli_Insiemi/Propriet%C3%A0_universale_della_ proiezione_canonica?oldid=38012 Contributori: Mmontrasio Corso:Algebra Teoria Degli Insiemi (Unimib)/Teoria Degli Insiemi/Operazioni binarie Fonte: (Unimib)/Teoria_Degli_Insiemi/Operazioni_binarie?oldid=38030 Contributori: Mmontrasio Corso:Algebra Teoria Degli Insiemi (Unimib)/Teoria Degli Insiemi/Lemma di Zorn Fonte: /Teoria_Degli_Insiemi/Lemma_di_Zorn?oldid=38005 Contributori: Mmontrasio 2.2 Immagini 2.3 Licenza dell opera [Project:Copyright Creative Commons Attribution Share Alike 3.0 & GNU FDL] Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0