I Lezione: Il programma MATLAB. 1 Introduzione. 2 Matrici in MATLAB

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1 I Lezione: Il programma MATLAB In questa sezione introdurremo in maniera molto breve il programma di simulazione MATLAB (una abbreviazione di MAtrix LABoratory) che è stato usato per lo sviluppo delle esercitazioni presentate in questa raccolta. Il programma è disponibile nei computer del laboratorio di interfacoltà e della rete del Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Gestionale e Meccanica dell Università di Udine. 1 Introduzione MATLAB è un programma interattivo di calcolo che permette di risolvere problemi numerici senza che sia necessario scrivere esplicitamente una procedura in un linguaggio di programmazione ad alto livello. MATLAB si basa sul calcolo matriciale, e possiamo pensare ad esso come ad un sistema efficace per accedere ad una libreria di procedure di calcolo numerico molto sofisticate, con in più la possibilità di rappresentare graficamente i nostri risultati. Ha una interfaccia molto semplice, ed un singolo comando permette di risolvere problemi come l inversione di una matrice o la soluzione di un sistema di equazioni differenziali. Inoltre, una successione di comandi può essere raccolta in un file ed essere eseguita invocando, da dentro il programma MATLAB, il nome del file stesso: è poi possibile definire delle funzioni che forniscono dei valori in uscita, di modo che MATLAB risulta esso stesso programmabile e fornisce la possibilità di effettuare simulazioni e calcoli, anche molto complessi, in modo semplice e diretto. Una guida completa a MATLAB è al di là degli scopi di queste note: si ricorda comunque che esso fornisce un sistema di aiuto in linea cui conviene ricorrere molto spesso. Dopo essere entrati in MATLAB, il comando help mostra l elenco delle procedure per le quali è disponibile una descrizione; per avere informazioni specifiche su di un comando, occorre digitare help nome comando. Ad esempio, con il comando help exp si ottengono informazioni sull uso della funzione exp per il calcolo della funzione esponenziale. Per una dimostrazione delle potenzialità di MATLAB, si dia il comando demo. Le versioni più recenti di MATLAB permettono di accedere ad un sistema integrato, con una finestra di comandi, un editor, ecc. Una voce specifica Help nel menù, permette di accedere ad un sistema ipertestuale di aiuto in linea. 2 Matrici in MATLAB MATLAB lavora essenzialmente con un unico tipo di dati: le matrici. Queste sono vettori bidimensionali, con m righe e n colonne in generale, i cui singoli elementi sono variabili reali oppure complesse. Una matrice può essere creata introduco esplicitamente i suoi valori usando un comando di assegnazione, oppure come risultato di comandi o funzioni predefiniti. Ad esempio, il comando a=[1 2 3; 4 5 6] 1

2 crea la matrice a di dimensioni 2 3. Si noti che il punto e virgola separa una riga della matrice dalla riga successiva. Le variabili complesse sono gestite in maniera molto intuitiva: Il comando a=[3+i*2 4] crea un vettore con due elementi complessi. MATLAB fornisce l eco del risultato di ogni comando, a meno che questo non venga fatto seguire da punto e virgola. Ad esempio, il comando a=[1 2 3; 4 5 6]; crea, come prima, la matrice a, senza che i suoi valori vengano stampati immediatamente dopo sul terminale. La possibilità di sopprimere l eco è particolarmente utile quando si scrivono programmi che contengono sequenze di comandi, oppure quando le dimensioni di una matrice siano particolarmente grandi. Le seguenti operazioni fra matrici sono disponibili in MATLAB: + addizione - sottrazione * moltiplicazione ^ elevazione a potenza trasposto coniugato \ divisione a sinistra / divisione a destra. Ad esempio, date le matrici A e b, il comando x=a\b fornisce, nel vettore x, la soluzione del sistema di equazioni Ax = b. Analogamente, x=b/a è la soluzione di xa = b (nel caso di matrice A rettangolare, MATLAB fornisce la soluzione del sistema ai minimi quadrati). Le operazioni introdotte sono operazioni matriciali: qualora si vogliano effettuare operazioni sulle matrici elemento per elemento, gli operatori precedenti devono essere preceduti da un punto. Per esempio, il comando [1 2].*[1 3] fornisce il vettore [1 6], mentre l ommissione del punto darebbe luogo ad un messaggio di errore, dato che la dimensione delle matrici non è compatibile con l operazione di moltiplicazione matriciale. MATLAB permette di creare vettori o matrici con una notazione conveniente per specificare gli intervalli. Ad esempio, il comando a=1:0.1:10; crea un vettore di 91 elementi, spaziati uniformemente con passo 0.1, il cui primo elemento è il valore 1 e l ultimo elemento è il valore 10. Per accedere all elemento i-esimo, si usa la notazione a(i), mentre per selezionare gli elementi dall i-esimo al j-esimo si usa la notazione a(i:j). Ad esempio, il comando b=a(2:30) crea un vettore b con gli elementi di a dal 2 al 30. Si noti che gli indici dei vettori in MATLAB iniziano da 1. Più in generale, se a è una matrice m n, il comando b=a(1:2, 2:3) crea una matrice b di dimensioni 2 2 che contiene le righe dalla 1 alla 2 e le colonne dalla 2 alla 3 della matrice a. 2

3 3 Strutture di controllo In MATLAB è possibile utilizzare strutture di controllo analoghe a quelle che sono disponibili nei linguaggi di programmazione (if, for, while). Struttura if. Il comando: if t>0 x=1; elseif t==0 x=0.5; else x=0; fornisce, nella variabile x, il valore della funzione gradino a tempi continui, calcolata in t. Struttura for. I comandi [m n]=size(a); for i=1:m for j=1:n c(i,j)=2*a(i,j); c creano e visualizzano la matrice c ottenuta moltiplicando per 2 gli elementi della matrice a, come se si fosse scritto c=2*a. Si noti che MATLAB permette di moltiplicare una matrice per uno scalare senza ricorrere a notazioni particolari. Struttura while. La sequenza di comandi sum=1; add=x; while abs(add)>=1e-3 sum=sum+add; add=x*add; calcola la somma della serie geometrica k=0 x n, x < 1, fermandosi quando il valore assoluto del termine corrente è minore di

4 I seguenti operatori di relazione e logici sono definiti in MATLAB: < minore > maggiore <= minore uguale >= maggiore uguale == uguale. = diverso & AND OR NOT Si noti la differenza fra il simbolo usato per l assegnazione (=) ed il simbolo usato per il confronto (==). 4 Funzioni predefinite Le funzioni in MATLAB operano su scalari o sui singoli elementi delle matrici. In quest ultimo caso, il risultato è una matrice della stessa dimensione di quella cui è stata applicata la funzione. Ad esempio, il comando b=sqrt(a) crea una matrice b i cui elementi sono la radice quadrata degli elementi di a. Fanno eccezione le funzioni tipo max, min, sum, prod, mean, std, etc., che hanno come argomento una matrice e ritornano un vettore. Ad esempio, sum(a.^2) dà come risultato un vettore che contiene la somma dei quadrati degli elementi di ciascuna colonna di a. Di seguito, si dà un breve elenco delle funzioni che possono essere utilizzate all interno di MATLAB. Per esempi ulteriori e spiegazioni, si utilizzi, come al solito, il comando help nome funzione. Funzioni per la creazione di matrici speciali (help elmat). eye zeros ones diag triu tril rand magic toeplitz matrice identità matrice di zeri matrice di uno crea una matrice diagonale parte triangolare superiore parte triangolare inferiore genera numeri casuali genera un quadrato magico crea una matrice di Toeplitz 4

5 Funzioni scalari (help elfun; help specfun). sin asin exp abs round besselj cos acos log (log naturale) sqrt floor erf tan sign log10 (log base 10) real imag gamma atan angle log2 (log base 2) rem (resto) ceil gcd Funzioni con ingresso vettoriale (help datafun). max sum median any cross min prod mean all dot sort find std cov corrcoef Funzioni matriciali (help matfun). eig chol svd inv lu qr expm sqrtm poly det size norm rank reshape rot90 Elaborazione del segnale help datafun. filter filter2 conv conv2 fft fft2 ifft ifft2 fftshift quad8 roots autovalori e autovettori fattorizzazione di cholesky singular value decomposition inversa fattorizzazione LU factorizzazione QR esponente di matrice radice quadrata di matrice polinomio caratteristico determinante dimensioni norma-1, norma-2, norma- rango cambia le dimensioni di una matrice rotazione di 90 gradi degli elementi filtraggio 1D filtraggio 2D convoluzione 1D convoluzione 2D calcolo DFT 1D via FFT calcolo DFT 2D via FFT DFT 1D inversa DFT 2D inversa posiziona lo zero dello spettro calcolo numerico di integrali radici di un polinomio 5

6 5 Visualizzazione grafica e stampa MATLAB può produrre sia grafici di funzioni monodimensionali che curve di livello e grafici di funzioni a più dimensioni. Per una dimostrazione delle potenzialità grafiche di MATLAB, si può dare il comando demo. Se x e t sono due vettori della stessa dimensione, il comando plot(t,x) apre una finestra con il grafico di x in funzione di t. Ad esempio, i comandi t=0:0.01:6.28; x=sin(t); y=cos(t); plot(t,x,t,y); creano una nuova finestra con il grafico delle funzioni x(t) = sin(t) e y(t) = cos(t) fra 0 e 2π (approssimativamente). Si rifletta sui comandi utilizzati: con il primo, si crea un vettore t i cui elementi contengono, con passo 0.01, i valori da 0 a Gli indici del vettore vanno da 1 a length(t) (la funzione length dà in uscita il numero di elementi nel vettore stesso). Il secondo e il terzo comando creano due nuovi vettori, con i valori delle funzioni seno e coseno calcolate nei punti di t. Infine, il comando plot produce i grafici, ottenuti uno con tratti rettilinei le coppie (t(i),x(i)) (t(i),y(i)), i=1:length(t). È possibile definire il titolo del grafico, le caratteristiche degli assi, posizionare del testo all interno del grafico: a questo proposito, con il camando help, si vedano le descrizioni dei comandi plot, title, xlabel, ylabel, gtext, text,zoom. Il comando stem(t,x) può essere utilizzato per graficare segnali a tempo discreto: anziché unire le coppie di valori (t(i),x(i)) con un tratto rettilineo, il comando disegna, in corrispondenza ad ogni t(i), una barra verticale di lunghezza proporzionale al valore x(i). L esecuzione di un comando plot cancella il grafico precedentemente disegnato nella finestra grafica. Per aprire una nuova finestra grafica, si deve usare il comando figure. Con figure(n) si re attiva la finestra grafica numero n. È inoltre possibile creare una copia su file del grafico della finestra grafica corrente, contenente i comandi necessari per la successiva stampa: il comando print, la cui documentazione è ottenible con il comando help print, permette di gestire la maggior parte delle stampanti e dei linguaggi di descrizione grafica presenti nel mercato. Ad esempio, per salvare il grafico sul file nomefile.eps in formato Encapsulated PostScript (EPSF), si deve dare il comando print -deps nomefile.eps 6 M-files Come accennato nell introduzione, è possibile raggruppare una sequenza di comandi MATLAB in un file esterno, creato con un editore di testi qualsiasi, che deve avere estensione.m. Se il nome del file è nome file.m, dando il comando nome file dall interno di MATLAB, verrà eseguita la sequenza dei comandi contenuti nel file stesso. Tutti i listati della presente raccolta di esercitazioni sono contenuti in file.m. È opportuno far precedere i comandi di un M-file dal 6

7 comando clear che annulla lo spazio delle variabili create fino a quel momento in MATLAB: questo affinchè i risultati od i nomi di variabili precedentemente utilizzati non interferiscano con quelli usati nel file.m. Per vedere quali sono, in ogni momento, le variabili definite in MATLAB e la loro dimensione, si usino i comandi who e whos. È inoltre conveniente poter aggiungere dei commenti nel file: a questo scopo, si può far precedere una riga dal carattere %, che forza MATLAB a non interpretare i caratteri successivi. Se un comando si este oltre la lunghezza di una riga, esso può essere continuato nella riga seguente interrompo con tre caratteri di interpunzione: variabile_lunga=... matrice_a.^2; 7 Funzioni esterne È possibile aggiungere nuove funzioni al vocabolario di MATLAB. I comandi relativi ad una funzione devono essere contenuti in un file esterno, ancora con estensione.m. La prima riga del file deve contenere la lista dei parametri della funzione (che possono essere sia scalari che matrici) e la parola chiave function. Ad esempio, volo scrivere una funzione che calcola la media, la potenza e la deviazione standard campionarie dei valori contenuti in una matrice, possiamo creare il file stats.m: % STATS: calcola la media, la potenza e deviazione standard campionarie della % matrice di ingresso function [m,p,s] = stats(x) n = prod(size(x)); m = sum(sum(x)) / n; p = sum(sum(x.^2)) / n; s = sqrt(p - m^2); Per calcolare media, potenza e deviazione standard della matrice a, e porre il risultato nelle variabili media,pot,stdv, possiamo dunque invocare la funzione con il comando [media,pot,stdv]=stats(a). Si possono avere un qualsiasi numero di argomenti di uscita e di ingresso: questi ultimi vengono passati alla funzione per valore e non possono essere modificati al suo interno. Se la funzione ha un solo argomento di uscita, le parentesi quadre possono essere omesse. Ad esempio, la funzione precedente potrebbe essere riscritta come: 7

8 % STATS: calcola la media, la potenza e deviazione standard campionarie della % matrice di ingresso function y = stats(x) n = prod(size(x)); y(1) = sum(sum(x)) / n; y(2) = sum(sum(x.^2)) / n; y(3) = sqrt(y(2) - y(1)^2); e darebbe come risultato un vettore con i valori desiderati. Le variabili utilizzate all interno della funzione e che non compaiono nella lista dei parametri sono locali alla funzione stessa, e possono pertanto avere lo stesso nome di variabili definite in altre procedure senza che si abbiano pericolose interferenze. Si noti che le prime due linee del file sono dei commenti: esse vengono visualizzate da MATLAB, nel caso specifico, se si dà il comando help stats. In realtà, molte delle funzioni predefinite di MATLAB sono esse stesse definite all interno di M-files usando la sintassi appena vista. 8 Esercizi per la prima lezione All apertura del programma, MATLAB si posiziona in una directory di default, evidenziata nella barra sopra la finestra dei comandi. Alternativamente, il comando pwd stampa la directory corrente, per modificare la quale si può usare il comando cd nomedirectory. Può risultare conveniente modificare la directory di default, per utilizzare una propria directory di lavoro. A questo proposito, si può scrivere un file speciale, startup.m, che va posto nella directory di default e viene eseguito da MATLAB ad ogni apertura del programma: pono nel file startup.m il comando cd nomedirectory, si può cambiare la directory di lavoro automaticamente ad ogni apertura del programma. MATLAB cerca gli M-file con il codice delle funzioni nella directory corrente e in un percorso di altre directory prestabilite. Per visualizzare il percorso, si usi il comando path. Per aggiungere directory personali al percorso, si può usare il comando addpath, che ovviamente può essere incluso nel file startup.m. In alternativa, si può modificare il path utilizzando la voce Set Path nel menu File. Gli esercizi della prima lezione riguardano la definizione di semplici funzioni utili nell analisi dei sistemi di elaborazione del segnale e delle comunicazioni elettriche. A titolo di esempio, si riporta di seguito il listato del file rect.m per il calcolo della funzione rect(t). function y=rect(t) % Uso: y=rect(t) % Restituisce un vettore i cui elementi contengono i valori 8

9 % della funzione rect nei punti del vettore t. z=find(abs(t)>0.5); % trova gli indici corrispondenti a abs(t)>0.5 % dove rect(t) vale 0. nz=find(abs(t)<0.5); nz5=find(abs(t)==0.5); y(z)=zeros(size(z)); y(nz)=ones(size(nz)); y(nz5)=0.5*ones(size(nz5)); % si impone il valore 0.5 in corrispondenza % delle discontituita Per utilizzare tale funzione, si scriva il listato con un qualsiasi editor di testo (ad esempio quello di MATLAB, se presente, accessibile con edit), e lo si salvi in un file rect.m in una directory nel path di MATLAB (ad esempio la directory corrente). Con il comando help rect si visualizzano i commenti posti fra l intestazione e il corpo della funzione. Per visualizzare un grafico di rect(t) possiamo usare i comandi t=-1:0.01:1; y=rect(t); plot(t,y); axis([-1,1,-0.25,1.25]); xlabel( t ); ylabel( rect(t) ); Esercizi 1. Scrivere una funzione sinc.m per il calcolo della funzione sinc(t), e si disegnino i grafici di sinc(t), sinc(t/2), sinc(t 0.5), in un opportuno range di valori di t; 2. Scrivere una funzione triangle.m per il calcolo del segnale triangle(t), e si disegnino i grafici di triangle(t), triangle(t/2), triangle(t 0.5), in un opportuno range di valori di t; 3. Scrivere una funzione trap.m per il calcolo del segnale trap(b M, b m, t), con andamento a trapezio isoscele centrato nell origine, base maggiore B M, base minore b m e altezza unitaria; 4. Disegnare il grafico del segnale x(t) = e t rect(t 0.5). 5. Disegnare, usando il comado stem, il grafico della funzione sinc(t 2T ), t Z(T ), T = 0.5; 6. Scrivere una funzione per il calcolo del segnale a tempo continuo e periodico sinc N (t) = sin πt N sin(πt/n). Il periodo del segnale è N per N dispari e 2N per N pari. 9

if t>=0 x=1; else x=0; end fornisce, nella variabile x, il valore della funzione gradino a tempi continui, calcolata in t.

if t>=0 x=1; else x=0; end fornisce, nella variabile x, il valore della funzione gradino a tempi continui, calcolata in t. Il programma MATLAB In queste pagine si introduce in maniera molto breve il programma di simulazione MAT- LAB (una abbreviazione di MATrix LABoratory). Introduzione MATLAB è un programma interattivo di

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