Teorema (seconda condizione sufficiente per i campi conservativi piani): Sia F ( x, y)

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1 Campi Vttoriali Form iffrnziali-sconda Part Torma (sconda condizion sufficint pr i campi consrvativi piani): Sia F (, y) un campo vttorial piano dfinito in un aprto A di R, si supponga ultriormnt = y ; A è smplicmnt connsso (cioè A è connsso d inoltr ogni curva gnralmnt rgolar chiusa contnuta in A è la frontira di un dominio intramnt contnuto in A ) Allora il campo F (, y) è dotato di potnzial Inoltr un suo potnzial è (vidntmnt) U(, y) = F dr, γ (( 0, y,(, y)) ssndo ( 0, y un fissato punto di A γ una (qualunqu) curva ch passa pr i punti ( 0, y (, y ) Ossvazion: Gli insimi R \{(0,} l coron circolari sono vidntmnt insimi connssi, ma non smplicmnt connssi Nlla dimostrazion dl torma si utilizza il sgunt important risultato, ch può anch ssr visto com una gnralizzazion agli intgrali doppi, dl scondo torma dl calcolo pr funzioni di una variabil, Torma (Formula di Gauss-Grn): Sia un dominio rgolar limitato di R (cioè la frontira di è l union di curv chius gnralmnt rgolari) f : R una funzion continua con l su drivat parziali Allora sussistono l sgunti uguaglianz: f ddy = fdy f ddy = fd ( ) y imostrazion: Intanto si prova la prima uguaglianza nl caso in cui dominio all ass y Sia dunqu Allora si ha: {(, ), δ( ) γ( )} = y R c y d y è normal risptto d γ ( y) d d f f ddy dy (, y) d dy f (, y) f ( ( y), y) f ( ( y), y)) dy f (, y) dy = γ ( y) = = [ ] = [ γ δ ] = = δ ( y) c δ ( y) c c (l ultima uguaglianza è immdiata non appna si scriv la paramtrizzazion dll quattro curv rgolari la cui union è la frontira di si utilizza la dfinizion di intgral curvilino) La prova dlla sconda uguaglianza, quando è normal all ass è dl tutto simil La ( ) Qui sta a indicar ch l curv chius ch costituiscono la frontira di sono orintat in snso antiorario s i punti dl dominio sono intrni alla curva, in snso orario s sono strni 6

2 Campi Vttoriali Form iffrnziali-sconda Part prova dl torma sgu allora facilmnt dal sgunt risultato dl qual si omtt la dimostrazion: Ogni dominio rgolar è l union di un numro finito di domini ch sono normali sia risptto all ass ch risptto all ass y imostrazion (dlla sconda condizion sufficint pr i campi consrvativi piani): Sia γ una curva chiusa contnuta in A Essndo A smplicmnt connsso sist un dominio A tal ch = γ allora F dr = F d F dy = ddy ddy = γ 0 y L assrto sgu a qusto punto dalla prima condizion sufficint Pr concludr si sgnala, snza darn la dimostrazion, un risultato in qualch modo simil al prcdnt ma valido anch in R Torma (sconda condizion sufficint pr i campi consrvativi in R ): Sia F (, yz, ) un campo vttorial dfinito in un aprto A di R si supponga ultriormnt: rot = 0 (cioè =, =, = y z z y ); F A è convsso Allora il campo F (, yz, ) è dotato di potnzial Inoltr un suo potnzial è dato da U(, y, z) dr = F = F(( 0 t(, ) ( (, ) dt s(( 0, y0, z,(, y, z)) 0 ssndo ( 0, y0, z un fissato punto di A s il sgmnto congiungnt i punti ( 0, y0, z (, yz, ) Esrcizi: ) E assgnato il sgunt campo vttorial piano: y F( y, ) = i j y y i) Il campo è irrotazional? (O quivalntmnt la forma diffrnzial associata è chiusa?) ii) Con l sol informazioni sul campo vttorial fin qui disponibili in bas ai risultati noti, si può affrmar ch sso è (oppur no) consrvativo nl suo insim di dfinizion? E nll insim {(, ) 0} A= y R >? Nl caso il campo dovss ssr consrvativo, individuar un potnzial iii) Calcolar F dr con R un fissato numro ral positivo; Γ ((0,; R) è la Γ((0,; R) 7

3 Campi Vttoriali Form iffrnziali-sconda Part circonfrnza di cntro (0, raggio R iv) Utilizzando anch quanto acquisito in iii), la risposta alla prima domanda in ii) dv ssr modificata? Soluzion: i) notat l du coordinat dl campo con F(, y) F (, y) rispttivamnt, si ha ( y ) y y = = y y y F ( y ) y = = y y ssndo l du drivat parziali uguali il campo è irrotazional (pr dfinizion) ii) L insim di dfinizion dl campo è R \{(0,} ch vidntmnt non è smplicmnt connsso; con la sola informazion ch il campo è irrotazional nulla si può dir sulla vntualità ch sso possa ssr consrvativo Mntr ssndo l insim smplicmnt connsso ( il campo irrotazional) pr il torma, dnominato sconda condizion sufficint, il campo (su A ) è consrvativo Pr il calcolo di un potnzial, si fissa innanzitutto un arbitrario punto in A (pr smpio (, ) A ; Sia ora (, y) A (com suggrito dal torma) si considra una curva γ congiungnt (, (, y ) (dl tutto arbitraria, con la sola condizion ch sia contnuta in A ) Quando è possibil (com in qusto caso) risulta convnint scglir la spzzata congiungnt i du punti con i sgmnti parallli agli assi coordinati; dunqu s : r( t) = (, t (, (, = t( ) i s : r ( t) = (, t (, y) (, = i tyj { [ ]( ( ) ) { [ ]( ) Allora si ha: y y y U(, y) = F dr = dt = dt = arctg yt γ ((,,( y, )) 0 0 yt iii) Una paramtrizzazion dlla circonfrnza è rt ( ) = Rcosti Rsin tj t 0, π Allora (a mno dl sgno) si ha π Rsin( t Rsin) t Rcos( t Rcos) t F dr = dt = π R R Γ((0,; R) 0, [ ] iv) Essndo l intgral lungo una curva chiusa non nullo, il campo non è consrvativo nl suo insim di dfinizion ) E assgnato il campo F(, y) = y yi yj i) Provar ch il campo è irrotazional ii) Il campo è dotato di potnzial nl suo insim di dfinizion? 8

4 Campi Vttoriali Form iffrnziali-sconda Part iii) S la risposta alla prcdnt domanda è affrmativa, individuar un potnzial utilizzando du divrsi modi pr congiungr (0, con il gnrico punto (, y ) (sugg con il sgmnto oppur con un prcorso paralllo agli assi cartsiani, la cui ammisibilità si vrifica facilmnt non appna si rapprsnta graficamnt il dominio di dfinizion) ) Vrifivar ch il campo F(, yz, ) = yzi z ( y) j ( y( y) z) k è consrvativo individuar un potnzial 4) Calcolar, utilizzando la dfinizion, l intgral curvilino dl campo = F(, y) y i yj lungo la curva γ costituita dai sgmnti congiungnti conscutivamnt i punti dl piano (0,), (,), (0,) (,) opo avr ossrvato ch il campo è consrvativo calcolar il prcdnt intgral utilizzando una procdura più brv y 5) E assgnato il campo F( y, ) = i j Provar ch il campo è consrvativo y y individuar un potnzial (Sugg Ossrvar ch il campo è irrotazional Fissar una rgion smplicmnt connssa nl insim di dfinizion dl campo individuar un potnzial Notar ch qust ultimo, ch è una funzion lmntar, ha lo stsso insim di dfinizion dl campo in tal rgion è un suo potnzial) Riptr l srcizio tnndo conto dll ossrvazion ch sgu Ossrvazion: In taluni casi è immdiato riconoscr ch il campo è consrvativo altrttanto immdiato costruir un potnzial; nl sgunt smpio è prsntata una class important di tali campi Esmpio: Un campo si dic radial s ha una rapprsntazion dl tipo F(, yz, ) = g(( yz,, ))[ i yj zk ] dov g: ( a, b) [ 0, [ R è continua (il trmin radial driva dal fatto ch in ogni punto la dirzion dl campo è parallla al vttor congiungnt l origin con il punto) notato con una primitiva di ϕ ( r) = rg( r) si ha ch il campo scalar U(, y, z) =Φ (, y, z ) =Φ ( y z ) { } dfinito nll insim (, yz, ) R ( yz,, ) ( ab, ) cntro l origin raggi a b rispttivamnt) è un potnzial dl campo Infatti si ha Φ ( r) (rgion comprsa tra l sfr concntrich di 9

5 Campi Vttoriali Form iffrnziali-sconda Part U (, yz, ) =Φ (( yz,, )) = ( yz,, ) g( ( yz,, )) = F ( yz,, ), yz,, yz,, ( ) analogamnt pr l altr du drivat parziali, quindi l assrto Ni sgunti srcizi, utilizzar l formul di Gauss-Grn ( ) ) Calcolar il lavoro dl campo di forz 4 F(, y) = yi yj nllo spostamnto lungo la curva chiusa prcorsa in snso antiorario costituita nll ordin da parti dll sgunti curv con rapprsntazion cartsiana rispttivamnt: = y, y =, y = 5, y = 0 ) Calcolar l ara dlla rgion di piano dl primo quadrant comprsa tra l rtt di quazion y = 4 y = / 4 l iprbol di quazion y = ) Calcolar ( y) d ( y y ) dy dov è il triangolo con vrtici ni punti (0,, (,), (,, utilizzando diffrnti stratgi 4) Calcolar yddy, dov è il triangolo con vrtici ni punti ( 0,, (,), (,, Soluzion: Intanto al fin di utilizzar l formul di Gauss-Grn si ossrva ch quindi Ora la frontira di allora = = yddy y ddy ydy y = y è l union di tr sgmnti con rapprsntazion paramtrica rispttivamnt = t = = t s:, t 0, ; s :, t 0, ; s:, t 0, y = 0 y = t y = t [ ] [ ] [ ] 0 ydy = ydy ydy ydy = 0 tdt t dt = s((0,,(,) s((,,(,)) s((,),(0,) 0 0