Corso di Analisi Matematica 1. Insiemi e Logica

Transcript

1 1 / 27 Corso di Analisi Matematica 1 Logica Giulio Starita Università della Campania Luigi Vanvitelli Laurea in Ingegneria Elettronica e Informatica Anno Accademico

2 2 / 27 Corso di Analisi Matematica 1 Orario delle lezioni 1 ANNO INGEGNERIA ELETTRONICA E INFORMATICA Laurea Triennale MAT1 MAT1 ES.MAT1 ES.MAT1 Lunedì 2A 2A 2A 2A Martedì Mercoled Giovedì Venerdì MAT1 2A MAT1 2A

3 3 / 27 Corso di Analisi Matematica 1 Bramanti, Pagani, Salsa Analisi matematica 1 Zanichelli

4 4 / 27 Logica La teoria degli insiemi costituisce il linguaggio nel quale esprimere tutti i concetti della matematica ed i problemi che scaturiscono dalla loro definizione La teoria degli insiemi è strettamente correlata alla intesa come corpo di regole attraverso le quali si sviluppa il ragionamento, dei procedimenti inferenziali in virtù dei quali da affermazioni si fanno discendere nuove affermazioni

5 5 / 27 Georg Cantor San Pietroburgo (Russia) 1845 Halle (Germania) 1918

6 6 / 27 Ernst Zermelo Berlino (Germania) 1871 Friburgo (Germania) 1953

7 7 / 27 La teoria degli insiemi si costruisce su tre parole che non vengono definite e che pertanto introducono i cosiddetti concetti

8 7 / 27 La teoria degli insiemi si costruisce su tre parole che non vengono definite e che pertanto introducono i cosiddetti concetti 1 Insieme

9 7 / 27 La teoria degli insiemi si costruisce su tre parole che non vengono definite e che pertanto introducono i cosiddetti concetti 1 Insieme 2 Elemento

10 7 / 27 La teoria degli insiemi si costruisce su tre parole che non vengono definite e che pertanto introducono i cosiddetti concetti 1 Insieme 2 Elemento 3 Appartenenza

11 8 / 27 Un esempio di insieme è un gregge i cui elementi sono pecore

12 8 / 27 Un secondo esempio è un mazzo di carte napoletane

13 8 / 27 Un terzo esempio è rappresentato dai possibili esiti del lancio di un dado

14 9 / 27 Un insieme si rappresenta elencando tra parentesi graffe gli elementi che gli appartengono separati da virgole e senza riguardo all ordine {1, 2, 3, 4, 5, 6} o anche {3, 5, 1, 4, 6, 2}

15 9 / 27 Un insieme si rappresenta elencando tra parentesi graffe gli elementi che gli appartengono separati da virgole e senza riguardo all ordine {1, 2, 3, 4, 5, 6} o anche {3, 5, 1, 4, 6, 2} Una tale rappresentazione risulta concretamente utilizzabile solo per quegli insiemi costituiti da un numero finito (e non troppo grande!) di elementi Per gli insiemi infiniti è necessario studiare altri sistemi di rappresentazione

16 10 / 27 A è un insieme x è un elemento

17 10 / 27 La scrittura A è un insieme x A x è un elemento si legge x appartiene ad A ed esprime la circostanza che x è un elemento dell insieme A

18 10 / 27 La scrittura A è un insieme x A x è un elemento si legge x appartiene ad A ed esprime la circostanza che x è un elemento dell insieme A La scrittura x / A si legge x non appartiene ad A ed esprime la circostanza che x non è un elemento dell insieme A

19 11 / 27 In un dato contesto ci si riferisce a oggetti che appartengono tutti ad un certo insieme U che svolge pertanto il ruolo di universo dei ragionamenti che si svolgono Ogni altro insieme A, B,... è formato con un certo numero di oggetti scelti nell insieme universo U

20 11 / 27 In un dato contesto ci si riferisce a oggetti che appartengono tutti ad un certo insieme U che svolge pertanto il ruolo di universo dei ragionamenti che si svolgono Ogni altro insieme A, B,... è formato con un certo numero di oggetti scelti nell insieme universo U Il lancio di un dado L insieme dei possibili esiti del lancio di un dado è U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

21 11 / 27 In un dato contesto ci si riferisce a oggetti che appartengono tutti ad un certo insieme U che svolge pertanto il ruolo di universo dei ragionamenti che si svolgono Ogni altro insieme A, B,... è formato con un certo numero di oggetti scelti nell insieme universo U Il lancio di un dado L insieme dei possibili esiti del lancio di un dado è U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Gli insiemi degli esiti che corrispondono a un numero pari è A = {2, 4, 6}

22 In un dato contesto ci si riferisce a oggetti che appartengono tutti ad un certo insieme U che svolge pertanto il ruolo di universo dei ragionamenti che si svolgono Ogni altro insieme A, B,... è formato con un certo numero di oggetti scelti nell insieme universo U La caratteristica dell insieme A è che tutti i suoi elementi sono pure elementi di U Diremo che A è un sottoinsieme di U (che è contenuto in U) e adopereremo la notazione A U ovvero quella A U per specificare che A è contenuto strettamente in U 11 / 27

23 11 / 27 In un dato contesto ci si riferisce a oggetti che appartengono tutti ad un certo insieme U che svolge pertanto il ruolo di universo dei ragionamenti che si svolgono Ogni altro insieme A, B,... è formato con un certo numero di oggetti scelti nell insieme universo U I sottoinsiemi di {1, 2, 3} Posto U = {1, 2, 3} sono {1} {2} {3} {1, 2} {1, 3} {2, 3} {1, 2, 3} { }

24 11 / 27 In un dato contesto ci si riferisce a oggetti che appartengono tutti ad un certo insieme U che svolge pertanto il ruolo di universo dei ragionamenti che si svolgono Ogni altro insieme A, B,... è formato con un certo numero di oggetti scelti nell insieme universo U I sottoinsiemi di {1, 2, 3} Tra i sottoinsiemi di U figurano U stesso e un particolare sottoinsieme che non contiene alcun elemento (l insieme vuoto)

25 11 / 27 In un dato contesto ci si riferisce a oggetti che appartengono tutti ad un certo insieme U che svolge pertanto il ruolo di universo dei ragionamenti che si svolgono Ogni altro insieme A, B,... è formato con un certo numero di oggetti scelti nell insieme universo U Il sottoinsieme di U che non contiene alcun elemento si definisce insieme vuoto e si denota con il simbolo

26 11 / 27 In un dato contesto ci si riferisce a oggetti che appartengono tutti ad un certo insieme U che svolge pertanto il ruolo di universo dei ragionamenti che si svolgono Ogni altro insieme A, B,... è formato con un certo numero di oggetti scelti nell insieme universo U L insieme di tutti i sottoinsiemi di U si denomina insieme delle parti di U e si denota P(U)

27 11 / 27 In un dato contesto ci si riferisce a oggetti che appartengono tutti ad un certo insieme U che svolge pertanto il ruolo di universo dei ragionamenti che si svolgono Ogni altro insieme A, B,... è formato con un certo numero di oggetti scelti nell insieme universo U Osservazione U = {x, y, z} La scrittura x individua un elemento di U La scrittura {x} individua una parte di U (un singleton)

28 11 / 27 In un dato contesto ci si riferisce a oggetti che appartengono tutti ad un certo insieme U che svolge pertanto il ruolo di universo dei ragionamenti che si svolgono Ogni altro insieme A, B,... è formato con un certo numero di oggetti scelti nell insieme universo U Un sottoinsieme di U si rappresenta sinteticamente con la notazione A = {x x U, x soddisfa una data proprietà}

29 11 / 27 In un dato contesto ci si riferisce a oggetti che appartengono tutti ad un certo insieme U che svolge pertanto il ruolo di universo dei ragionamenti che si svolgono Ogni altro insieme A, B,... è formato con un certo numero di oggetti scelti nell insieme universo U Un sottoinsieme di U si rappresenta sinteticamente con la notazione Esempio A = {x x U, x soddisfa una data proprietà} U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {x x U, x è dispari} = {1, 2, 3}

30 11 / 27 In un dato contesto ci si riferisce a oggetti che appartengono tutti ad un certo insieme U che svolge pertanto il ruolo di universo dei ragionamenti che si svolgono Ogni altro insieme A, B,... è formato con un certo numero di oggetti scelti nell insieme universo U Un sottoinsieme di U si rappresenta sinteticamente con la notazione Esempio A = {x x U, x soddisfa una data proprietà} U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} A = {x x U, x è dispari} = {1, 3, 5}

31 12 / 27 Eulero- Uno strumento ingenuo cui si ricorre per visualizzare le relazioni tra insiemi è quello dei diagrammi di Eulero-, schemi grafici degli insiemi che vengono identificati con la porzione di piano compresa all interno di un contorno

32 13 / 27 Leonhard Euler Basilea (Svizzera) 1707 San Pietroburgo (Russia) 1783

33 14 / 27 I cerchi di Eulero Già nel XVIII secolo Eulero rappresentava concetti in forma grafica mediante l uso di cerchi (i cerchi di Eulero)

34 14 / 27 I cerchi di Eulero Già nel XVIII secolo Eulero rappresentava concetti in forma grafica mediante l uso di cerchi (i cerchi di Eulero) Tutti i rettili sono invertebrati Tutte le lucertole sono rettili Invertebrati

35 14 / 27 I cerchi di Eulero Già nel XVIII secolo Eulero rappresentava concetti in forma grafica mediante l uso di cerchi (i cerchi di Eulero) Tutti i rettili sono invertebrati Tutte le lucertole sono rettili Invertebrati Rettili

36 14 / 27 I cerchi di Eulero Già nel XVIII secolo Eulero rappresentava concetti in forma grafica mediante l uso di cerchi (i cerchi di Eulero) Tutti i rettili sono invertebrati Tutte le lucertole sono rettili Invertebrati Rettili Lucertole

37 15 / 27 John Hull (Inghilterra) 1834 Cambridge (Inghilterra) 1923

38 16 / 27 Eulero- L universo U in forma di diagramma di Eulero- è rappresentato da una qualsiasi forma geometrica U

39 16 / 27 Eulero- Un sottoinsieme A di U è rappresentato da una forma interna alla precedente che individua un dentro e un fuori U A

40 16 / 27 Eulero- Un secondo sottoinsieme B di U U B

41 16 / 27 Eulero- Due sottoinsiemi A e B ripartiscono l insieme U in quattro aree U A B

42 17 / 27 con gli insiemi Complemento L insieme degli elementi di U che non appartengono ad A si chiama complemento di A e si denota A c o con A U A A B

43 17 / 27 con gli insiemi Complemento L insieme degli elementi di U che non appartengono ad A si chiama complemento di A e si denota A c o con A U A A B A

44 17 / 27 con gli insiemi Complemento In formula A c = {x x U, (x A)}

45 17 / 27 con gli insiemi Complemento In formula A c = {x x U, (x A)} Il simbolo sta a denotare l operazione detta negazione di una proprietà che per definizione è verificata quando non è verificata la proprietà

46 18 / 27 con gli insiemi Unione L insieme degli elementi di U che appartengono ad almeno uno tra gli insiemi A e B si chiama l unione di A e B e si denota A B U A B

47 18 / 27 con gli insiemi Unione L insieme degli elementi di U che appartengono ad almeno uno tra gli insiemi A e B si chiama l unione di A e B e si denota A B U A B

48 18 / 27 con gli insiemi Unione In formula A B = {x x U, (x A) (x B)}

49 18 / 27 con gli insiemi Unione In formula A B = {x x U, (x A) (x B)} Il simbolo sta a denotare l operazione detta disgiunzione (o semplicemente o) tra due proprietà che per definizione è verificata quando almeno una delle due proprietà è verificata

50 19 / 27 con gli insiemi Unione Esempio Poniamo U è l insieme delle carte da gioco francesi A = insieme delle carte di colore rosso B = insieme degli assi L insieme A B contiene tutte le 26 carte rosse (cuori e quadri) più i due assi di picche e di fiori per un totale di 28 carte

51 19 / 27 con gli insiemi Unione Esempio Poniamo U è l insieme delle carte da gioco francesi A = insieme delle carte di colore rosso B = insieme degli assi L insieme A B contiene tutte le 26 carte rosse (cuori e quadri) più i due assi di picche e di fiori per un totale di 28 carte

52 19 / 27 con gli insiemi Unione Esempio Poniamo U è l insieme delle carte da gioco francesi A = insieme delle carte di colore rosso B = insieme degli assi L insieme A B contiene tutte le 26 carte rosse (cuori e quadri) più i due assi di picche e di fiori per un totale di 28 carte

53 20 / 27 con gli insiemi Intersezione L insieme degli elementi di U che appartengono ad entrambi gli insiemi A e B si chiama l intersezione di A e B e si denota A B U A B

54 20 / 27 con gli insiemi Intersezione L insieme degli elementi di U che appartengono ad entrambi gli insiemi A e B si chiama l intersezione di A e B e si denota A B U A B

55 20 / 27 con gli insiemi Intersezione In formula A B = {x x U, (x A) (x B)}

56 20 / 27 con gli insiemi Intersezione In formula A B = {x x U, (x A) (x B)} Il simbolo sta a denotare l operazione detta congiunzione (o semplicemente e) tra due proprietà che per definizione è verificata quando sono verificate entrambe le due proprietà

57 21 / 27 di insiemi Assegnati due insiemi U e V costruiamo un nuovo insieme con le coppie ordinate aventi come primo componente un elemento di U e come secondo un elemento di V Tale insieme prende il nome di prodotto di U e V e si denota con la scrittura U V

58 21 / 27 di insiemi Assegnati due insiemi U e V costruiamo un nuovo insieme con le coppie ordinate aventi come primo componente un elemento di U e come secondo un elemento di V Tale insieme prende il nome di prodotto di U e V e si denota con la scrittura U V Esempio Il prodotto è U = {a, b, c} V = {1, 2, 3, 4} U V = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), {(b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), {(c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)}

59 21 / 27 di insiemi In particolare il prodotto U U di un insieme per se stesso si denota con la scrittura U 2

60 di insiemi In particolare il prodotto U U di un insieme per se stesso si denota con la scrittura U 2 Esempio Gli esiti del lancio di un dado sono U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Se si lanciano due dadi in sequenza i possibili esiti sono U 2 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), {(2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), {(3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), {(5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), {(6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} 21 / 27

61 21 / 27 di insiemi In particolare il prodotto U U di un insieme per se stesso si denota con la scrittura U 2 Il sottoinsieme di U 2 i cui elementi hanno primo e secondo componente uguali si chiama diagonale di U e si rappresenta con la notazione U 2 U 2 = {(x, y) (x, y) U 2, x = y}

62 21 / 27 di insiemi In particolare il prodotto U U di un insieme per se stesso si denota con la scrittura U 2 Il sottoinsieme di U 2 i cui elementi hanno primo e secondo componente uguali si chiama diagonale di U e si rappresenta con la notazione U 2 Esempio U 2 = {(x, y) (x, y) U 2, x = y} Se U = {1, 2, 3, 4, 5, 6} allora U 2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}

63 22 / 27 di insiemi Il concetto di prodotto si estende a più insiemi Il prodotto di tre insiemi U, V e W è l insieme U V W delle terne ordinate (x, y, z) con x U, y V, z W

64 di insiemi Il concetto di prodotto si estende a più insiemi Il prodotto di tre insiemi U, V e W è l insieme U V W delle terne ordinate (x, y, z) con x U, y V, z W Più in generale dati n insiemi U 1, U 2,..., U n il prodotto U 1 U 2... U n è l insieme i cui elementi sono le n ple ordinate del tipo con (x 1, x 2,..., x n ) x 1 U 1, x 2 U 2,..., x n U n In particolare U n = U U... U }{{} n volte 22 / 27

65 23 / 27 Proposizione Una proposizione è una affermazione della quale si può dire senza ambiguità se è vera o falsa

66 23 / 27 Proposizione Una proposizione è una affermazione della quale si può dire senza ambiguità se è vera o falsa Esempi Che ora è?

67 23 / 27 Proposizione Una proposizione è una affermazione della quale si può dire senza ambiguità se è vera o falsa Esempi Che ora è? Ernesto è biondo

68 23 / 27 Proposizione Una proposizione è una affermazione della quale si può dire senza ambiguità se è vera o falsa Esempi Che ora è? Ernesto è biondo Ludmilla è bella

69 23 / 27 Proposizione Se P è una proposizione con la scrittura P si denota la negazione di P che è verificata dagli elementi che non verificano P e non è verificata da quelli che verificano P

70 23 / 27 Proposizione Se P è una proposizione con la scrittura P si denota la negazione di P che è verificata dagli elementi che non verificano P e non è verificata da quelli che verificano P Esempio Se P è la proposizione piove, P è la proposizione non piove

71 23 / 27 Proposizione Se P e Q sono due proposizioni con la scrittura P Q si denota la disgiunzione di P e Q che è verificata dagli elementi che verificano almeno una tra le proprietà P e Q

72 23 / 27 Proposizione Se P e Q sono due proposizioni con la scrittura P Q si denota la disgiunzione di P e Q che è verificata dagli elementi che verificano almeno una tra le proprietà P e Q Esempio P è la proposizione oggi è un giorno di aprile Q è la proposizione oggi è domenica La proposizione P Q è vera nei giorno di aprile e in tutte le domeniche dell anno

73 23 / 27 Proposizione Se P e Q sono due proposizioni con la scrittura P Q si denota la congiunzione di P e Q che è verificata dagli elementi che verificano entrambe le proprietà P e Q

74 23 / 27 Proposizione Se P e Q sono due proposizioni con la scrittura P Q si denota la congiunzione di P e Q che è verificata dagli elementi che verificano entrambe le proprietà P e Q Esempio P è la proposizione oggi è un giorno di aprile Q è la proposizione oggi è domenica La proposizione P Q è vera esclusivamente nelle domeniche di aprile

75 24 / 27 Un predicato è un affermazione che contiene una o più variabili

76 24 / 27 Un predicato è un affermazione che contiene una o più variabili Esempio Tizio è più alto di 1.75 m x 1

77 24 / 27 Un predicato è un affermazione che contiene una o più variabili Esempio Tizio è più alto di 1.75 m x > 1

78 25 / 27 Un predicato si trasforma in una proposizione attribuendo alla variabile un ben determinato valore Esempio Predicato n è un numero pari Attribuisco a n il valore 5 e la precedente affermazione diventa una proposizione (falsa) 5 è un numero pari

79 26 / 27 I predicati si trasformano in proposizioni anche attraverso l uso dei quantificatori

80 26 / 27 I predicati si trasformano in proposizioni anche attraverso l uso dei quantificatori Esistono due quantificatori il quantificatore universale per ogni il quantificatore esistenziale esiste almeno un

81 26 / 27 I predicati si trasformano in proposizioni anche attraverso l uso dei quantificatori Esistono due quantificatori il quantificatore universale per ogni il quantificatore esistenziale esiste almeno un Esempio di quantificatore universale Il predicato x è più alto di 1.75 m si trasforma nella proposizione ogni x è più alto di 1.75 m

82 26 / 27 I predicati si trasformano in proposizioni anche attraverso l uso dei quantificatori Esistono due quantificatori il quantificatore universale per ogni il quantificatore esistenziale esiste almeno un Esempio di quantificatore esistenziale Il predicato x è più alto di 1.75 m si trasforma nella proposizione esiste almeno un x più alto di 1.75 m

83 27 / 27 Il quantificatore universale per ogni si denota con il simbolo Il quantificatore esistenziale esiste almeno un si denota con il simbolo Esempio di quantificatore esistenziale Il predicato x 1 si trasforma nelle proposizioni che si leggono x, x 1 x : x 1 ogni x è maggiore o uguale a 1 (falsa) esiste almeno un x maggiore o uguale a 1 (vera)