Spazi vettoriali, matrici, determinante. { det(a) se n é pari det(a) se n é dispari

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1 Esercizi natalizi Spazi vettoriali, matrici, determinante Ex. 1 Sia K un campo e n N. A M n (K). (a) Dimostrare che det( A) = { det(a) se n é pari det(a) se n é dispari (b) Dimostrare che ogni matrice reale o complessa antisimmetrica di ordine dispari ha determinante nullo. Ex. 2 Siano M a 3 (R) e Mts 3 (R) rispettivamente gli insiemi delle matrici antisimmetriche e delle matrici triangolari superiori sottospazi di M 3 (R). (a) Utilizzando la formula di Grassmann provare che M 3 (R) = M a 3(R) M ts 3 (R) (b) Scrivere la generica matrice A M 3 (R) come somma di una matrice antisimmetrica e di una matrice triangolare superiore Ex. 3 come: Sia S un sottoinsieme di di C n con la base canonica. Sia I(S) denito I(S) def = { x C n : x t ω = 0 ω S } (dove consideriamo la scrittura in coordinate (rispetto alla base canonica di C n ) sia di x sia di ω e intendiamo x t ω il prodotto riga per colonna) Provare che (a) (S T ) = (I(T ) I(S)) (b) I(I(S)) = span(s) (c) Se W e U sono sottospazi di V allora I(W ) I(U) = I(W + U) e I(W ) + I(U) = I(W U) 1

2 Ex. 4 che Sia A GL n (K) (le matrici n n invertibili sul campo K). Vericare (a) Se A é simmetrica allora A 1 é simmetrica (b) Se A é antisimmetrica allora A 1 é antisimmetrica Ex. 5 Sia AX = 0 un sistema reale lineare omogeneo m n. Vericare che le seguenti condizioni sono equivalenti: (1) AX = 0 ha un unica soluzione (2) per ogni vettore b R n si ha che A t Y = b é compatibile Ex. 6 Calcolare il determinanate e il rango delle seguenti matrici al variare di α e β in R A = 1 0 β α 0 2 β β β 2 B = 3 α β α 1 0 Ex. 7 Usando eventualmente il teorema di Rouche-Capelli dire al variare del parametri t ed s i sistemi x 1 tx 2 + tx 3 = s x 1 = s x 2 + x 3 = t ammettono soluzioni tx 1 + tx 2 = 0 tx 1 + tx 2 + tx 3 = 1 sx 1 + tx 3 = s 2

3 Spazi ani Ex. 1 Sia dato A 3 R con riferimento ane RA(O; E). Sono assegnate le rette r e s aventi equazioni cartesiane r : { z = 0 x y 1 = 0 s : { x + 2z = 1 y + z = 1 (a) Vericare che r e s sono sghembe (b) Determinare i due piani p e q tali che: p q, r p s q Ex. 2 Sia dato A 3 R con riferimento ane RA(O; E). Sono assegnate le rette r passante per P = (0, 2, 1) e con vettore direttore (0, 1, 1) e per ogni a R le rette s a aventi equazioni cartesiane { x + 2y + z + 3 = 0 r : z = a (a) Dire per quali a si ha che r e s a sono sghembe. (b) Determinare l'unica retta della famiglia {s a } a R incidente ad r. Ex. 3 Sia dato A 3 R famiglie di piani: con riferimento ane RA(O; E). Si considerimo le tre α λ : x + 2z = λ, β λ : x + λy + 3z = λ + 1, γ λ : x + λy + (λ 2 2)z = 2 al variare dela parametro λ R. (a) Dire per quali valori di λ i tr piani si intersecano in un solo punto. In questi casi determinare le coordinate del punto al variare di λ. (b) Dire per quali valori di λ i tr piani si intersecano in una reta. É vero che in tali casi due dei tre piani coincidono? (c) Si dica per quali valori di λ i tre piani hanno intersezione vuota. vero che due dei tre piani sono paralleli? É (d) Esiste un valore di λ per cui i tre piani si intersecano in un punto dell'asse z? 3

4 Applicazioni lineari Ex. 1 Sia V uno spazio vettoriale di dimensione m ed f : V V un applicazione lineare. Supponiamo che esista un vettore v V tale che f m 1 (v) 0 e f m (v) = 0. Dimostrare che i vettori {v, f(v), f 2 (v),..., f m 1 (v)} sono una base di V. Ex. 2 Tovare al variare del paramentro λ l'immagine e il ker delle applicazioni lineari che hanno rispetto alle basi canoniche le seguenti rappresentazioni matriciali. Si individui inoltre una base del ker e una base dell'immagine. A = λ (λ + 1) 1 1 λ 0 B = 0 λ(λ 1) λ 0 0 λ λ(λ 1)(λ 2) λ(λ 1) 0 Ex. 3 Siano V e W due spazi vettoriali sul campo K di dimensioni n ed m rispettivamente. Siano f : V W e g : W V due applicazioni lineari, la prima iniettiva, la seconda suriettiva. Si costruisca un endomorsmo L di W tale che g L f sia l'identitá su V. 4

5 Autovalori, autovettori, forme canoniche Ex. 1 Sia B GL n (K. Provare che l'applicazione Φ B : M n (K) M n (K) Φ B : A BAB 1 é un'applicazione lineare iniettiva e suriettiva. Ex. 2 Sia A M n (R) una matrice diagonalizzabile. Si provi che se esiste p N tale che A p = I allora A 2 = I Ex. 3 Sia A una matrice di M n (R). Sia L l'applicazione Si dimostri che L: M n (K) M n (K) L: X AX i- L é iniettiva se e solo se A é invertibile ii- λ é un autovalore di L se e solo se λ é un autovalore per A Ex. 4 Calcolare gli autovalori e gli autovettori delle seguenti matrici, trovare una base di R 3 composta di autovettori per esse. Scrivere la matrice di cambiamento di base. A = B = Scriverle in tale base. Ex. 5 Calcolare il polinomio caratteristico, il polinomio minimo, determinare gli autovettori, la molteplicitá geometrica e algebrica degli autovalori sul campo reale e su quello complesso delle seguenti matrici A = B =

6 Suggerimenti Spazi vettoriali, matrici, determinante Ex. 1 parte (a): É suciente applicare la denizione parte (b): usare la parte (a) Ex. 2 parte (b): la parte inferiore della matrice puó provenire solo dalla componente antisimmetrica e questo determina la matrice antisimmetrica della decomposizione, quella triangolare superiore é quello che manca Ex. 3 parte (b): provare le due inclusioni, l'inclusione piú complicata é. Provare preventivamente che I(S) = I(span(S)) per cui é suciente guardare al caso in cui S sia un sottospazio vettoriale. parte (c): Non tutte le inclusioni sono facili. Non preoccuparsi se non riescono tutte. Convincersi comunque che la tesi é verosimile. Ex. 4 Una matrice é simmetrica se é uguale alla sua trasposta ed é antisimmetrica se é uguale all'opposto della sua trasposta... Ex. 5 Non vi preoccupate se non riuscite a formalizzare la soluzione di questo esercizio ma pensateci su: risolverlo signica aver compreso bene le denizioni. L'unico suggerimento che si puó dare é infatti questo: cercate di comprendere bene ed applicare con cura le denizioni in gioco. Spazi ani Che suggerimento si puó dare? Fate i conti e abbiate pazienza, la matematica é piena di cose belle. Inoltre ci sono gli esercizi sugli spazi ani... Applicazioni lineari Ex. 1 Qui si usa un po' un trucco (non preoccupatevi se non l'avete trovato): mettiamo per assurdo che i vettori considerati non siano una base; allora esiste una loro combinazione lineare non banale λ 0 v + λ 1 f(v) λ m 1 f m 1 (v) = 0 mettiamo che sia λ 0 0. Allora applichiamo f m 1 a tale relazione e... E se λ 0 = 0? 6

7 Ex. 3 Poiché f é iniettivo allora presa una base v 1,..., v n di V i vettori f(v 1 ),..., f(v n ) sono linearmente indipendenti e possono essere completati ad una base di W e L puó essere denita opportunamente su tale base. Ex. Autovalori, autovettori, forme canoniche 1 Non farsi spaventare dalla notazione: M n (K) sono le matrici n n sul campo K e per tanto sono uno spazio vettoriale di dimensione n 2 su K. Quindi é suciente mostrare che l'applicazione Φ B é iniettiva. Cioé basta provare che il suo ker é contiene solo il vettore nullo. Ora: Φ B (A) = 0 se e solo se BAB 1 = 0 ma B é invertibile e quindi... Ex. 2 Usare l'esercizio 1: Se A é diagonalizzabile allora si scrive come A = BDB 1 dove D é una matrice diagonale e B é invertibile. Osservare che A 2 = BDB 1 BDB 1 = BD 2 B 1 e allo stesso modo A p = BD p B 1. (Con I indichiamo la matrice identitá) Poiché I = BIB 1 in virtú dell'esercizio 1 I = BCB 1 per una certa matrice C se e solo se C = I. Quindi I = A p = BD p B 1 se e solo se D p = I. Questo riduce l'esercizio al caso in cui A sia diagonale... Ex. 3 parte (ii-): proviamo che se λ é un autovalore per L allora lo é per A: se per qualche matrice X si ha L(X) = λx allora considerando le colonne di X come vettori... Ex. 4 e 5 Fate i conti e non demordete: la teoria delle forme canoniche sará sviluppata in un corso del secondo anno ed é uno degli argommenti elementari piú stimolanti ed eleganti. Per capirla bisogna essersi sporcati un po' le mani. Per ora notate solo che le matrici dell'esercizio 4 sono simmetriche: infatti come scoprirete tutte le matrici reali simmetriche si diagonalizzano, la matrice A dell'esercizio 5 é invece giá in una forma canonica che generalizza quella diagonale e non puó essere diagonalizzata. 7

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