32. Significato geometrico della derivata. 32. Significato geometrico della derivata.

Transcript

1 32. Significato geometico della deivata.

2 Deivata Definizione deivata di una funzione in un punto (30) Definizione deivata di una funzione (30) Significato della deivata Deivata in un punto (32) Deivata di una funzione (32) Regole di calcolo delle deivata elementai (33) somma, podotto, (34) funzioni composte (35) funzioni invese (35) Deivata e continuita deivata => continuita (31) continuita NN => deivata (31) funzioni non deivabili. Punti angolosi, cuspidi, (36) Applicazioni delle deivata Equazione della etta tangente in un punto al gafico di una funzione. (37) Teoema di Femat. Punti stazionai. (38) Caatteizzazione delle funzioni monotone. (39) Concavità e convessità. Citeio di convessità. (40) Teoema di'hopital. (41)

3 Applet su significato geometico Applet sulla pendenza di una etta e appoto incementale Applet sul significato geometico della deivata

4 Coefficiente angolae di una etta: significato geometico Nel piano catesiano, consideiamo una etta non paallela all asse delle odinate di equazione y=mx+q m = coefficiente angolae q = oigine all'oigine

5 Coefficiente angolae di una etta: significato geometico mx+q P La etta : y=mx+q foma l angolo con l asse x e il punto A ha coodinate A=(0,q) q A B s Il geneico punto P sulla etta ha coodinate P=(x,mx+q) x Sia s la etta passante pe il punto A e paallela all asse delle ascisse Infine, indichiamo con B il punto di intesezione ta la etta s e la pependicolae da P all asse delle ascisse B ha coodinate B(x,q) e osseviamo che l angolo PAB=

6 Coefficiente angolae di una etta: significato geometico mx+q q A P B x s A (0,q) P(x,mx+q) B(x,q) PAB= Consideiamo il tiangolo APB ettangolo in B BP = AP sen AB = AP cos BP AB AP sen AP cos sen cos tan BP tan AB

7 Coefficiente angolae di una etta: significato geometico A P B s A (0,q) P(x,mx+q) B(x,q) PAB= Nello stesso tempo vale BP = (mx + q) q = mx AB = (x)-0=x BP AB mx x m BP AB m

8 Coefficiente angolae di una etta: significato geometico A P B s A (0,q) P(x,mx+q) B(x,q) PAB= BP tan AB tan m BP AB m

9 Coefficiente angolae di una etta: significato geometico Nel piano in cui sia stato fissato un sistema di assi catesiani otogonali, consideiamo una etta non paallela all asse delle odinate di equazione y=mx+q m = coefficiente angolae q = oigine all'oigine

10 Abbiamo detto che: Il coefficiente angolae di una etta non paallela all asse delle odinate di equazione y = mx+ q è uguale alla tangente geometica dell angolo che la etta stessa foma con il semiasse positivo delle ascisse Cioè, se l angolo che la etta foma col semiasse positivi delle ascisse è tan m

11 Esecizi Calcolae il coefficiente angolae delle seguenti 3 ette: - y=2x+1 - La etta passante pe i punti A(2,3) e B(4,9) 20

12 Significato geometico della deivata Sia assegnata una funzione f (x) deivabile in un intevallo [a,b] e sia x 0 un fissato punto inteno all intevallo [a,b]. Si passi dal punto x 0 ad un alto punto x 0 +h inteno all intevallo [a,b]in modo tale da potee consideae i coispondenti valoi di f f (x 0 +h) f (x 0 ) a P x 0 Q x 0 +h indichiamo i due punti appatenenti al gafico di f con: b P x Q x 0 0, f x 0 h, f x0 h Sia la etta passante pe P e Q e che foma un angolo col semiasse positivo delle x

13 f (x 0 +h) f (x 0 ) P Q Q Q Q a x 0 x 0 +h b Da un punto di vista geometico, quando il punto Q x la cuva gafico della funzione f. P x, ( ) 0 f x0 h, f ( x ) 0 0 h h 0 imane fisso, mente il punto si muove veso il punto P lungo contempoaneamente, spostandosi il punto Q veso il punto P, la etta pe P e Q vaia e vaia in paticolae la sua pendenza e cioè vaia il suo coefficiente angolae

14 f (x 0 +h) t Q f (x 0 ) P Q a x 0 x 0 +h b Tali vaiazioni pe h 0 teminano quando il punto Q aggiunge il punto P e cioè quando la etta pe P e Q si assesta su una posizione limite che è individuata dalla etta tangente t al gafico della funzione f nel punto di ascissa x 0 (cioè il punto P)

15 f (x 0 +h) t Q f (x 0 ) P Q a x 0 x 0 +h b Quindi, indicando con l angolo che la etta tangente foma col semiasse positivo delle x e con m t il suo coefficiente angolae: f x h f x tan lim 0 0 lim h0 h h0 h0 lim m f x tan mt ' 0

16 Significato geometico della deivata Quindi, in definitiva, se è l angolo che la etta tangente al gafico della funzione f nel punto di ascissa x 0 foma con semiasse positivo delle ascisse e se m t è il suo coefficiente angolae, isulta che: Cioè: f x tan mt ' 0 La deivata f (x 0 ) della funzione f nel punto x 0 è uguale al coefficiente angolae m t della etta tangente al gafico della funzione f nel punto P(x 0,f (x 0 ))

17 Significato geometico della deivata: conclusioni l esistenza della deivata di una funzione f in un punto x 0 è legata: all esistenza della etta tangente al gafico di f nel punto di ascissa x 0 al fatto che il coefficiente angolae della etta tangente deve essee finito, essendo 0 t In paticolae, essendo ichiedee che il coefficiente angolae della etta tangente t al gafico di f sia finito, equivale a ichiedee che sia 2 se 2 f f ' x m x tan m, ' 0 t tan

18 Significato geometico della deivata: conclusioni La etta tangente al gafico della funzione f in un punto di ascissa x 0 non può essee paallela all asse delle odinate affinché la funzione f sia deivabile nel punto x 0

19 Significato geometico della deivata: conclusioni Se f è una funzione deivabile in un punto x 0, alloa nel punto di coodinate (x 0,f(x 0 )) il suo gafico ammette una etta tangente non paallela all asse delle odinate Una funzione deivabile in un intevallo, è una funzione il cui gafico è dotato di etta tangente in ogni suo punto

20 Esecizi Dove sono più in «pendenza»?:

21 Esecizio Disegnae la etta tangente al punto A delle seguenti cuva. A A Cosa appesenta la deivata in quel punto?