Non-monotonic reasoning

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1 Logica classica Non-monotonic reasoning modella alcuni aspetti del modo di ragionare umano ma richiede conoscenza completa conoscenza consistente conoscenza fissa che non varia nel tempo Ragionamento in presenza di incompletezza inconsistenza conoscenza dinamica è comune in molte attività umane si fanno assunzioni su conoscenza mancante si gestiscono inconsistenze rivedendo le proprie conoscenze (assunzioni) si gestisce il cambiamento della conoscenza nel tempo Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 1 Necessità di logiche per gestire questi aspetti Logica classica è monotona data teoria T tale per cui T = p allora per qualunque A si ha che T A = p quindi la conoscenza può solo aumentare in caso di inconsistenza la deduzione si banalizza in caso di incompletezza non si arriva a conclusioni Necessità di ragionare in situazioni più complesse Comune avere a che fare con incompletezza: si fanno assunzioni inconsistenza: si rivede la propria conoscenza conoscenza che si modifica nel tempo Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 2

2 Un esempio A, B e C sono i sospettati per un delitto A ha un alibi perché risulta nel registro di un albergo in una città diversa B ha un alibi perché era in visita da suo cugino C dice di essere stato ad una gara di sci Dalle informazioni possiamo concludere che (1) A non ha commesso il delitto (2) B non ha commesso il delitto (3) almeno uno tra A, B e C è il colpevole (ci risultano gli unici con movente) oss: (3) è stato dedotto in assenza di informazione contraria ora veniamo a sapere che (4) C è stato ripreso in immagini televisive della gara quindi (5) C non ha commesso il delitto ma (1), (2), (3) e (5) sono inconsistenti devo modificare le mie credenze: cugino di B ha mentito, oppure registro dell albergo corrotto oppure altri possibili con movente Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 3 Esempi di forme di ragionamento comuni Ragionamento in assenza di evidenza contraria Ho una lista di persone presenti sulla scena del delitto A non compare nella lista concludo che A non era presente in futuro potrei avere altra informazione che mi porterà a concludere che invece A era presente Assunzione di mondo chiuso Ragionamento per default So che gli uccelli in generale volano Tweety è un uccello concludo che Tweety vola in futuro potrei scoprire che Tweety è un pinguino e che i pinguini sono uccelli anormali che non volano Molte altre istanze simili di questa forma di ragionamento Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 4

3 Minimizzazione Azione A sposta un blocco da una posizione X a posizione Y B è un blocco rosso in X Se eseguo A su B, avrò un blocco rosso in Y In realtà azione non mi diceva nulla sul fatto che B rimane dello stesso colore ma è ragionevole assumerlo minimizzo i cambiamenti non giustificati ma in futuro potrei dovermi ricredere Abduzione so che l influenza produce febbre e mal di testa osservo un paziente con febbre e mal di testa concludo che ha l influenza Inferenza non corretta dal punto di vista della logica classica spiegazione delle osservazioni a partire dalla teoria in futuro potrei venire a sapere che anche la polmonite produce febbre, influenza e brividi e venire a sapere che il paziente ha anche i brividi dovrò rivedere la mia conclusione e dire che il paziente ha la polmonite Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 5 Ragionamento ipotetico Se giro la chiave in una auto che ha la batteria, l auto si avvia A è un auto assumo che abbia la batteria e deduco che si avvia se giro la chiave se in futuro vedo che non si avvia dovrò rivedere le mie assunzioni Gestione di inconsistenze (collegato al caso precedente) Esempio della storia di delitti vista sopra Esempio dell automobile visto prima In generale faccio assunzioni uso conoscenza per inferire nuove informazioni se ho una inconsistenza devo ritrattare alcune delle assunzioni rivedere la conoscenza e così via. Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 6

4 Ragionamento non-monotono Caratteristiche comuni delle forme di inferenza discusse non corrette dal punto di vista della logica classica defeasible, ossia conclusioni che potrebbero dover essere riviste in presenza di nuove informazioni in altri termini ragionamento non monotono data teoria T inferisco informazione p: T -i- p -i- sta ad indicare che uso forma di inferenza i non classica in presenza di nuova informazione p potrebbe non essere più inferibile, ossia data nuova informazione A T A -i-p si devono definire forme di inferenza diverse da quella classica ( modus ponens ) Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 7 Alcuni esempi di applicazioni in AI Rappresentazione della conoscenza Rappresentazioni strutturate (frame o reti semantiche) prevedono concetti (frame, nodi) proprietà di concetti (slot, ) ereditarietà Solo a volte proprietà sono necessarie ereditarietà è stretta Può in molti casi essere interessante definire proprietà per default ereditarietà con cancellazione Esempio uccelli proprietà_per_default volare passeri ISA uccelli pinguini ISA uccelli ma cancellazione della proprietà volare Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 8

5 Planning (reasoning about action) descrizione delle azioni precondizioni effetti tre seri problemi qualification problem definire in modo completo l insieme delle precondizioni di una azione ragionare facendo assunzioni su tali precondizioni frame problem definire in modo preciso cosa non cambia come effetto dell azione ragionare per default su tali effetti (es. minimizzazione effetti) ramification problem definire in modo preciso in che modo le cose cambiano come effetto delle azioni Metodi logici classici di rappresentazione delle azioni non funzionano (vedremo in planning) rappresentazioni procedurali rappresentazione mediante logiche non classiche Azioni, tempo, cambiamento Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 9 Diagnosi data una base di conoscenza che descrive il sistema da diagnosticare dato un insieme di osservazioni (sintomi) trovare un insieme di guasti (malattie) che spiegano le osservazioni Processo di ragionamento abduttivo Interpretazione più in generale Data e knowledge bases contengono informazioni su un certo dominio (miniworld) assunzione comune che ciò che non è scritto esplicitamente è falso (CWA) permette di dare risposte ma in modo non-monotono Problem solving costruttivo (es. scheduling, design, ) ragionamento basato su assunzioni es. si prova a fare assunzioni sullo scheduling di un insieme di azioni si rivedono le assunzioni in caso di problemi o inconsistenze Ragionamento con e su agenti rappresentazione e gestione di belief multipli ragionamento su belief di altri agenti e interazione tra agenti Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 10

6 Nel seguito vedremo alcuni approcci al non-monotonic reasoning Approcci basati su modelli minimali Closed World Assumption Completamento e circoscrizione Default Reasoning Abduzione e discuteremo brevemente alcune applicazioni reti semantiche con ereditarietà ragionamento su azioni diagnosi e interpretazione vedremo quindi i truth maintenance system Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 11 Modelli minimali Dato un insieme T di formule logiche nel linguaggio L interpretazione: mapping tra i simboli di L e un dominio simboli di funzione interpretati su funzioni simboli di predicato su relazioni modello: interpretazione che soddisfa T Modelli preferiti un approccio alla logica non-monotona consiste nel definire dei criteri di ordinamento tra modelli e limitarsi quindi solo ai modelli ottimali ( preferiti ) rispetto a tali criteri un criterio di ordinamento: numero di atomi che sono veri Modelli minimali: M minimale se non esiste un altro modello M più piccolo di M (ossia in cui meno atomi sono veri) Usare modelli preferiti (minimali) per definire logiche non monotone intuizione: si considerano veri solo gli atomi che devono necessariamente essere veri Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 12

7 Closed World Assumption Una forma semplice di ragionamento non-monotono basata su minimizzazione di modelli [Reiter, 78] Si assume vero solo ciò che deve essere vero; ogni altra cosa viene assunta falsa Esempio database con indicazione delle città di residenza di un insieme di persone e delle persone che sono impiegate abita(a,torino) impiegato(a) abita(b,torino) abita(c,milano) molti modelli di questo insieme di formule secondo CWA si considerano vere solo le informazioni necessariamente vere (in questo caso quelle presenti nel database) e false tutte le altre impiegato(b) falso (in logica classica non potremmo concludere niente su tale fatto) abita(a,milano) falso Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 13 Più in generale si deve considerare la chiusura deduttiva della teoria T (e non solo gli atomi esplicitamente in T) Esempio T contiene le seguenti formule p(a), q(b), r(c), r(a) X p(x) q(x) modello minimale {p(a), q(a), q(b), r(a), r(c)} per cui avremo che q(c) falso r(b) falso Osservazione: in alcuni casi si possono avere più modelli minimali Esempio p(a) X p(x) q(x) r(x) due modelli minimali M1 = {p(a), q(a)} M2 = {p(a), r(a)} Vedremo varie volte questo problema parlando di non-monotonic reasoning Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 14

8 Regola di inferenza della closed world assumption assumere P ogni volta che questo è consistente oppure da un punto di vista differente T -cwa- P sse T -/- P Una interpretazione della negazione diversa da quella della logica classica negazione utilizzata in database negazione utilizzata nei linguaggi di programmazione logica utilizzano Negazione per fallimento simile alla CWA più debole in quanto CWA non è computabile (T -/- P è semi-decidibile) T -NF- P sse ogni dimostrazione di P da T fallisce in modo finito limitazione a clausole di Horn: garanzia di un unico modello minimale Esempio X adulto(x) impiegato(x) disoccupato(x) da adulto(a), impiegato(a), adulto(b) derivo disoccupato(b) non corretto per logica classica defeasible (se vengo a sapere impiegato(b)) Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 15 Completamento Modo alternativo per definire la stessa forma di ragionamento [Clark 78] data una teoria T (formata da clausole di Horn), definire una trasformazione sintattica Tc di T tale per cui i modelli di Tc coincidano con i modelli minimali di T o l inferenza classica su Tc coincida con l inferenza sotto NF in T o la negazione in Tc coincida con la negazione come fallimento in T Vantaggio: possibilità di usare logica classica Trasformazione sintattica intuitivamente: trasformare implicazioni in bi-implicazioni più precisamente date clausole di Horn a1 b(x), a2 b(x),, an b(x) (con ai congiunzioni) costruire a1 a2 an b(x) Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 16

9 Esempio p(a), q(b), r(c), r(a) X p(x) q(x) diventa X (X=a) p(x) X (X=b) q(x) X p(x) q(x) X (X=a) r(x) X (X=c) r(x) e quindi X p(x) (X=a) X q(x) (X=b p(x)) X r(x) (X=a X=c) teoria trasformata ha un unico modello che coincide con il modello minimo della teoria di partenza da teoria trasformata posso concludere q(c) o r(b) OSS: funziona solo su clausole di Horn Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 17 Circumscription Un forma di minimizzazione più sofisticata Limitazioni di CWA opera in modo indipendente su ognuno dei predicati, senza considerare le interazioni es. p(a) p(b) da CWA si concludono p(a) e p(b)!!! va bene in applicazioni in cui si conoscono gli individui Limitazioni del completamento va bene solo su clausole di Horn Molte varianti della circoscrizione sono state definite [McCarthy, 80] [McCarthy, 85] [Lifschitz, 85] In ogni caso idea base è la stessa: aggiungere nuovi assiomi alla teoria T in dipendenza dell insieme di predicati che si vogliono minimizzare (eventualmente in modo dipendente, o con priorità) Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 18

10 Assiomi di circoscrizione tecnicamente complessi formule del secondo ordine che specificano per il predicato P da minimizzare che la sua estensione deve essere la più piccola consistente con la base di conoscenza permettono di minimizzare più predicati simultaneamente più predicati secondo una priorità (ad esempio, prima minimizzare un predicato P, poi tra i modelli minimi per P scegliere quelli minimi per un altro predicato Q) Esempio Data T con p(a) p(b), la circoscrizione di p in T produce l assioma aggiuntivo X (p(x) X=a X=b ) caso simile al completamento Data T con p(a) p(b), la circoscrizione di p in T produce l assioma aggiuntivo X (p(x) X=a) X (p(x) X=b) Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 19 Default logic [Reiter 80] formalizza una delle più comuni forme di ragionamento non-monotono: capacità di fare assunzioni o arrivare a conclusioni in assenza di evidenza contraria (ossia per default) Default theory T: insieme di formule della logica classica D: insieme di default, ossia regole del tipo A: B C con il seguente significato se A è vero e B è consistente allora concludi C Caso particolare: i default normali A: B B se A è vero ed è consistente assumere B allora concludi B Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 20

11 Esempi bird( : flies( flies( Default sono regole di inferenza circuito( : guasto( guasto( bird( : normal( flies( data teoria di default (T,D) deduzione in T permette di inferire nuova informazione default sono applicabili per inferire (in modo defeasible) altra informazione Estensione di una default theory (T,D) insieme massimale consistente che si può ottenere applicando la chiusura deduttiva in T e applicando regole di default equiv.: insieme massimale di default ground applicabili massimale: nessun default ultertiormente applicabile senza violare il vincolo di consistenza Oss: in generale (T,D) può avere più estensioni Oss: default sono visti come regole di inferenza, non come formule della teoria logica A inferibile da (T,D) se A è in tutte le estensioni di (T,D) vedremo poi modifiche di questa definizione Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 21 Esempio Teoria logica T X pinguino(x) uccello(x) X passero(x) uccello(x) X pinguino(x) vola(x) X uccello(x) animale(x) uccello(a) pinguino(b) passero(c) Default D uccello( : vola( uccello( : fauova( vola( fauova( Estensione uccello(a), animale(a) pinguino(b), uccello(b), animale(b) passero(c), uccello(c), animale(c) primo default applicabile per a e c, inconsistente applicarlo per b vola(a), vola(c) secondo default applicabile per tutti fauova(a), fauova(b), fauova(c) Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 22

12 Esempio: estensioni multiple Teoria logica T quacchero(a) repubblicano(a) Default D quacchero( : pacifista( pacifista( repubblicano( : pacifista( pacifista( Esstensioni I due default si bloccano a vicenda: l applicazione di uno rende inconsistente l applicazione dell altro Due estensioni E1: quacchero(a), repubblicano(a), pacifista(a) E2: quacchero(a), repubblicano(a), pacifista(a) Per cui non si può inferire nulla riguardo a pacifista(a) Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 23 Inheritance networks Importante applicazione del ragionamento per default (e della default logic, con variazioni) rappresentazioni strutturate di gerarchie di classi con proprietà in molti linguaggi solo proprietà necessarie che vengono ereditate fondamentale poter rappresentare proprietà per default che possono essere cancellate in sottoclassi (ereditarietà con cancellazione) Esempio uccelli, pinguini e volare visto prima Notazione grafica animale nondeafult (stretta e non defeasible) vola uccello fauova default (defeasible) pinguino passero cancellazione Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 24

13 Consideriamo il caso con solo archi di default p q (p ISA q) p q (p IS NOT A q) a q (a inst of q) a q (a NOT inst of q) Simili a default alla Reiter p : q q p : q q Due forme di inferenza di base p1 p1 p2... pn q p2... pn q p1 ISA q p1 IS NOT A q Vari tipi di gerarchie ereditarietà singola VS ereditarietà multipla cancellazione VS non cancellazione Caso interessante: ereditarietà multipla con cancellazione Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 25 Problema: ambiguità: stesso problema di estensioni multiple della default logic pacifista quacchero repubblicano nixon In alcuni casi può essere interessante selezionare solo alcune estensioni come plausibili (solo alcune inferenze) quindi avere un criterio di preferenza tra le estensioni Esempio uccello vola pinguino E1: pinguino vola E2: pinguino non vola E2 è una inferenza da preferirsi Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 26

14 Una regola: effettuare overriding: link diretti da una classe fanno overriding di quelli ereditati ad esempio pinguino non vola per overriding della proprietà di volare della classe degli uccelli Una prima soluzione: inferenze basate sulla lunghezza dei cammini le inferenze su cammini più corti fanno overriding su quelle su cammini più lunghi risolve il caso dei pinguini non funziona in altri casi, ad esempio clyde elefanteindiano elefante grigio Vorrei concludere che clyde non è grigio (proprietà della sottoclasse che fa overriding di quella della classe invece si hanno due inferenze plausibili Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 27 Una soluzione alternativa: il concetto di distanza inferenziale A... B P fa preemption su A... C P se B... C rappresenta la preferenza tra estensioni che si vuole avere intuitivamente (vedi esempi prima) possono comunque rimanere estensioni multiple (vedi il caso del Nixon diamond) Inferenza credulous VS inferenza skeptical Due forme di inferenza per affrontare il caso di estensioni multiple skeptical: rifiuto di trarre conclusioni in caso di ambiguità 1 sola estensione credulous: cercare di concludere il più cose possibile estensioni multiple e conclusioni ambigue Osservazione: la estensione di inferenza skeptical è diversa (è meno forte - restrittivo) dalla intersezione delle estensioni di inferenza credulous: Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 28

15 Esempi pacifista quacchero repubblicano nixon Skeptical: quacchero, repubblicano Credulous: 2 estensioni repubblicano, quacchero, pacifista repubblicano, quacchero, non pacifista anti-militarista pacifista tifoso di calcio quacchero repubblicano nixon Skeptical: non concludendo nulla su pacifista concludo che Nixon è non antimilitarista (essendo un tifoso di calcio) non antimilatrista non è in tutte le estensioni marine uomo bevitore di birra Due estensioni sulla destra cappellano IS NOT a cappellano bevitore di birra fa preemption su uomo IS A bevitore di birra george sulla sinistra nessuna preemption Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 29 Il caso di archi di ereditarietà stretti simile ma archi stretti portano a inferenze non-defeasible su cui non si possono generare estensioni alternative e con cui i default devono essere consistenti Esempio motivato politicamente molto religioso pacifista quacchero repubblicano tom nixon reagan Si può concludere che nixon è molto religioso (il fatto che è repubblicano non può generare estensioni multiple perchè l altro arco è stretto) sono tutti motivati politicamente? dipende dal tipo di inferenza... Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 30

16 Reasoning about action e teoria del cambiamento Problema: Rappresentazione di azioni e dei loro effetti (ad esempio per un sistema di pianificazione) Ragionamento sulle azioni predizione degli effetti di insiemi di azioni pianificazione della sequenza di azioni per ottenere un obiettivo interpretazione: quali azioni possono aver portato ad una data situazione Primo problema: il concetto di stato e la sua rappresentazione rappresentazione della situazione in cui si trova la parte del mondo che si sta modellando varie soluzioni possibili una soluzione usata frequentemente (e utile per analizzare i problemi): il situation calculus Esempio rappresentare che in stato s il blocco a è sopra al blocco b on(a,b,s) con reificazione. holds(on(a,b),s) prendono il nome di fluent Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 31 Secondo problema. La rappresentazione delle azioni azione = trasformazione di stato rappresentazione: nuovo stato come funzione dell azione Esempio: azione che sposta un blocco B da posizione X a posizione Y nello stato S produce il nuovo stato S = move(b, X, Y, S) Qualification problem: come rappresentare (tutte) le precondizioni di una azione in generale una azione può avere infinite precondizioni, ossia infinite situazioni in cui può fallire impossibile rappresentarle tutte: alcune anche difficili da prevedere Una soluzione: usare logiche non standard precondizione generica effetto della azione come default inferenza defeasible Esempio azione che sposta un blocco B da posizione X a posizione Y on(b, X, S) ab(move(b, X, Y, S)) on(b, Y, move(b, X, Y, S)) holds(on(b, X),S) ab(move(b, X, Y, S)) holds(on(b, Y), move(b, X, Y, S)) Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 32

17 Terzo problema: Frame problem, ossia come rappresentare gli effetti di una azione azione modifica alcuni fluent come rappresentare il fatto che molti altri restano invariati Esempio se bianco(x,s) allora sarà anche bianco(x,move(x, Y, S)) Frame axioms: specificano cosa non cambia anche in questo caso è opportuna una rappresentazione mediante default in generale molte cose non cambiano salvo sitazioni eccezionali (ad esempio nello spostamento sono passato sotto uno spruzzatore di vernice rossa) Varie soluzioni dal punto di vista tecnico Esempio holds(p(x),s) ab(p(x), action1(s)) holds(p(x), action1(s)) Uso di logiche non monotone porta a problemi estensioni multiple di cui alcune non desiderate varie soluzioni, analizzeremo per il problema della predizione (il più studiato); in altri problemi più critico (vedremo planning e abduzione) Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 33 Un esempio famoso: lo Yale Shooting Problem esempio per mettere in evidenza i problemi legati al frame problem istante iniziale: fucile scarico e tacchino vivo alive(fred) ( dead(fred)) unloaded(gun) ( load(gun)) descrizione azioni ( default in una qualche logica non monotona) ab(load(x,s)) holds(loaded(x), load(x,s))) ab(shoot(x,s)) holds(dead(x), shoot(x,s))) wait frame axioms (altri default ) azione wait non cambia nulla holds(loaded(x),s) ab(loaded(x), wait(s)) holds(loaded(x), wait(s)) azione load non cambia alive sequenza di azioni: t2= load(gun,t1), t3= wait(t2) t4=shoot(fred,t3) problema: in che stato è fred in t4 (alive or dead?) Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 34

18 Due modi di applicare i frame axioms, ossia Due estensioni nella formulazione del problema mediante logiche non monotone fred è morto in t4 fucile è carico in t2 applicando frame axiom rimane carico in t3 e fred è vivo in t3 quindi sparando fred rimane ucciso fred è vivo in t4 applico frame axiom più volte per alive quindi deve essere abnormal che il fucile rimanga carico tra load e shoot varie soluzioni al problema minimizzazione cronologica: le cose anormali avvengono il più tradi possibile, questo porta a preferire estensione in cui fred muore controindicazione per altri problemi es. stolen car problem parcheggio auto azione di aspettare lascia l auto dove è azione furto fa sparire auto se non trovo auto concludo che è stata rubata all ultimo momento Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 35 Soluzioni basate sull uso di negazione per fallimento invece di logiche di deafult o circoscrizione soluzione naturale del problema semantica chiara solo per alcune classi di formule (clausole o clausole di Horn) Approcci non esclusivamente logici rappresentazione della azioni non in termini logici vedremo in dettaglio nel planning Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 36

19 Abduzione Abduzione: inferenza per trovare la migliore spiegazione per un insieme di osservazioni, data una teoria forma comune di inferenza in molte attività umane fondamentale in molte attività di problem solving, ad esempio: interpretazione, diagnosi, ma anche pianificazione, comprensione del linguaggio, apprendimento, studiata in campo filosofico sin dal secolo scorso dal punto di vista logico A B A deduzione: modus ponens B abduzione: A B B A A come spiegazione di B, data la teoria che A B inferenza non corretta dal punto di vista della logica classica (non truthpreserving) Osservazione: abduzione e induzione sono due forme di inferenza diverse (anche se spesso c è confusione) Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 37 Più in generale, una definizione: data una teoria T (insieme di formule logiche) data una osservazione OBS (insieme di atomi ground - si può generalizzare al caso non ground) da spiegare una spiegazione E è un insieme di atomi ground tale per cui T E consistente T E OBS spesso si richiede che E abbia altre proprietà che lo rendono una spiegazione interessante linguaggio predefinito (insieme dei simboli abducibili) primitivo (ossia contenga solo atomi non spiegabili da altri atomi) minimale (non ridondante) minima cardinalità costo minimo.. Osservazione: alcune di queste condizioni in contrasto può dipendere da applicazione Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 38

20 Esempio T = {a b, e b, b c d, e f } OBS = {d} spiegazioni E1 = {a, c} E2 = {e, c} Abduzione e negazione nelle osservazioni OBS può contenere osservazioni negative esempio OBS1 = {d, f } Solitamente trattate come negazione per fallimento T E consistente T E -NF- OBS Nell esempio E1 = {a, c} Abduzione e negazione nella teoria analogamente viene trattata come negazione per fallimento OSS: difficile fornire teorie per dare spiegazioni di eventi negati (problema simile a quello della qualificazione) Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 39 Esempio piove innaffiatore acceso strada bagnata erba bagnata acqua nel tubo scarpe lavate scarpe bagnate erba luccicante Esempi di spiegazioni non ridondanti OBS = {erba luccicante} E1 ={piove} E2 ={innaffiatore acceso} OBS = {scarpe bagnate, acqua nel tubo} E1 ={innaffiatore acceso} OBS = {scarpe bagnate, acqua nel tubo} E1 ={piove} E2={scarpe lavate} OBS = {scarpe bagnate, strada bagnata} E1 ={innaffiatore acceso} E2={scarpe lavate} Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 40

21 Relazione tra abduzione e deduzione intuitivamente abduzione corrisponde a invertire le implicazioni in una teoria deduttiva più precisamente si può dimostrare che siano E1, E2, En le spiegazioni abduttive di OBS da T allora si ha che, dato il completamento TC di T TC OBS E1 E2 En Esempio T = {a b, e b, b c d, e f } TC = {a e b, b c d, e f } OBS = {d} da TC OBS b c (a e) c (a c) (e c) OBS = {d, f } datc OBS b c e (a e) c e (a c e) Abduzione è una forma di inferenza defeasible basata su assunzione di completezza delle cause Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 41 Applicazioni del ragionamento abduttivo Diagnosi (vedremo più in dettaglio più avanti) abducibili = guasti osservazioni = sintomi teoria: modello che collega i guasti (cause) alle loro conseguenze Esempio batteria scarica lampadina fulminata auto non parte luci spente OBS = {luci spente} E1 = {batteria scarica } E2 = {lampadina fluminata } OBS = {luci spente, auto non parte} E1 = {batteria scarica } Pianificazione abducibili = azioni osservazioni = goal teoria: modello che descrive gli effetti delle azioni Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 42

22 Interpretazione abducibili = ipotesi osservazioni = fatti da interpretare teoria: modello che descrive relazioni tra le ipotesi e le loro conseguenze Esempio: interpretazione di immagini c1 r1 r2 c2 abducibili = {land(x), river(x), water(x), road(x), shore(x)} teoria: relazioni tra abducibili (caratteristiche geografiche) e forme geometriche Esempi river(x) river(y) cross(x,y) river(x) road(x) shore(x) linear(x) osservazioni: caratteristiche geometriche dell immagine In questo modo le spiegazioni abducubli corrispondono a interpretazioni delle immagini Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 43 Update di viste in basi di dati logiche (e relazionali) abducibili = predicati della base di dati estensionale osservazioni = update intensionale (di una vista) teoria: definizioni delle viste Esempio DB estensionale contiene le relazioni padre e madre padre(a,b) padre(a,e) madre(c,b) viste definiscono altre relazioni nonno(x,y) padre(x,z) padre(z,y) Update U nonno(a,f) devo trovare cosa aggiungere al DB estensionale in modo da rendere vero U E1 = {padre(b,f)} E2 = {padre(e,f) } Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 44

23 Strette relazioni tra abduzione e programmazione logica: Abductive Logic Programming dato un programma P e un goal G G viene dimostrato e si calcola sostituzione di risposta OPPURE si possono fare assunzioni su atomi abducibili Risposta è sostituzione insieme di assunzioni su abducibili (più complesso con negazione) Un modo per implementare il ragionamento abduttivo [Kowalski ILC 92] Strette relazioni con ATMS ATMS è un strumento per ragionamento abduttivo Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 45 Conclusioni varie forme di ragionamento non-monotono per simulare forme di ragionamento comuni ( common-sense ) varie proprietà di equivalenza tra le diverse logiche non-monotone Seri problemi di complessità computazionale nel ragionamento non monotono intrattabile in quasi tutti i casi spesso livello di intrattabilità elevato (non solo NP, ma classi superiori della gerarchia di complessità) Console, Botta - Dip. Informatica, Univ. Torino Non-monotonic reasoning 46

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