Facoltà di Farmacia Corso di Matematica con elementi di Statistica Docente: Riccardo Rosso

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1 Facoltà d Farmaca Corso d Matematca co elemet d Statstca Docete: Rccardo Rosso Statstca descrttva: l coeffcete d cocetrazoe d G Quado s vuole rpartre ua certa somma d dearo, v soo due suddvso che soo, per cert vers, estreme: la prma è quella cu tutt gl dvdu rcevoo lo stesso mporto; la secoda è quella cu l tera somma d dearo è appaaggo d u solo dvduo, metre ulla spetta agl altr. Come gà osservato el corso d lezo, la meda artmetca o dscrma tra quest cas estrem e emmeo tra le altre dstrbuzo possbl. Lo scarto quadratco medo σ è sì sesble alle dstrbuzo operate, ma l valore d σ dpede ache dalla gradezza del campoe che s cosdera, coscché cofrot tra rpartzo operate su campo dvers o soo faclmete cofrotabl. Il coeffcete d cocetrazoe d G 1 ovva a questo coveete dal mometo che, per costruzoe, ha u campo d varabltà sesble alla gradezza del campoe. Izamo co l crcoscrvere l ambto d applcazoe del coeffcete d G. Esso rguarda caratter quattatv trasferbl, per qual è sesato mmagare l passaggo tra pù dvdu: l dearo, quote d mercato spartte tra azede soo esemp tpc. Suppoamo d avere u carattere (o bee) trasferble d ammotare complessvo A > 0 e d volerlo rpartre tra dvdu. Deotamo co x 1, x, x 3,..., x le quattà o egatve d bee assegate a var dvdu etchettat co umer ter da 1 ad. Ioltre, suppoamo d ordare gl mport modo crescete 0 x 1 x... x : l dvduo 1 è l pù povero, metre l dvduo è l pù rcco. Il bee è equdstrbuto se ad og dvduo spetta lo stesso mporto: formalmete deve essere x 1 = x =... = x = A. Al cotraro, dremo che c è cocetrazoe se x 1 = x =... = x 1 = 0 x = A : l mporto complessvo A è deteuto da u solo dvduo. 1 Il coeffcete d G prede l ome dallo statstco talao Corrado G ( ) che lo trodusse u lavoro apparso el 1914.

2 Per procedere, è bee trodurre la frequeza cumulata F := e la frazoe d bee accumulato tra prm dvdu dove Q := x 1 + x x A = A A, A = x 1 + x x. (1) La frazoe F descrve quale porzoe del campoe è stata esamata allorché s cosdera l dvduo esmo. Se tra prm dvdu vee rpartto poco bee, Q sarà pù pccolo del valore che gl competerebbe se c fosse equdstrbuzoe. Vale fatt l seguete teorema. Teorema. Se l dce è uguale ad, o se l bee A è equdstrbuto, allora Q = F. I geerale s ha Q F, = 1,...,. Dmostrazoe. Se =, per defzoe s ha F = F = 1 ed ache Q = Q = 1, dal mometo che A = x 1 + x x. Se l bee è equdstrbuto, poché a cascu dvduo spetta l mporto A/, deve essere Q = x 1 + x x A = (A/) A = F, come rchesto dal teorema. Per l caso geerale osservamo che vale la seguete dsuguaglaza x 1 + x x x 1 + x x : () fatt, l membro d sstra della dsuguaglaza è la meda artmetca degl mport assegat a prm dvdu, che soo pù pover. A destra fgura vece la meda artmetca degl mport assegat a tutt gl dvdu, comprededo duque pù rcch. È charo allora che quest ultma meda prevarrà sulla prma. Poché sa x 1 +x +...+x che soo postv possamo rscrvere la () come x 1 + x x x 1 + x x che equvale ad affermare Q F, come asserto ell eucato del teorema. Co poca ulterore fatca s può mostrare che realtà vale ache l vceversa del teorema dmostrato, el seso che se Q = F allora o l dce è uguale ad oppure l bee è equdstrbuto.

3 Samo ora prot per defre l coeffcete d cocetrazoe R d G come R := (F Q ) F. (3) Osservamo che el caso della equdstrbuzoe l coeffcete d G è R = 0, sccome Q = F per og scelta dell dce. Al cotraro, el caso della cocetrazoe abbamo Q 0 per = 1,..., 1 e pertato R = = 1. I tutt gl altr cas, osservamo che s può sempre scrvere R = Q spezzado la sommatora a umeratore due part: a questo puto s può operare l ulterore semplfcazoe R = 1 Q che mostra come R o super ma l valore 1. D altra parte, poché F Q l rapporto d G o può essere egatvo. Cocludamo pertato che R [0, 1] e che valor estrem corrspodoo propro alla stuazoe d equdstrbuzoe (R = 0) e d cocetrazoe (R = 1). Cocludamo co alcue osservazo geeral. L dce elle sommatore covolte (3) arrva fo ad 1. Cò o dsturba perché sappamo che per = deve essere Q = F = 1 per cu o c sarebbe cotrbuto da questo terme al rapporto R. Ife, poché è possble dmostrare che 1 F = 1, teedo coto della defzoe d Q e d (1) possamo rscrvere R ua formula comoda per le applcazo R = 1, 1 A. (4) ( 1)A Eserczo 1. Suppoamo che la somma d Euro sa suddvsa tra 10 dvdu questo modo: a due dvdu spetta 1 Euro cascuo, ad altr due Euro cascuo, ad u altro 4 Euro, ad altr due 15 Euro ed a tre 3

4 dvdu restat 0 Euro cascuo. Calcolare l coeffcete d G relatvo alla dstrbuzoe effettuata. Se dspoamo gl mport orde crescete, abbamo x 1 = x = 1 Euro x 3 = x 4 = Euro x 5 = 4 Euro x 6 = x 7 = 15 Euro x 8 = x 9 = x 10 = 0 Euro. Possamo ora calcolare gl mport parzal ( Euro) accumulat A deft (1) A 1 = 1 A = A 3 = 4 A 4 = 6 A 5 = 10 A 6 = 5 A 7 = 40 A 8 = 60 A 9 = 80. Poché = 10 ed A = Euro, graze a (4) possamo scrvere R = 1 9 A = = Esste u modo grafco d rappresetare le cocetrazo ella rpartzoe d A dovuto all ecoomsta amercao Max O. Lorez ( ). Su ass cartesa vegoo rportate le coppe (F, Q ) e s uscoo put otteut co segmet d retta otteedo delle spezzate d cocetrazoe. Nel caso d equdstrbuzoe sappamo che è sempre F = Q per cu le coppe (F, Q ) soo alleate sulla bsettrce del prmo quadrate el pao (F, Q ). Al cotraro, per la cocetrazoe deve essere Q 1 = Q =... = Q 1 = 0 e Q = F = 1: la spezzata d cocetrazoe usce 1 put del tpo (F, 0) dspost sull asse delle ascsse ed l puto termale (1, 1) da cu og spezzata d cocetrazoe deve passare. Nella fgura 1 soo rappresetate le spezzate d cocetrazoe per le dstrbuzo estreme appea llustrate. Come esempo, possamo traccare la curva d Lorez per la dstrbuzoe cosderata ell Eserczo 1. I put (F, Q ) da ure co segmet d retta per formare la curva d Lorez hao coordate ( 1 10, ) ( 1 10, ) ( 3 10, ) ( , ) ( , 10 ) ( 6 ) ( 7 10, 40 ) ( 8 10, 60 ) ( 9 10, 80 ) 10, 5 e la spezzata è rappresetata ella fgura. (1, 1). Eserczo Le quote d mercato ( mlo d Euro) relatve alla produzoe d ua certa classe d farmac soo rpartte tra se dtte farmaceutche el modo seguete: Dtta A 10 Dtta B 18 Dtta C 3 Dtta D 40 Dtta E 47 Dtta F 63. Calcolare l rapporto d cocetrazoe d G e traccare la corrspodete curva d Lorez. 4

5 1 5 1 Q F Fgura 1: Curve d Lorez per l equdstrbuzoe (bsettrce del quadrate) e la cocetrazoe. Q F Fgura : La curva d Lorez relatva all Eserczo 1 usce put evdezat, le cu coordate soo state trovate precedeza. Per cofroto abbamo acora traccato le curve d Lorez relatve all equdstrbuzoe ed alla cocetrazoe. 5

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