M p. θ max. P v P. Esercizi di Meccanica (M6) Consegna: giovedì 3 giugno.

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1 Esercizi di Meccanica (M6) Consegna: giovedì 3 giugno. Problema 1: Si consideri un corpo rigido formato da una sfera omogenea di raggio R e massa M 1 e da una sbarretta omogenea di lunghezza L, massa M 2 e dimensioni trasversali trascurabili. La sbarretta è rigidamente connessa alla sfera in modo tale da trovarsi lungo un raggio della sfera. Il corpo rigido è vincolato ad un asse orizzontale che passa per il centro della sfera ed è ortogonale alla sbarretta; esso può ruotare intorno a tale asse senza attrito. a) Si calcoli la distanza d CM del centro di massa del corpo rigido dall asse ed il suo momento I di inerzia rispetto a tale asse. b) Al tempo t = 0 il corpo rigido è disposto come in figura [grafico a)]. Quindi viene messo in moto con velocità iniziale tale che la velocità del punto P, estremo dell asta, sia v P. Si calcoli l angolo θ max delle successive oscillazioni. c) Quando θ = θ max avviene un urto completamente anelastico tra il corpo rigido ed una pallina di massa M p e velocità v 0 verticale diretta verso il basso [vedi grafico b)]. La pallina rimane conficcata nell estremo P dell asta. Si calcoli la velocità angolare ω urto dopo l urto. d) Si calcolino la componente tangenziale e la componente normale dell impulso delle forze vincolari che agiscono sull asse di rotazione durante l urto. e) Si calcolino le componenti (verticale ed orizzontale) dell impulso della forza impulsiva che agisce sulla pallina durante l urto. Valori numerici: M 1 = 1.07 kg, M 2 = 164 g, L = 32.7 cm, R = 5.03 cm, v P = 2.93 m/s, M p = 71 g, v 0 = 4.35 m/s. a) b) R M p L g θ max P v 0 P v P 1

2 Problema 2: Un disco omogeneo di massa m D = 2 kg e raggio R = 40 cm è libero di ruotare senza attrito intorno al suo asse disposto orizzontalmente. Sul bordo del disco e fissato un minuscolo cannoncino di massa m C = 0.5 kg che può sparare proiettili tangenzialmente al disco. Quando il sistema è in quiete nella posizione di equilibrio stabile (cannoncino alla minima quota) viene sparato un proiettile di massa m = 0.1 kg con velocità di uscita relativa al cannoncino v rel = 20 m/s. Calcolare: a) la velocità angolare del sistema disco + cannoncino immediatamente dopo lo sparo; b) l angolo massimo di cui ruota il sistema (disco + cannoncino) dopo lo sparo. 2

3 Problema 1: DOMANDA a). Iniziamo con il calcolare la posizione del centro di massa. Il centro di massa della sfera è sull asse di rotazione, dato che la sfera è omogenea. Il centro di massa della sbarretta è nel suo centro di simmetria, quindi ad una distanza dall asse pari a r C,sbarra = L 2 + R. Quindi il centro di massa del corpo rigido si trova ad una distanza dall asse pari a Quindi: d CM = m sbarrar C,sbarra m sbarra + m sf : d CM = M 2(R + L/2) = 5.0 cm; M 1 + M 2 Calcoliamo ora il momento d inerzia. Ricordiamo che il momento d inerzia di una sfera e di una sbarretta (solidi omogenei) relativi ad una asse che passa per il centro di massa ed ha la direzione come nel problema valgono: I sfera = 2 5 MR2, I sbarretta = 1 12 ML2. Nel caso della sbarretta l asse non passa per il centro di massa, ma si trova ad una distanza r C,sbarra da esso. Utilizzando il teorema di Huygens-Steiner otteniamo quindi per la sbarretta Quindi otteniamo in definitiva: I sbarretta = 1 12 ML2 + Mr 2 C,sbarra. : I = 2 5 M 1R M 2L 2 + M 2 (R + L/2) 2 = kg m 2 ; DOMANDA b). Nel problema si conserva l energia dato che l unica forza rilevante per la dinamica è la forza peso che è conservativa. Definiamo M tot = M 1 + M 2 = 752 g. Se v P è la velocità del punto P che dista R + L dall asse, la velocità angolare iniziale vale ω ini = v P = 5.98 rad/s. R + L Fissiamo lo zero dell energia potenziale gravitazionale in modo che, quando l asta è in posizione verticale, si abbia U peso = 0. Otteniamo K ini = 1 2 Iω2 ini, U ini = 0, K fin = 0, U fin = M tot gh = M tot gd CM (1 cos θ max ), 3

4 dove h è la differenza di quota del centro di massa tra l istante iniziale (sbarretta verticale) e quello finale. Richiedendo che E mecc = K + U sia uguale all istante iniziale e finale si ottiene e cosθ max = 1 Iω 2 ini 2M tot gd CM = 0.50, θ max = 60. DOMANDA c). Nell urto si conserva la componente assiale del momento angolare totale P tot rispetto all asse, dove P tot = P pallina + P corporigido. Al fine di specificare i segni, fissiamo il verso dell asse in modo tale che esso sia entrante nel foglio: con tale scelta le rotazioni orarie per chi guarda il foglio sono positive. All inizio le componenti assiali valgono P pallina,ini = (M p r P v 0 ) = +M p (R + L)v 0 sin θ max, P corpo,ini = Iω(θ max ) = 0. Dopo l urto la pallina rimane conficcata: quindi abbiamo un sistema di massa M tot + M p e momento di inerzia I + M p (L + R) 2, che ruota attorno all asse con velocità angolare ω fin. Quindi P fin = [I + M p (L + R) 2 ]ω fin. La conservazione della componente assiale del momento angolare totale implica I valori numerici corrispondenti sono: ω fin = M p(l + R)v 0 sin θ max I + M p (L + R) 2. ω fin = 10.0 rad/s. DOMANDA d). Consideriamo come sistema il corpo rigido più la pallina. Se Q è la quantità di moto totale del sistema allora la I equazione cardinale implica dq dt = Fext. Le forze esterne sono le forze vincolari sull asse e la forza peso. La seconda non è impulsiva ed è quindi trascurabile nell urto: dq dt = Fvinc. Integrando sul tempo dell urto otteniamo alla fine: J vinc = F vinc dt = Q fin Q in. urto 4

5 Indichiamo rispettivamente con û n e con û t il versori radiale ed il versore tangenziale: û n punta in direzione opposta all asse di rotazione, mentre û t è diretto in senso orario (vedi figura). Per la pallina, all inizio abbiamo: q pallina,in = M p v 0 cosθ max û n + M p v 0 sin θ max û t. Per il corpo rigido ricordiamo che q corpo = M tot v CM. Dato che quando avviene l urto il corpo rigido è fermo abbiamo q corpo,in = 0. Dopo l urto la pallina si muove con velocità tangenziale pari a r P ω fin = (L + R)ω fin. Quindi q pallina,fin = M p (L + R)ω fin û t. Il centro di massa del corpo rigido si muove con velocità tangenziale d CM ω fin per cui Ne segue: Numericamente otteniamo q corpo,fin = M tot d CM ω fin û t. J t = M p (L + R)ω fin + M tot d CM ω fin M p v 0 sin θ max, J n = M p v 0 cosθ max. J t = 0.11 N s, J n = 0.31 N s. Si noti che la quantità qui calcolata è l impulso della forza che il vincolo esercita sul corpo rigido. La forza che il corpo rigido esercita sul vincolo e semplicemente J vinc. DOMANDA e). Trascurando la forza peso, non impulsiva, se J int è l impulso richiesto abbiamo J int = q pallina,fin q pallina,in. In un sistema di riferimento con asse y verticale diretto verso l alto abbiamo per cui q pallina,fin = [ M p (L + R)ω fin cosθ max, M p (L + R)ω fin sin θ max ], q pallina,in = (0, M p v 0 ) J int,x J int,y = M p (L + R)ω fin cosθ max = Ns, = M p v 0 M p (L + R)ω fin sin θ max = Ns. 5

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